Transcript 第七章正弦稳态电路的相量分析

第七章
正弦稳态电路的相量分析
教学目的
1.正确理解正弦量的三要素、相位差和有效值概念。
2.熟记角频率与频率的关系公式、有效值与最大值的
关系。
教学内容概述
本讲介绍了关于正弦量的基本概念和正弦量的有效值。
复习了关于复数及其运算的相关知识。
教学重点和难点
重点：正弦量的三要素。
难点：正弦量的有效值物理含义。
7-1正弦量
正弦量：随时间按正弦规律变化的电压和电流。


0
i

5
cos
10
t

60
Α 等。
u

100
sin
314
t
V
例如:
一、正弦量的三要素
设一正弦量电流
i  I m cost  i 
式中: I m  i ω 称为正弦量的三要素。
1.振幅或最大值Im: 当cos(ωt+ψi)=1 时, i=Im 。它表示了
正弦量的变化范围。
2.角频率ω:
① (ωt+ψi) ~正弦量的相位或相角。它表示了正弦量的变
化进程。它的大小可以决定 i 的大小和正负，单位rad 或 o。
d
t  i    ∴称ω是相位随时间变化的角速度。
dt
即单位时间内正弦量变化的弧度数,称为角频率,单位rad/s 。
②
③ω与T及f 的关系:
∵  t  T   i   t  i   2
1
∵ T
f
∴   2f
单位:T:s, f:1/s
∴ T  2
或
2

T
或Hz (kHz, MHz)
3.初相位(角)  i
正弦量在t=0时的相位,即 t  i  t 0   i
正弦量的三要素可以唯一确定一个正弦量,它是正弦量
之间比较的依据。
4.瞬时值:即正弦量。如u(t)，i(t)等。当t确定后,瞬时值也被
确定。
二、正弦量的表示方法:

1.函数表达式也称为瞬时值表达式。如:u  U m cos t  u

2.波形图。正弦量随时间变化的波形。
图中表示了正弦量的
三要素。其中从O点
u
Um
到离O 点最近的正半
波最大值处的角度为
正弦量的初相,其大小
与计时起点有关。
3. 相量及相量图表示法。
o
4
  3  5 3 7 t
4 2 4
u
4
2 4
三.
相位差
在同一频率正弦激励下,线性电路的响应均为同频率正
弦量。
讨论同频率正弦量的相位差 
设:
u  U m cost  u 
i  I m cost  i 
由相位差的定义：正弦量的相位之差。可得
  t  u   t  i    u  i
即:同频率正弦量相位差等于它们的初相之差。
若    i  u  0, 称 i 超前u  角度,或称 u 滞后 i
 角度。
u,i
u
波形图：
i
o

t
若    u  i  0，称u与 i 同相。
波形图：
u,i
u
i
o
t







，称 u 与 i 正交。
若
u
i
2
u,i
u
波形图：
i
o

t
若    u  i  ， 称 u 与 i 反相。
波形图：
u,i
u
i
o
t
说明:
⑴不同频率的正弦量，其相位差是频率的函数，即
  f  
⑵
 与计时起点的选择无关。
例7-1 已知正弦电流 的波形图, ω=1000rad/s ,写出 i 的
表达式,求 i 达到第一个正的最大值的时间t1。
解:由图中可知: i  100 cos1000t  i 
t=0时 i0  100cos i  50A

1
 i   rad
∴ cos i 
2
3


i  100 cos1000t   
3

i  100A时
t1 

3
又∴ t1 

i (A)
100
50
o
t1
3   103  1.047ms
 3
t (s )




0
i

5
cos

t

60
，i2  10sin t  400 ，
例4-2 设 1
问哪个电流滞后，滞后多少度?
解:






i2  10sin t  400  10sin 900  t  500  10cos t  500 
  600   500   1100  0
所以i2滞后i1 110° 。
四.正弦量的有效值:
定义:在相同的时间T内,相同的电阻中,分别通过直流电和
交流电时产生的能量相等,则称该直流值为交流电的有效值。
直流： W  I RT
2
交流: W~ 
T

0
T
pdt   i 2 Rdt
0
T
由定义可知: W—=W~ 即 I RT   i 2 Rdt
2
0
1 T 2
整理得交流电有效值定义式: I 
i dt ~均方根值

T 0
将 i  I m cost  i  代入上式,得 I  1 I m
2
即
或
I m  2I
Im
I
2
同理可得 U m  2U
Um
U
2
注:工程上所说交流电压,电流值大多为有效值,电气铭牌
额定值指有效值。交流电表读数也是有效值。
7-2
正弦量的相量表示
一、复习复数知识
设A为一复数
1. 复数的表示的形式:
②三角形式 A  A cos  j sin  
①代数形式 A=a+jb
由欧拉公式
e
j
 cos  jsin
可表示为指数形式
A  Ae
j
工程上常用复数的极坐标形式 A  A e
j
 A 
2. 代数形式和极坐标形式间的互换公式:
已知 A  a  jb，则
∴得
已知
则
得
A  a b
2
2
  tan
1
b
a
A  A   A cos  j sin  
A  A 
a  A cos
b  A sin 
A  a  jb  A cos  jsin 
二者之间的关系可用一直角三角形表示
│A│
b

a
3. 复数运算
加减运算: A1  A2  a1  a2   jb1  b2 
+j
乘除运算: A1 A2  A1 A2 1  2
A1
A1

1  2
A2
A2
b
A
4. 复数的向量表示:
已知 A  A e
j
 a  jb
o

a
+1
向量如图示，在向量图中可进行向量的加减（乘除）运算。
小结:
1. 正弦量的三要素可以唯一确定一个正弦量。
2.正弦量之间的比较依据仍然为正弦量的三要素。对于
同频率正弦量之间的比较常用相位差和有效值。
3.正弦量的有效值和最大值的关系为
最大值  2有效值
4.复数及其计算方法是正弦交流电路计算中常用计算工
具。
教学目的
1.正确理解正弦量的相量表示及其物理含义。
2.熟练应用KVL 、 KCL的相量形式和R、L、C元件的
电压电流关系的相量形式。
教学内容概述
本讲介绍了KVL、KCL的相量形式以及R、L、C元件的
电压电流关系的相量形式。
教学重点和难点
重点：KVL、KCL的相量形式以及R、L、C元件的
电压电流关系的相量形式。
难点：正弦相量的物理含义。
二、
正弦量的相量表示
设一正弦量电流 i  2I cost  i 
由欧拉公式
2Ie j t  i   2I cost  i   j 2I sint  i 
则正弦电流可表为

i  2I cost  i   Re 2Ie e
称为从时域到频域的数学变换式。
j i
jt

讨论:
2Ie j i 称为正弦量的最大值相量,
(1)式中
表为 Im  2I i， 而
二者关系
(2)
e
Im  2I
j t
I  I i
U m  2U
~旋转因子。
即表示模为1, 以原点为中心,在复平面
上以ω为角速度逆时针旋转的相量。
+j
j1
0
1

e j t
t
1
+1

(3) i  2I cost  i   Re 2Ie
j i
∴正弦量 i 表示：其正弦相量
Im 以原点为中心在复平面


＋j
(t=t1) Im
上以ω 为角速度逆时针旋转
c
时在实轴上的投影 。
图中：i(0)=a，i(t1)=b，i(t)=c

e jt  Re Ime jt
t
 t1
i
b
0
Im (t)
Im(t=0)
a +1
(4)三要素可唯一确定一个正弦量,而正弦相量是用复数
表示，它只反映了正弦量的振幅（或有效值）和初相。这是
因为在同一线性电路中,在同一频率激励下的各电压电流为同
j
频率的正弦量,在讨论它们相互

之间关系时,可以不考虑频率的
i
影响,因此定义正弦相量时,删去
了e
j t
因子。
o
Im
+1
(5)已知正弦量可直接写出相量,反之亦然。

则其相量为:
又已知
则

u  2 100cos 103 t  40 V
例如:
i 5
U m  210040 V 或 U  10040 V
I  5  A
6
其ω=314rad/s
2 cos314t  30 

二.
相量图
已知正弦量可写出其相量,并能画出相量图。




例如: i  10cos 314t  300 ， u  5 cos 314t  600 V
I  10    U  5 600 V 或 I  10    U  5600V
m
m
6
2 6
2
+j
U
作相量图：相量的模为相量的长度,
幅角为初相。
注:在相量图上可做同频率正弦量
的加减（乘除）运算。
I
60
30
0
+1
三、 两个同频率正弦量之和
1. 两个同频率正弦量的相量之和
设有两个同频率正弦量
u1 (t )  U1m sin(t  1 )  2U1 sin(t  1 )
u2 (t )  U 2 m sin(t  1 )  2U 2 sin(t   2 )
利用三角函数， 可以得出它们之和为同频率的正弦量， 即
u(t )  u1(t )  u2 (t )  2U sin(t   )
其中
U  (U1 cos1  U 2 cos 2 )2  (U1 sin 1  U 2 sin  2 )2
U1 sin   U 2 sin  2
U1 cos1  U 2 cos 2
  arctan
可以看出， 要求出同频率正弦量之和， 关键是求出它的有
效值和初相。
可以证明， 若u=u 1+u 2. ， 则有
£-I2
.
I1
.
. .
.
I2
.1 . 2
I1 £«I2
U  U U
.
I1
.
.
I1£-I2
.
.
I1£-I2
.
I2
(a)
.
I2
(b)
图 5.8 两个相量加减的三
角形法则
2.
求相量和的步骤
(1) 写出相应的相量， 并表示为代数形式。
(2) 按复数运算法则进行相量相加，求出和的 相量。
(3)作相量图，按照矢量的运算法则求相量和。
例
uA(t)=220
uA—uB 。
sinωtV，2 uB(t)=220
sin(ωt—120°)
V， 求u A+uB和
2
解 (1) 相量直接求和。
.
u A  U A  220/ 00  220 j 0V
.
u B  U B  220/  1200  220(cos(1200 )  j 220sin(1200 )
 110 j110 3V
.
.
.
.
u A  u B  U A  U B  110 j110 3  220/  600 V
u A  u B  U A  U B  330 j110 3  380/ 300 V
u A  u B  220 2 (sin t  600 )V
u A  u B  380 2 (sin t  300 )V
(2) 作相量图求解。 见图5.10， 根据等边三角形和顶角为
120°的等腰三角形的性质可以得出上述同样的结果， 读者自行
分析。
.
U
.
U2
.
U3
.
U2
.
UC
.
.
UA£-UB
.
U1
30¡ã
120¡ã
120¡ã
.
.
U3
U4
.
. .
. .
U = U1£«U2£«U3 £-U4
.
30¡ã UA
60¡ã
120¡ã
.
UB
.
.
UA£«UB
图 5.9 相量加减的多边形法则
图 5.10 例5.7图
.
UB
.
£-UB
i1
7-3 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
时域内有:
KCL:
例如: i4
Re

i2
i4
i  0
i3
 i1  i2  i3 设各电路为同频率正弦量。则

2 I4 e jt  Re
 Re


2 I1e jt  Re
 2 I  I
1


2 I2 e jt  Re
 e jt

I
2
3


2 I3e jt

得
I4  I1  I2  I3
推广至一般情况有KCL的相量形式为

I
 0
u  0
同理KVL: 时域内有:
其一般情况的相量形式为
U  0
注： KVL、KCL的相量形式的使用方法与时域内该定律
的使用方法相同。
二.电路元件电压,电流关系的相量形式
iR
1.R元件
uR
在时域内，设
iR  2I R cost  i 
由Ω定律:
uR  RiR  2RIR cost  i 
设
R
IR
R
U R
uR  2U R cost  u V
U R  u  RI R  i
相量形式为
U R  RIR
结论:
电阻元件电压电流的大小关系:
相位关系： u   i
uR ,iR
uR
U R  RI R
1
代入可得:
电压电流同相。 将 G 
R
I  1 U  GU
R
R
R
R
+j
iR
.
I
i
u
o
.
.
U  RI
 u i
t
o
+1
2.L 元件:
在时域内设
iL  2I L cost  i 
iL
L
uL
uL  2U L cost  u V
di L
 uL  L
dt


 2u L cost  u   2 I LL cos t  i  
2


U L  u  LI L  i 
2
由欧拉公式有
1

2
e
j

2

 cos  j sin  j
2
2
U L u  jLI L i
相量形式:
∴
令:
∴

U L  jLIL 或
I L j L

U
IL  L
jL
X L  L  2fL ~ 感抗。单位：Ω
U L  jX L IL 或

U
IL  L
jX L
UL
结论：
电感 元件电压电流的大小关系为 U L  LI L  X L I L
或
UL UL
IL 

L X L
相位关系：U L 超前 IL 900。
+j
uL ,iL
uL
U  jLI
iL
o
u

t
  
u
i 2
o

+1
i
I

i
讨论
感抗 X L  L
(1) ∵ U L  LI L  X L I L ∴ X L  L 具有电阻量纲,
(2) ∵ X L  L  2fL 频率特性:
X L  。 对高频 L
呈现高阻力,对低频L呈现低阻力。
XL
利用该原理制作了高频扼流圈。
直流稳态时, f=0 ，X L  0，
L呈现短路。
o

1
1
(3)感纳 BL 

∴
X L L
单位: S

U
IL  L   jBLU L
jL
3.C元件
设: uC  2uC cost  u V
iC  2IC cost  i 
∵
∴
iC C
+
_
uC
duC
iC  C
dt


2 I C cost  i   2CU C cos t  u  
2

I C  i  CU C  u 

2
 jCU C  u
相量形式

U
C
IC  jCU C 
1
jC
令
∴
XC
或
U C 
1

C

U
C
IC 
 jX C
IC
+
1 
IC
jC
1
jC
U C
_
1
结论:
UC 
U  X C IC
C
电容元件电压电流的大小关系:
UC
I C  CU 
相位关系: IC 超前 U C 900
XC
uC ,iC
+j
iC

i
o

u
uC
o
t
u
.
UC
i
.
IC
+1
讨论:
XC
1
1


C 2fC
X
C
UC
⑴  IC 
 X C的单位是。
XC
⑵ 频率特性
XC 
1

即 XC
ω
0
对高频率信号呈现低阻力,对低频率信号呈现高阻力。如:
电子线路中的旁路电容。直流稳态时, f=0,
C元件呈现为开路。
X C  ，
(3) 容纳 BC :
∴
IC  jBCU C
1
BC 
 C
XC
单位:S
例7-3 RL串联电路。已知R=50Ω,L=25μH , uS  10cos10 tV，
6
求i,并画出相量图。
0

U

10

0
V
解:画出相量模型电路。其中: sm
R=50Ω
jL  j106  25106  j 25
KVL: U sm  U Rm  U Lm
而 U Rm  RIm
U Lm  jLIm
us
+
-
i R
I R
+
+
uR - +
UR + 
+
uL L Us
UL j L
-
-
代入上式,得 U sm  R  jLIm  50  j 25Im
-
0

U
10

0
0
Sm
Im 


0
.
179


26
.
6
A
0
50  j 25 55.926.6
∴

I R

+
i  0.179cos 106 t  26.60 
+
Us
相量图:
U Sm
26.6°
Im
+1
ULm
URm
-
-
UR

j
L
UL
+
-
例7-4 RC并联电路,已知R=5Ω,C=0.1F, uS  210cos2tV，
求i,并画出相量图。
i
+
uS
I
i
R
R
i
C
+
US
C
-
-
I
R
R
IC
1
j C
解: 画出相量模型电路。
其中: U S  1000 V
R=5Ω
1
1

  j 5
jC
j 2  0.1
KCL:
I

U
∵ I  S
R

U
 IR  IC 而 IR  S
R
U S
1



 U S   jC 
1
R

jC
IC  jCU S
1
1 

 100  
 5  j5 
∴


i  4 cos 2t  450 
相量图
+
I
US
-
0
 2  j 2  2 2450 
I
IC
I
45°I R
US
R
R
IC
1
j C
小结:
1. 正弦量相量是一个旋转相量。
2.电路基本定律的相量形式为：
KCL:

I
 0
R元件： U R  RIR
C元件：
KVL:
U  0
L 元件: U L  jLIL
1 

UC 
IC
jC
教学目的
1.熟练掌握电路阻抗和导纳的概念及其性质。
2.熟练应用阻抗导纳的串联、并联等公式求等效阻抗和
导纳，并会判断电路的性质。
教学内容概述
本讲介绍了电路阻抗和导纳的概念和性质以及求得等效
阻抗和导纳的方法。
教学重点和难点
重点：阻抗和导纳的概念，等效阻抗和导纳的求法及电
路的性质。
难点： 熟练应用阻抗和导纳的概念求含受控源电路的阻
抗和导纳。
7-4
阻抗与导纳
一.阻抗的定义:
设一无源二端网络,在正弦激励下,
输入电压电流用相量 表示,则（复）
阻抗定义为:
U
U
Z
I
I
无源
网络
说明:
1.由定义式阻抗又可表为:
Z
其中:
U Um
Z  
I
Im
U U m
 
 Z   R  jX
I Im
   u  i
Z和│Z│的单位: Ω
I
I
+
实部R~电阻分量 Ω
虚部X~电抗分量 Ω
无源网络可等效为:
R
U
Z
U
-
jX
2. 一般情况下, Z  j   R   jX  
3. 特例:
R元件： Z  R
L 元件:
Z  jL  jX L
C元件：
1
Z
  jX C
jC
与ω有关。
一.导纳的定义:
设一无源二端网络,在正弦激励下,端口电流相量与电
压相量的比值称为此网络的（复）导纳。
I
即
I
Y
U
U
无源
网络
说明:
Im
1.复导纳又可表为Y 
 Y    G  jB 单位:S 。
其中:
Im
I
Y 

Um U
实部G~电导分量（S)
U m
    i  u
+
+
I
虚部 B~电纳分量 (S)
U
这样无源网络可等效为:
-
Y
I
U jB
-
G
2 .一般情况下 Y  j   G   jB 
与ω有关。
3.特例:
R元件:
L元件:
Y G
1
1
Y
j
  jBL
jL
L
C元件: Y  jC  jBC
三.阻抗与导纳的关系
由阻抗和导纳的定义可知
1.极坐标时
2.代数形式时
1
Z Ω
Y
或
1
1
Z  
即 Z 
Y  
Y
Z  R  jX
G
由二者关系式可得 R  2
G  B2
B
X  2
G  B2
1
Y
S
Z
和    
Y  G  jB
R
G 2
R X2
X
B 2
R X2
四.RLC串联电路
+
设外加交流电源，有
+ uR -
u
u  U m cost  u V
-
KVL
U  U u V
+
I  I i 
U
U  U R  U L  U C
-
+
uL
L
C
-
- uC+
i  I m cost  i 
相量为:
R
i
R
I
+
UR
1
jC
-
- +
UL
-
+
UC
j L
ω
而: U R  RI
U L  jLI  jX L I
代入电压方程得:


U  R 

1 

UC 
I   jX C I
jC
1  

j L 
 I  R  j  X L  X C I
C 

令
X  X L  XC
则
U  R  jX I
+
即
U
 R  jX I  ZI
I
U
原电路可等效为:
电抗(Ω)
-
I
Z
1.讨论复阻抗Z:
∴
Z  R  jX   Z 
U
Z   R 2  X 2  R 2   X L  X C 2
I
   u   i  tan 1
阻抗角等于
结论: 阻抗的模等于
  tan
1
X
R
R X
2
2
X
R
U
);
(或
I
表示u与i的相位差 。
2.讨论 Z 的不同性质
 Z  f   ， ∴ 不同频率时Z的大小性质也不同。
(1)   0 ( X  0或L 
1
) ，U 超前 I  角。Z呈现电感性。
C
UC
此时称电路为感性电路。
设 I  I0
0
为参考相量。
画相量图。
U
UL
 0

UR
I
1


0
( X  0或L 
)
(2)
C
U与I 同相,Z呈现电阻性，Z=R,称为串联谐振电路。
画相量图
UC UL
 0
U = UR I
1
），U滞后I  角。
(3)   0（X  0或L 
C
Z呈电容性。此时称电路为容性电路。
UR
画相量图
I

U
0
UL
UC
例7-5 RLC串联电路,R=10kΩ,L=5mH,C=0.001μF，交流
电压源振幅10V, ω=106rad/s 。求电流和各电压并画
相量图。
R
I
+
解: X L  L  5k
+
UR + j L
1
ω
1
U
UL
XC 
 1k
C
jC
- +
X  X L  X C  4k
UC
Z  R  jX  10  j 4  10.7721.80 kΩ
∵
  21.80  0
∴ 电路为感性。
0

设: I m  I m0  则
U Sm  1021.80 V
0

U
10

21
.
8
0
Im  Sm 

0
.
929

0
m
0
Z
10.7721.8
U Rm  RIm  9.2900 V
U Lm  jX L Im  j5  0.929  4.65900 V
U Cm   jX C Im   j1 0.929  0.929  900 V
各电流电压表达式:
i  0.929cos106 tm
UC
 
uR  9.29cos 106 t V


 0.929cos10 t  90 V
uL  4.65cos 106 t  900 V
uC
6
UL
US

0
UR
I
五.阻抗(或导纳)的串联和并联
引入相量、阻抗(导纳)概念后,分析方法与直流电阻电路相同。
1. n个阻抗串联,其等效阻抗
n
n
n
k 1
k 1
k 1
Z   Z k   Rk  j  X k
两阻抗串联的分压公式:
U 1 
Z1
U
Z1  Z 2
U 2 
Z2
U
Z1  Z 2
2. n个阻抗(导纳)并联:
1 n 1

Z k 1 Z k
两个阻抗的并联公式:
分流公式:
I1 
n
n
n
k 1
k 1
k 1
Y   Yk   Gk  j  Bk
或
Z1 Z 2
Z
Z1  Z 2
Z2 
I
Z1  Z 2
I2 
Z1 
I
Z1  Z 2
注:以上各公式推导方法与电阻电路中各相关公式推导方法
和使用条件均相同。
小结:
1.无源二端网络可以等效为一个阻抗或一个导纳。端口
电压电流取关联参考方向时，
U
Z
I
I
Y
U
二者的关系为
1
Z
Y
2.阻抗（导纳）及其对应的电路的性质有三种：感性、
容性和电阻性。
3.用于无源网络等效变换的所有公式，在引入阻抗和
导纳的概念后，与电阻电路中的使用方法类似。
教学目的
熟练掌握节点法、网孔法和戴维南等效定理在正弦
交流电路中的应用。
教学内容概述
本讲介绍了在正弦稳态电路中节点法、网孔法和戴维
南等效定理的应用。
教学重点和难点
重点：用节点法、网孔法和戴维南等效定理求解正弦
稳态电路。
难点：含受控源正弦稳态电路的相量法求解。
7-5 正弦稳态响应
对应关系:
正弦稳态电路
直流电阻电路
I
U
Z
Y
I
U
R
G
参照以上的对应关系，直流电路中的电路一般分析方
法就可直接应用于正弦交流电路中。
一. 节点分析法
例7-6 电路相量模型如图示,试用节点法求节点电压 U 1和 U 2 。
j4Ω -j 2Ω 4Ω
+
100°
V
解:
2
1
+
j1Ω
2Ω
j 12 V
-
0
1 1 1   1 
100 0
U 2 
(   )U1  
j4 2 j2
j4
  j2 
1
1
1   1   12900
U1 
( 
 )U 2  
4  j 2 j1
4
  j2 
(节点1 )
(节点2)
解得:
U1  5.32213.360 V
U 2  2.9892.130 V
注:在直流电阻电路中遇到各种类型电路用节点法求
解的方法在正弦稳态电路中使用时是一样的。
二. 网孔法
例7-7 电路如图示,已知 uS1  10cos104 tV
uS2  20cos(104 t  600 )V
i 1 0.4 mH
求 i1 和 i2
2Ω
。
i2
-
+
50μF
u s1
-
u s2
+
解:画出电路的相量模型图。
jL  j0.4 103 104  j 4
1
1
j 4
  j 2
6
jC
10  5010
I1 j4Ω
U S1  1000 V
0

US2  2060 V
2Ω
-
+
10 0°
V
I1 m
-
I2
20 60°V
- j 2ΩI2 m
+
I1 j4Ω
2Ω
I2
-
+
10 0°
V
I1 m
20 60°V
-j 2ΩI2 m
-
+
列写网孔方程:
( j 4  j 2)I1m  ( j 2)I2m  1000
 ( j 2)I1m  (2  j 2)I2m  20600
解得:
∴
I1m  7.57  62.80 
i1  7.57cos(104 t  62.80 )
I2m  3.87153.40 
i2  3.87cos(104 t  153.40 )
二.
戴维南定理及电源等效变换
例7-8 电路相量如图示,问负载阻抗ZL为何值时可使此时电路
的最简等效为电阻性电路?
a
4 I1
+
50Ω
+
50Ω
j 300Ω

US
60∠ 0 V
-
U OC
I1
-
b
ZL
二.
戴维南定理及电源等效变换
例7-8 电路相量如图示,问负载阻抗ZL为何值时可使此时电路
的最简等效为电阻性电路?
a
4 I1
+
50Ω
+
50Ω
j 300Ω

US
60∠ 0 V
-
U OC
I1
-
b
解:求a, b左侧电路的戴维南等效电路。首先断开a, b。
设 UOC并将电路简化（其中受控电流源 →受控电压源)
50Ω 200 I1
+
-
a
+
50Ω
j 300 Ω
+

60∠ 0 V
-
U OC
I1
b
KVL:
U OC  200I1  (50  50)I1  6000 V

U
I1  OC
j300
解得:
U OC  2  30450 V
50Ω +200 I -1
用开路短路法求ZO
50Ω
+
a
j 300 Ω
IsC

60 0 V
-
I1
b
0
60

0
ISC 
 0.600 
50  50
∴
U OC 30 2450
0
ZO 


50
2

45
 50  j50
0
I
0.60
SC
当 ImZ0  Z L   0 时, U OC 与 I 同相,即此电路为电阻性电路。
令
Z L  RL  jX L
I
Z0
∴
Z0  Z L  50  j50  RL  jX L
ZL
+
UOC
ImZ0  Z L   50  X L  0
X L  50
-
小结:
相量法是求解正弦交流电路的常用且有效的方法。当
引入阻抗（导纳）和正弦相量后，可以画出电路的相量模
型，而后用相量法求解电路的各种分析方法和电阻电路的
分析方法相同。
教学目的
1.正确理解交流电路中各种功率的物理含义和提高功率因
数的意义和原理。
2.熟练应用P、Q、S及复功率的计算公式和各种计算方法
求出交流电路的功率。
教学内容概述
本讲介绍了交流电路中的各种功率的物理含义及计算公式
和计算方法。然后讲解了关于交流电路中功率因数的提高。
教学重点和难点
重点： P、Q、S计算。
难点：交流电路中功率因数的提高。
7-6
正弦稳态电路的功率
设:一无源N网络 u  U m cost  u V
i  I m cost  i 
i
u
一.瞬时功率
定义
pt   ui  U m cost  u I m cost  i 
代入三角公式整理后得
pt   UI cos2t  u  i   UI cos u  i 
N
讨论:
1. p以 2ω变化(u 、i以ω变化)；
2. u>0，i>0 时, p>0，N 吸收功率；
3. u>0，i<0或 u<0，i>0 时, p<0，N 发出功率；
p,u ,i
p(t)
IU cos
i
t
0
u
原因:分析单一元件瞬时功率情况。
R:  u   i ∴ pt   UI cos2t  u   UI  UI cos2t  u   1  0
∴R元件只吸收功率。


0
0




90
∴


p
t

UI
cos
2

t

2


90
 UI sin 2t  u 
L: i
u
u
L元件有时发出功率,有时吸收功率，L与电源间存在功率交换。
0
0




90



  UI sin 2t  u 
p
t

UI
cos
2

t

2


90
∴
C: i
u
u
∴C元件与L相同,只是在时间上反相。
结论:R消耗功率,L、C与电源之间周期性地吞吐能量。
二.平均功率(有功功率):
定义:瞬时功率在一周内的平均值。
1 T
1 T
P   pdt   uidt
T 0
T 0
1 T
  [UI cos2t  u  i   UI cos u  i ]dt
T 0
 UI cos u  i   UI cos
P  UI cos
其中
cos  ~ 功率因数
P的单位：W , kW
 ~功率因数角
讨论:
1. N为单一元件时: PR  UI
PL  0
PC  0
∴ 对电路进行P计算时可只求PR , 则 P 
n
P
i 1
2. 将N等效为 Z  R  jX  R 2  X 2  tan 1
Ri
(含 n个R)
X
 Z 得阻抗△ 。
R
U
而 Z 
∴ P  UI cos  I 2 Z cos  I 2 R
I
B
Y

G

jB

G

B

tan
 Y  
3.将N等效为
G
I
而
Y

得导纳△ 。
Y
U
B
∴ P  UI cos  U 2 Y cos   U 2G
′
2
2
Z
X
1
G

R
三.无功功率
定义:
Q  UI sin 
Q的单位：var (乏）, kvar（千乏）
讨论:
1. N为单一元件时:
∴ 计算电路Q时可用
QR  0
QL  UI
Q  QL  QC
QC  UI
公式计算。
而电阻元件无功功率为零。
2.由阻抗△:
Q  UI sin   I 2 Z sin   I 2 X
2
2
3.由导纳△： Q  UI sin   U Y sin   U B
四.复功率 S
定义:
讨论:
S  P  jQ
1. S 与U、 I 关系:
S 的单位为： VA 或 KVA
S  P  jQ  UI cos   sin  
 UI     UI 
u
i
2. S 与Z(Y)及 U、 I 关系:
已知N : U  IZ ∴ S  ZII   ZI 2
*
则 S  U YU   U 2Y *
3. 电路中 S 满足能量守恒。
或:
I  YU
五.视在功率:
定义:
S  UI
S的单位为： VA 或 kVA (不满足叠加)能量守恒。
六.S、P、Q关系:
S  P2  Q2
可得功率△ ， 其中 tan  
Q
P
Q
S

P
I
例7-9 电路相量模型如图示。已知
+
R  10Ω, X L  X C  10Ω,
I1
I2
R
U  28.245 V
0
U
j XL
求电路的P、 Q、S。
解:
jXC
-
Z1  R  jX L  10  j10  14.1450 
Z 2   jX C   j10
I  I2  I1  j 2A

I  U  2Α
1
Z1

U
I2 
 2.821350  2  j 2
Z2
  450  900  450
cos  0.707
方法一: P  UI cos  40W
Q  UI sin   40 var
S  UI  56.4kVA
方法二:
S  UI*  28.2450   j 2  56.4  450  40  j 40VA
∴P=40 W
方法三:
Q=-40 var S=56.4 VA
cos  0.707
P  PR  I1 R  22 10  40W
2
2
2
Q  QL  QC  I1 X L  I 2 X C  40var S  P 2  Q 2  56 .4VA
P
cos    0.707
S
例7-10 在50Hz,380V电路中,一感性
负载吸收功率为 20kW,cos1  0.6 ,
若要使 cos2  0.9 。
I
U
I1
R
L
求在负载端口上并接电容器的电容值。
解:设 U  38000 V
并联电容以前: S 
cos1  0.6
P
20000

33.33kVA
cos1
0.6
0
∴ 1  51.13
S
I1   87.7 A
U
I1  87.7  53.130 A
I
并联电容以后: cos 2  0.9  2  25.840
P=20 kW
U
I1
R
P
S  UI 
 22.22kVA
cos2
∴
S
I   58.5A
I  58.5  25.840 A
U
I  I  I  44.66900 
2
1
I2
44.66
C

 374 .3μF
U 314  380
C
L
I2
讨论:
1. 提高功率因数的意义:
①由功率P可知,在一定的P下,用电单位的 cos  越小,
Q越大,S ↗。为满足用电,则供电线路的变压器容量加大,
投资↗ ,而设备利用率↘ , 网损 ↗。一般规定高压用户的
cos  0.9 。
② P  S cos ，
设备S=Se时,用户 cos  越大,P ↗ 出力提高。
发电设备利用率↗。
2
③ cos  ↗ 网损: P   P  R ↘ ,
 U cos  


△U ↘ 。
提高 cos  的主要方法：（原理:QC , QL互补）
① 利用调相机向系统发出容性无功功率。
② 采用电力电容补偿装置:
a.串联补偿:将C串入高压输电线,改善输电参数↘△P 。
b.并联补偿:将C并入补偿装置两端,一般常用于用电企业。
小结:
1.任一负载网络施加正弦电源时，其吸收的功率有：
有功功率、无功功率、视在功率以及用于计算的复功率。
它们均有各自的计算公式和不同的计算方法。
2.提高功率因数具有工程意义。在负载侧提高功率因数
常用的方法是电容并联补偿法。
教学目的
掌握用相量图分析交流电路的方法。
教学内容概述
本讲介绍了用相量图分析正弦稳态电路的方法。
教学重点和难点
重点：用相量图法求解简单交流电路。
难点：对串并联交流电路进行相量图法分析。
7-7用相量图分析正弦稳态电路
在交流电路中,一些串,并或混联电路用相量图分析
起来比较直观,简捷。下面进行讨论。
一.用相量图分析正弦稳态电路的主要依据:
1.R 、 L 、 C元件电压和电流的相量关系；
2.基尔霍夫KCL、 KVL相量形式。
二.参考相量的选择:
画相量图时，首先选择参考相量,即人为设一相量，其幅
角为0°。
如设: U 1  U10 0 等。选择不当可能画不出相量图。
1. 串联电路:选电流为参考相量。如RLC串联电路。
2. 并联电路:选电压为参考相量。如RLC并联电路。
3. 混联电路:选择较灵活,一般选某一部分电压或某支路
电流为参考相量。
三.举例:
1.应用相量图求各电表读数。
I
I
V
R
L
C
10V
30V
20V
UR
UL
UC
(a)
50V
U
30 V
R
UR
L UL V
(b)
A
5A
U
3A
L1
L2
(c)
U
5A
4A
A
A
R
(d)
L
U
5A
(e)
L
3A
C
I
+
V
U
-
R
L
C
10 V
30V
20 V
UR
UL
UC
(a)
解: (a)
UL
U  U R  U L  U C   10 2  14.14V
2
1
感性   tan
2
U L  UC
 450
UR
U
C
U

I
UR
(b) U L  U 2  U R 2  40 V
  53.1
0
感性
I
50 V
U
30 V
UR
L UL V
(b)
UL
U

I
UR
R
A
(c)由电路:
5A
I
I  IL1  IL 2
画相量图， 有
L1
U
纯电感性
L2
(c)
I  I L1  I L2  8
  900
3A
U
IL1
IL
2
I
5A
4A
A
IL
R
U
L
(d)
(d)由电路
IL  I  IR
由相量图 I L 

I 2  I L  3
2
IL
  tan
 36.9 0 感性
IR
1
U
IL
IR
I
A
I
3A
C
5A
L
U
(e)
(e) 由电路图
由相量图
I  IL  IC
I  I L  I C  2
  900
纯电感性
I
IL I
C
U
2.一线圈与电容器串联,接 f  50Hz,U  150V 电源上。
已知: C  39.8μF，
测得 U1  200V,U 2  80V 求R和L。
解:设 I  I0 A
I
U
画相量图
UL
L
R
U1
U2
U2
U1
C

U
UR
I
U1  U R  U L
2
由相量图可得:
2
2
U  U R  (U L  U 2 )
2
2
代入数据,解得
UR=132.993V
I  CU 2  1
2
UL=149.375V
UR
R
 1.33
I
UL
L
 0.476H
2fI
I
3.定性画出RLC并联电路相量图。
U
IL
IR
L
R
解：画相量图。
IC
C
IR
IC IL

U
IC
I
I
I
R
 <0
U
容性电路
IL IC
 0 感性电路
IL

IR
U
=0 谐振电路
注:
（1）从感性和容性情况的相量图可导出电流△，如图示。
其中IX=IL-IC 称为无功电流。
（2）电流△的各条边被电压U 除以后，
可以得到导纳△。
I

IR
IX
4.定性画图示电路的相量图。
I
U
R1
L
UR1
UL
U1
IR
R2
2
IC
C
U1
UR1
I
U2
根据电路有:
U 2  R2 IR 2
U 1  U R1  U L
IC  jCU 2
U
IC
IR
I  IC  IR 2
UL
2

U2
U  U 1  U 2
U L  jLI 等
注： 该相量图只画出   0 的情况，其他情况同学们可根据
以上方法自行画出。
5.电路相量模型如图示,已知I1=10A,I2=20A,U=220V,R2=5Ω,
I 与 U 同相,求 I , R , XL , XC 。
+
+
UR
+
-
I 1 -jXC
-
R
I
UC
I2 R 2
+
UR
jX2
-
2
U
+
-
UX2
-
解:设 U  22000 V 分析:
1 I，U同相，且U R与I同相，
而U C  U  U R，所以U C与U R同相。
2 I1超前UC 90，画出I1。
·
I1
·
I
2
·
I2
·

·
UR
·
·
UC U
2
UR2
·
UX2
I2  I  I1，再画出I2。
3 因为U R2与I2同相，U X 2超前I2 90（因为

I2滞后U C所以
R2，X 2为感性支路），且U C  U R2  U X 2，所以画出U R2，U X 2。
·
I1
根据相量图计算:
·
I  I2  I
2
2
1
 17.32A
U R 2  R2 I 2  100V
I
2
·
I2

·
UR
·
·
·
UC U
·
UX2
2
UR2
U R2
U R2
UC 

 115.5V
I
cos2
I2
U X 2  U 2C  U C  57.7V
U R  U  UC  105V
UC
XC 
 11.6
I1
U X 2 57.7
X2 

 2.89
I2
20
UR
R
 6.05
I
2
6. 图中为移相电路,当改变R2时, U ab与U 的相位改变, 且 U ab
大小不变。说明原理。
设: U  200 V，f=200Hz, R2=4Ω,C2=0.01μF, R2=30kΩ时,
U ab与U的相位差θ。
·
·
R1
U
R1
·
I1
b
I2
C2
U ab
R2
a
·
解: 1先画出U。
1


2 I1，U同相，U R1  2 U， 与I1同相，画出U R1。
3 I2超前U 2角，画出I2。

4 UC 2滞后I2 90，
U R 2与I2同相，
且U  U C 2  U R 2，
画出U R 2和U C 2。
5 U ab  U C 2 U R1，画出U ab。
I2
R1
U
2
o

a

UC2
θ
Uab

U
2
U R 2
I
1
I2

2
a
UC 2
I2
UR1 o
Uab
θ
θ 
2
U
U

ab
U R2
UC 2
(6) 调节R2 ,I2变为I2′,再画一遍。
因为Uab不变,所以以Uab为半径画半圆。
UR 2
I1
I2


R1
U
2
o
a
计算θ:
UC2
θ
Uab

U
2

I1
UR 2
1
I2
U
1
C2
2  t an1 C 2  t an1
 t an1
 69.30
U R2
I 2 R2
C2 R2
1
因为U ab和UR1是同一圆的半径， 所以 U ab  U R1  U  1V
2
等腰三角形外角
  2a  2900  2   410
小结:
1.用相量图的方法求解电路是工程上常用的一种分析方
法，它适用于简单交流电路的分析。
2.相量图法的使用，首先要选择合适的参考相量，其次
要根据电路基本定律及元件的电压电流关系画出各相量，最
后利用平面几何知识及电路中常用的公式求出未知量。
现代电力工程上几乎都采用三相四线制。三
相交流供电系统在发电、输电和配电方面都具有
很多优点，因此在生产和生活中得到了极其广泛
的应用。
学习本章要求理解对称三相交流电的概念；
熟悉三相电路中相、线电压电流的关系；掌握对
称三相电路的分析和计算方法；重点理解中线的
作用；了解不对称三相电路的简单分析方法。
三相电源的连接方式
1. 对称三相交流电
A
Y
C
×
×
N

定子
•
B
C
↓ ↓ ↓
尾端： X Y Z
Z
转子
•
S
首端： A
三绕组在空间
位置互差120o
转子装有磁极并以 的速度旋。三
个线圈中便产生三个单相电动势。
B
X
三相交流发电机示意图
u A  2U P sint
u B  2U P sin(t  120)
uC  2U P sin(t  120)
u
uA
uB
UC
uC
120°
ωt
0
UA
120°
120°
T
对称三相交流电波形图
对称三相交流电
的特征
UB
对称三相电压相量图
大小相等，频率相同，相位互差120º。
2. 三相电源的星形（Y）连接方式
A（火线）或（相线）
eC
uC
uA
Z X
Y
uB
N（中线）或（零线）
B（火线）
C（火线）
三相四线制供电方式
三相电源Y接时可向负载提供两种电压
相电压UP
线电压Ul
A
相电压：火线对零线间的电压。
u AN  u A
u BN  u B
uCN  uC
uC
uA
uAN
Z X
Y
N
uCN uBN
uB
B
C
UCN
120°
120°
UA
120°
UBN
eC
N
UP相量图
U AN  U P 0
U BN  U P   120
U
 U 120
CN
P
三个相电压是对称的
注意规定的正方向
A
线电压：
火线对火线间的电压。
U AB  3U AN 30  U l 30
U BC  3U BN 30  U l   90
U
 3U 30  U 150
CA
CN
l
eC
uC
三个线电压也是对称的，
且超前与其相对应的相电
压30°电角。
UC
UBN
A
-UA
30
N
30
UBC
UAB
uA
uAB
Z X
Y
N
uCA
uB
u BC















B
C
U AB  U AN  U BN  U AN  ( U BN )
U BC  U BN  U CN  U BN  ( U CN )
30
-UCN
Ul相量图
U CA  U CN  U AN  U CN  ( U AN )
相、线电压关系式
线电压与相电压的通用关系表达式：
U l 
3U p 30
在日常生活与工农业生产中，多数用户的
电压等级为:
U l  380V 、U P  220V
U l  220V 、U P  127V
三相电源绕组还可以连接成三角形，但电
源绕组三角接时只能向负载提供一种电压：
电源线电压Ul=绕组的感应电压UP。
如何用验电笔或400V以上
的交流电压表测出三相四线制
供电线路上的火线和零线？
数量上线电压是相电压
的1.732倍；在相位上超前
线电压超前与其相对应的
相电压30°.
验电笔的正确握法如下图示：
电笔头与被测导线接触
时，使氖管发光的是火
线（或端线），不发光
的是零线。
三相四线制供电体制
中，你能说出线、相
电压之间的数量关系
及相位关系吗？
你会做吗？
电表可利用火线与零线
之间的数量关系判断出
火线和零线。
你能说出对称
三相交流电的
特征吗？
三个最大值相等、角
频率相同、相位上互差
120°的正弦交流电。
三相负载的连接方式
负载有两种接法:
A
A
Z
N
B
C
Z
Z
Z
Z
B
Z
C
三相负载的一端连在一起与零
线相接；另一端分别与火线相
接的方式称为：
星形接法
三相负载的首尾相连成一
个闭环，然后与三根火线
相接的方式称为：
三角形接法
线电流
1.负载的Y形连接:
A
相电流
uA
Y接负载的端电压等于电源相电压；
中线电流
iN
负载中通过的电流称为相电流IP； N
中线上通过的电流称为中线电流IN；
火线上通过的电流称为线电流Il；
Y接时：Il  I p
各相负载中通过的电流分别为：
中线电流： IN
显然
 IA  IB  IC
B
iC
uB
uC
Z
iA
Z
Z
iB
C



U
U
U
A
B
IA 
；IB 
；IC  C
ZA
ZB
ZC
三相电源对称、三相Y接负载也对称的情况下，三
相负载电流也是对称的，此时中线电流为零。
例：电源线电压为380V，三相对称负载Y接，Z=3+j4Ω,求：
各相负载中的电流及中线电流。
根据对称关系可得：
Ul
380
解：
Up 
设

3
 220V
3
U A  2200V
U B  220  120V
U C  220120V
Z  3  j 4  553.1
U A
2200

IA 

Z
553.1
 44  53.1A
IB  44  173.1A
IC  4466.9A
I  I  I  I  0
N
A
B
C
由此例可得，对称
三相电路的计算可归结
为一相电路计算，其它
两相根据对称关系可直
接写出。
问题及讨论
负载对称时
IN  IA  IB  IC  0
( Z A  Z B  ZC  Z )
中线是否可以
去掉？
答： Y形连接三相完全对称时，零线可以取消。
称为三相三线制。
eC
uA
A
uC
Z
Z
uB
B
C
Z
应用实例--照明电路
正确接法:每组灯相
互并联,然后分别接
至各相电压上。设
电源电压为：
Ul
UP
 380
220
V
A
若三相不对
称，能否去
掉中线？
一组
...
N
二组
三组
B
C
当有中线时，每组灯的数量可以相等也可以不等，
但每盏灯上都可得到额定的工作电压220V。
分析 如果三相照明电路的中线因故断开，当发生一相灯负
载全部断开时或一相发生短路，电路会出现什么情况？
如果中线断开，设A相灯负
载又全部断开，此时B、C两相构
成串联，其端电压为电源线电压
380V。
若B、C相对称，各相端电压
为190V，均低于额定值220V而不
能正常工作；若B、C相不对称，
则负载多（电阻小）的一相分压
少而不能正常发光，负载少（电
阻大）的一相分压多则易烧损。
*
如果中线断开，设又发生A相
短路，此时B、C相都会与短
接线构成通路，两相端电压
均为线电压380V，因此B、C
相由于超过额定值而烧损。
由此可得，中线的
作用是使Y接不对称三
相负载的端电压保持对
称。
三相四线制Y接电路中，中线不允许断开！
关于零线的结论
负载不对称而又没有中线时，负载上可能得到
大小不等的电压，有的超过用电设备的额定电压，
有的达不到额定电压，都不能正常工作。比如，
照明电路中各相负载不能保证完全对称，所以绝
对不能采用三相三相制供电，而且必须保证零线
可靠。
中线的作用在于，使星形连接的不对称负载得到相
等的相电压。为了确保零线在运行中不断开，其上不允
许接保险丝也不允许接刀闸。
iA
1.负载的Δ形连接:
A
Δ接负载的端电压等于电源线电压；
负载中通过的电流称为相电流IP；
各相负载中通过的电流分别为： IAB
各线电流与相电流的关系为：
iAB
Z
uAB uCA Z
iCAZ iBC
iB
B
uBC iC
相电流
火线上通过的电流称为线电流Il；
接时：U l  U p
线电流
C
U BC 
U CA
U AB 

；I BC 
；I CA 
Z AB
Z BC
Z CA
IA  IAB  ICA
IB  IBC  IAB
I  I  I
C
CA
BC
IC
线、相电流关系式为：
IA  IAB （  ICA）
IB  IBC （  IAB）
I  I （  I ）
C
CA
BC
由相量图可看出：
30
-IBC
-IAB
30
IB
30
-ICA
IA
电流相量图
三相电源对称、三相Y接负载也对称的情况下，三相
负载中的相电流iAB、iBC、iCA也是对称的，火线上通过的
三个线电流iA、iB、iC也对称。
由相量图还可看出，在三相对称情况下，线电流是相
电流的1.732倍，相位滞后与其相对应的相电流30°。
3.3 三相电路的功率
三相总有功功率：
P  PA  PB  PC
和接法有
无关系？
负载对称时：P  3 U p I p cos  3 Ul I l cos


星形接法时： U l 
3U p
三角形接法时：U l  U p
Il  I p
I l  3I p
P  3 Ul Il cos
在三相负载对称的条件下，三相电路的功率：
有功功率：P 
3U l I l cos
无功功率：Q 
视在功率：S 
3U l I l sin 
如何用两
个瓦特表
测三相电
路的功率？
3U l I l
测量方法如图示
U
＊
＊
W1
M
3～
V
W
＊
W2
＊
在两瓦计法测量中，单独一
个功率表的读数无意义！
安全用电
1.接零保护规定用于380V/220V三相中性点接地的供电系统中。
在三相四线制中点接地的系统中，低压电气设备按Y连接时，
从负载中点引出导线，连接某些测量、保护作信号电路；或者让电
源中点（零线）与设备外壳连接，这种保护称为接零保护。
2.接地保护规定用于中性点不接地的三相供电系统中。
将电气设备的金属外壳及构架，与接地装置良好连接的保护称
为接地保护。当电气设备的绝缘损坏使设备的金属外壳带电时，由
于人体是与接地装置并联，且人体电阻（最小800Ω）远大于接地电
阻（4Ω），因此人接触到带电的外壳并不会触电。
一些家用电器常常没有接零保护，室内单相电源插座
也往往没有保护零线插孔。这时在室内电源进线上，用漏
电保护自动开关，可以起到安全保护作用。