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Nome…………………………………..Cognome……………………..classe 4DS 17 Marzo 2014
Verifica di matematica
1. Calcola la parte reale e immaginaria dei seguenti numeri complessi, rappresentali nel piano di Argand – Gauss e scrivili in forma esponenziale. a)
z
1 = ( ) 4 ; b)
z
2 = − 1 2. Risolvi le seguenti equazioni in C e rappresenta le soluzioni nel piano di Argand-Gauss a)
z
4 −
iz
= 0 b)
z
2 − ( 4 − 2
i
)
z
+ 6 − 8
i
= 0 3. Disegna nel piano di Argand-Gauss i seguenti insiemi:
A
= {
z
∈
C
:
z
− 1 =
z
+ 2
i
} {
z C
:
z
+
z
+ 1 −
i
4. Calcola le seguenti radici e rappresentale nel piano di Argand-Gauss: = 4 } a)
i
(
i
− 3 ) b) 3 2 2 − + 2
i
2
i
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Soluzioni 4DS 17 Marzo 2014
1. Calcola la parte reale e immaginaria dei seguenti numeri complessi, rappresentali nel piano di Argand – Gauss e scrivili in forma esponenziale. a) z
1 = ( ) 4
1° metodo
Utilizzando lo sviluppo della potenza quarta di un binomio si ottiene:
z
1 = 9 + 12 3
i
+ Di conseguenza 18
z
1
i
2 = + 4 16 3
i
3 + tan
i
α 4 1 = = 9 − + 12 3 3
i
− α 1 18 = − 3 4 2 π 3
i
+ 1 = ⇒
z
1 − 8 + 8 3 = 16
e i
2 π 3
i
−16 −12 −8 −4 16 12 8 4 y 4 8
2° metodo
Si può scrivere
w
=
w
= 2 tan α = 3 3 3 +
i
in forma esponenziale e poi fare la quarta potenza: 4 α = π ⇒ 6
w
= 2
e i
π 6 ⇒
z
1 = 2
e i
π 6 = 16
e i
2 π 3 −4 −8 −12 −16 12
b) z
2 = ( ) − 1
1° metodo
Si calcola il reciproco di
w
= in forma algebrica e quindi se ne calcola quella esponenziale:
z
2 = 1
w
=
i
1 − 1 = reciproco: − 1 −
i
2 = − 1 2 − 1 2
i
Di conseguenza
z
2 = 2 2 tan α 2 = 1 α 2 = − 3 π 4 ⇒
z
2 = 2
2° metodo
2
e
−
i
3 π 4 Si può scrivere
w
=
i
− 1 in forma esponenziale e poi farne il
w
= 2 tan α = − 1 α = 3 π 4 ⇒
w
= 2
e i
3 π 4 ⇒
z
2 = 2
e i
3 π 4 − 1 = 2 2
e
−
i
3 π 4 −0.5
0.5
−0.5
−1.0
y 0.5
x 1.0
16
2. Risolvi le seguenti equazioni in C e rappresenta le soluzioni nel piano di Argand-Gauss a) z
4 −
iz
= 0
z
(
z
3 −
i
) = 0 ⇒
z
4 = 0 ∨
z
= 3
i z
= 3
i
le tre radici cubiche di i si possono facilmente rappresentare nel piano di Argand-Gauss e scrivere in forma esponenziale, trigonometrica e algebrica.
i
= 1 α = π 2
z
1 =
e i
π 6 = cos π 6 +
i
sin π 6 = 2 3 +
i
1 2 β 2 = π 6 + 2 3 π = 5 6 π
z
2 =
e i
5 6 π = cos 5 6 π +
i
sin 5 6 π = − 2 3 +
i
1 2 −1.0
−0.5
1.0
0.5
−0.5
y 0.5
1.0
x −1.0
x 20
β 3
b) z
2 = π 6 + 4 3 π = 3 2 π
z
3 =
e i
3 π 2 − ( 4 − 2
i
)
z
+ 6 − 8
i
= 0 = cos 3 π 2 +
i
sin 3 π 2 = −
i z
1 , 2 = 2 −
i
+ 4 +
i
2 1 Le radici quadrate di − 4
i
− 6 + 8
i
= 2 −
i
+ − 3 + 4
i
− 3 + 4
i
si possono calcolare in due modi:
1° metodo
Cercare due numeri reali x, y tali che: (
x
+
iy
) 2 = − 3 + 4
i
e quindi:
x
2 −
y
2 + 2
xyi
= − 3 + 4
i
⇒ ⇒
x
2 2
xy
− =
y
2 4 Quindi − 3 = − 3
x
2
y
= = 2
x
− 4 (
impossibil e
+ 4
i
⇒
in
1 + 2
i
;
R
∨ − 1 −
x
2
i
2 ⇒
x
y
2 = − 2
x
4
x
2 = 1 ⇒
x y
= 1 = 2 e di conseguenza
z
1 = = − = = 3 3 − − + 1 2
i
;
2° metodo
− 3 + 4
i
= 5 tan α = − 4 3 α = π − arctan 4 3 Quindi le radici:
w
1 = 5
e i
π − 2 1 2 arctan 4 3 = 5 cos π 2 − 1 2 arctan 4 3 +
i
sin π 2 − 1 2 arctan 4 3 Dalle relazioni sugli archi associati e le formule di bisezione: cos π − 2 1 2 arctan 4 3 = sin 1 2 arctan 4 3 = 1 − cos arctan 4 3 = 2 1 − 2 3 5 = 1 5 ⇒
x y
4 = + 2
x
3
x
2
z
2 = 1 − 3
i
; −1 1 −1 −2 −3 y 1 − 4 = 0 2 3 sin π 2 − 1 2 arctan 4 3 = cos 1 2 arctan 4 3 = Di conseguenza Mentre
w
2 = − 1 −
w
1 2
i
= 1 + 2
i
essendo l’opposto di 1 +
w
1 cos arctan 4 3 2 = 1 + 3 5 2 =
3. Disegna nel piano di Argand-Gauss i seguenti insiemi: A
= {
z
∈
C
:
z
− 1 =
z
+ 2
i
} A è il luogo die punti del piano equidistanti dal punto
P
1 ( 1 ; 0 )
e P
2 ( 0 ; − 2 )
, di
2 5 −2
conseguenza è l’asse del segmento di estremi
Scritto (
x
− 1 ) z +
iy
= in
x
+ forma
i
(
y
+ 2 ) algebrica,
cioè P
1 , P 2 l’equazione cartesiana ( ) 2 +
y
2 = di A è:
x
2 + (
y
+ 2 ) 2
, elevando alla seconda e sviluppando i
−1 2 1 −1 −2 −3 y 1 2 x x 3
conti si ottiene: y
= − 1 2
x
− 3 4
B
= {
z
∈
C
:
z
+
z
+ 1 −
i
= 4 } B è il luogo die punti del piano per i quali è costante e vale 4 la somma delle distanze dai due punti
P
1 ( 0 ; 0 ) e
P
2 ( − 1 ; 1 ) , di conseguenza è l’ellisse che ha
P
1 , P 2 come fuochi e come asse maggiore 2 a=4, si tratta cioè ci un’ellisse con assi non paralleli agli assi cartesiani della quale quindi non siamo ancora in grado di riconoscere l’equazione cartesiana. Dalla distanza focale
P
1
P
2 = 2 = 2
c
è possibile ricavare il semiasse minore e quindi fare il disegno: −3 −2
b
=
a
2 −
c
2 = 7 2
4. Calcola le seguenti radici e rappresentale nel piano di Argand-Gauss: a) i
(
i
− 3 )
z z
= = 2
i
(
i
− 3 tan ) α = = − 1 3 −
i
α = 3 4 π 3 Di conseguenza le radici saranno opposte con
w
= β 1 = 2 π 3
w
1 = 2
e i
2 3 π = 2 cos 2 3 π +
i
sin 2 π 3 2 = − : Quindi
w
2 = 2
e
−
i
2 π 3 = 2 2 −
i
2 6 2 2 +
i
2 6
b)
3 2 2 − + 2
i
2
i
5 = 3 − 8
i
8 5 = 3 −
i
5 = 3 −
i
dove le radici cubiche di –i si calcolano come nell’esercizio 2, quindi −
i
= 1 α = − π 2 ⇒ 3 −
i
= 1 β 1 = − π 6
z
1 =
e
−
i
π 6 = cos − π 6 +
i
sin − π 6 = 2 3 −
i
1 2 β 2 = − π 6 + 2 3 π = 1 2 π
z
2 =
e i
π 2 = cos π 2 +
i
sin π 2 =
i
β 3 = − π 6 + 4 3 π = 7 6 π
z
3 =
e i
7 π 6 = cos 7 6 π +
i
sin 7 π 6 = − 2 3 − 1 2
i
−1.5
−1.0
−1 −1.0
−0.5
3 2 1 −1 −2 −0.5
y −0.5
−1.0
−1.5
1.5
1.0
0.5
1.0
0.5
−0.5
−1.0
1 y y 0.5
0.5
2 1.0
x 1.5
1.0
x 2.0
x