Transcript Презентация. Задачи на построение 7
Slide 1
Геометрия 7-8 класс
Slide 2
В геометрии специально выделяют
задачи на построение, которые
решаются только с помощью двух
инструментов:
ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ
без масштабных делений.
Slide 3
Основные этапы
решения задачи на построение
1 АНАЛИЗ
2. ПОСТРОЕНИЕ
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
4. ИССЛЕДОВАНИЕ
В том случае, когда при построении получаются
равные фигуры, будем считать, что задача имеет
единственное решение.
Slide 4
Условные обозначения
окр(О;r) - окружность с центром в точке О и
радиусом r
- знак угла
- знак принадлежности
- знак перпендикулярности
-
знак пересечения
- в скобках указано множество точек
пересечения
: - заменяет слова ”такой что”
Slide 5
На данном луче от его начала
Задача 1.
отложить отрезок, равный данному
Дано:
Луч h, О- начало
PQ-отрезок
P
Q
Построить:
OA:
O
A
h
Построение:
1. окр(О;PQ)
Ah
2. h окр(O;PQ) = A
OA=PQ
3. OA - искомый
Slide 6
Задача 2.
Построить середину данного
отрезка.
Дано:
P
АВ-отрезок
Построить:
ОАВ
О: ОА=ОВ
О
O
А
B
Построение:
1. окр(А ;АВ)
2. окр(В;ВА)
3. окр(А;АВ)окр(В;ВА)= P;Q
4. PQ-прямая
Q
5. PQAB=O
6. O- искомая точка
Slide 7
Задача 2.
Построить середину данного
отрезка (продолжение).
P
Дано:
1 2
АВ-отрезок
Построить:
О: ОАВ
ОА=ОВ
О
А
B
Доказательство:
APQ=BPQ( по трем сторонам)
так как 1) AP = BP = r
2) AQ = BQ = r
3) PQ - общая
Следовательно, 1 =2
Q
Значит, РО-биссектриса равнобедренного АРВ.
Значит, РО и медиана АРВ. То есть, О - середина АВ.
Slide 8
Построить прямую, проходящую через
Задача 3. данную точку и перпендикулярную к
данной прямой.
Дано:
точка М принадлежит прямой а
прямая а
P
точка M
Построить:
m: Mm
m a
а
М
A
m
A1
Построение:
1. окр(М;г); r-любой
2. окр(М;r)а =А;А1
3. окр(А;АА1)
Q
4. окр(А1;A1A)
5. окр(А;АА1) окр(А1;А) =P;Q
6. прямая PQ = m
7. m - искомая
Slide 9
Задача 3.
Построить прямую, проходящую через
данную точку и перпендикулярную к
данной прямой (продолжение).
Дано:
точка М принадлежит прямой а
P
прямая а
точка M
Построить:
m: Mm
m a
Доказательство:
A
m
Q
равнобедренный (АР = А1Р = r)
РМ – медиана (МA = MА1 = r1)
Значит, РМ - высота APA1. То есть, PQ a.
APA1 -
а
М
A1
Slide 10
Задача 4.
Построить прямую, проходящую через
данную точку и перпендикулярную к
данной прямой.
Дано:
точка М не принадлежит прямой а
прямая а
точка M
М
Построить:
m: Mm
m a
Построение:
1. окр(М;r)
2. окр(М;r)а=А;А1
3. окр(А;АМ)
4. окр(А1;A1М)
а
A
m
m
A1
Q
5. окр(А;АМ) окр(А1;А1М) =M;Q
6. прямая МQ = m
7. m - искомая
Slide 11
Построить прямую, проходящую через
Задача 4. данную точку и перпендикулярную к
данной прямой (продолжение).
Дано:
точка М не принадлежит прямой а
прямая а
точка M
Построить:
m: Mm
m a
Доказательство:
М
1 2
а
О
A
m
m
A1
Q
AМQ=А1MQ( по трем сторонам)
так как 1) AM =А1M = r
2) AQ =A1Q = r
3) MQ - общая
Значит, МО и высота АМА1. Тогда, МQ a.
Следовательно, 1 =2.
Тогда, МО-биссектриса равнобедренного АМА1.
Slide 12
Отложить от данного луча
угол, равный данному.
Задача 5.
Дано:
луч ОМ
А
К
С
А
Построить:
О
В
К1
Построение:
1. окр(А,r); r-любой
3. окр(О,r)
5. окр(Е,ВC)
6. окр(Е,BС)окр(О,r) = К;К1
7. луч ОК; луч ОК1
4. окр(О,r) ОМ = Е
8. КОМ - искомый
2. окр(А;r)А=В;С
KOM=А
М
Е
Slide 13
Отложить от данного луча угол,
равный данному (продолжение).
Задача 5.
Дано:
луч ОМ
А
К
С
А
Построить:
KOM =А
О
В
Е
М
К1
Доказательство:
AВС=ОЕК(по трем сторонам)
так как 1) АВ = ОЕ = r
2) АС = ОК = r
3) ВС =ЕК = r1
Следовательно, КОМ =А
Slide 14
Задача 6.
Построить биссектрису данного угла.
Дано:
А
B
Построить:
Луч AE - биссектрису А
А
E
Е
E1
Построение:
1. окр(А;r); r-любой
2. окр(А;r)А=В;С
3. окр(В;r1)
4. окр(С;r1)
5. окр(В;r1)окр(С;r1) = Е;E1
C
6. Е - внутри A
7. AE - луч
8. AE - искомый
Slide 15
Задача 5.
Построить биссектрису данного угла
(продолжение).
Дано:
А
B
Построить:
Луч AE-биссектрису А
А
E1
Доказательство:
AВЕ=АСЕ ( по трем сторонам)
так как 1) AС =АB = r
2) СЕ = BЕ =r1
3) АЕ - общая
Следовательно, 1=2.
E
Е
1
2
C
Значит, АЕ-биссектриса А.
Геометрия 7-8 класс
Slide 2
В геометрии специально выделяют
задачи на построение, которые
решаются только с помощью двух
инструментов:
ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ
без масштабных делений.
Slide 3
Основные этапы
решения задачи на построение
1 АНАЛИЗ
2. ПОСТРОЕНИЕ
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
4. ИССЛЕДОВАНИЕ
В том случае, когда при построении получаются
равные фигуры, будем считать, что задача имеет
единственное решение.
Slide 4
Условные обозначения
окр(О;r) - окружность с центром в точке О и
радиусом r
- знак угла
- знак принадлежности
- знак перпендикулярности
-
знак пересечения
- в скобках указано множество точек
пересечения
: - заменяет слова ”такой что”
Slide 5
На данном луче от его начала
Задача 1.
отложить отрезок, равный данному
Дано:
Луч h, О- начало
PQ-отрезок
P
Q
Построить:
OA:
O
A
h
Построение:
1. окр(О;PQ)
Ah
2. h окр(O;PQ) = A
OA=PQ
3. OA - искомый
Slide 6
Задача 2.
Построить середину данного
отрезка.
Дано:
P
АВ-отрезок
Построить:
ОАВ
О: ОА=ОВ
О
O
А
B
Построение:
1. окр(А ;АВ)
2. окр(В;ВА)
3. окр(А;АВ)окр(В;ВА)= P;Q
4. PQ-прямая
Q
5. PQAB=O
6. O- искомая точка
Slide 7
Задача 2.
Построить середину данного
отрезка (продолжение).
P
Дано:
1 2
АВ-отрезок
Построить:
О: ОАВ
ОА=ОВ
О
А
B
Доказательство:
APQ=BPQ( по трем сторонам)
так как 1) AP = BP = r
2) AQ = BQ = r
3) PQ - общая
Следовательно, 1 =2
Q
Значит, РО-биссектриса равнобедренного АРВ.
Значит, РО и медиана АРВ. То есть, О - середина АВ.
Slide 8
Построить прямую, проходящую через
Задача 3. данную точку и перпендикулярную к
данной прямой.
Дано:
точка М принадлежит прямой а
прямая а
P
точка M
Построить:
m: Mm
m a
а
М
A
m
A1
Построение:
1. окр(М;г); r-любой
2. окр(М;r)а =А;А1
3. окр(А;АА1)
Q
4. окр(А1;A1A)
5. окр(А;АА1) окр(А1;А) =P;Q
6. прямая PQ = m
7. m - искомая
Slide 9
Задача 3.
Построить прямую, проходящую через
данную точку и перпендикулярную к
данной прямой (продолжение).
Дано:
точка М принадлежит прямой а
P
прямая а
точка M
Построить:
m: Mm
m a
Доказательство:
A
m
Q
равнобедренный (АР = А1Р = r)
РМ – медиана (МA = MА1 = r1)
Значит, РМ - высота APA1. То есть, PQ a.
APA1 -
а
М
A1
Slide 10
Задача 4.
Построить прямую, проходящую через
данную точку и перпендикулярную к
данной прямой.
Дано:
точка М не принадлежит прямой а
прямая а
точка M
М
Построить:
m: Mm
m a
Построение:
1. окр(М;r)
2. окр(М;r)а=А;А1
3. окр(А;АМ)
4. окр(А1;A1М)
а
A
m
m
A1
Q
5. окр(А;АМ) окр(А1;А1М) =M;Q
6. прямая МQ = m
7. m - искомая
Slide 11
Построить прямую, проходящую через
Задача 4. данную точку и перпендикулярную к
данной прямой (продолжение).
Дано:
точка М не принадлежит прямой а
прямая а
точка M
Построить:
m: Mm
m a
Доказательство:
М
1 2
а
О
A
m
m
A1
Q
AМQ=А1MQ( по трем сторонам)
так как 1) AM =А1M = r
2) AQ =A1Q = r
3) MQ - общая
Значит, МО и высота АМА1. Тогда, МQ a.
Следовательно, 1 =2.
Тогда, МО-биссектриса равнобедренного АМА1.
Slide 12
Отложить от данного луча
угол, равный данному.
Задача 5.
Дано:
луч ОМ
А
К
С
А
Построить:
О
В
К1
Построение:
1. окр(А,r); r-любой
3. окр(О,r)
5. окр(Е,ВC)
6. окр(Е,BС)окр(О,r) = К;К1
7. луч ОК; луч ОК1
4. окр(О,r) ОМ = Е
8. КОМ - искомый
2. окр(А;r)А=В;С
KOM=А
М
Е
Slide 13
Отложить от данного луча угол,
равный данному (продолжение).
Задача 5.
Дано:
луч ОМ
А
К
С
А
Построить:
KOM =А
О
В
Е
М
К1
Доказательство:
AВС=ОЕК(по трем сторонам)
так как 1) АВ = ОЕ = r
2) АС = ОК = r
3) ВС =ЕК = r1
Следовательно, КОМ =А
Slide 14
Задача 6.
Построить биссектрису данного угла.
Дано:
А
B
Построить:
Луч AE - биссектрису А
А
E
Е
E1
Построение:
1. окр(А;r); r-любой
2. окр(А;r)А=В;С
3. окр(В;r1)
4. окр(С;r1)
5. окр(В;r1)окр(С;r1) = Е;E1
C
6. Е - внутри A
7. AE - луч
8. AE - искомый
Slide 15
Задача 5.
Построить биссектрису данного угла
(продолжение).
Дано:
А
B
Построить:
Луч AE-биссектрису А
А
E1
Доказательство:
AВЕ=АСЕ ( по трем сторонам)
так как 1) AС =АB = r
2) СЕ = BЕ =r1
3) АЕ - общая
Следовательно, 1=2.
E
Е
1
2
C
Значит, АЕ-биссектриса А.