Даны середины сторон n-угольника. Требуется восстановить n угольник по этим точкам.

ДАНО: А, В, С- середины сторон треугольника EDF.

Построить треугольник EDF.

ПОСТРОЕНИЕ: Соединим точки А,В,С отрезками. Через эти точки строим прямые параллельные сторонам треугольника АВС. А E В D С ДОК- ВО: AD || BC, AB || DC => ABCD параллелограмм => AD=BC; AE || BC, EB || AC => AEBC параллелограмм => AE=CB. Значит DA= AE => A середина DE. Аналогично доказывается про точки B и C.

F

Сколько таких треугольников можно построить?

Пусть треугольник KLM удовлетворяет условию задачи, т.е. А - середина КМ , В- середина KL, а С - середина LM. ВС || КМ (по свойству средней линии треугольника) , ВС || DЕ (по построению). Значит прямая DЕ совпадает с прямой КМ. Аналогично KL совпадает с ЕF , а МL совпадает с DF. Т.к. две прямые пересекаются только в одной точке, треугольники DEF и MKL совпадут.

E K A B L D C F M

Таким образом, можно построить только один такой треугольник.

Построение возможно, если точки А, В, С не лежат на одной прямой.

Лемма

Четырехугольник , вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника , является параллелограммом.

F F B C E A H D G E B C G A D H

Дано: А, В, С, D – середины сторон четырёхугольника EFGH.

F

Построить четырехугольник

B C

EFGH.

ПОСТРОЕНИЕ: Соединим точки A,

E G

B, C и D.

Получился параллелограмм. Возьмем точку Е, лежащую вне АВСD.

A H D

Проведем отрезок EB. Построим окружность с центром в точке В и радиусом ЕВ. Проведя прямую через Е и В до пересечения с построенной окружностью, мы получаем вторую вершину четырехугольника F. С центром в точке А проводим окружность радиусом АЕ. Аналогично получаем точку Н.

С центром в точке D проводим окружность радиуса НD. Аналогично получаем точкуG. Докажем, что С – середина FG.

Пусть С1 – середина FG.

Прямые ВС и ВС1 параллельны EG, прямые DC и DC1 параллельны HF. Значит С совпадает с С1. E A B H F D C G

Таких четырехугольников можно построить бесконечно много, т.к. точку Е выбирали произвольно. В зависимости от выбора точки Е будут получаться выпуклые и невыпуклые четырехугольники. H E А B F D C G

Дано: А, В, С, D, Е- середины сторон пятиугольника GPMLN.

Построить пятиугольник GPMLN.

ПОСТРОЕНИЕ: Предположим, что у нас уже построен пятиугольник. Если провести диагональ PN, то образуются треугольник и четырехугольник. Найдя середину PN (точку F), мы можем восстановить этот треугольник и четырехугольник.

Построим параллелограмм по точкам B, C, D . Образовавшаяся точка F будет являться серединой диагонали искомого пятиугольника.

По AFE восстановим треугольник GPN.

Далее строим четырехугольник PMLN.

Единственность решения очевидна из методов построения.

G A E F P N B D M C L

ДАНО: A, B, C, D, E, F, G середины сторон семиугольника MNKOLSP. Построить семиугольник MNKOLSP

.

ПОСТРОЕНИЕ: Для начала рассмотрим вспомогательное утверждение.

Предположим, что у нас уже построен семиугольник. Если провести диагонали KP и OP, то образуются 2 четырехугольника MNKP и POLS и треугольник PKO. Найдя середину KP (точку H) и середину OP (точку R), можем восстановить искомую фигуру.

Значит, любой нечётноугольник мы можем построить, разбив его на треугольники и четырёхугольники. Причем, построение единственно.

M A G N P F B H S R K C E O D L

ДАНО: А, В, С, D, Е, K- середины сторон шестиугольника GHPMNL.

Построить шестиугольник GHPMNL.

ПОСТРОЕНИЕ: Для начала рассмотрим вспомогательное утверждение.

Предположим, что у нас уже построен шестиугольник. Если провести диагональ HN, то образуются 2 четырехугольника. Найдя середину HN (точку F), мы можем восстановить эти 2 четырехугольника.

Построим параллелограмм по точкам К, А, В. Образовавшаяся точка F будет являться серединой диагонали искомого шестиугольника.

Выберем произвольную точку H.Начнем построение четырехугольников вокруг параллелограммов. Вполне очевидно, что вершина N нашего искомого шестиугольника является общей для 2 четырехугольников NLGH и NHPM , т.к. мы выбрали точку H произвольным образом, мы получаем, что мы можем построить бесконечно много шестиугольников по данным серединам их сторон.

Таким образом, любой чётноугольник мы можем построить деля его на четырёхугольники.

L A G K N B E F M H C D P

Задача полностью решена для любых n угольников.

Для нечетноугольников возможно единственное решение, а для четноугольников их бесконечное множество.

Для выполнения презентации использовала следующие ресурсы: Программа Microsoft PowerPoint

Работу выполнила Басова Ксения 8 класс МАОУ ДОД «ЦДОД «Компьютерный центр» Научный руководитель Рысева Л.Н.