Slide 1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
Prof. Robson Ricardo de Araujo

16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
Prof. Robson Ricardo de Araujo

−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

Prof. Robson Ricardo de Araujo

18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
Prof. Robson Ricardo de Araujo

20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

Robson Ricardo de Araujo
[email protected]

Prof. Robson Ricardo de Araujo

24


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Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

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14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
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16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
Prof. Robson Ricardo de Araujo

−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

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18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

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19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
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20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

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21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

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[email protected]

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24


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Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

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1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

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14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

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Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
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Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
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−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

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18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

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Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
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Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

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Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

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MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

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A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
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07/04/14
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MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

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2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

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3

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Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
Prof. Robson Ricardo de Araujo

16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
Prof. Robson Ricardo de Araujo

−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

Prof. Robson Ricardo de Araujo

18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
Prof. Robson Ricardo de Araujo

20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

Robson Ricardo de Araujo
[email protected]

Prof. Robson Ricardo de Araujo

24


Slide 5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
Prof. Robson Ricardo de Araujo

16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
Prof. Robson Ricardo de Araujo

−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

Prof. Robson Ricardo de Araujo

18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
Prof. Robson Ricardo de Araujo

20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

Robson Ricardo de Araujo
[email protected]

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Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
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16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
Prof. Robson Ricardo de Araujo

−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

Prof. Robson Ricardo de Araujo

18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

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19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
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20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

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21

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Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

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[email protected]

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Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

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1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

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8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
Prof. Robson Ricardo de Araujo

16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
Prof. Robson Ricardo de Araujo

−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

Prof. Robson Ricardo de Araujo

18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
Prof. Robson Ricardo de Araujo

20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

Robson Ricardo de Araujo
[email protected]

Prof. Robson Ricardo de Araujo

24


Slide 8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
Prof. Robson Ricardo de Araujo

16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
Prof. Robson Ricardo de Araujo

−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

Prof. Robson Ricardo de Araujo

18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
Prof. Robson Ricardo de Araujo

20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

Robson Ricardo de Araujo
[email protected]

Prof. Robson Ricardo de Araujo

24


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Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
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16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
Prof. Robson Ricardo de Araujo

−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

Prof. Robson Ricardo de Araujo

18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

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19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
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20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

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21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

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Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

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1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
Prof. Robson Ricardo de Araujo

16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
Prof. Robson Ricardo de Araujo

−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

Prof. Robson Ricardo de Araujo

18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
Prof. Robson Ricardo de Araujo

20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

Robson Ricardo de Araujo
[email protected]

Prof. Robson Ricardo de Araujo

24


Slide 11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
Prof. Robson Ricardo de Araujo

16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
Prof. Robson Ricardo de Araujo

−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

Prof. Robson Ricardo de Araujo

18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
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20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

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[email protected]

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Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

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1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

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14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

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𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
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16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
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−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

Prof. Robson Ricardo de Araujo

18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

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19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
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20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

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21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

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Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
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1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

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5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

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9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

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1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

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12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
Prof. Robson Ricardo de Araujo

16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
Prof. Robson Ricardo de Araujo

−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

Prof. Robson Ricardo de Araujo

18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
Prof. Robson Ricardo de Araujo

20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

Robson Ricardo de Araujo
[email protected]

Prof. Robson Ricardo de Araujo

24


Slide 14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
Prof. Robson Ricardo de Araujo

16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
Prof. Robson Ricardo de Araujo

−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

Prof. Robson Ricardo de Araujo

18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
Prof. Robson Ricardo de Araujo

20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

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[email protected]

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Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

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1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

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14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
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MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
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−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

Prof. Robson Ricardo de Araujo

18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

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19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
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20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

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Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

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1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

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9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

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1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

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14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
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Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
Prof. Robson Ricardo de Araujo

−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

Prof. Robson Ricardo de Araujo

18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
Prof. Robson Ricardo de Araujo

20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

Robson Ricardo de Araujo
[email protected]

Prof. Robson Ricardo de Araujo

24


Slide 17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
Prof. Robson Ricardo de Araujo

16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
Prof. Robson Ricardo de Araujo

−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

Prof. Robson Ricardo de Araujo

18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
Prof. Robson Ricardo de Araujo

20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

Robson Ricardo de Araujo
[email protected]

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MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

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14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
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16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
Prof. Robson Ricardo de Araujo

−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

Prof. Robson Ricardo de Araujo

18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

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19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
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20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

21

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Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

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[email protected]

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Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

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1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

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1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

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14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
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MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
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−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

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18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
Prof. Robson Ricardo de Araujo

20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

Robson Ricardo de Araujo
[email protected]

Prof. Robson Ricardo de Araujo

24


Slide 20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
Prof. Robson Ricardo de Araujo

16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
Prof. Robson Ricardo de Araujo

−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

Prof. Robson Ricardo de Araujo

18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
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20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

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[email protected]

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Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

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14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

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𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
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16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
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−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

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18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

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MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
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20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

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MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

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Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

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1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

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14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
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16

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Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
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−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

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18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

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MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
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MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

Robson Ricardo de Araujo
[email protected]

Prof. Robson Ricardo de Araujo

24


Slide 23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
Prof. Robson Ricardo de Araujo

16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
Prof. Robson Ricardo de Araujo

−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

Prof. Robson Ricardo de Araujo

18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
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20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

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22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

Robson Ricardo de Araujo
[email protected]

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Matemática Aplicada –
07/04/14
Ciclo trigonométrico
Prof. Robson Ricardo

Prof. Robson Ricardo de Araujo

1

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Circunferência e arco

R

A

Uma circunferência de centro C e
raio R é o conjunto dos pontos
que estão a uma distância R do
ponto C.

B

Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos
pontos da circunferência que
estão entre A e B.

C

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2

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A

R
C

𝛼

𝛼

A medida angular de um
arco é a medida do ângulo
central 𝐴𝐶𝐵.

B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

3

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Comprimentos

R
C

A

R
C

𝑙

𝛼

B
Comprimento
da circunferência

𝐿 = 2𝜋𝑅

Prof. Robson Ricardo de Araujo

Comprimento do arco

𝛼 _____ 𝑙
360° _____ 2𝜋𝑅

4

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento
de um arco de 20°?

Prof. Robson Ricardo de Araujo

5

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 1

Prof. Robson Ricardo de Araujo

6

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA

A

D

𝛽

C

𝛼
𝛽=
2

𝛼

B

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7

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝛽

A
Dois ou mais ângulos
inscritos que enxergam
o mesmo arco têm
mesma medida.

𝛽
𝛽
B

Prof. Robson Ricardo de Araujo

8

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)

Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB
mede 12 cm. Calcule o valor de r.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

9

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Grau

R
C

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1°

Uma circunferência pode ser
dividida em 360 arcos iguais. O
ângulo que representa cada um
desses ângulos vale 1 grau, por
definição.

10

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Radianos

R
C

A
𝑅

𝛼

1 radiano é a medida do ângulo
𝛼 do arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência.
NOTAÇÃO: 1 rad

B

𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo

11

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.

b) Converta 3𝜋/2 para graus.

Prof. Robson Ricardo de Araujo

12

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)

Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20
minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de
minutos formam que ângulo, em radianos?

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13

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Relembrando...
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
CATETO
OPOSTO

𝜃
CATETO
ADJACENTE

𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨

𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑡𝑔𝜃 =
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬

0 < 𝜃 < 90°

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14

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

𝜽 = 𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗°

𝜽 = 𝟎°

E se 𝜃 não estiver
entre 0° e 90°?
𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

𝜽 = 𝟐𝟎𝟏𝟒°

15

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Relação Fundamental da Trigonometria

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + cos 2 𝜃 = 1

a
𝜃

b
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16

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Ciclo trigonométrico

𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑦

2° quadrante

1° quadrante

1

Sentido
anti-horário

𝑠𝑒𝑛𝜃

−1

𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1

3° quadrante
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−1

1

𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

4° quadrante
17

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos côngruos
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão
por 360.
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos
dos ângulos abaixo:
a) 1270°
29𝜋
b)
rad
7

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18

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
cos 0° = 1 e

Pontos limítrofes
𝑠𝑒𝑛𝑜
1

cos 90° = 0 e

𝑠𝑒𝑛 0° = 0
𝑠𝑒𝑛 90° = 1

cos 180° = −1 e 𝑠𝑒𝑛 180° = 0
cos 270° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 270° = −1

−1
1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

−1

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19

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
2º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝜶
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶′

cos 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼′

𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

espelho
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20

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

Se 𝛼 está no
3º Quadrante.

cos 𝛼 = −cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼)
𝟏𝟖𝟎°

𝜶′

𝜶

𝜶′
𝑐𝑜𝑠(𝛼′)

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

21

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Redução ao 1º Quadrante
Se 𝛼 está no
4º Quadrante.

cos 𝛼 = cos(𝛼 ′ )

1

𝑠𝑒𝑛 𝛼′

espelho

sen 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )

𝑠𝑒𝑛𝑜

𝟏𝟖𝟎°

𝜶

𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶′ = 𝐜𝐨𝐬(𝜶)

𝜶′

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

Prof. Robson Ricardo de Araujo

22

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulos
a) 120°
b) 210°
c) 315°

Prof. Robson Ricardo de Araujo

23

MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO

A Matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de
conhecimento naturalmente desenvolvido por
pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz

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