Slide 1

MOBIUSOVA
TRAKA

A.F. MOBIUS (1790.-1868.)
 Njemački

matematičar i astronom
 Izumitelj Mobiusove trake
 Studirao je matematiku u Leipzigu
 Mobiusova funkcija
 Mobuisova formula inverzije
 Mobuisova transformacija

August Ferdinand Mobius

MOBIUSOVA TRAKA
Jednostrana ploha koja ima samo jednu
neprekidnu orjentaciju
 Nije orjentabilna
 Ima elektronična svojstva
 Koristi se na pokretnim trakama
 Ima primjenu i u umjetnosti


Kako nastaje Mobiusova traka?


1)
izrezati od papira dugačku traku
2)

zaokrenuti jedan kraj trake za 180
3)
zalijepiti krajeve

„Papirni prsten sa zaokretom”

Zanimljivosti
Rezanjem trake na 2 djela dobije se
JEDNA JEDINA UŽA traka
 Razrežemo li traku još jednom rezultat su
dvije trake zapetljane u čvor
 Nakon n rezanja traka ima 2n+2
poluokreta
 Postupak se može ponavljati u
beskonačnost


Valentinovo na Mobiusov način 

Kleinova boca
Dvodimenzionalna ploha koja je jedna
unutra i van
 Nema ruba
 Nije orijentabilna
 Nigdje ne sječe samu sebe


HVALA NA PAŽNJI
Tea Maričić
 Filip Korona
 3.a Gimnazija Jurja Barakovića



Slide 2

MOBIUSOVA
TRAKA

A.F. MOBIUS (1790.-1868.)
 Njemački

matematičar i astronom
 Izumitelj Mobiusove trake
 Studirao je matematiku u Leipzigu
 Mobiusova funkcija
 Mobuisova formula inverzije
 Mobuisova transformacija

August Ferdinand Mobius

MOBIUSOVA TRAKA
Jednostrana ploha koja ima samo jednu
neprekidnu orjentaciju
 Nije orjentabilna
 Ima elektronična svojstva
 Koristi se na pokretnim trakama
 Ima primjenu i u umjetnosti


Kako nastaje Mobiusova traka?


1)
izrezati od papira dugačku traku
2)

zaokrenuti jedan kraj trake za 180
3)
zalijepiti krajeve

„Papirni prsten sa zaokretom”

Zanimljivosti
Rezanjem trake na 2 djela dobije se
JEDNA JEDINA UŽA traka
 Razrežemo li traku još jednom rezultat su
dvije trake zapetljane u čvor
 Nakon n rezanja traka ima 2n+2
poluokreta
 Postupak se može ponavljati u
beskonačnost


Valentinovo na Mobiusov način 

Kleinova boca
Dvodimenzionalna ploha koja je jedna
unutra i van
 Nema ruba
 Nije orijentabilna
 Nigdje ne sječe samu sebe


HVALA NA PAŽNJI
Tea Maričić
 Filip Korona
 3.a Gimnazija Jurja Barakovića



Slide 3

MOBIUSOVA
TRAKA

A.F. MOBIUS (1790.-1868.)
 Njemački

matematičar i astronom
 Izumitelj Mobiusove trake
 Studirao je matematiku u Leipzigu
 Mobiusova funkcija
 Mobuisova formula inverzije
 Mobuisova transformacija

August Ferdinand Mobius

MOBIUSOVA TRAKA
Jednostrana ploha koja ima samo jednu
neprekidnu orjentaciju
 Nije orjentabilna
 Ima elektronična svojstva
 Koristi se na pokretnim trakama
 Ima primjenu i u umjetnosti


Kako nastaje Mobiusova traka?


1)
izrezati od papira dugačku traku
2)

zaokrenuti jedan kraj trake za 180
3)
zalijepiti krajeve

„Papirni prsten sa zaokretom”

Zanimljivosti
Rezanjem trake na 2 djela dobije se
JEDNA JEDINA UŽA traka
 Razrežemo li traku još jednom rezultat su
dvije trake zapetljane u čvor
 Nakon n rezanja traka ima 2n+2
poluokreta
 Postupak se može ponavljati u
beskonačnost


Valentinovo na Mobiusov način 

Kleinova boca
Dvodimenzionalna ploha koja je jedna
unutra i van
 Nema ruba
 Nije orijentabilna
 Nigdje ne sječe samu sebe


HVALA NA PAŽNJI
Tea Maričić
 Filip Korona
 3.a Gimnazija Jurja Barakovića



Slide 4

MOBIUSOVA
TRAKA

A.F. MOBIUS (1790.-1868.)
 Njemački

matematičar i astronom
 Izumitelj Mobiusove trake
 Studirao je matematiku u Leipzigu
 Mobiusova funkcija
 Mobuisova formula inverzije
 Mobuisova transformacija

August Ferdinand Mobius

MOBIUSOVA TRAKA
Jednostrana ploha koja ima samo jednu
neprekidnu orjentaciju
 Nije orjentabilna
 Ima elektronična svojstva
 Koristi se na pokretnim trakama
 Ima primjenu i u umjetnosti


Kako nastaje Mobiusova traka?


1)
izrezati od papira dugačku traku
2)

zaokrenuti jedan kraj trake za 180
3)
zalijepiti krajeve

„Papirni prsten sa zaokretom”

Zanimljivosti
Rezanjem trake na 2 djela dobije se
JEDNA JEDINA UŽA traka
 Razrežemo li traku još jednom rezultat su
dvije trake zapetljane u čvor
 Nakon n rezanja traka ima 2n+2
poluokreta
 Postupak se može ponavljati u
beskonačnost


Valentinovo na Mobiusov način 

Kleinova boca
Dvodimenzionalna ploha koja je jedna
unutra i van
 Nema ruba
 Nije orijentabilna
 Nigdje ne sječe samu sebe


HVALA NA PAŽNJI
Tea Maričić
 Filip Korona
 3.a Gimnazija Jurja Barakovića



Slide 5

MOBIUSOVA
TRAKA

A.F. MOBIUS (1790.-1868.)
 Njemački

matematičar i astronom
 Izumitelj Mobiusove trake
 Studirao je matematiku u Leipzigu
 Mobiusova funkcija
 Mobuisova formula inverzije
 Mobuisova transformacija

August Ferdinand Mobius

MOBIUSOVA TRAKA
Jednostrana ploha koja ima samo jednu
neprekidnu orjentaciju
 Nije orjentabilna
 Ima elektronična svojstva
 Koristi se na pokretnim trakama
 Ima primjenu i u umjetnosti


Kako nastaje Mobiusova traka?


1)
izrezati od papira dugačku traku
2)

zaokrenuti jedan kraj trake za 180
3)
zalijepiti krajeve

„Papirni prsten sa zaokretom”

Zanimljivosti
Rezanjem trake na 2 djela dobije se
JEDNA JEDINA UŽA traka
 Razrežemo li traku još jednom rezultat su
dvije trake zapetljane u čvor
 Nakon n rezanja traka ima 2n+2
poluokreta
 Postupak se može ponavljati u
beskonačnost


Valentinovo na Mobiusov način 

Kleinova boca
Dvodimenzionalna ploha koja je jedna
unutra i van
 Nema ruba
 Nije orijentabilna
 Nigdje ne sječe samu sebe


HVALA NA PAŽNJI
Tea Maričić
 Filip Korona
 3.a Gimnazija Jurja Barakovića



Slide 6

MOBIUSOVA
TRAKA

A.F. MOBIUS (1790.-1868.)
 Njemački

matematičar i astronom
 Izumitelj Mobiusove trake
 Studirao je matematiku u Leipzigu
 Mobiusova funkcija
 Mobuisova formula inverzije
 Mobuisova transformacija

August Ferdinand Mobius

MOBIUSOVA TRAKA
Jednostrana ploha koja ima samo jednu
neprekidnu orjentaciju
 Nije orjentabilna
 Ima elektronična svojstva
 Koristi se na pokretnim trakama
 Ima primjenu i u umjetnosti


Kako nastaje Mobiusova traka?


1)
izrezati od papira dugačku traku
2)

zaokrenuti jedan kraj trake za 180
3)
zalijepiti krajeve

„Papirni prsten sa zaokretom”

Zanimljivosti
Rezanjem trake na 2 djela dobije se
JEDNA JEDINA UŽA traka
 Razrežemo li traku još jednom rezultat su
dvije trake zapetljane u čvor
 Nakon n rezanja traka ima 2n+2
poluokreta
 Postupak se može ponavljati u
beskonačnost


Valentinovo na Mobiusov način 

Kleinova boca
Dvodimenzionalna ploha koja je jedna
unutra i van
 Nema ruba
 Nije orijentabilna
 Nigdje ne sječe samu sebe


HVALA NA PAŽNJI
Tea Maričić
 Filip Korona
 3.a Gimnazija Jurja Barakovića



Slide 7

MOBIUSOVA
TRAKA

A.F. MOBIUS (1790.-1868.)
 Njemački

matematičar i astronom
 Izumitelj Mobiusove trake
 Studirao je matematiku u Leipzigu
 Mobiusova funkcija
 Mobuisova formula inverzije
 Mobuisova transformacija

August Ferdinand Mobius

MOBIUSOVA TRAKA
Jednostrana ploha koja ima samo jednu
neprekidnu orjentaciju
 Nije orjentabilna
 Ima elektronična svojstva
 Koristi se na pokretnim trakama
 Ima primjenu i u umjetnosti


Kako nastaje Mobiusova traka?


1)
izrezati od papira dugačku traku
2)

zaokrenuti jedan kraj trake za 180
3)
zalijepiti krajeve

„Papirni prsten sa zaokretom”

Zanimljivosti
Rezanjem trake na 2 djela dobije se
JEDNA JEDINA UŽA traka
 Razrežemo li traku još jednom rezultat su
dvije trake zapetljane u čvor
 Nakon n rezanja traka ima 2n+2
poluokreta
 Postupak se može ponavljati u
beskonačnost


Valentinovo na Mobiusov način 

Kleinova boca
Dvodimenzionalna ploha koja je jedna
unutra i van
 Nema ruba
 Nije orijentabilna
 Nigdje ne sječe samu sebe


HVALA NA PAŽNJI
Tea Maričić
 Filip Korona
 3.a Gimnazija Jurja Barakovića



Slide 8

MOBIUSOVA
TRAKA

A.F. MOBIUS (1790.-1868.)
 Njemački

matematičar i astronom
 Izumitelj Mobiusove trake
 Studirao je matematiku u Leipzigu
 Mobiusova funkcija
 Mobuisova formula inverzije
 Mobuisova transformacija

August Ferdinand Mobius

MOBIUSOVA TRAKA
Jednostrana ploha koja ima samo jednu
neprekidnu orjentaciju
 Nije orjentabilna
 Ima elektronična svojstva
 Koristi se na pokretnim trakama
 Ima primjenu i u umjetnosti


Kako nastaje Mobiusova traka?


1)
izrezati od papira dugačku traku
2)

zaokrenuti jedan kraj trake za 180
3)
zalijepiti krajeve

„Papirni prsten sa zaokretom”

Zanimljivosti
Rezanjem trake na 2 djela dobije se
JEDNA JEDINA UŽA traka
 Razrežemo li traku još jednom rezultat su
dvije trake zapetljane u čvor
 Nakon n rezanja traka ima 2n+2
poluokreta
 Postupak se može ponavljati u
beskonačnost


Valentinovo na Mobiusov način 

Kleinova boca
Dvodimenzionalna ploha koja je jedna
unutra i van
 Nema ruba
 Nije orijentabilna
 Nigdje ne sječe samu sebe


HVALA NA PAŽNJI
Tea Maričić
 Filip Korona
 3.a Gimnazija Jurja Barakovića



Slide 9

MOBIUSOVA
TRAKA

A.F. MOBIUS (1790.-1868.)
 Njemački

matematičar i astronom
 Izumitelj Mobiusove trake
 Studirao je matematiku u Leipzigu
 Mobiusova funkcija
 Mobuisova formula inverzije
 Mobuisova transformacija

August Ferdinand Mobius

MOBIUSOVA TRAKA
Jednostrana ploha koja ima samo jednu
neprekidnu orjentaciju
 Nije orjentabilna
 Ima elektronična svojstva
 Koristi se na pokretnim trakama
 Ima primjenu i u umjetnosti


Kako nastaje Mobiusova traka?


1)
izrezati od papira dugačku traku
2)

zaokrenuti jedan kraj trake za 180
3)
zalijepiti krajeve

„Papirni prsten sa zaokretom”

Zanimljivosti
Rezanjem trake na 2 djela dobije se
JEDNA JEDINA UŽA traka
 Razrežemo li traku još jednom rezultat su
dvije trake zapetljane u čvor
 Nakon n rezanja traka ima 2n+2
poluokreta
 Postupak se može ponavljati u
beskonačnost


Valentinovo na Mobiusov način 

Kleinova boca
Dvodimenzionalna ploha koja je jedna
unutra i van
 Nema ruba
 Nije orijentabilna
 Nigdje ne sječe samu sebe


HVALA NA PAŽNJI
Tea Maričić
 Filip Korona
 3.a Gimnazija Jurja Barakovića



Slide 10

MOBIUSOVA
TRAKA

A.F. MOBIUS (1790.-1868.)
 Njemački

matematičar i astronom
 Izumitelj Mobiusove trake
 Studirao je matematiku u Leipzigu
 Mobiusova funkcija
 Mobuisova formula inverzije
 Mobuisova transformacija

August Ferdinand Mobius

MOBIUSOVA TRAKA
Jednostrana ploha koja ima samo jednu
neprekidnu orjentaciju
 Nije orjentabilna
 Ima elektronična svojstva
 Koristi se na pokretnim trakama
 Ima primjenu i u umjetnosti


Kako nastaje Mobiusova traka?


1)
izrezati od papira dugačku traku
2)

zaokrenuti jedan kraj trake za 180
3)
zalijepiti krajeve

„Papirni prsten sa zaokretom”

Zanimljivosti
Rezanjem trake na 2 djela dobije se
JEDNA JEDINA UŽA traka
 Razrežemo li traku još jednom rezultat su
dvije trake zapetljane u čvor
 Nakon n rezanja traka ima 2n+2
poluokreta
 Postupak se može ponavljati u
beskonačnost


Valentinovo na Mobiusov način 

Kleinova boca
Dvodimenzionalna ploha koja je jedna
unutra i van
 Nema ruba
 Nije orijentabilna
 Nigdje ne sječe samu sebe


HVALA NA PAŽNJI
Tea Maričić
 Filip Korona
 3.a Gimnazija Jurja Barakovića



Slide 11

MOBIUSOVA
TRAKA

A.F. MOBIUS (1790.-1868.)
 Njemački

matematičar i astronom
 Izumitelj Mobiusove trake
 Studirao je matematiku u Leipzigu
 Mobiusova funkcija
 Mobuisova formula inverzije
 Mobuisova transformacija

August Ferdinand Mobius

MOBIUSOVA TRAKA
Jednostrana ploha koja ima samo jednu
neprekidnu orjentaciju
 Nije orjentabilna
 Ima elektronična svojstva
 Koristi se na pokretnim trakama
 Ima primjenu i u umjetnosti


Kako nastaje Mobiusova traka?


1)
izrezati od papira dugačku traku
2)

zaokrenuti jedan kraj trake za 180
3)
zalijepiti krajeve

„Papirni prsten sa zaokretom”

Zanimljivosti
Rezanjem trake na 2 djela dobije se
JEDNA JEDINA UŽA traka
 Razrežemo li traku još jednom rezultat su
dvije trake zapetljane u čvor
 Nakon n rezanja traka ima 2n+2
poluokreta
 Postupak se može ponavljati u
beskonačnost


Valentinovo na Mobiusov način 

Kleinova boca
Dvodimenzionalna ploha koja je jedna
unutra i van
 Nema ruba
 Nije orijentabilna
 Nigdje ne sječe samu sebe


HVALA NA PAŽNJI
Tea Maričić
 Filip Korona
 3.a Gimnazija Jurja Barakovića



Slide 12

MOBIUSOVA
TRAKA

A.F. MOBIUS (1790.-1868.)
 Njemački

matematičar i astronom
 Izumitelj Mobiusove trake
 Studirao je matematiku u Leipzigu
 Mobiusova funkcija
 Mobuisova formula inverzije
 Mobuisova transformacija

August Ferdinand Mobius

MOBIUSOVA TRAKA
Jednostrana ploha koja ima samo jednu
neprekidnu orjentaciju
 Nije orjentabilna
 Ima elektronična svojstva
 Koristi se na pokretnim trakama
 Ima primjenu i u umjetnosti


Kako nastaje Mobiusova traka?


1)
izrezati od papira dugačku traku
2)

zaokrenuti jedan kraj trake za 180
3)
zalijepiti krajeve

„Papirni prsten sa zaokretom”

Zanimljivosti
Rezanjem trake na 2 djela dobije se
JEDNA JEDINA UŽA traka
 Razrežemo li traku još jednom rezultat su
dvije trake zapetljane u čvor
 Nakon n rezanja traka ima 2n+2
poluokreta
 Postupak se može ponavljati u
beskonačnost


Valentinovo na Mobiusov način 

Kleinova boca
Dvodimenzionalna ploha koja je jedna
unutra i van
 Nema ruba
 Nije orijentabilna
 Nigdje ne sječe samu sebe


HVALA NA PAŽNJI
Tea Maričić
 Filip Korona
 3.a Gimnazija Jurja Barakovića
