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Algebra Booleana y Compuertas Lógicas
AND, OR, NOT, XOR, NAND e Identidades del Algebra Booleana

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Los circuitos en computadoras y otros sistemas digitales son diseñados y analizados con el uso de una
disciplina matemática conocida como Algebra de Boole.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864),
matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del
siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones
de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el
ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de
conmutación eléctrica biestables (dos estados o estados binarios), en 1948.

George Boole

Claude Shannon

Algebra Booleana
El álgebra Booleana es una herramienta conveniente en dos áreas:
• Análisis: Es una manera económica de describir la función de circuitos digitales.
• Diseño: Dada una función deseada, el álgebra Booleana puede ser aplicada para desarrollar una
implementación simplificada de esta función.
Tal como es el caso con cualquier álgebra, el álgebra Boolena usa variables y operaciones. En este
caso, las variables y las operaciones son lógicas. Por lo tanto, una variable puede tener un valor de 1
(VERDADERO) o 0 (FALSO). Las operaciones lógicas básicas son AND, OR y NOT (complemento o
negación) las cuales son simbólicamente representadas por un punto o signo de multiplicación (. o x),
por el signo más (+) y por una barra alta, respectivamente:

La operación AND da un valor verdadero (1) si y sólo si ambos operandos son verdaderos (1). La
operación OR da un valor verdadero (1) si cualquiera de los operandos es verdadero (1). La operación
unaria NOT invierte el valor de su operando. Por ejemplo, considere la ecuación

D = 1 si A = 1 o si ambas, B = 0 y C = 1. De otra manera D = 0.

Algebra Booleana
Se requieren varios puntos concernientes a la notación. En la ausencia de paréntesis, la operación
AND tiene precedencia sobre la operación OR (tal como es el caso de la multiplicación y la suma,
respectivamente, en la algebra normal). Además, cuando no hay ambigüedad, la operación AND se
representa mediante simple concatenación en lugar del operador punto o x. Entonces,

Lo cual significa obtener la operación AND entre B y C y después la operación OR entre A y este
resultado.
La siguiente tabla defina la operaciones lógicas básicas en una forma conocida como Tabla de Verdad,
la cual enlista el valor de una operación para toda posible combinación de los valores de los
operandos. La tabla también presenta otros tres operadores: XOR (OR Exclusivo), NAND
(Complemento o Negación de AND) y NOR (Complemento o Negación de OR). La operación XOR
entre dos operandos es 1 si y sólo si exactamente uno de los operandos es 1.

Algebra Booleana
Esto es

Como se verá próximamente, estas tres nuevas operaciones pueden ser útiles para la implementación
de ciertos circuitos digitales.
Todas las operaciones lógicas presentadas, con la excepción de NOT, pueden ser generalizadas a más
de dos variables u operandos, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Algebra Booleana
La siguiente tabla sintetiza las identidades claves del álgebra Booleana. Las ecuaciones se han
organizado en dos columnas para mostrar la naturaleza complementaria o dual de las operaciones
AND y OR. Hay dos clases de identidades: reglas básicas (postulados), los cuales se plantean sin
prueba alguna, y otras identidades que pueden ser derivadas de los postulados básicos. Los
postulados definen la manera en la que las expresiones Booleanas son interpretadas.

Vale la pena notar una de las Leyes Distributivas porque difiere de lo que se vería en el álgebra
ordinaria:
Las expresiones del Teorema de DeMorgan pueden ser replanteadas como sigue:

CompuertasLógicas
El elemento fundamental de construcción de todo circuito lógico digital es la compuerta lógica. Las
funciones lógicas se implementan mediante la interconexión de compuertas lógicas.
Una compuerta es un circuito
electrónico que produce una señal de
salida, la cual es la una operación
booleana simple sobre sus señales
de entrada. Las compuertas lógicas
básicas usadas en circuitos digitales
son AND, OR, NOT, NAND, NOR y
XOR.
La tabla muestra el nombre, símbolo,
función algebraica y Tabla de Verdad
de cada compuerta. Los símbolos
utilizados corresponden al estándar
IEEE Std 91.
Note que la inversión (NOT) se indica
con un círculo.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.

Nota: En algunos casos, una compuerta se implementa con dos salidas, la salida original
correspondiente a la función de la compuerta y la otra salida como el complemento de la original.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.
Cuando una o más de los valores de entrada cambian, la salida correcta correspondiente aparece casi
instantáneamente, retrasada solo por el tiempo de propagación de las señales a través de la
compuerta (retardo de compuerta – gate delay). El significado de este retardo se discutirá
posteriormente.

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Típicamente, no todos los tipos de compuertas son usados en la implementación de un circuito digital.
El diseño de un circuito digital es más simple si se usan uno o dos tipos de compuertas. Entonces, es
importante identificar conjuntos de compuertas funcionalmente completos. Esto significa que
cualquier función Booleana puede implementarse usando solamente las compuertas en el conjunto.
Los siguientes son conjuntos funcionalmente completos:
•
•
•
•
•

AND, OR, NOT
AND, NOT
OR, NOT
NAND
NOR

Es claro que las compuertas AND, OR y NOT constituyen un conjunto funcionalmente completo, ya
que representan las tres operaciones básicas del álgebra Booleana.
Para que las compuertas AND y NOT conformen un conjunto funcionalmente completo, debe existir
una manera de sintetizar la operación OR a partir de operaciones AND y NOT. Esto puede lograrse
aplicando el Teorema de DeMorgan:

De la misma manera, las operaciones OR y NOT son un conjunto funcionalmente completo por que
pueden ser usadas para sintetizar la operación AND.

Algebra Booleana

Algebra Booleana


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Algebra Booleana y Compuertas Lógicas
AND, OR, NOT, XOR, NAND e Identidades del Algebra Booleana

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Los circuitos en computadoras y otros sistemas digitales son diseñados y analizados con el uso de una
disciplina matemática conocida como Algebra de Boole.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864),
matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del
siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones
de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el
ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de
conmutación eléctrica biestables (dos estados o estados binarios), en 1948.

George Boole

Claude Shannon

Algebra Booleana
El álgebra Booleana es una herramienta conveniente en dos áreas:
• Análisis: Es una manera económica de describir la función de circuitos digitales.
• Diseño: Dada una función deseada, el álgebra Booleana puede ser aplicada para desarrollar una
implementación simplificada de esta función.
Tal como es el caso con cualquier álgebra, el álgebra Boolena usa variables y operaciones. En este
caso, las variables y las operaciones son lógicas. Por lo tanto, una variable puede tener un valor de 1
(VERDADERO) o 0 (FALSO). Las operaciones lógicas básicas son AND, OR y NOT (complemento o
negación) las cuales son simbólicamente representadas por un punto o signo de multiplicación (. o x),
por el signo más (+) y por una barra alta, respectivamente:

La operación AND da un valor verdadero (1) si y sólo si ambos operandos son verdaderos (1). La
operación OR da un valor verdadero (1) si cualquiera de los operandos es verdadero (1). La operación
unaria NOT invierte el valor de su operando. Por ejemplo, considere la ecuación

D = 1 si A = 1 o si ambas, B = 0 y C = 1. De otra manera D = 0.

Algebra Booleana
Se requieren varios puntos concernientes a la notación. En la ausencia de paréntesis, la operación
AND tiene precedencia sobre la operación OR (tal como es el caso de la multiplicación y la suma,
respectivamente, en la algebra normal). Además, cuando no hay ambigüedad, la operación AND se
representa mediante simple concatenación en lugar del operador punto o x. Entonces,

Lo cual significa obtener la operación AND entre B y C y después la operación OR entre A y este
resultado.
La siguiente tabla defina la operaciones lógicas básicas en una forma conocida como Tabla de Verdad,
la cual enlista el valor de una operación para toda posible combinación de los valores de los
operandos. La tabla también presenta otros tres operadores: XOR (OR Exclusivo), NAND
(Complemento o Negación de AND) y NOR (Complemento o Negación de OR). La operación XOR
entre dos operandos es 1 si y sólo si exactamente uno de los operandos es 1.

Algebra Booleana
Esto es

Como se verá próximamente, estas tres nuevas operaciones pueden ser útiles para la implementación
de ciertos circuitos digitales.
Todas las operaciones lógicas presentadas, con la excepción de NOT, pueden ser generalizadas a más
de dos variables u operandos, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Algebra Booleana
La siguiente tabla sintetiza las identidades claves del álgebra Booleana. Las ecuaciones se han
organizado en dos columnas para mostrar la naturaleza complementaria o dual de las operaciones
AND y OR. Hay dos clases de identidades: reglas básicas (postulados), los cuales se plantean sin
prueba alguna, y otras identidades que pueden ser derivadas de los postulados básicos. Los
postulados definen la manera en la que las expresiones Booleanas son interpretadas.

Vale la pena notar una de las Leyes Distributivas porque difiere de lo que se vería en el álgebra
ordinaria:
Las expresiones del Teorema de DeMorgan pueden ser replanteadas como sigue:

CompuertasLógicas
El elemento fundamental de construcción de todo circuito lógico digital es la compuerta lógica. Las
funciones lógicas se implementan mediante la interconexión de compuertas lógicas.
Una compuerta es un circuito
electrónico que produce una señal de
salida, la cual es la una operación
booleana simple sobre sus señales
de entrada. Las compuertas lógicas
básicas usadas en circuitos digitales
son AND, OR, NOT, NAND, NOR y
XOR.
La tabla muestra el nombre, símbolo,
función algebraica y Tabla de Verdad
de cada compuerta. Los símbolos
utilizados corresponden al estándar
IEEE Std 91.
Note que la inversión (NOT) se indica
con un círculo.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.

Nota: En algunos casos, una compuerta se implementa con dos salidas, la salida original
correspondiente a la función de la compuerta y la otra salida como el complemento de la original.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.
Cuando una o más de los valores de entrada cambian, la salida correcta correspondiente aparece casi
instantáneamente, retrasada solo por el tiempo de propagación de las señales a través de la
compuerta (retardo de compuerta – gate delay). El significado de este retardo se discutirá
posteriormente.

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Típicamente, no todos los tipos de compuertas son usados en la implementación de un circuito digital.
El diseño de un circuito digital es más simple si se usan uno o dos tipos de compuertas. Entonces, es
importante identificar conjuntos de compuertas funcionalmente completos. Esto significa que
cualquier función Booleana puede implementarse usando solamente las compuertas en el conjunto.
Los siguientes son conjuntos funcionalmente completos:
•
•
•
•
•

AND, OR, NOT
AND, NOT
OR, NOT
NAND
NOR

Es claro que las compuertas AND, OR y NOT constituyen un conjunto funcionalmente completo, ya
que representan las tres operaciones básicas del álgebra Booleana.
Para que las compuertas AND y NOT conformen un conjunto funcionalmente completo, debe existir
una manera de sintetizar la operación OR a partir de operaciones AND y NOT. Esto puede lograrse
aplicando el Teorema de DeMorgan:

De la misma manera, las operaciones OR y NOT son un conjunto funcionalmente completo por que
pueden ser usadas para sintetizar la operación AND.

Algebra Booleana

Algebra Booleana


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Algebra Booleana y Compuertas Lógicas
AND, OR, NOT, XOR, NAND e Identidades del Algebra Booleana

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Los circuitos en computadoras y otros sistemas digitales son diseñados y analizados con el uso de una
disciplina matemática conocida como Algebra de Boole.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864),
matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del
siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones
de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el
ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de
conmutación eléctrica biestables (dos estados o estados binarios), en 1948.

George Boole

Claude Shannon

Algebra Booleana
El álgebra Booleana es una herramienta conveniente en dos áreas:
• Análisis: Es una manera económica de describir la función de circuitos digitales.
• Diseño: Dada una función deseada, el álgebra Booleana puede ser aplicada para desarrollar una
implementación simplificada de esta función.
Tal como es el caso con cualquier álgebra, el álgebra Boolena usa variables y operaciones. En este
caso, las variables y las operaciones son lógicas. Por lo tanto, una variable puede tener un valor de 1
(VERDADERO) o 0 (FALSO). Las operaciones lógicas básicas son AND, OR y NOT (complemento o
negación) las cuales son simbólicamente representadas por un punto o signo de multiplicación (. o x),
por el signo más (+) y por una barra alta, respectivamente:

La operación AND da un valor verdadero (1) si y sólo si ambos operandos son verdaderos (1). La
operación OR da un valor verdadero (1) si cualquiera de los operandos es verdadero (1). La operación
unaria NOT invierte el valor de su operando. Por ejemplo, considere la ecuación

D = 1 si A = 1 o si ambas, B = 0 y C = 1. De otra manera D = 0.

Algebra Booleana
Se requieren varios puntos concernientes a la notación. En la ausencia de paréntesis, la operación
AND tiene precedencia sobre la operación OR (tal como es el caso de la multiplicación y la suma,
respectivamente, en la algebra normal). Además, cuando no hay ambigüedad, la operación AND se
representa mediante simple concatenación en lugar del operador punto o x. Entonces,

Lo cual significa obtener la operación AND entre B y C y después la operación OR entre A y este
resultado.
La siguiente tabla defina la operaciones lógicas básicas en una forma conocida como Tabla de Verdad,
la cual enlista el valor de una operación para toda posible combinación de los valores de los
operandos. La tabla también presenta otros tres operadores: XOR (OR Exclusivo), NAND
(Complemento o Negación de AND) y NOR (Complemento o Negación de OR). La operación XOR
entre dos operandos es 1 si y sólo si exactamente uno de los operandos es 1.

Algebra Booleana
Esto es

Como se verá próximamente, estas tres nuevas operaciones pueden ser útiles para la implementación
de ciertos circuitos digitales.
Todas las operaciones lógicas presentadas, con la excepción de NOT, pueden ser generalizadas a más
de dos variables u operandos, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Algebra Booleana
La siguiente tabla sintetiza las identidades claves del álgebra Booleana. Las ecuaciones se han
organizado en dos columnas para mostrar la naturaleza complementaria o dual de las operaciones
AND y OR. Hay dos clases de identidades: reglas básicas (postulados), los cuales se plantean sin
prueba alguna, y otras identidades que pueden ser derivadas de los postulados básicos. Los
postulados definen la manera en la que las expresiones Booleanas son interpretadas.

Vale la pena notar una de las Leyes Distributivas porque difiere de lo que se vería en el álgebra
ordinaria:
Las expresiones del Teorema de DeMorgan pueden ser replanteadas como sigue:

CompuertasLógicas
El elemento fundamental de construcción de todo circuito lógico digital es la compuerta lógica. Las
funciones lógicas se implementan mediante la interconexión de compuertas lógicas.
Una compuerta es un circuito
electrónico que produce una señal de
salida, la cual es la una operación
booleana simple sobre sus señales
de entrada. Las compuertas lógicas
básicas usadas en circuitos digitales
son AND, OR, NOT, NAND, NOR y
XOR.
La tabla muestra el nombre, símbolo,
función algebraica y Tabla de Verdad
de cada compuerta. Los símbolos
utilizados corresponden al estándar
IEEE Std 91.
Note que la inversión (NOT) se indica
con un círculo.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.

Nota: En algunos casos, una compuerta se implementa con dos salidas, la salida original
correspondiente a la función de la compuerta y la otra salida como el complemento de la original.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.
Cuando una o más de los valores de entrada cambian, la salida correcta correspondiente aparece casi
instantáneamente, retrasada solo por el tiempo de propagación de las señales a través de la
compuerta (retardo de compuerta – gate delay). El significado de este retardo se discutirá
posteriormente.

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Típicamente, no todos los tipos de compuertas son usados en la implementación de un circuito digital.
El diseño de un circuito digital es más simple si se usan uno o dos tipos de compuertas. Entonces, es
importante identificar conjuntos de compuertas funcionalmente completos. Esto significa que
cualquier función Booleana puede implementarse usando solamente las compuertas en el conjunto.
Los siguientes son conjuntos funcionalmente completos:
•
•
•
•
•

AND, OR, NOT
AND, NOT
OR, NOT
NAND
NOR

Es claro que las compuertas AND, OR y NOT constituyen un conjunto funcionalmente completo, ya
que representan las tres operaciones básicas del álgebra Booleana.
Para que las compuertas AND y NOT conformen un conjunto funcionalmente completo, debe existir
una manera de sintetizar la operación OR a partir de operaciones AND y NOT. Esto puede lograrse
aplicando el Teorema de DeMorgan:

De la misma manera, las operaciones OR y NOT son un conjunto funcionalmente completo por que
pueden ser usadas para sintetizar la operación AND.

Algebra Booleana

Algebra Booleana


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Algebra Booleana y Compuertas Lógicas
AND, OR, NOT, XOR, NAND e Identidades del Algebra Booleana

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Los circuitos en computadoras y otros sistemas digitales son diseñados y analizados con el uso de una
disciplina matemática conocida como Algebra de Boole.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864),
matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del
siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones
de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el
ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de
conmutación eléctrica biestables (dos estados o estados binarios), en 1948.

George Boole

Claude Shannon

Algebra Booleana
El álgebra Booleana es una herramienta conveniente en dos áreas:
• Análisis: Es una manera económica de describir la función de circuitos digitales.
• Diseño: Dada una función deseada, el álgebra Booleana puede ser aplicada para desarrollar una
implementación simplificada de esta función.
Tal como es el caso con cualquier álgebra, el álgebra Boolena usa variables y operaciones. En este
caso, las variables y las operaciones son lógicas. Por lo tanto, una variable puede tener un valor de 1
(VERDADERO) o 0 (FALSO). Las operaciones lógicas básicas son AND, OR y NOT (complemento o
negación) las cuales son simbólicamente representadas por un punto o signo de multiplicación (. o x),
por el signo más (+) y por una barra alta, respectivamente:

La operación AND da un valor verdadero (1) si y sólo si ambos operandos son verdaderos (1). La
operación OR da un valor verdadero (1) si cualquiera de los operandos es verdadero (1). La operación
unaria NOT invierte el valor de su operando. Por ejemplo, considere la ecuación

D = 1 si A = 1 o si ambas, B = 0 y C = 1. De otra manera D = 0.

Algebra Booleana
Se requieren varios puntos concernientes a la notación. En la ausencia de paréntesis, la operación
AND tiene precedencia sobre la operación OR (tal como es el caso de la multiplicación y la suma,
respectivamente, en la algebra normal). Además, cuando no hay ambigüedad, la operación AND se
representa mediante simple concatenación en lugar del operador punto o x. Entonces,

Lo cual significa obtener la operación AND entre B y C y después la operación OR entre A y este
resultado.
La siguiente tabla defina la operaciones lógicas básicas en una forma conocida como Tabla de Verdad,
la cual enlista el valor de una operación para toda posible combinación de los valores de los
operandos. La tabla también presenta otros tres operadores: XOR (OR Exclusivo), NAND
(Complemento o Negación de AND) y NOR (Complemento o Negación de OR). La operación XOR
entre dos operandos es 1 si y sólo si exactamente uno de los operandos es 1.

Algebra Booleana
Esto es

Como se verá próximamente, estas tres nuevas operaciones pueden ser útiles para la implementación
de ciertos circuitos digitales.
Todas las operaciones lógicas presentadas, con la excepción de NOT, pueden ser generalizadas a más
de dos variables u operandos, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Algebra Booleana
La siguiente tabla sintetiza las identidades claves del álgebra Booleana. Las ecuaciones se han
organizado en dos columnas para mostrar la naturaleza complementaria o dual de las operaciones
AND y OR. Hay dos clases de identidades: reglas básicas (postulados), los cuales se plantean sin
prueba alguna, y otras identidades que pueden ser derivadas de los postulados básicos. Los
postulados definen la manera en la que las expresiones Booleanas son interpretadas.

Vale la pena notar una de las Leyes Distributivas porque difiere de lo que se vería en el álgebra
ordinaria:
Las expresiones del Teorema de DeMorgan pueden ser replanteadas como sigue:

CompuertasLógicas
El elemento fundamental de construcción de todo circuito lógico digital es la compuerta lógica. Las
funciones lógicas se implementan mediante la interconexión de compuertas lógicas.
Una compuerta es un circuito
electrónico que produce una señal de
salida, la cual es la una operación
booleana simple sobre sus señales
de entrada. Las compuertas lógicas
básicas usadas en circuitos digitales
son AND, OR, NOT, NAND, NOR y
XOR.
La tabla muestra el nombre, símbolo,
función algebraica y Tabla de Verdad
de cada compuerta. Los símbolos
utilizados corresponden al estándar
IEEE Std 91.
Note que la inversión (NOT) se indica
con un círculo.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.

Nota: En algunos casos, una compuerta se implementa con dos salidas, la salida original
correspondiente a la función de la compuerta y la otra salida como el complemento de la original.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.
Cuando una o más de los valores de entrada cambian, la salida correcta correspondiente aparece casi
instantáneamente, retrasada solo por el tiempo de propagación de las señales a través de la
compuerta (retardo de compuerta – gate delay). El significado de este retardo se discutirá
posteriormente.

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Típicamente, no todos los tipos de compuertas son usados en la implementación de un circuito digital.
El diseño de un circuito digital es más simple si se usan uno o dos tipos de compuertas. Entonces, es
importante identificar conjuntos de compuertas funcionalmente completos. Esto significa que
cualquier función Booleana puede implementarse usando solamente las compuertas en el conjunto.
Los siguientes son conjuntos funcionalmente completos:
•
•
•
•
•

AND, OR, NOT
AND, NOT
OR, NOT
NAND
NOR

Es claro que las compuertas AND, OR y NOT constituyen un conjunto funcionalmente completo, ya
que representan las tres operaciones básicas del álgebra Booleana.
Para que las compuertas AND y NOT conformen un conjunto funcionalmente completo, debe existir
una manera de sintetizar la operación OR a partir de operaciones AND y NOT. Esto puede lograrse
aplicando el Teorema de DeMorgan:

De la misma manera, las operaciones OR y NOT son un conjunto funcionalmente completo por que
pueden ser usadas para sintetizar la operación AND.

Algebra Booleana

Algebra Booleana


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Algebra Booleana y Compuertas Lógicas
AND, OR, NOT, XOR, NAND e Identidades del Algebra Booleana

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Los circuitos en computadoras y otros sistemas digitales son diseñados y analizados con el uso de una
disciplina matemática conocida como Algebra de Boole.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864),
matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del
siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones
de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el
ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de
conmutación eléctrica biestables (dos estados o estados binarios), en 1948.

George Boole

Claude Shannon

Algebra Booleana
El álgebra Booleana es una herramienta conveniente en dos áreas:
• Análisis: Es una manera económica de describir la función de circuitos digitales.
• Diseño: Dada una función deseada, el álgebra Booleana puede ser aplicada para desarrollar una
implementación simplificada de esta función.
Tal como es el caso con cualquier álgebra, el álgebra Boolena usa variables y operaciones. En este
caso, las variables y las operaciones son lógicas. Por lo tanto, una variable puede tener un valor de 1
(VERDADERO) o 0 (FALSO). Las operaciones lógicas básicas son AND, OR y NOT (complemento o
negación) las cuales son simbólicamente representadas por un punto o signo de multiplicación (. o x),
por el signo más (+) y por una barra alta, respectivamente:

La operación AND da un valor verdadero (1) si y sólo si ambos operandos son verdaderos (1). La
operación OR da un valor verdadero (1) si cualquiera de los operandos es verdadero (1). La operación
unaria NOT invierte el valor de su operando. Por ejemplo, considere la ecuación

D = 1 si A = 1 o si ambas, B = 0 y C = 1. De otra manera D = 0.

Algebra Booleana
Se requieren varios puntos concernientes a la notación. En la ausencia de paréntesis, la operación
AND tiene precedencia sobre la operación OR (tal como es el caso de la multiplicación y la suma,
respectivamente, en la algebra normal). Además, cuando no hay ambigüedad, la operación AND se
representa mediante simple concatenación en lugar del operador punto o x. Entonces,

Lo cual significa obtener la operación AND entre B y C y después la operación OR entre A y este
resultado.
La siguiente tabla defina la operaciones lógicas básicas en una forma conocida como Tabla de Verdad,
la cual enlista el valor de una operación para toda posible combinación de los valores de los
operandos. La tabla también presenta otros tres operadores: XOR (OR Exclusivo), NAND
(Complemento o Negación de AND) y NOR (Complemento o Negación de OR). La operación XOR
entre dos operandos es 1 si y sólo si exactamente uno de los operandos es 1.

Algebra Booleana
Esto es

Como se verá próximamente, estas tres nuevas operaciones pueden ser útiles para la implementación
de ciertos circuitos digitales.
Todas las operaciones lógicas presentadas, con la excepción de NOT, pueden ser generalizadas a más
de dos variables u operandos, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Algebra Booleana
La siguiente tabla sintetiza las identidades claves del álgebra Booleana. Las ecuaciones se han
organizado en dos columnas para mostrar la naturaleza complementaria o dual de las operaciones
AND y OR. Hay dos clases de identidades: reglas básicas (postulados), los cuales se plantean sin
prueba alguna, y otras identidades que pueden ser derivadas de los postulados básicos. Los
postulados definen la manera en la que las expresiones Booleanas son interpretadas.

Vale la pena notar una de las Leyes Distributivas porque difiere de lo que se vería en el álgebra
ordinaria:
Las expresiones del Teorema de DeMorgan pueden ser replanteadas como sigue:

CompuertasLógicas
El elemento fundamental de construcción de todo circuito lógico digital es la compuerta lógica. Las
funciones lógicas se implementan mediante la interconexión de compuertas lógicas.
Una compuerta es un circuito
electrónico que produce una señal de
salida, la cual es la una operación
booleana simple sobre sus señales
de entrada. Las compuertas lógicas
básicas usadas en circuitos digitales
son AND, OR, NOT, NAND, NOR y
XOR.
La tabla muestra el nombre, símbolo,
función algebraica y Tabla de Verdad
de cada compuerta. Los símbolos
utilizados corresponden al estándar
IEEE Std 91.
Note que la inversión (NOT) se indica
con un círculo.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.

Nota: En algunos casos, una compuerta se implementa con dos salidas, la salida original
correspondiente a la función de la compuerta y la otra salida como el complemento de la original.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.
Cuando una o más de los valores de entrada cambian, la salida correcta correspondiente aparece casi
instantáneamente, retrasada solo por el tiempo de propagación de las señales a través de la
compuerta (retardo de compuerta – gate delay). El significado de este retardo se discutirá
posteriormente.

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Típicamente, no todos los tipos de compuertas son usados en la implementación de un circuito digital.
El diseño de un circuito digital es más simple si se usan uno o dos tipos de compuertas. Entonces, es
importante identificar conjuntos de compuertas funcionalmente completos. Esto significa que
cualquier función Booleana puede implementarse usando solamente las compuertas en el conjunto.
Los siguientes son conjuntos funcionalmente completos:
•
•
•
•
•

AND, OR, NOT
AND, NOT
OR, NOT
NAND
NOR

Es claro que las compuertas AND, OR y NOT constituyen un conjunto funcionalmente completo, ya
que representan las tres operaciones básicas del álgebra Booleana.
Para que las compuertas AND y NOT conformen un conjunto funcionalmente completo, debe existir
una manera de sintetizar la operación OR a partir de operaciones AND y NOT. Esto puede lograrse
aplicando el Teorema de DeMorgan:

De la misma manera, las operaciones OR y NOT son un conjunto funcionalmente completo por que
pueden ser usadas para sintetizar la operación AND.

Algebra Booleana

Algebra Booleana


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Algebra Booleana y Compuertas Lógicas
AND, OR, NOT, XOR, NAND e Identidades del Algebra Booleana

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Los circuitos en computadoras y otros sistemas digitales son diseñados y analizados con el uso de una
disciplina matemática conocida como Algebra de Boole.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864),
matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del
siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones
de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el
ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de
conmutación eléctrica biestables (dos estados o estados binarios), en 1948.

George Boole

Claude Shannon

Algebra Booleana
El álgebra Booleana es una herramienta conveniente en dos áreas:
• Análisis: Es una manera económica de describir la función de circuitos digitales.
• Diseño: Dada una función deseada, el álgebra Booleana puede ser aplicada para desarrollar una
implementación simplificada de esta función.
Tal como es el caso con cualquier álgebra, el álgebra Boolena usa variables y operaciones. En este
caso, las variables y las operaciones son lógicas. Por lo tanto, una variable puede tener un valor de 1
(VERDADERO) o 0 (FALSO). Las operaciones lógicas básicas son AND, OR y NOT (complemento o
negación) las cuales son simbólicamente representadas por un punto o signo de multiplicación (. o x),
por el signo más (+) y por una barra alta, respectivamente:

La operación AND da un valor verdadero (1) si y sólo si ambos operandos son verdaderos (1). La
operación OR da un valor verdadero (1) si cualquiera de los operandos es verdadero (1). La operación
unaria NOT invierte el valor de su operando. Por ejemplo, considere la ecuación

D = 1 si A = 1 o si ambas, B = 0 y C = 1. De otra manera D = 0.

Algebra Booleana
Se requieren varios puntos concernientes a la notación. En la ausencia de paréntesis, la operación
AND tiene precedencia sobre la operación OR (tal como es el caso de la multiplicación y la suma,
respectivamente, en la algebra normal). Además, cuando no hay ambigüedad, la operación AND se
representa mediante simple concatenación en lugar del operador punto o x. Entonces,

Lo cual significa obtener la operación AND entre B y C y después la operación OR entre A y este
resultado.
La siguiente tabla defina la operaciones lógicas básicas en una forma conocida como Tabla de Verdad,
la cual enlista el valor de una operación para toda posible combinación de los valores de los
operandos. La tabla también presenta otros tres operadores: XOR (OR Exclusivo), NAND
(Complemento o Negación de AND) y NOR (Complemento o Negación de OR). La operación XOR
entre dos operandos es 1 si y sólo si exactamente uno de los operandos es 1.

Algebra Booleana
Esto es

Como se verá próximamente, estas tres nuevas operaciones pueden ser útiles para la implementación
de ciertos circuitos digitales.
Todas las operaciones lógicas presentadas, con la excepción de NOT, pueden ser generalizadas a más
de dos variables u operandos, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Algebra Booleana
La siguiente tabla sintetiza las identidades claves del álgebra Booleana. Las ecuaciones se han
organizado en dos columnas para mostrar la naturaleza complementaria o dual de las operaciones
AND y OR. Hay dos clases de identidades: reglas básicas (postulados), los cuales se plantean sin
prueba alguna, y otras identidades que pueden ser derivadas de los postulados básicos. Los
postulados definen la manera en la que las expresiones Booleanas son interpretadas.

Vale la pena notar una de las Leyes Distributivas porque difiere de lo que se vería en el álgebra
ordinaria:
Las expresiones del Teorema de DeMorgan pueden ser replanteadas como sigue:

CompuertasLógicas
El elemento fundamental de construcción de todo circuito lógico digital es la compuerta lógica. Las
funciones lógicas se implementan mediante la interconexión de compuertas lógicas.
Una compuerta es un circuito
electrónico que produce una señal de
salida, la cual es la una operación
booleana simple sobre sus señales
de entrada. Las compuertas lógicas
básicas usadas en circuitos digitales
son AND, OR, NOT, NAND, NOR y
XOR.
La tabla muestra el nombre, símbolo,
función algebraica y Tabla de Verdad
de cada compuerta. Los símbolos
utilizados corresponden al estándar
IEEE Std 91.
Note que la inversión (NOT) se indica
con un círculo.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.

Nota: En algunos casos, una compuerta se implementa con dos salidas, la salida original
correspondiente a la función de la compuerta y la otra salida como el complemento de la original.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.
Cuando una o más de los valores de entrada cambian, la salida correcta correspondiente aparece casi
instantáneamente, retrasada solo por el tiempo de propagación de las señales a través de la
compuerta (retardo de compuerta – gate delay). El significado de este retardo se discutirá
posteriormente.

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Típicamente, no todos los tipos de compuertas son usados en la implementación de un circuito digital.
El diseño de un circuito digital es más simple si se usan uno o dos tipos de compuertas. Entonces, es
importante identificar conjuntos de compuertas funcionalmente completos. Esto significa que
cualquier función Booleana puede implementarse usando solamente las compuertas en el conjunto.
Los siguientes son conjuntos funcionalmente completos:
•
•
•
•
•

AND, OR, NOT
AND, NOT
OR, NOT
NAND
NOR

Es claro que las compuertas AND, OR y NOT constituyen un conjunto funcionalmente completo, ya
que representan las tres operaciones básicas del álgebra Booleana.
Para que las compuertas AND y NOT conformen un conjunto funcionalmente completo, debe existir
una manera de sintetizar la operación OR a partir de operaciones AND y NOT. Esto puede lograrse
aplicando el Teorema de DeMorgan:

De la misma manera, las operaciones OR y NOT son un conjunto funcionalmente completo por que
pueden ser usadas para sintetizar la operación AND.

Algebra Booleana

Algebra Booleana


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Algebra Booleana y Compuertas Lógicas
AND, OR, NOT, XOR, NAND e Identidades del Algebra Booleana

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Los circuitos en computadoras y otros sistemas digitales son diseñados y analizados con el uso de una
disciplina matemática conocida como Algebra de Boole.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864),
matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del
siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones
de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el
ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de
conmutación eléctrica biestables (dos estados o estados binarios), en 1948.

George Boole

Claude Shannon

Algebra Booleana
El álgebra Booleana es una herramienta conveniente en dos áreas:
• Análisis: Es una manera económica de describir la función de circuitos digitales.
• Diseño: Dada una función deseada, el álgebra Booleana puede ser aplicada para desarrollar una
implementación simplificada de esta función.
Tal como es el caso con cualquier álgebra, el álgebra Boolena usa variables y operaciones. En este
caso, las variables y las operaciones son lógicas. Por lo tanto, una variable puede tener un valor de 1
(VERDADERO) o 0 (FALSO). Las operaciones lógicas básicas son AND, OR y NOT (complemento o
negación) las cuales son simbólicamente representadas por un punto o signo de multiplicación (. o x),
por el signo más (+) y por una barra alta, respectivamente:

La operación AND da un valor verdadero (1) si y sólo si ambos operandos son verdaderos (1). La
operación OR da un valor verdadero (1) si cualquiera de los operandos es verdadero (1). La operación
unaria NOT invierte el valor de su operando. Por ejemplo, considere la ecuación

D = 1 si A = 1 o si ambas, B = 0 y C = 1. De otra manera D = 0.

Algebra Booleana
Se requieren varios puntos concernientes a la notación. En la ausencia de paréntesis, la operación
AND tiene precedencia sobre la operación OR (tal como es el caso de la multiplicación y la suma,
respectivamente, en la algebra normal). Además, cuando no hay ambigüedad, la operación AND se
representa mediante simple concatenación en lugar del operador punto o x. Entonces,

Lo cual significa obtener la operación AND entre B y C y después la operación OR entre A y este
resultado.
La siguiente tabla defina la operaciones lógicas básicas en una forma conocida como Tabla de Verdad,
la cual enlista el valor de una operación para toda posible combinación de los valores de los
operandos. La tabla también presenta otros tres operadores: XOR (OR Exclusivo), NAND
(Complemento o Negación de AND) y NOR (Complemento o Negación de OR). La operación XOR
entre dos operandos es 1 si y sólo si exactamente uno de los operandos es 1.

Algebra Booleana
Esto es

Como se verá próximamente, estas tres nuevas operaciones pueden ser útiles para la implementación
de ciertos circuitos digitales.
Todas las operaciones lógicas presentadas, con la excepción de NOT, pueden ser generalizadas a más
de dos variables u operandos, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Algebra Booleana
La siguiente tabla sintetiza las identidades claves del álgebra Booleana. Las ecuaciones se han
organizado en dos columnas para mostrar la naturaleza complementaria o dual de las operaciones
AND y OR. Hay dos clases de identidades: reglas básicas (postulados), los cuales se plantean sin
prueba alguna, y otras identidades que pueden ser derivadas de los postulados básicos. Los
postulados definen la manera en la que las expresiones Booleanas son interpretadas.

Vale la pena notar una de las Leyes Distributivas porque difiere de lo que se vería en el álgebra
ordinaria:
Las expresiones del Teorema de DeMorgan pueden ser replanteadas como sigue:

CompuertasLógicas
El elemento fundamental de construcción de todo circuito lógico digital es la compuerta lógica. Las
funciones lógicas se implementan mediante la interconexión de compuertas lógicas.
Una compuerta es un circuito
electrónico que produce una señal de
salida, la cual es la una operación
booleana simple sobre sus señales
de entrada. Las compuertas lógicas
básicas usadas en circuitos digitales
son AND, OR, NOT, NAND, NOR y
XOR.
La tabla muestra el nombre, símbolo,
función algebraica y Tabla de Verdad
de cada compuerta. Los símbolos
utilizados corresponden al estándar
IEEE Std 91.
Note que la inversión (NOT) se indica
con un círculo.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.

Nota: En algunos casos, una compuerta se implementa con dos salidas, la salida original
correspondiente a la función de la compuerta y la otra salida como el complemento de la original.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.
Cuando una o más de los valores de entrada cambian, la salida correcta correspondiente aparece casi
instantáneamente, retrasada solo por el tiempo de propagación de las señales a través de la
compuerta (retardo de compuerta – gate delay). El significado de este retardo se discutirá
posteriormente.

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Típicamente, no todos los tipos de compuertas son usados en la implementación de un circuito digital.
El diseño de un circuito digital es más simple si se usan uno o dos tipos de compuertas. Entonces, es
importante identificar conjuntos de compuertas funcionalmente completos. Esto significa que
cualquier función Booleana puede implementarse usando solamente las compuertas en el conjunto.
Los siguientes son conjuntos funcionalmente completos:
•
•
•
•
•

AND, OR, NOT
AND, NOT
OR, NOT
NAND
NOR

Es claro que las compuertas AND, OR y NOT constituyen un conjunto funcionalmente completo, ya
que representan las tres operaciones básicas del álgebra Booleana.
Para que las compuertas AND y NOT conformen un conjunto funcionalmente completo, debe existir
una manera de sintetizar la operación OR a partir de operaciones AND y NOT. Esto puede lograrse
aplicando el Teorema de DeMorgan:

De la misma manera, las operaciones OR y NOT son un conjunto funcionalmente completo por que
pueden ser usadas para sintetizar la operación AND.

Algebra Booleana

Algebra Booleana


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Algebra Booleana y Compuertas Lógicas
AND, OR, NOT, XOR, NAND e Identidades del Algebra Booleana

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Los circuitos en computadoras y otros sistemas digitales son diseñados y analizados con el uso de una
disciplina matemática conocida como Algebra de Boole.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864),
matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del
siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones
de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el
ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de
conmutación eléctrica biestables (dos estados o estados binarios), en 1948.

George Boole

Claude Shannon

Algebra Booleana
El álgebra Booleana es una herramienta conveniente en dos áreas:
• Análisis: Es una manera económica de describir la función de circuitos digitales.
• Diseño: Dada una función deseada, el álgebra Booleana puede ser aplicada para desarrollar una
implementación simplificada de esta función.
Tal como es el caso con cualquier álgebra, el álgebra Boolena usa variables y operaciones. En este
caso, las variables y las operaciones son lógicas. Por lo tanto, una variable puede tener un valor de 1
(VERDADERO) o 0 (FALSO). Las operaciones lógicas básicas son AND, OR y NOT (complemento o
negación) las cuales son simbólicamente representadas por un punto o signo de multiplicación (. o x),
por el signo más (+) y por una barra alta, respectivamente:

La operación AND da un valor verdadero (1) si y sólo si ambos operandos son verdaderos (1). La
operación OR da un valor verdadero (1) si cualquiera de los operandos es verdadero (1). La operación
unaria NOT invierte el valor de su operando. Por ejemplo, considere la ecuación

D = 1 si A = 1 o si ambas, B = 0 y C = 1. De otra manera D = 0.

Algebra Booleana
Se requieren varios puntos concernientes a la notación. En la ausencia de paréntesis, la operación
AND tiene precedencia sobre la operación OR (tal como es el caso de la multiplicación y la suma,
respectivamente, en la algebra normal). Además, cuando no hay ambigüedad, la operación AND se
representa mediante simple concatenación en lugar del operador punto o x. Entonces,

Lo cual significa obtener la operación AND entre B y C y después la operación OR entre A y este
resultado.
La siguiente tabla defina la operaciones lógicas básicas en una forma conocida como Tabla de Verdad,
la cual enlista el valor de una operación para toda posible combinación de los valores de los
operandos. La tabla también presenta otros tres operadores: XOR (OR Exclusivo), NAND
(Complemento o Negación de AND) y NOR (Complemento o Negación de OR). La operación XOR
entre dos operandos es 1 si y sólo si exactamente uno de los operandos es 1.

Algebra Booleana
Esto es

Como se verá próximamente, estas tres nuevas operaciones pueden ser útiles para la implementación
de ciertos circuitos digitales.
Todas las operaciones lógicas presentadas, con la excepción de NOT, pueden ser generalizadas a más
de dos variables u operandos, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Algebra Booleana
La siguiente tabla sintetiza las identidades claves del álgebra Booleana. Las ecuaciones se han
organizado en dos columnas para mostrar la naturaleza complementaria o dual de las operaciones
AND y OR. Hay dos clases de identidades: reglas básicas (postulados), los cuales se plantean sin
prueba alguna, y otras identidades que pueden ser derivadas de los postulados básicos. Los
postulados definen la manera en la que las expresiones Booleanas son interpretadas.

Vale la pena notar una de las Leyes Distributivas porque difiere de lo que se vería en el álgebra
ordinaria:
Las expresiones del Teorema de DeMorgan pueden ser replanteadas como sigue:

CompuertasLógicas
El elemento fundamental de construcción de todo circuito lógico digital es la compuerta lógica. Las
funciones lógicas se implementan mediante la interconexión de compuertas lógicas.
Una compuerta es un circuito
electrónico que produce una señal de
salida, la cual es la una operación
booleana simple sobre sus señales
de entrada. Las compuertas lógicas
básicas usadas en circuitos digitales
son AND, OR, NOT, NAND, NOR y
XOR.
La tabla muestra el nombre, símbolo,
función algebraica y Tabla de Verdad
de cada compuerta. Los símbolos
utilizados corresponden al estándar
IEEE Std 91.
Note que la inversión (NOT) se indica
con un círculo.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.

Nota: En algunos casos, una compuerta se implementa con dos salidas, la salida original
correspondiente a la función de la compuerta y la otra salida como el complemento de la original.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.
Cuando una o más de los valores de entrada cambian, la salida correcta correspondiente aparece casi
instantáneamente, retrasada solo por el tiempo de propagación de las señales a través de la
compuerta (retardo de compuerta – gate delay). El significado de este retardo se discutirá
posteriormente.

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Típicamente, no todos los tipos de compuertas son usados en la implementación de un circuito digital.
El diseño de un circuito digital es más simple si se usan uno o dos tipos de compuertas. Entonces, es
importante identificar conjuntos de compuertas funcionalmente completos. Esto significa que
cualquier función Booleana puede implementarse usando solamente las compuertas en el conjunto.
Los siguientes son conjuntos funcionalmente completos:
•
•
•
•
•

AND, OR, NOT
AND, NOT
OR, NOT
NAND
NOR

Es claro que las compuertas AND, OR y NOT constituyen un conjunto funcionalmente completo, ya
que representan las tres operaciones básicas del álgebra Booleana.
Para que las compuertas AND y NOT conformen un conjunto funcionalmente completo, debe existir
una manera de sintetizar la operación OR a partir de operaciones AND y NOT. Esto puede lograrse
aplicando el Teorema de DeMorgan:

De la misma manera, las operaciones OR y NOT son un conjunto funcionalmente completo por que
pueden ser usadas para sintetizar la operación AND.

Algebra Booleana

Algebra Booleana


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Algebra Booleana y Compuertas Lógicas
AND, OR, NOT, XOR, NAND e Identidades del Algebra Booleana

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Los circuitos en computadoras y otros sistemas digitales son diseñados y analizados con el uso de una
disciplina matemática conocida como Algebra de Boole.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864),
matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del
siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones
de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el
ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de
conmutación eléctrica biestables (dos estados o estados binarios), en 1948.

George Boole

Claude Shannon

Algebra Booleana
El álgebra Booleana es una herramienta conveniente en dos áreas:
• Análisis: Es una manera económica de describir la función de circuitos digitales.
• Diseño: Dada una función deseada, el álgebra Booleana puede ser aplicada para desarrollar una
implementación simplificada de esta función.
Tal como es el caso con cualquier álgebra, el álgebra Boolena usa variables y operaciones. En este
caso, las variables y las operaciones son lógicas. Por lo tanto, una variable puede tener un valor de 1
(VERDADERO) o 0 (FALSO). Las operaciones lógicas básicas son AND, OR y NOT (complemento o
negación) las cuales son simbólicamente representadas por un punto o signo de multiplicación (. o x),
por el signo más (+) y por una barra alta, respectivamente:

La operación AND da un valor verdadero (1) si y sólo si ambos operandos son verdaderos (1). La
operación OR da un valor verdadero (1) si cualquiera de los operandos es verdadero (1). La operación
unaria NOT invierte el valor de su operando. Por ejemplo, considere la ecuación

D = 1 si A = 1 o si ambas, B = 0 y C = 1. De otra manera D = 0.

Algebra Booleana
Se requieren varios puntos concernientes a la notación. En la ausencia de paréntesis, la operación
AND tiene precedencia sobre la operación OR (tal como es el caso de la multiplicación y la suma,
respectivamente, en la algebra normal). Además, cuando no hay ambigüedad, la operación AND se
representa mediante simple concatenación en lugar del operador punto o x. Entonces,

Lo cual significa obtener la operación AND entre B y C y después la operación OR entre A y este
resultado.
La siguiente tabla defina la operaciones lógicas básicas en una forma conocida como Tabla de Verdad,
la cual enlista el valor de una operación para toda posible combinación de los valores de los
operandos. La tabla también presenta otros tres operadores: XOR (OR Exclusivo), NAND
(Complemento o Negación de AND) y NOR (Complemento o Negación de OR). La operación XOR
entre dos operandos es 1 si y sólo si exactamente uno de los operandos es 1.

Algebra Booleana
Esto es

Como se verá próximamente, estas tres nuevas operaciones pueden ser útiles para la implementación
de ciertos circuitos digitales.
Todas las operaciones lógicas presentadas, con la excepción de NOT, pueden ser generalizadas a más
de dos variables u operandos, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Algebra Booleana
La siguiente tabla sintetiza las identidades claves del álgebra Booleana. Las ecuaciones se han
organizado en dos columnas para mostrar la naturaleza complementaria o dual de las operaciones
AND y OR. Hay dos clases de identidades: reglas básicas (postulados), los cuales se plantean sin
prueba alguna, y otras identidades que pueden ser derivadas de los postulados básicos. Los
postulados definen la manera en la que las expresiones Booleanas son interpretadas.

Vale la pena notar una de las Leyes Distributivas porque difiere de lo que se vería en el álgebra
ordinaria:
Las expresiones del Teorema de DeMorgan pueden ser replanteadas como sigue:

CompuertasLógicas
El elemento fundamental de construcción de todo circuito lógico digital es la compuerta lógica. Las
funciones lógicas se implementan mediante la interconexión de compuertas lógicas.
Una compuerta es un circuito
electrónico que produce una señal de
salida, la cual es la una operación
booleana simple sobre sus señales
de entrada. Las compuertas lógicas
básicas usadas en circuitos digitales
son AND, OR, NOT, NAND, NOR y
XOR.
La tabla muestra el nombre, símbolo,
función algebraica y Tabla de Verdad
de cada compuerta. Los símbolos
utilizados corresponden al estándar
IEEE Std 91.
Note que la inversión (NOT) se indica
con un círculo.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.

Nota: En algunos casos, una compuerta se implementa con dos salidas, la salida original
correspondiente a la función de la compuerta y la otra salida como el complemento de la original.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.
Cuando una o más de los valores de entrada cambian, la salida correcta correspondiente aparece casi
instantáneamente, retrasada solo por el tiempo de propagación de las señales a través de la
compuerta (retardo de compuerta – gate delay). El significado de este retardo se discutirá
posteriormente.

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Típicamente, no todos los tipos de compuertas son usados en la implementación de un circuito digital.
El diseño de un circuito digital es más simple si se usan uno o dos tipos de compuertas. Entonces, es
importante identificar conjuntos de compuertas funcionalmente completos. Esto significa que
cualquier función Booleana puede implementarse usando solamente las compuertas en el conjunto.
Los siguientes son conjuntos funcionalmente completos:
•
•
•
•
•

AND, OR, NOT
AND, NOT
OR, NOT
NAND
NOR

Es claro que las compuertas AND, OR y NOT constituyen un conjunto funcionalmente completo, ya
que representan las tres operaciones básicas del álgebra Booleana.
Para que las compuertas AND y NOT conformen un conjunto funcionalmente completo, debe existir
una manera de sintetizar la operación OR a partir de operaciones AND y NOT. Esto puede lograrse
aplicando el Teorema de DeMorgan:

De la misma manera, las operaciones OR y NOT son un conjunto funcionalmente completo por que
pueden ser usadas para sintetizar la operación AND.

Algebra Booleana

Algebra Booleana


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Algebra Booleana y Compuertas Lógicas
AND, OR, NOT, XOR, NAND e Identidades del Algebra Booleana

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Los circuitos en computadoras y otros sistemas digitales son diseñados y analizados con el uso de una
disciplina matemática conocida como Algebra de Boole.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864),
matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del
siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones
de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el
ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de
conmutación eléctrica biestables (dos estados o estados binarios), en 1948.

George Boole

Claude Shannon

Algebra Booleana
El álgebra Booleana es una herramienta conveniente en dos áreas:
• Análisis: Es una manera económica de describir la función de circuitos digitales.
• Diseño: Dada una función deseada, el álgebra Booleana puede ser aplicada para desarrollar una
implementación simplificada de esta función.
Tal como es el caso con cualquier álgebra, el álgebra Boolena usa variables y operaciones. En este
caso, las variables y las operaciones son lógicas. Por lo tanto, una variable puede tener un valor de 1
(VERDADERO) o 0 (FALSO). Las operaciones lógicas básicas son AND, OR y NOT (complemento o
negación) las cuales son simbólicamente representadas por un punto o signo de multiplicación (. o x),
por el signo más (+) y por una barra alta, respectivamente:

La operación AND da un valor verdadero (1) si y sólo si ambos operandos son verdaderos (1). La
operación OR da un valor verdadero (1) si cualquiera de los operandos es verdadero (1). La operación
unaria NOT invierte el valor de su operando. Por ejemplo, considere la ecuación

D = 1 si A = 1 o si ambas, B = 0 y C = 1. De otra manera D = 0.

Algebra Booleana
Se requieren varios puntos concernientes a la notación. En la ausencia de paréntesis, la operación
AND tiene precedencia sobre la operación OR (tal como es el caso de la multiplicación y la suma,
respectivamente, en la algebra normal). Además, cuando no hay ambigüedad, la operación AND se
representa mediante simple concatenación en lugar del operador punto o x. Entonces,

Lo cual significa obtener la operación AND entre B y C y después la operación OR entre A y este
resultado.
La siguiente tabla defina la operaciones lógicas básicas en una forma conocida como Tabla de Verdad,
la cual enlista el valor de una operación para toda posible combinación de los valores de los
operandos. La tabla también presenta otros tres operadores: XOR (OR Exclusivo), NAND
(Complemento o Negación de AND) y NOR (Complemento o Negación de OR). La operación XOR
entre dos operandos es 1 si y sólo si exactamente uno de los operandos es 1.

Algebra Booleana
Esto es

Como se verá próximamente, estas tres nuevas operaciones pueden ser útiles para la implementación
de ciertos circuitos digitales.
Todas las operaciones lógicas presentadas, con la excepción de NOT, pueden ser generalizadas a más
de dos variables u operandos, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Algebra Booleana
La siguiente tabla sintetiza las identidades claves del álgebra Booleana. Las ecuaciones se han
organizado en dos columnas para mostrar la naturaleza complementaria o dual de las operaciones
AND y OR. Hay dos clases de identidades: reglas básicas (postulados), los cuales se plantean sin
prueba alguna, y otras identidades que pueden ser derivadas de los postulados básicos. Los
postulados definen la manera en la que las expresiones Booleanas son interpretadas.

Vale la pena notar una de las Leyes Distributivas porque difiere de lo que se vería en el álgebra
ordinaria:
Las expresiones del Teorema de DeMorgan pueden ser replanteadas como sigue:

CompuertasLógicas
El elemento fundamental de construcción de todo circuito lógico digital es la compuerta lógica. Las
funciones lógicas se implementan mediante la interconexión de compuertas lógicas.
Una compuerta es un circuito
electrónico que produce una señal de
salida, la cual es la una operación
booleana simple sobre sus señales
de entrada. Las compuertas lógicas
básicas usadas en circuitos digitales
son AND, OR, NOT, NAND, NOR y
XOR.
La tabla muestra el nombre, símbolo,
función algebraica y Tabla de Verdad
de cada compuerta. Los símbolos
utilizados corresponden al estándar
IEEE Std 91.
Note que la inversión (NOT) se indica
con un círculo.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.

Nota: En algunos casos, una compuerta se implementa con dos salidas, la salida original
correspondiente a la función de la compuerta y la otra salida como el complemento de la original.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.
Cuando una o más de los valores de entrada cambian, la salida correcta correspondiente aparece casi
instantáneamente, retrasada solo por el tiempo de propagación de las señales a través de la
compuerta (retardo de compuerta – gate delay). El significado de este retardo se discutirá
posteriormente.

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Típicamente, no todos los tipos de compuertas son usados en la implementación de un circuito digital.
El diseño de un circuito digital es más simple si se usan uno o dos tipos de compuertas. Entonces, es
importante identificar conjuntos de compuertas funcionalmente completos. Esto significa que
cualquier función Booleana puede implementarse usando solamente las compuertas en el conjunto.
Los siguientes son conjuntos funcionalmente completos:
•
•
•
•
•

AND, OR, NOT
AND, NOT
OR, NOT
NAND
NOR

Es claro que las compuertas AND, OR y NOT constituyen un conjunto funcionalmente completo, ya
que representan las tres operaciones básicas del álgebra Booleana.
Para que las compuertas AND y NOT conformen un conjunto funcionalmente completo, debe existir
una manera de sintetizar la operación OR a partir de operaciones AND y NOT. Esto puede lograrse
aplicando el Teorema de DeMorgan:

De la misma manera, las operaciones OR y NOT son un conjunto funcionalmente completo por que
pueden ser usadas para sintetizar la operación AND.

Algebra Booleana

Algebra Booleana


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Algebra Booleana y Compuertas Lógicas
AND, OR, NOT, XOR, NAND e Identidades del Algebra Booleana

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Los circuitos en computadoras y otros sistemas digitales son diseñados y analizados con el uso de una
disciplina matemática conocida como Algebra de Boole.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864),
matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del
siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones
de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el
ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de
conmutación eléctrica biestables (dos estados o estados binarios), en 1948.

George Boole

Claude Shannon

Algebra Booleana
El álgebra Booleana es una herramienta conveniente en dos áreas:
• Análisis: Es una manera económica de describir la función de circuitos digitales.
• Diseño: Dada una función deseada, el álgebra Booleana puede ser aplicada para desarrollar una
implementación simplificada de esta función.
Tal como es el caso con cualquier álgebra, el álgebra Boolena usa variables y operaciones. En este
caso, las variables y las operaciones son lógicas. Por lo tanto, una variable puede tener un valor de 1
(VERDADERO) o 0 (FALSO). Las operaciones lógicas básicas son AND, OR y NOT (complemento o
negación) las cuales son simbólicamente representadas por un punto o signo de multiplicación (. o x),
por el signo más (+) y por una barra alta, respectivamente:

La operación AND da un valor verdadero (1) si y sólo si ambos operandos son verdaderos (1). La
operación OR da un valor verdadero (1) si cualquiera de los operandos es verdadero (1). La operación
unaria NOT invierte el valor de su operando. Por ejemplo, considere la ecuación

D = 1 si A = 1 o si ambas, B = 0 y C = 1. De otra manera D = 0.

Algebra Booleana
Se requieren varios puntos concernientes a la notación. En la ausencia de paréntesis, la operación
AND tiene precedencia sobre la operación OR (tal como es el caso de la multiplicación y la suma,
respectivamente, en la algebra normal). Además, cuando no hay ambigüedad, la operación AND se
representa mediante simple concatenación en lugar del operador punto o x. Entonces,

Lo cual significa obtener la operación AND entre B y C y después la operación OR entre A y este
resultado.
La siguiente tabla defina la operaciones lógicas básicas en una forma conocida como Tabla de Verdad,
la cual enlista el valor de una operación para toda posible combinación de los valores de los
operandos. La tabla también presenta otros tres operadores: XOR (OR Exclusivo), NAND
(Complemento o Negación de AND) y NOR (Complemento o Negación de OR). La operación XOR
entre dos operandos es 1 si y sólo si exactamente uno de los operandos es 1.

Algebra Booleana
Esto es

Como se verá próximamente, estas tres nuevas operaciones pueden ser útiles para la implementación
de ciertos circuitos digitales.
Todas las operaciones lógicas presentadas, con la excepción de NOT, pueden ser generalizadas a más
de dos variables u operandos, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Algebra Booleana
La siguiente tabla sintetiza las identidades claves del álgebra Booleana. Las ecuaciones se han
organizado en dos columnas para mostrar la naturaleza complementaria o dual de las operaciones
AND y OR. Hay dos clases de identidades: reglas básicas (postulados), los cuales se plantean sin
prueba alguna, y otras identidades que pueden ser derivadas de los postulados básicos. Los
postulados definen la manera en la que las expresiones Booleanas son interpretadas.

Vale la pena notar una de las Leyes Distributivas porque difiere de lo que se vería en el álgebra
ordinaria:
Las expresiones del Teorema de DeMorgan pueden ser replanteadas como sigue:

CompuertasLógicas
El elemento fundamental de construcción de todo circuito lógico digital es la compuerta lógica. Las
funciones lógicas se implementan mediante la interconexión de compuertas lógicas.
Una compuerta es un circuito
electrónico que produce una señal de
salida, la cual es la una operación
booleana simple sobre sus señales
de entrada. Las compuertas lógicas
básicas usadas en circuitos digitales
son AND, OR, NOT, NAND, NOR y
XOR.
La tabla muestra el nombre, símbolo,
función algebraica y Tabla de Verdad
de cada compuerta. Los símbolos
utilizados corresponden al estándar
IEEE Std 91.
Note que la inversión (NOT) se indica
con un círculo.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.

Nota: En algunos casos, una compuerta se implementa con dos salidas, la salida original
correspondiente a la función de la compuerta y la otra salida como el complemento de la original.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.
Cuando una o más de los valores de entrada cambian, la salida correcta correspondiente aparece casi
instantáneamente, retrasada solo por el tiempo de propagación de las señales a través de la
compuerta (retardo de compuerta – gate delay). El significado de este retardo se discutirá
posteriormente.

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Típicamente, no todos los tipos de compuertas son usados en la implementación de un circuito digital.
El diseño de un circuito digital es más simple si se usan uno o dos tipos de compuertas. Entonces, es
importante identificar conjuntos de compuertas funcionalmente completos. Esto significa que
cualquier función Booleana puede implementarse usando solamente las compuertas en el conjunto.
Los siguientes son conjuntos funcionalmente completos:
•
•
•
•
•

AND, OR, NOT
AND, NOT
OR, NOT
NAND
NOR

Es claro que las compuertas AND, OR y NOT constituyen un conjunto funcionalmente completo, ya
que representan las tres operaciones básicas del álgebra Booleana.
Para que las compuertas AND y NOT conformen un conjunto funcionalmente completo, debe existir
una manera de sintetizar la operación OR a partir de operaciones AND y NOT. Esto puede lograrse
aplicando el Teorema de DeMorgan:

De la misma manera, las operaciones OR y NOT son un conjunto funcionalmente completo por que
pueden ser usadas para sintetizar la operación AND.

Algebra Booleana

Algebra Booleana


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Algebra Booleana y Compuertas Lógicas
AND, OR, NOT, XOR, NAND e Identidades del Algebra Booleana

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Los circuitos en computadoras y otros sistemas digitales son diseñados y analizados con el uso de una
disciplina matemática conocida como Algebra de Boole.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864),
matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del
siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones
de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el
ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de
conmutación eléctrica biestables (dos estados o estados binarios), en 1948.

George Boole

Claude Shannon

Algebra Booleana
El álgebra Booleana es una herramienta conveniente en dos áreas:
• Análisis: Es una manera económica de describir la función de circuitos digitales.
• Diseño: Dada una función deseada, el álgebra Booleana puede ser aplicada para desarrollar una
implementación simplificada de esta función.
Tal como es el caso con cualquier álgebra, el álgebra Boolena usa variables y operaciones. En este
caso, las variables y las operaciones son lógicas. Por lo tanto, una variable puede tener un valor de 1
(VERDADERO) o 0 (FALSO). Las operaciones lógicas básicas son AND, OR y NOT (complemento o
negación) las cuales son simbólicamente representadas por un punto o signo de multiplicación (. o x),
por el signo más (+) y por una barra alta, respectivamente:

La operación AND da un valor verdadero (1) si y sólo si ambos operandos son verdaderos (1). La
operación OR da un valor verdadero (1) si cualquiera de los operandos es verdadero (1). La operación
unaria NOT invierte el valor de su operando. Por ejemplo, considere la ecuación

D = 1 si A = 1 o si ambas, B = 0 y C = 1. De otra manera D = 0.

Algebra Booleana
Se requieren varios puntos concernientes a la notación. En la ausencia de paréntesis, la operación
AND tiene precedencia sobre la operación OR (tal como es el caso de la multiplicación y la suma,
respectivamente, en la algebra normal). Además, cuando no hay ambigüedad, la operación AND se
representa mediante simple concatenación en lugar del operador punto o x. Entonces,

Lo cual significa obtener la operación AND entre B y C y después la operación OR entre A y este
resultado.
La siguiente tabla defina la operaciones lógicas básicas en una forma conocida como Tabla de Verdad,
la cual enlista el valor de una operación para toda posible combinación de los valores de los
operandos. La tabla también presenta otros tres operadores: XOR (OR Exclusivo), NAND
(Complemento o Negación de AND) y NOR (Complemento o Negación de OR). La operación XOR
entre dos operandos es 1 si y sólo si exactamente uno de los operandos es 1.

Algebra Booleana
Esto es

Como se verá próximamente, estas tres nuevas operaciones pueden ser útiles para la implementación
de ciertos circuitos digitales.
Todas las operaciones lógicas presentadas, con la excepción de NOT, pueden ser generalizadas a más
de dos variables u operandos, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Algebra Booleana
La siguiente tabla sintetiza las identidades claves del álgebra Booleana. Las ecuaciones se han
organizado en dos columnas para mostrar la naturaleza complementaria o dual de las operaciones
AND y OR. Hay dos clases de identidades: reglas básicas (postulados), los cuales se plantean sin
prueba alguna, y otras identidades que pueden ser derivadas de los postulados básicos. Los
postulados definen la manera en la que las expresiones Booleanas son interpretadas.

Vale la pena notar una de las Leyes Distributivas porque difiere de lo que se vería en el álgebra
ordinaria:
Las expresiones del Teorema de DeMorgan pueden ser replanteadas como sigue:

CompuertasLógicas
El elemento fundamental de construcción de todo circuito lógico digital es la compuerta lógica. Las
funciones lógicas se implementan mediante la interconexión de compuertas lógicas.
Una compuerta es un circuito
electrónico que produce una señal de
salida, la cual es la una operación
booleana simple sobre sus señales
de entrada. Las compuertas lógicas
básicas usadas en circuitos digitales
son AND, OR, NOT, NAND, NOR y
XOR.
La tabla muestra el nombre, símbolo,
función algebraica y Tabla de Verdad
de cada compuerta. Los símbolos
utilizados corresponden al estándar
IEEE Std 91.
Note que la inversión (NOT) se indica
con un círculo.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.

Nota: En algunos casos, una compuerta se implementa con dos salidas, la salida original
correspondiente a la función de la compuerta y la otra salida como el complemento de la original.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.
Cuando una o más de los valores de entrada cambian, la salida correcta correspondiente aparece casi
instantáneamente, retrasada solo por el tiempo de propagación de las señales a través de la
compuerta (retardo de compuerta – gate delay). El significado de este retardo se discutirá
posteriormente.

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Típicamente, no todos los tipos de compuertas son usados en la implementación de un circuito digital.
El diseño de un circuito digital es más simple si se usan uno o dos tipos de compuertas. Entonces, es
importante identificar conjuntos de compuertas funcionalmente completos. Esto significa que
cualquier función Booleana puede implementarse usando solamente las compuertas en el conjunto.
Los siguientes son conjuntos funcionalmente completos:
•
•
•
•
•

AND, OR, NOT
AND, NOT
OR, NOT
NAND
NOR

Es claro que las compuertas AND, OR y NOT constituyen un conjunto funcionalmente completo, ya
que representan las tres operaciones básicas del álgebra Booleana.
Para que las compuertas AND y NOT conformen un conjunto funcionalmente completo, debe existir
una manera de sintetizar la operación OR a partir de operaciones AND y NOT. Esto puede lograrse
aplicando el Teorema de DeMorgan:

De la misma manera, las operaciones OR y NOT son un conjunto funcionalmente completo por que
pueden ser usadas para sintetizar la operación AND.

Algebra Booleana

Algebra Booleana


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Algebra Booleana y Compuertas Lógicas
AND, OR, NOT, XOR, NAND e Identidades del Algebra Booleana

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Los circuitos en computadoras y otros sistemas digitales son diseñados y analizados con el uso de una
disciplina matemática conocida como Algebra de Boole.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864),
matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del
siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones
de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el
ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de
conmutación eléctrica biestables (dos estados o estados binarios), en 1948.

George Boole

Claude Shannon

Algebra Booleana
El álgebra Booleana es una herramienta conveniente en dos áreas:
• Análisis: Es una manera económica de describir la función de circuitos digitales.
• Diseño: Dada una función deseada, el álgebra Booleana puede ser aplicada para desarrollar una
implementación simplificada de esta función.
Tal como es el caso con cualquier álgebra, el álgebra Boolena usa variables y operaciones. En este
caso, las variables y las operaciones son lógicas. Por lo tanto, una variable puede tener un valor de 1
(VERDADERO) o 0 (FALSO). Las operaciones lógicas básicas son AND, OR y NOT (complemento o
negación) las cuales son simbólicamente representadas por un punto o signo de multiplicación (. o x),
por el signo más (+) y por una barra alta, respectivamente:

La operación AND da un valor verdadero (1) si y sólo si ambos operandos son verdaderos (1). La
operación OR da un valor verdadero (1) si cualquiera de los operandos es verdadero (1). La operación
unaria NOT invierte el valor de su operando. Por ejemplo, considere la ecuación

D = 1 si A = 1 o si ambas, B = 0 y C = 1. De otra manera D = 0.

Algebra Booleana
Se requieren varios puntos concernientes a la notación. En la ausencia de paréntesis, la operación
AND tiene precedencia sobre la operación OR (tal como es el caso de la multiplicación y la suma,
respectivamente, en la algebra normal). Además, cuando no hay ambigüedad, la operación AND se
representa mediante simple concatenación en lugar del operador punto o x. Entonces,

Lo cual significa obtener la operación AND entre B y C y después la operación OR entre A y este
resultado.
La siguiente tabla defina la operaciones lógicas básicas en una forma conocida como Tabla de Verdad,
la cual enlista el valor de una operación para toda posible combinación de los valores de los
operandos. La tabla también presenta otros tres operadores: XOR (OR Exclusivo), NAND
(Complemento o Negación de AND) y NOR (Complemento o Negación de OR). La operación XOR
entre dos operandos es 1 si y sólo si exactamente uno de los operandos es 1.

Algebra Booleana
Esto es

Como se verá próximamente, estas tres nuevas operaciones pueden ser útiles para la implementación
de ciertos circuitos digitales.
Todas las operaciones lógicas presentadas, con la excepción de NOT, pueden ser generalizadas a más
de dos variables u operandos, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Algebra Booleana
La siguiente tabla sintetiza las identidades claves del álgebra Booleana. Las ecuaciones se han
organizado en dos columnas para mostrar la naturaleza complementaria o dual de las operaciones
AND y OR. Hay dos clases de identidades: reglas básicas (postulados), los cuales se plantean sin
prueba alguna, y otras identidades que pueden ser derivadas de los postulados básicos. Los
postulados definen la manera en la que las expresiones Booleanas son interpretadas.

Vale la pena notar una de las Leyes Distributivas porque difiere de lo que se vería en el álgebra
ordinaria:
Las expresiones del Teorema de DeMorgan pueden ser replanteadas como sigue:

CompuertasLógicas
El elemento fundamental de construcción de todo circuito lógico digital es la compuerta lógica. Las
funciones lógicas se implementan mediante la interconexión de compuertas lógicas.
Una compuerta es un circuito
electrónico que produce una señal de
salida, la cual es la una operación
booleana simple sobre sus señales
de entrada. Las compuertas lógicas
básicas usadas en circuitos digitales
son AND, OR, NOT, NAND, NOR y
XOR.
La tabla muestra el nombre, símbolo,
función algebraica y Tabla de Verdad
de cada compuerta. Los símbolos
utilizados corresponden al estándar
IEEE Std 91.
Note que la inversión (NOT) se indica
con un círculo.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.

Nota: En algunos casos, una compuerta se implementa con dos salidas, la salida original
correspondiente a la función de la compuerta y la otra salida como el complemento de la original.

Algebra Booleana
Cada compuerta mostrada en la tabla anterior tiene una o más entradas y una sola salida. Sin
embargo, todas las compuertas, con excepción de NOT, pueden tener más de dos entradas. Por lo
tanto, la función lógica X + Y + Z puede ser implementada con una compuerta OR con tres entradas.
Cuando una o más de los valores de entrada cambian, la salida correcta correspondiente aparece casi
instantáneamente, retrasada solo por el tiempo de propagación de las señales a través de la
compuerta (retardo de compuerta – gate delay). El significado de este retardo se discutirá
posteriormente.

Algebra Booleana

Algebra Booleana
Típicamente, no todos los tipos de compuertas son usados en la implementación de un circuito digital.
El diseño de un circuito digital es más simple si se usan uno o dos tipos de compuertas. Entonces, es
importante identificar conjuntos de compuertas funcionalmente completos. Esto significa que
cualquier función Booleana puede implementarse usando solamente las compuertas en el conjunto.
Los siguientes son conjuntos funcionalmente completos:
•
•
•
•
•

AND, OR, NOT
AND, NOT
OR, NOT
NAND
NOR

Es claro que las compuertas AND, OR y NOT constituyen un conjunto funcionalmente completo, ya
que representan las tres operaciones básicas del álgebra Booleana.
Para que las compuertas AND y NOT conformen un conjunto funcionalmente completo, debe existir
una manera de sintetizar la operación OR a partir de operaciones AND y NOT. Esto puede lograrse
aplicando el Teorema de DeMorgan:

De la misma manera, las operaciones OR y NOT son un conjunto funcionalmente completo por que
pueden ser usadas para sintetizar la operación AND.

Algebra Booleana

Algebra Booleana