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CLASE 2
RANGOS NUMERICOS PARA NUMEROS
BINARIOS DE n BITS
Dado un numero de n bits, existen 2𝑛 posibles combinaciones.
Representación sin signo
• Rango: 0, 2𝑛−1 .
Representación con signo
• Signo magnitud:
 −2𝑛−1 , +2𝑛−1 .
 Dos representaciones para el cero.
• Complemento a 1:
 −2𝑛−1 , +2𝑛−1 .
 Dos representaciones para el cero.
• Complemento a 2:
 −2𝑛−1 , +2𝑛−1 − 1 .
ALGEBRA DE BOOLE
George Boole
¿Como es que se realizan decisiones lógicas con base en
circunstancias verdaderas o falsas (casos)?
Una investigación sobre las leyes del
pensamiento.
LOGICA
ALGEBRA DE BOOLE
ALGEBRA
BOOLEANA
Símbolos
+
Operadores
A
ALGEBRA DE BOOLE
Algebra
tradicional
Variables
Operadores
Algebra
booleana
Nivel lógico
0 lógico
1 lógico
Falso
Verdadero
Representan
números reales
Representan solo 0
o 1.
Apagado
Encendido
Bajo
Alto
Retornan números
reales.
Retornan solo 0 o 1.
No
Si
Interruptor abierto
Interruptor cerrado
Operadores básicos
AND, OR, NOT
Ejemplo:
Don Ramón se pone bravo si doña Florinda le pega o el chavo le da bomba y la
chilindrina no lo consuela.
• F: Don Ramón se pone bravo. (F=1, don Ramón bravo; F=0 don Ramón
calmado).
• A: El chavo le da bomba a don Ramón.
• B: Doña florinda le pega a don Ramón.
• C: La chilindrina consuela a don Ramón.
F = (A OR B)AND(NOT(C))
Expresión booleana
ALGEBRA BOOLEANA ASPECTOS
CLAVES
• Algebra booleana: Sistema algebraico que opera sobre variables booleanas. La
naturaleza binaria (de 2 estados) del algebra booleana la hace apta para el análisis,
simplificación y diseño de circuitos lógicos.
• Variables booleana: Variable que puede tomar
solo dos posibles valores, tales como
HIGH/LOW, 1/0, On/Off o TRUE/FALSE.
• Expresión booleana: Expresión algebraica
compuesta por variables booleanas y
operadores tales como AND, OR o NOT.
También es conocida como función booleana o
función lógica.
F = (A OR B)AND(NOT(C))
OPERADORES BOOLEANOS
OPERADORES
BOOLEANOS LOGICOS
BASICOS
AND
OR
Este operador retorna V solo
cuando ambas entradas son V.
Este operador retorna V
cuando cualquiera de las
entradas es V.
Ejemplo:
Dada la función lógica mostrada a continuación.
¿Cuál es su valor si A=1, B=0, D=0, C=0 y E=1?
NOT
Este operador retorna como
salida el valor opuesto a la
entrada.
𝐹 = 𝐴. 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 . 𝐸
TABLA DE VERDAD
Es una herramienta para describir la forma en que la salida de una función o
circuito lógico depende de los niveles lógicos presentes a la entrada.
Entradas (3) Salida
A
B
C
Circuito
lógico
x
Filas (8)
Para N entradas existen un total de
2^N combinaciones posibles y por
ende 2^N filas en la tabla de
verdad asociada a la función que
esta se encuentra representando.
Ejemplo:
Se tiene un circuito con 3 entradas el cual se
enciende en los siguientes casos:
• Cuando dos de las entradas se encuentran en
alto.
• Cuando las tres entradas son iguales.
Llene la tabla de verdad asociada a este circuito.
COMPUERTAS LOGICAS
Las funciones lógicas pueden representar circuitos lógicos.
Tabla de verdad
Función booleana
𝐹 = 𝐴′ 𝐵𝐶 ′ + 𝐴𝐵′ 𝐶 ′ + 𝐴𝐵′ 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶
Circuito lógico
Compuerta lógica
Circuito electrónico que realiza una
función lógica booleana.
OPERADORES BOOLEANOS Y
COMPUERTAS LOGICAS
Compuerta AND
Inversor
A
A
B
Z
Compuerta NOR
A
B
Z
Compuerta NAND
Z
A
B
Compuerta OR
A
B
Z
Compuerta XOR
A
B
Z
Z
COMPUERTA NOT
A
X
𝑋 = NOT(A)
𝑋=𝐴
𝑋 = 𝐴′
La operación NOT produce una salida cuyo valor es
el opuesto al valor de su entrada.
COMPUERTA AND
A
B
X
𝑋 = 𝐴 𝐴𝑁𝐷 𝐵
𝑋 = 𝐴𝐵
La operación AND produce una salida de
1 solo cuando todas sus entradas son 1.
En cualquier otro caso la salida es 0.
COMPUERTA OR
A
B
X
𝑋 = 𝐴 𝑂𝑅 𝐵
𝑋 =𝐴+𝐵
La operación OR produce una salida de 1
siempre que cualquiera de sus entradas
sea 0. En cualquier otro caso la salida es
0.
DIAGRAMAS DE TIEMPO PARA LAS
COMPUERTAS AND, OR Y NOT
COMPUERTA NOR
A
X
B
𝑋 = (𝐴 + 𝐵)′
𝑋 =𝐴+𝐵
La operación NOR produce una salida de 1 solo cuando todas sus entradas son 0. En
cualquier otro caso la salida es 0.
COMPUERTA NAND
A
X
B
𝑋 = (𝐴 ∙ 𝐵)′
𝑋 =𝐴∙𝐵
𝑋 = 𝐴𝐵
La operación NAND produce una salida de 0 solo cuando todas sus entradas son 1. En
cualquier otro caso la salida es 1.
COMPUERTA XOR
A
B
X
𝑋 = 𝐴 𝑋𝑂𝑅 𝐵
𝑋 = 𝐴⨁𝐵
La operación XOR produce una salida de 1 cuando sus entradas son diferentes. En
cualquier otro caso la salida es 0.
COMPUERTA XNOR
A
X
B
𝑋 = (𝐴⨁𝐵)′
𝑋 =𝐴⊕𝐵
Produce una salida 1 solo cuando las entradas son iguales, en caso opuesto la salida
producida es 0.
RESUMEN COMPUERTAS
Compuerta
AND
OR
NOT
Símbolo
Tabla de verdad
Expresión
𝑋 = 𝐴𝐵
𝑋 =𝐴+𝐵
𝑋=𝐴
RESUMEN COMPUERTAS
Compuerta
Símbolo
Tabla de verdad
Expresión
NOR
𝑋 =𝐴+𝐵
NAND
𝑋 = 𝐴𝐵
XNOR
𝑋 =𝐴⊕𝐵
RESUMEN COMPUERTAS
Compuerta
XOR
Símbolo
Tabla de verdad
Expresión
𝑋 = 𝐴⨁𝐵
REPASO DE LO VISTO
Ejemplo 1: Determine la forma de onda de salida para la compuerta OR, cuando
se tiene la siguiente entrada a estas:
REPASO DE LO VISTO
Ejemplo 2: Para la compuerta OR de 3 entradas mostrada a continuación,
determine la forma de onda a la salida.
Ejemplo 3: Como seria la salida si lo
que se tuviera fuera una compuerta
AND de 3 entradas
PREGUNTAS DE REPASO
• ¿Cual es el único conjunto de condiciones de entrada que producirán
una salida baja en cualquier compuerta OR?
• ¿Escriba la expresión booleana para una compuerta OR de 6 entradas?
• ¿Si la entrada A del punto anterior permaneciera en alto, cual seria el
resultado de a la salida?
• ¿Cual es la única combinación de entradas que producirá un ALTO a la
salida de una compuerta AND de 5 entradas?
• ¿Cual es el nivel lógico que debería ser aplicado a la segunda entrada
de una compuerta AND de 2 entradas si la señal lógica en la primera
entrada es inhibida de buscar la salida?
• Cierto o falso: ¿ La salida de una compuerta AND siempre diferirá de
la salida de una compuerta OR para las mismas condiciones de
entrada?
DESCRIBIENDO CIRCUITOS LOGICOS
ALGEBRAICAMENTE
• Cualquier circuito lógico, sin importar su complejidad, pueden ser
completamente descritos usando las tres operaciones básicas: OR, AND y NOT.
¿Como se interpreta AB + C?
Se aplica un OR entre
A.B y el termino C
Se aplica un AND entre
A y el termino B+C
ORDEN DE PROCEDENCIA
ORDEN DE PRESEDENCIA
• Las operaciones AND se hace antes que las operaciones OR
Los paréntesis hacen mas clara la precedencia
pero no son necesarios para el caso anterior
• Cuando in inversor esta presente en un diagrama de circuito lógico, su expresión de
salida simplemente es igual a la expresión de entrada con una barra sobre esta.
REGLAS DE PRECEDENCIA EN ALGEBRA
BOOLEANA
La siguiente tabla muestra el orden de precedencia, siendo la
mas alta la que va de primero.
PRECEDENCIA EN ALGEBRA BOOLEANA
ALGUNOS EJEMPLOS
Evalué las siguientes expresiones booleanas, asumiendo que
a=1, b = 1, c = 0 y d = 1.
1. F = a*b + c
Respuesta: * tiene precedencia sobre +, así que cuando se
evalúa la expresión se tiene que F=(1*1) + 0 = 1 + 0 = 1.
2. F = ab + c
Respuesta: El problema es similar al anterior +, solo que en este
caso se usa la notación alternativa para la operación AND.
3. F = ab’
Respuesta: Primero debe evaluarse b’ por que el NOT tiene
precedencia sobre el AND, esto resulta en: F=1*(1’)=1*(0)=1*0=0.
4. F = (ac)’
Respuesta: Primero se evalúa lo que esta dentro de paréntesis para
luego se negar el resultado: F=(1*0)’=(0)’=0’=1.
PRECEDENCIA EN ALGEBRA BOOLEANA
ALGUNOS EJEMPLOS
Evalué las siguientes expresiones booleanas, asumiendo que
A=0, B = 1, C = 1 y D = 1.
𝒙 = 𝑨𝑩𝑪(𝑨 + 𝑫)
= 𝟎 ∗ 𝟏 ∗ 𝟏 ∗ (𝟎 + 𝟏)
= 𝟏 ∗ 𝟏 ∗ 𝟏 ∗ (𝟎 + 𝟏)
= 𝟏 ∗ 𝟏 ∗ 𝟏 ∗ (𝟏)
=𝟏∗𝟏∗𝟏∗𝟎
=𝟎
𝒙= 𝑫+ 𝑨+𝑩 𝑪 ∙𝑬
= 𝟏+ 𝟎+𝟎 ∙𝟏 ∙𝟏
= 𝟏+𝟎∙𝟏 ∙𝟏
= 𝟏+𝟎 ∙𝟏
= 𝟏+𝟏 ∙𝟏
=𝟏∙𝟏
=𝟏
ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANAS
MEDIANTE EL USO DE TABLAS
Siempre que se tenga un circuito lógico combinacional y
desee saber como funciona, la mejor manera de analizarlo es
mediante el uso de una tabla se verdad.
Salida
Entradas
Nodos intermedios: No son
entradas ni salidas son solo
conexiones entre la salida de
una compuerta y la entrada
de otra
ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANAS
MEDIANTE EL USO DE TABLAS
𝒙 = (𝑨 + 𝑩)(𝑩 + 𝑪)
𝒖
𝒗
Ejercicio:
Muestre la tabla de verdad asociada a la siguiente función
lógica:
𝒙 = 𝑨𝑩𝑪(𝑨 + 𝑫)
RELACION ENTRE FUNCIONES
LOGICAS Y CIRCUITOS DIGITALES
Cuando la operación de un circuito esta definida por una
función booleana, nosotros podemos dibujar el circuito
directamente de la expresión.
ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANAS
MEDIANTE EL USO DE TABLAS
Dibuje el circuito que implementa la siguiente función lógica:
𝒙 = 𝑨𝑩𝑪(𝑨 + 𝑫)
Dibuje nuevamente el circuito pero esta vez asuma como
restricción que este no puede tener compuertas de mas de 3
entradas.
ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANAS
MEDIANTE EL USO DE TABLAS
Dibuje el circuito que implementa la siguiente función lógica:
𝒙 = (𝑨 + 𝑩)(𝑩 + 𝑪)
Como restricción use compuertas que no tengan mas de dos
entradas.
Ahora siguiendo la misma restricción implemente en un
circuito digital la siguiente función lógica.
𝒙= 𝑫+ 𝑨+𝑩 𝑪 ⋅𝑬
TEOREMAS BOOLEANOS
El algebra booleana (para números binarios) consiste en:
• Un conjunto S con dos elementos, S={0,1}.
• Operadores binarios: AND (.) y OR (+).
• Operador unitario: NOT (‘, )
• Axiomas: Suposiciones básicas en las cuales el resto de los teoremas
están soportados.
La principal razón para aprender algebra booleana es por que por medio
de esta podemos minimizar el numero de compuertas lógicas en un
circuito digital.
TEOREMAS BOOLEANOS
Postulados de Huntington
Las operaciones en algebra booleana están basadas en los siguientes
postulados:
Postulado 1 (Propiedad de la cerradura): Si x, y ∈ S, entonces
x+y∈S
;
x.y ∈ S
Postulado 2 (Propiedad conmutativa): Si x, y ∈ S, entonces
x+y=y+x
;
xy = yx
En aplicación en los circuitos digitales podríamos decir que no importa el
orden de conexión de las entradas a una compuerta OR o AND.
TEOREMAS BOOLEANOS
Postulado 3 (Propiedad asociativa): Si x, y, z ∈ S, entonces
x + (y+z) = (x + y)+z
;
x.(y.z) = (x.y).z
Postulado 4 (Propiedad distributiva): Si x, y, z ∈ S, entonces
x + (y.z) = (x + y).(x+z)
;
x.(y+z) = x.y + x.z
TEOREMAS BOOLEANOS
Postulado 5 (Identidades): En el conjunto S existen dos elementos 1
(uno) y 0 (cero), únicos, tales que:
x+0=x
x
0
;
x.1 = x
x
1
x
x
Donde 0 es el elemento neutro par la operación + y 1 es el elemento
neutro para la operación ∙.
Postulado 6 (Complemento): Para cada elemento x en S existe un
elemento 𝑥, llamado complemento de x tal que:
x+𝑥=1
;
x. 𝑥 = 0
TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
Principio de dualidad:
Cualquier expresión algebraica derivada de los axiomas continua siendo
valida cuando los operandos AND y OR, y los elementos 1 y 0 son
intercambiados.
TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
Teoremas
Teorema 1: Los elementos de identidad 0 y 1 son unicos.
Teorema 2 (Idempotencia):
(i) x + x = x
(ii) x.x = x
Teorema 3 (Elemento nulo):
(i) x + 1 = 1
(ii) x.0 = 0
Teorema 4 (Leyes de absorción):
(i) x + xy = x
(ii) x(x+y) = x
Teorema 5: Cada elemento en el conjunto S tiene un único complemento.
Teorema 6 (Teorema de la involucion):
𝑥=𝑥
TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
Teorema 7 (Absorcion):
(i) 𝑥 + 𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦
(ii) 𝑥(𝑥 + 𝑦) = 𝑥𝑦
Teorema 8 (Teorema de DeMorgan):
(i) 𝑥 + 𝑦 = 𝑥𝑦
(ii) 𝑥𝑦 = 𝑥+𝑦
El cual generalizado para mas elementos mas de dos elementos será:
(i) 𝑎 + 𝑏 + ⋯ + 𝑎 = 𝑎𝑏 … 𝑧
(ii) 𝑎𝑏 … 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + ⋯ + 𝑧
Teorema 9 (Teorema de consenso):
(i) 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧
(ii) (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑧)(𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑧)
TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
Teorema 10:
(i) 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧
(ii) (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑧)
Teorema 11:
(i) 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 = (𝑥 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦)
(ii) 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑧 = 𝑥𝑧 + 𝑥𝑦
DEMOSTRACIONES
Demostrar el teorema 4: 𝑥 + 𝑥𝑦 = 𝑥
𝒙 + 𝒙𝒚 = 𝑥. 1 + 𝑥𝑦
= 𝑥(1 + 𝑦)
= 𝑥(1)
=𝒙
P5. Identidades: x.1 = x
P4. Propiedad distributiva: x(y+z) = xy + xz
T3. x + 1 = 1
P5. x.1 = x
Demostrar el teorema 5: 𝑥 + 𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦
𝒙 + 𝒙𝒚 = (𝑥 + 𝑥)(𝑥 + 𝑦)
= (1)(𝑥 + 𝑦)
=𝒙+𝒚
P4. Propiedad distributiva: x+y.z = (x+y)(x+z)
P6. Complemento: 𝑥 + 𝑥 = 1
P5. Identidades: x.1= 𝑥
Demostrar el teorema 1: 𝑥 + 𝑥 = 𝑥
𝒙=𝑥+0
= 𝑥 + 𝑥𝑥
= (𝑥 + 𝑥)(𝑥 + 𝑥)
= (𝑥 + 𝑥)(1)
=𝒙+𝒙
P5. Identidades: x+1 = x
P6. Complemento: x𝑥 = 0
P4. Propiedad distributiva: x+y.z = (x+y)(x+z)
P6. Complemento: 𝑥 + 𝑥 = 1
P5. Identidades: x.1= 𝑥
EJERCICIOS DEMOSTRACIONES
Demostrar los siguientes teoremas:
• T4: 𝑥 + 𝑥𝑦 = 𝑥
• T7: 𝑥(𝑥 + 𝑦) = 𝑥𝑦
• T10: 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧
• T10 (dual): (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑧)
SIMPLIFICACION DE FUNCIONES
Una las principales aplicaciones es la simplificación de funciones lógicas, lo
cual tiene un efecto en la disminución del numero de compuertas que tendrá
al circuito lógico asociado a la función en cuestión. A este proceso se le
conoce como manipulación algebraica.
Ejemplo 1:
Simplifique la siguiente expresión utilizando las leyes y reglas de boole.
ab + a(b+c) + b (b+c) = ab + ab + ac + b + bc
= ab + ac + b (1+ c)
= ab + ac + b  1
= ab + ac + b
= b (a +1) + ac
= b  1 + ac
= b +ac
SIMPLIFICACION DE FUNCIONES
Ejemplo 2:
Simplifique la siguiente expresión utilizando las leyes y reglas de Boole.
Solución:
Forma 1
[ab.(c+bd) +ab]c = [b.(a.(c+bd)+a)].c
=b.a.c
Forma 2
[abc + abbd + ab]c = [abc + a(bb)d + ab]c
= [abc + a(1)d + ab]c
= (abc + ad + ab)bc
= (ab+ad)bc
= abbc + adbc
= abc + abcd
= abc
REPRESENTACION DE FUNCIONES BOOLEANAS
MEDIANTE TABLAS DE VERDAD
•
•
Una tabla de verdad define el valor de una función lógica F, para cada posible
combinación de valores de entrada.
El numero de filas (posibles combinaciones de la entrada) de esta depende del
numero de variables de entrada que contenga la función, y esta dado por: 𝐹 = 2𝑛 ,
Asumiendo que se tienen n entradas; asi por ejemplo:
 Función de 2 entradas: 4 filas.
 Función de 3 entradas: 8 filas.
 Función de 4 entradas: 16 filas.
REPRESENTACION DE FUNCIONES BOOLEANAS
MEDIANTE TABLAS DE VERDAD
Ejemplo:
Use una tabla de verdad para definir una función F(a,b,c) que sea 1 cuando el numero
binario abc sea mayor o igual a 5.
CONVIRTIENDO ENTRE REPRESENTACIONES
• Podemos convertir desde una representación cualquiera a otra.
Circuito
Evaluar la ecuación para cada
combinación de entrada (fila).
Crear columnas
intermedias ayuda
Tabla de
verdad
Ecuación
Hacer un OR de cada termino
de entrada cuya salida sea 1
RESUMEN REPRESENTACION DE
FUNCIONES LOGICAS
Una función puede ser representada en diferentes formas
PROCESO DE DISEÑO LOGICO
COMBINACIONAL
1. Capture la función: Cree la tabla de verdad o las ecuaciones
para describir el comportamiento deseado de la lógica
combinacional.
2. Convierta a ecuaciones: Este paso es necesario si la función
es capturada usando tabla de verdad en vez de ecuaciones.
Para crear la ecuación se hace un OR de cada una de las
entradas cuya salida es 1. Luego si así lo desea puede
simplificar la ecuación.
3. Implemente el circuito digital: Para cada salida cree un
circuito asociado a la ecuación.