Capítulo 1 Algebra de Boole Introducción George Boole El matemático inglés George Boole nació el 2 de noviembre de 1815 en Lincoln y falleció el 8
Download
Report
Transcript Capítulo 1 Algebra de Boole Introducción George Boole El matemático inglés George Boole nació el 2 de noviembre de 1815 en Lincoln y falleció el 8
Capítulo 1
Algebra de Boole
Introducción
George Boole
El matemático inglés George Boole
nació el 2 de noviembre de 1815 en
Lincoln y falleció el 8 de diciembre
de 1864 en Ballintemple, Irlanda.
Boole recluyó la lógica a una álgebra
simple. También trabajó en
ecuaciones diferenciales, el cálculo
de diferencias finitas y métodos
generales en probabilidad.
Variable Lógica
Definición
► En
general, el termino variable lógica o booleana,
hace referencia a cualquier símbolo lineal A,B,....,Z
empleado para representar dispositivos o
magnitudes físicas que llenan solamente dos valores
o estados, verdadero o falso, que son representados
simbólicamente por 1 o 0 respectivamente.
► Las
dos posiciones o estados “abierto” - “cerrado”
de un contacto eléctrico se designan mediante los
símbolos 0 (no corre electricidad) y 1 (hay
electricidad) respectivamente.
Variable Lógica
Pulsador Normalmente Abierto
►
Debido a que el contacto esta
“abierto”, no pasa corriente
eléctrica por el cable.
►
Z= 0 quiere decir que tiene
un valor lógico de “cero”, no
pasa electricidad porque el
pulsador esta en reposo
(ninguna fuerza esta
venciendo el resorte de
retención).
Variable Lógica
Pulsador Normalmente Abierto
►
Ahora accionamos el
pulsador (ya no esta
más en reposo).
►
La corriente eléctrica
recorre el cable, esto
implica que Z = 1.
Variable Lógica
Pulsador Normalmente Cerrado
►
►
Un contacto NC es el
que se usa el las
puertas de las
heladeras o
automóviles, que
encienden una luz
cuando deja de estar
oprimido.
El estado de reposo de
un pulsador NC implica
que Z=1.
Variable Lógica
Pulsador Normalmente Cerrado
►
Al accionar el pulsador,
deja de pasar corriente
eléctrica por el cable.
►
Entonces Z toma el
valor lógio “cero”.
Función Lógica
Definición
►
Una función lógica o booleana es una variable
lógica cuyo valor es equivalente al de una expresión
algebraica, constituida por otras variables lógicas
relacionadas entre sí por medio de las operaciones
suma lógica (+), y/ o producto lógico (·) y/o
negador (-).
►
Las
tres
operaciones
mencionadas
son
las
operaciones básicas del álgebra de Boole, que darán
lugar a las funciones básicas “OR”, “AND” y
“NEGACIÓN”.
Función Lógica
Definición
►
El valor de la expresión algebraica depende de los
valores lógicos asignados a las variables que la
constituyen, y de la realización de las operaciones
indicadas.
Por ejemplo, una suma lógica sería Z=A+B, donde Z
tomará el valor cero o uno según los valores de A y B.
Z tomará el valor cero sólamente cuando tanto A como
B tengan el valor cero. Recordemos que:
0+0=0
1+0=1
0+1=1
1+1=1
Función Lógica
Definición
Un producto lógico sería Z = A · B, donde Z tomará el
valor uno sólamente cuando tanto A como B tengan el
valor uno. Recordemos que:
0·0=0
1·0=0
0·1=0
1·1=1
Una negación invierte el valor de las variables. Se
representa con la variable (en este caso “A”) negada.
Así:
ZA
0 =1
1 =0
Tabla de Verdad
Definición
► La
tabla de verdad es una representación del
comportamiento de una función lógica,
dependiendo del valor particular que puedan
tomar cada una de sus variables.
► En
ella deben figurar todas las combinaciones
posibles entre las variables, y para cada una
aparecera el valor de la función.
Tabla de Verdad
1 y 2 variables
►
►
Se tienen n variables y las tablas de verdad se
construyen respondiendo a la expresión: “El
número de filas es igual a 2 elevado a la n”.
21(variable) = 2 filas
A
0
1
22(variables) = 4 filas
A
0
1
0
1
B
0
0
1
1
Tabla de Verdad
23 variables = 8 filas
C
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
A
0
1
0
1
0
1
0
1
Compuertas Lógicas
Definición
►
Cuando se desea cambiar el estado de una variable
determinada se podría accionar una llave
(compuerta) que realice este proceso.
►
“Compuerta” proviene de que este dispositivo puede
usarse para permitir o no que el nivel que llega a un
cable de entrada se repita en el cable de salida.
►
“Lógica” se debe a que una compuerta realiza
electrónicamente una operación lógica, de forma tal
de que a partir de una combinación de valores lógicos
en las entradas, se obtiene un valor lógico (1 ó 0) en
su salida.
Compuertas Lógicas
Compuerta “AND”
Una Compuerta AND de dos entradas es un dispositivo
electrónico que posee dos entradas, a las que llegan los
niveles de tensión de dos cables (A y B) y una salida (Z).
Responde a la expresión:
Z=A·B
Compuertas Lógicas
Compuerta “AND”
A·B=Z
11
0 ···1
·010=
=
=010
0
0
1
0
0
1
0
1
A
B
Z
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Circuito Lógico
Compuerta “AND”
Z=A·B
También es
posible
representar la
función lógica,
su tabla de
verdad y su
compuerta con
los pulsadores
NC, formando
un “circuito
lógico”.
Circuito Lógico
Compuerta “AND”
Z=A·B
Esto
coincidese
La luminaria
con
la TV cuando
enciende
cuando
AyB
A y B son
toman
el al
valor
pulsados
1,
haciendo
que
mismo
tiempo.
Z valga 1.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Z
0
0
0
1
Compuertas Lógicas
Compuerta “OR”
Una Compuerta OR de dos entradas es un dispositivo
electrónico que posee dos entradas, a las que llegan los
niveles de tensión de dos cables (A y B) y una salida (Z).
Responde a la expresión:
Z=A+B
Compuertas Lógicas
Compuerta “OR”
A+B=Z
0+1
1
0=1
0
0
1
0
1
0
1
A
B
Z
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Circuito Lógico
Compuerta “OR”
Z=A+B
Esto
coincidese
La luminaria
con
la TV cuando
enciende
cuando
AoB
A o B son
toman
el valor
pulsados.
1, haciendo que
Z valga 1.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Z
0
1
1
1
Compuertas Lógicas
Compuerta “SEGUIDOR”
Una Compuerta SEGUIDOR es un dispositivo
electrónico que actúa como buffer: mantiene en la salida,
el valor que se encuentra a la entrada.
Responde a la expresión:
Z=A
Compuertas Lógicas
Compuerta “SEGUIDOR”
A=Z
1
0= 1
0
1
0
0
1
A
0
1
Z
0
1
Circuito Lógico
Compuerta “SEGUIDOR”
Z=A
Esto
coincidese
La luminaria
con
la TV cuando
enciende
cuando
A toma
A es pulsado.
el valor 1,
haciendo que Z
valga 1.
A
0
1
Z
0
1
Compuertas Lógicas
Compuerta “INVERSOR”
Una Compuerta INVERSOR es un dispositivo electrónico
que enciende el cable que está en su salida, si el cable
que está en su entrada se encuentra apagado, y
viceversa. Puede decirse que uno es la negación del otro.
Responde a la expresión:
ZA
Compuertas Lógicas
Compuerta “INVERSOR”
AZ
0
1=1
0
0
1
1
0
A
0
1
Z
1
0
Circuito Lógico
Compuerta “INVERSOR”
ZA
Esto
Z
se coincide
activará si
con
la TVel
A
toma
cuando
valor
0.A toma
el valor 0,
haciendo que Z
valga 1.
A
0
1
Z
1
0
Compuertas Lógicas
Compuerta “EXOR”
Una compuerta EXOR u OR excluyente de dos
entradas es un dispositivo electrónico que presenta dos
entradas, a las que llegan los estados de las dos variables
(A B), y una salida, que genera en el cable (Z).
Responde a la expresión:
Z A B B A
Compuertas Lógicas
Compuerta “EXOR”
Z
00
1
1
0
1
0
1
Z A B B A
A
B
Z
1
0
1 ++ 1
1·0
00· ·0
01
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
Circuito Lógico
Compuerta “EXOR”
Z A B B A
ZPero
sese
activará
Esto
cuando
refleja si
A
olaBTV
se
en
ambos
se
cuando
Aactivan,
activan
o B estan
alpero
no
al mismo
activados.
mismo
tiempo,
tiempo
Z vale 0.
A
B
Z
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Leyes de Algegra de Boole
Algebra de circuitos lógicos
El álgebra de Boole es una parte de la matemática que
utiliza expresionesLey
basadas
en la lógica dual.
LeyDistributiva
Distributiva
Ley
Ley
Ley
de
Conmutativa
Asociativa
de
Doble
Absorción
Negación
Ley
de
Morgan
(de
la
suma
respecto
delaproducto)
(del
producto
respecto
la suma)
Relaciones de con
Morgan
Sirve para transformar sumas lógicas en productos lógicos
A
=
A+
(B
C)
=+
+
+·C
C
BB·++A
=B=
(C
+·A
B)
(C
+CA)
·+(B
C)
A(A
B B)
+· A
1
Para laY Suma
Para
el Producto
productos lógicos en
sumas
lógicas
A + A = A 0
A·A=A
A+0=A
A·0 = 0
A+1=1
A·1 = A
Compuertas Derivadas
Compuerta “NAND”
Una compuerta NAND resulta de invertir la salida
de una compuerta AND.
Compuerta AND
Z
Invertimos la salida (NAND)
Z
Negamos de ambos lados
Z
Por ley de doble neg.
Z
Por ley de Morgan
Z
Expresión Booleana
Compuertas Lógicas
Compuerta “NAND”
010101 10
1
0
0
1
1
0
A
B
Z
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Circuito Lógico
Compuerta “NAND”
Z
Esto coincide con la
Z será
igualA ay0Bsólo
TV
cuando
son
si A y B ase1,presionan
iguales
haciendo
al mismo
que
Z sea tiempo.
igual a 0.
Compuertas Derivadas
Compuerta “NOR”
Una compuerta NOR resulta de invertir la salida
de una compuerta OR.
Compuerta OR
Z
Invertimos la salida (NOR)
Z
Negamos de ambos lados
Z
Por ley de doble neg.
Z
Por ley de Morgan
Z
Expresión Booleana
Compuertas Lógicas
Compuerta “NOR”
10101001
1
0
0
1
0
1
0
A
B
Z
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
Circuito Lógico
Compuerta “NOR”
Z
Esto coincide con la
Z será
igual
aB
1 son
si A o
TV
cuando
Ay
B no seapresionan
en
iguales
0, haciendo
ningún
momento
que
Z sea
igual a 1.
Compuertas Derivadas
Compuerta “EX-NOR”
Compuerta
NOR EX-NOR resulta de
Z invertir
la
Una
compuerta
salida
de una compuerta NOR.
Invertimos la salida
(EX-NOR)
Z
Z
Negamos de ambos lados
Por ley de Morgan
( ) ( )
Nuevamente Morgan
}
}
Al distribuir nos queda:
( ) ( ))
0
0
Expresión Booleana
Compuertas Lógicas
Compuerta “EX-NOR”
010101110101011
0
1
0
0
1
0
1
A
B
Z
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Circuito Lógico
Compuerta “EX-NOR”
Z
Como siempre, la TV
se corresponde con el
circuito, la compueta y
la expresión booleana.
A
B
Z
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Principio de Dualidad
Definición
►
►
►
Equivalencia
entre funciones:
dos expresiones
Cualquier propiedad
en el álgebra
de Boole sigue
siendo valida
se intercambian
las operaciones
(+) y
booleanas
sonsiequivalentes
si tienen
igual tabla de
(·)
y además
se intercambian
loscorresponde
valores 0 y una
1. sola
verdad.
Una expresión
lógica le
tabla de verdad, mientras que una tabla de verdad
puede formarse algebraicamente mediante diversas
funciones equivalentes.
Asimismo, circuitosEjemplo:
lógicos que corresponden a
expresiones algebraicas
tendrán la misma
A + equivalentes
0=A
tabla de funcionamiento por lo que podrán
A ·otros.
1=A
reemplazarse unos por
La equivalencia se obtiene aplicando el principio de
dualidad.
Circuitos Equivalentes
Equivalencias And-Or Y Nand-Nand
Aplicamos la equivalencia de
Como último paso, se desplazan
funcionesambos
en
la última
Aplicamos
el
concepto
deotro
Negamos
extremos
del
las
negaciones
hacia
el
► Convertimos una suma
de
productos,
en
un
A
partir
de
un
circuito
compuerta:
reemplazamos
la la
funciones
equivalentes
en
la
cable,
que
por
la
propiedad
de
extremo delnegados...
cable.
De esta
determinado,
función
producto negado de productos
compueta
OR su
por
su
duallaAND y
última
compuerta,
obteniendo
doble
negación
no
afecta
forma obtenemos
un
equivalente
sercircuito
obtenida
negamos
suspuede
entradas
y salidas
así
todas
NAND.
función
original.
compuesto
por todas
de
quedos
no formas:
están negadas en el
compuertas NAND.
circuito original.
Z1 = A + B·C + D·E = A B C D E
Primer método
Segundo método
Circuitos Equivalentes
Equivalencias Or-And y Nor-Nor
Aplicamos la equivalencia de
Como
último
paso,
se desplazan
funciones
enel
la
última
Aplicamos
concepto
de
A
partir
de
un
circuito
De un producto de sumas
se
pasa
a extremos
una
suma
Negamos
ambos
del
las
negaciones
hacia
el otro
compuerta:
reemplazamos
funciones
equivalentes
en lade la
determinado,
cable, que
porsu
la función
propiedad
negada, de sumas
negadas.
extremo
del
cable.
De
esta
compueta
AND
por su
dual
OR y
última
compuerta,
obteniendo
equivalente
puede
ser
obtenida
doble negación
no afecta
la
forma
obtenemos
un circuito
negamos
sus
entradas
y salidas
así
todas
NOR.
de
dos
formas:
función
original.
compuesto
todas en el
que
no estánpor
negadas
compuertas
NOR.
circuito
original.
Z = (P + Q) · (R + S) · T
=
(
P
+
Q
)
+
(
R
+
S
)
+
T
Primer método
Segundo método
Funciones Equivalentes
Utilidad
SiA queremos
implementar
la función Z=(P+Q)·(R+S),
una
función
lógica le
corresponde
una única tabla de
La
nueva
expresión
sería:
verdad, mientras
que a una misma tabla de verdad se le
deberíamos
hacerlo:
puede asociar diferentes expresiones
equivalentes.
De esta
forma
podemos ver que, a
Esto permite reemplazar un circuito
por otro,del
según
las
diferencia
primer
necesidades técnicas y/o económicas
que
se posean.
caso,
estamos
utilizando sólo UN
Más especificamente, la utilidad del
concepto de
chip.
funciones equivalente es la posibilidad de utilizar
Entonces,
una vez
aplicado
ella
concepto
de funciones
menor
cantidad
de chips
para
implementación
equivalentes
de
un circuito.y obtenida la expresión, la
implementación de chips sería:
Z ( P Q) ( R S )
Compuertas Lógicas
Comportamiento
a) Las entradas están puenteadas.
Compuertas Lógicas
Comportamiento
b) Una de las entradas trabaja como señal de control.
Compuertas Lógicas
Comportamiento
c) La señal de salida realimenta a la de entrada.