Capítulo 1 Algebra de Boole Introducción George Boole El matemático inglés George Boole nació el 2 de noviembre de 1815 en Lincoln y falleció el 8
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Capítulo 1 Algebra de Boole Introducción George Boole El matemático inglés George Boole nació el 2 de noviembre de 1815 en Lincoln y falleció el 8 de diciembre de 1864 en Ballintemple, Irlanda. Boole recluyó la lógica a una álgebra simple. También trabajó en ecuaciones diferenciales, el cálculo de diferencias finitas y métodos generales en probabilidad. Variable Lógica Definición ► En general, el termino variable lógica o booleana, hace referencia a cualquier símbolo lineal A,B,....,Z empleado para representar dispositivos o magnitudes físicas que llenan solamente dos valores o estados, verdadero o falso, que son representados simbólicamente por 1 o 0 respectivamente. ► Las dos posiciones o estados “abierto” - “cerrado” de un contacto eléctrico se designan mediante los símbolos 0 (no corre electricidad) y 1 (hay electricidad) respectivamente. Variable Lógica Pulsador Normalmente Abierto ► Debido a que el contacto esta “abierto”, no pasa corriente eléctrica por el cable. ► Z= 0 quiere decir que tiene un valor lógico de “cero”, no pasa electricidad porque el pulsador esta en reposo (ninguna fuerza esta venciendo el resorte de retención). Variable Lógica Pulsador Normalmente Abierto ► Ahora accionamos el pulsador (ya no esta más en reposo). ► La corriente eléctrica recorre el cable, esto implica que Z = 1. Variable Lógica Pulsador Normalmente Cerrado ► ► Un contacto NC es el que se usa el las puertas de las heladeras o automóviles, que encienden una luz cuando deja de estar oprimido. El estado de reposo de un pulsador NC implica que Z=1. Variable Lógica Pulsador Normalmente Cerrado ► Al accionar el pulsador, deja de pasar corriente eléctrica por el cable. ► Entonces Z toma el valor lógio “cero”. Función Lógica Definición ► Una función lógica o booleana es una variable lógica cuyo valor es equivalente al de una expresión algebraica, constituida por otras variables lógicas relacionadas entre sí por medio de las operaciones suma lógica (+), y/ o producto lógico (·) y/o negador (-). ► Las tres operaciones mencionadas son las operaciones básicas del álgebra de Boole, que darán lugar a las funciones básicas “OR”, “AND” y “NEGACIÓN”. Función Lógica Definición ► El valor de la expresión algebraica depende de los valores lógicos asignados a las variables que la constituyen, y de la realización de las operaciones indicadas. Por ejemplo, una suma lógica sería Z=A+B, donde Z tomará el valor cero o uno según los valores de A y B. Z tomará el valor cero sólamente cuando tanto A como B tengan el valor cero. Recordemos que: 0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=1 Función Lógica Definición Un producto lógico sería Z = A · B, donde Z tomará el valor uno sólamente cuando tanto A como B tengan el valor uno. Recordemos que: 0·0=0 1·0=0 0·1=0 1·1=1 Una negación invierte el valor de las variables. Se representa con la variable (en este caso “A”) negada. Así: ZA 0 =1 1 =0 Tabla de Verdad Definición ► La tabla de verdad es una representación del comportamiento de una función lógica, dependiendo del valor particular que puedan tomar cada una de sus variables. ► En ella deben figurar todas las combinaciones posibles entre las variables, y para cada una aparecera el valor de la función. Tabla de Verdad 1 y 2 variables ► ► Se tienen n variables y las tablas de verdad se construyen respondiendo a la expresión: “El número de filas es igual a 2 elevado a la n”. 21(variable) = 2 filas A 0 1 22(variables) = 4 filas A 0 1 0 1 B 0 0 1 1 Tabla de Verdad 23 variables = 8 filas C 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 A 0 1 0 1 0 1 0 1 Compuertas Lógicas Definición ► Cuando se desea cambiar el estado de una variable determinada se podría accionar una llave (compuerta) que realice este proceso. ► “Compuerta” proviene de que este dispositivo puede usarse para permitir o no que el nivel que llega a un cable de entrada se repita en el cable de salida. ► “Lógica” se debe a que una compuerta realiza electrónicamente una operación lógica, de forma tal de que a partir de una combinación de valores lógicos en las entradas, se obtiene un valor lógico (1 ó 0) en su salida. Compuertas Lógicas Compuerta “AND” Una Compuerta AND de dos entradas es un dispositivo electrónico que posee dos entradas, a las que llegan los niveles de tensión de dos cables (A y B) y una salida (Z). Responde a la expresión: Z=A·B Compuertas Lógicas Compuerta “AND” A·B=Z 11 0 ···1 ·010= = =010 0 0 1 0 0 1 0 1 A B Z 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Circuito Lógico Compuerta “AND” Z=A·B También es posible representar la función lógica, su tabla de verdad y su compuerta con los pulsadores NC, formando un “circuito lógico”. Circuito Lógico Compuerta “AND” Z=A·B Esto coincidese La luminaria con la TV cuando enciende cuando AyB A y B son toman el al valor pulsados 1, haciendo que mismo tiempo. Z valga 1. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Z 0 0 0 1 Compuertas Lógicas Compuerta “OR” Una Compuerta OR de dos entradas es un dispositivo electrónico que posee dos entradas, a las que llegan los niveles de tensión de dos cables (A y B) y una salida (Z). Responde a la expresión: Z=A+B Compuertas Lógicas Compuerta “OR” A+B=Z 0+1 1 0=1 0 0 1 0 1 0 1 A B Z 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Circuito Lógico Compuerta “OR” Z=A+B Esto coincidese La luminaria con la TV cuando enciende cuando AoB A o B son toman el valor pulsados. 1, haciendo que Z valga 1. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Z 0 1 1 1 Compuertas Lógicas Compuerta “SEGUIDOR” Una Compuerta SEGUIDOR es un dispositivo electrónico que actúa como buffer: mantiene en la salida, el valor que se encuentra a la entrada. Responde a la expresión: Z=A Compuertas Lógicas Compuerta “SEGUIDOR” A=Z 1 0= 1 0 1 0 0 1 A 0 1 Z 0 1 Circuito Lógico Compuerta “SEGUIDOR” Z=A Esto coincidese La luminaria con la TV cuando enciende cuando A toma A es pulsado. el valor 1, haciendo que Z valga 1. A 0 1 Z 0 1 Compuertas Lógicas Compuerta “INVERSOR” Una Compuerta INVERSOR es un dispositivo electrónico que enciende el cable que está en su salida, si el cable que está en su entrada se encuentra apagado, y viceversa. Puede decirse que uno es la negación del otro. Responde a la expresión: ZA Compuertas Lógicas Compuerta “INVERSOR” AZ 0 1=1 0 0 1 1 0 A 0 1 Z 1 0 Circuito Lógico Compuerta “INVERSOR” ZA Esto Z se coincide activará si con la TVel A toma cuando valor 0.A toma el valor 0, haciendo que Z valga 1. A 0 1 Z 1 0 Compuertas Lógicas Compuerta “EXOR” Una compuerta EXOR u OR excluyente de dos entradas es un dispositivo electrónico que presenta dos entradas, a las que llegan los estados de las dos variables (A B), y una salida, que genera en el cable (Z). Responde a la expresión: Z A B B A Compuertas Lógicas Compuerta “EXOR” Z 00 1 1 0 1 0 1 Z A B B A A B Z 1 0 1 ++ 1 1·0 00· ·0 01 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 Circuito Lógico Compuerta “EXOR” Z A B B A ZPero sese activará Esto cuando refleja si A olaBTV se en ambos se cuando Aactivan, activan o B estan alpero no al mismo activados. mismo tiempo, tiempo Z vale 0. A B Z 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Leyes de Algegra de Boole Algebra de circuitos lógicos El álgebra de Boole es una parte de la matemática que utiliza expresionesLey basadas en la lógica dual. LeyDistributiva Distributiva Ley Ley Ley de Conmutativa Asociativa de Doble Absorción Negación Ley de Morgan (de la suma respecto delaproducto) (del producto respecto la suma) Relaciones de con Morgan Sirve para transformar sumas lógicas en productos lógicos A = A+ (B C) =+ + +·C C BB·++A =B= (C +·A B) (C +CA) ·+(B C) A(A B B) +· A 1 Para laY Suma Para el Producto productos lógicos en sumas lógicas A + A = A 0 A·A=A A+0=A A·0 = 0 A+1=1 A·1 = A Compuertas Derivadas Compuerta “NAND” Una compuerta NAND resulta de invertir la salida de una compuerta AND. Compuerta AND Z Invertimos la salida (NAND) Z Negamos de ambos lados Z Por ley de doble neg. Z Por ley de Morgan Z Expresión Booleana Compuertas Lógicas Compuerta “NAND” 010101 10 1 0 0 1 1 0 A B Z 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Circuito Lógico Compuerta “NAND” Z Esto coincide con la Z será igualA ay0Bsólo TV cuando son si A y B ase1,presionan iguales haciendo al mismo que Z sea tiempo. igual a 0. Compuertas Derivadas Compuerta “NOR” Una compuerta NOR resulta de invertir la salida de una compuerta OR. Compuerta OR Z Invertimos la salida (NOR) Z Negamos de ambos lados Z Por ley de doble neg. Z Por ley de Morgan Z Expresión Booleana Compuertas Lógicas Compuerta “NOR” 10101001 1 0 0 1 0 1 0 A B Z 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Circuito Lógico Compuerta “NOR” Z Esto coincide con la Z será igual aB 1 son si A o TV cuando Ay B no seapresionan en iguales 0, haciendo ningún momento que Z sea igual a 1. Compuertas Derivadas Compuerta “EX-NOR” Compuerta NOR EX-NOR resulta de Z invertir la Una compuerta salida de una compuerta NOR. Invertimos la salida (EX-NOR) Z Z Negamos de ambos lados Por ley de Morgan ( ) ( ) Nuevamente Morgan } } Al distribuir nos queda: ( ) ( )) 0 0 Expresión Booleana Compuertas Lógicas Compuerta “EX-NOR” 010101110101011 0 1 0 0 1 0 1 A B Z 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Circuito Lógico Compuerta “EX-NOR” Z Como siempre, la TV se corresponde con el circuito, la compueta y la expresión booleana. A B Z 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Principio de Dualidad Definición ► ► ► Equivalencia entre funciones: dos expresiones Cualquier propiedad en el álgebra de Boole sigue siendo valida se intercambian las operaciones (+) y booleanas sonsiequivalentes si tienen igual tabla de (·) y además se intercambian loscorresponde valores 0 y una 1. sola verdad. Una expresión lógica le tabla de verdad, mientras que una tabla de verdad puede formarse algebraicamente mediante diversas funciones equivalentes. Asimismo, circuitosEjemplo: lógicos que corresponden a expresiones algebraicas tendrán la misma A + equivalentes 0=A tabla de funcionamiento por lo que podrán A ·otros. 1=A reemplazarse unos por La equivalencia se obtiene aplicando el principio de dualidad. Circuitos Equivalentes Equivalencias And-Or Y Nand-Nand Aplicamos la equivalencia de Como último paso, se desplazan funcionesambos en la última Aplicamos el concepto deotro Negamos extremos del las negaciones hacia el ► Convertimos una suma de productos, en un A partir de un circuito compuerta: reemplazamos la la funciones equivalentes en la cable, que por la propiedad de extremo delnegados... cable. De esta determinado, función producto negado de productos compueta OR su por su duallaAND y última compuerta, obteniendo doble negación no afecta forma obtenemos un equivalente sercircuito obtenida negamos suspuede entradas y salidas así todas NAND. función original. compuesto por todas de quedos no formas: están negadas en el compuertas NAND. circuito original. Z1 = A + B·C + D·E = A B C D E Primer método Segundo método Circuitos Equivalentes Equivalencias Or-And y Nor-Nor Aplicamos la equivalencia de Como último paso, se desplazan funciones enel la última Aplicamos concepto de A partir de un circuito De un producto de sumas se pasa a extremos una suma Negamos ambos del las negaciones hacia el otro compuerta: reemplazamos funciones equivalentes en lade la determinado, cable, que porsu la función propiedad negada, de sumas negadas. extremo del cable. De esta compueta AND por su dual OR y última compuerta, obteniendo equivalente puede ser obtenida doble negación no afecta la forma obtenemos un circuito negamos sus entradas y salidas así todas NOR. de dos formas: función original. compuesto todas en el que no estánpor negadas compuertas NOR. circuito original. Z = (P + Q) · (R + S) · T = ( P + Q ) + ( R + S ) + T Primer método Segundo método Funciones Equivalentes Utilidad SiA queremos implementar la función Z=(P+Q)·(R+S), una función lógica le corresponde una única tabla de La nueva expresión sería: verdad, mientras que a una misma tabla de verdad se le deberíamos hacerlo: puede asociar diferentes expresiones equivalentes. De esta forma podemos ver que, a Esto permite reemplazar un circuito por otro,del según las diferencia primer necesidades técnicas y/o económicas que se posean. caso, estamos utilizando sólo UN Más especificamente, la utilidad del concepto de chip. funciones equivalente es la posibilidad de utilizar Entonces, una vez aplicado ella concepto de funciones menor cantidad de chips para implementación equivalentes de un circuito.y obtenida la expresión, la implementación de chips sería: Z ( P Q) ( R S ) Compuertas Lógicas Comportamiento a) Las entradas están puenteadas. Compuertas Lógicas Comportamiento b) Una de las entradas trabaja como señal de control. Compuertas Lógicas Comportamiento c) La señal de salida realimenta a la de entrada.