Slide 1

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Естественный способ
задания движения

При естественном способе задаются:

 траектория точки;

М

+
О
−

 начало отсчета на траектории;
 положительное
отсчета;

направление

 закон
изменения
координаты:

дуговой

s = s(t)
▼

Определение скорости точки
М

М1

s1
О
−

+

s

Δs

Пусть за время t точка прошла путь ОМ = s.
За время t1 = t + Δt точка прошла путь ОМ1 = s1.
Δ s – путь, пройденный точкой за время Δt.

▼

Отношении пройденного пути Δs к промежутку времени
Δt называется средней скоростью точки за время Δt.

Скорость точки в данный момент времени находится
как предел средней скорости при стремлении
промежутка времени к нулю, то есть

▼

Следовательно,
Алгебраическое значение скорости в данный момент
времени равно производной от дуговой координаты по
времени.
М

Вектор скорости направлен по
траектории точки в сторону движения.

касательной

к

▼

Определение ускорения точки
М
М1

+

О
−

Пусть

▼

Вычислим вектор ускорения точки по его проекциям на
естественные оси.
М
М1

+

О
−

Естественные оси – это оси подвижной прямоугольной
системы координат с началом в движущейся точке.
Эти оси направлены следующим образом:

▼

Ось Мτ направлена по касательной к траектории в
положительном
направлении
отсчета
дуговой
координаты.
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Ось Мn направлена по главной нормали в сторону
вогнутости траектории.
Ось Мb перпендикулярна к первым двум и направлена
так, чтобы она образовывала с ними правую тройку.

▼

Так как ускорение лежит в соприкасающейся плоскости,
то проекция вектора ускорения на бинормаль равна
нулю, то есть
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Таким образом

▼

где

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения точки на касательную равна
первой производной от численной величины скорости
или второй производной от дуговой координаты по
времени.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по модулю.
▼

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения на главную нормаль равна
квадрату скорости, деленному на радиус кривизны
траектории в данной точке кривой.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по направлению.
▼

Вектор ускорения точки изображается диагональю
параллелограмма, построенного на касательной и
нормальной составляющих.
τ

М
+

n

О
−

b

Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны,
то по модулю

▼


Slide 2

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Естественный способ
задания движения

При естественном способе задаются:

 траектория точки;

М

+
О
−

 начало отсчета на траектории;
 положительное
отсчета;

направление

 закон
изменения
координаты:

дуговой

s = s(t)
▼

Определение скорости точки
М

М1

s1
О
−

+

s

Δs

Пусть за время t точка прошла путь ОМ = s.
За время t1 = t + Δt точка прошла путь ОМ1 = s1.
Δ s – путь, пройденный точкой за время Δt.

▼

Отношении пройденного пути Δs к промежутку времени
Δt называется средней скоростью точки за время Δt.

Скорость точки в данный момент времени находится
как предел средней скорости при стремлении
промежутка времени к нулю, то есть

▼

Следовательно,
Алгебраическое значение скорости в данный момент
времени равно производной от дуговой координаты по
времени.
М

Вектор скорости направлен по
траектории точки в сторону движения.

касательной

к

▼

Определение ускорения точки
М
М1

+

О
−

Пусть

▼

Вычислим вектор ускорения точки по его проекциям на
естественные оси.
М
М1

+

О
−

Естественные оси – это оси подвижной прямоугольной
системы координат с началом в движущейся точке.
Эти оси направлены следующим образом:

▼

Ось Мτ направлена по касательной к траектории в
положительном
направлении
отсчета
дуговой
координаты.
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Ось Мn направлена по главной нормали в сторону
вогнутости траектории.
Ось Мb перпендикулярна к первым двум и направлена
так, чтобы она образовывала с ними правую тройку.

▼

Так как ускорение лежит в соприкасающейся плоскости,
то проекция вектора ускорения на бинормаль равна
нулю, то есть
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Таким образом

▼

где

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения точки на касательную равна
первой производной от численной величины скорости
или второй производной от дуговой координаты по
времени.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по модулю.
▼

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения на главную нормаль равна
квадрату скорости, деленному на радиус кривизны
траектории в данной точке кривой.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по направлению.
▼

Вектор ускорения точки изображается диагональю
параллелограмма, построенного на касательной и
нормальной составляющих.
τ

М
+

n

О
−

b

Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны,
то по модулю

▼


Slide 3

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Естественный способ
задания движения

При естественном способе задаются:

 траектория точки;

М

+
О
−

 начало отсчета на траектории;
 положительное
отсчета;

направление

 закон
изменения
координаты:

дуговой

s = s(t)
▼

Определение скорости точки
М

М1

s1
О
−

+

s

Δs

Пусть за время t точка прошла путь ОМ = s.
За время t1 = t + Δt точка прошла путь ОМ1 = s1.
Δ s – путь, пройденный точкой за время Δt.

▼

Отношении пройденного пути Δs к промежутку времени
Δt называется средней скоростью точки за время Δt.

Скорость точки в данный момент времени находится
как предел средней скорости при стремлении
промежутка времени к нулю, то есть

▼

Следовательно,
Алгебраическое значение скорости в данный момент
времени равно производной от дуговой координаты по
времени.
М

Вектор скорости направлен по
траектории точки в сторону движения.

касательной

к

▼

Определение ускорения точки
М
М1

+

О
−

Пусть

▼

Вычислим вектор ускорения точки по его проекциям на
естественные оси.
М
М1

+

О
−

Естественные оси – это оси подвижной прямоугольной
системы координат с началом в движущейся точке.
Эти оси направлены следующим образом:

▼

Ось Мτ направлена по касательной к траектории в
положительном
направлении
отсчета
дуговой
координаты.
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Ось Мn направлена по главной нормали в сторону
вогнутости траектории.
Ось Мb перпендикулярна к первым двум и направлена
так, чтобы она образовывала с ними правую тройку.

▼

Так как ускорение лежит в соприкасающейся плоскости,
то проекция вектора ускорения на бинормаль равна
нулю, то есть
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Таким образом

▼

где

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения точки на касательную равна
первой производной от численной величины скорости
или второй производной от дуговой координаты по
времени.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по модулю.
▼

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения на главную нормаль равна
квадрату скорости, деленному на радиус кривизны
траектории в данной точке кривой.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по направлению.
▼

Вектор ускорения точки изображается диагональю
параллелограмма, построенного на касательной и
нормальной составляющих.
τ

М
+

n

О
−

b

Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны,
то по модулю

▼


Slide 4

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Естественный способ
задания движения

При естественном способе задаются:

 траектория точки;

М

+
О
−

 начало отсчета на траектории;
 положительное
отсчета;

направление

 закон
изменения
координаты:

дуговой

s = s(t)
▼

Определение скорости точки
М

М1

s1
О
−

+

s

Δs

Пусть за время t точка прошла путь ОМ = s.
За время t1 = t + Δt точка прошла путь ОМ1 = s1.
Δ s – путь, пройденный точкой за время Δt.

▼

Отношении пройденного пути Δs к промежутку времени
Δt называется средней скоростью точки за время Δt.

Скорость точки в данный момент времени находится
как предел средней скорости при стремлении
промежутка времени к нулю, то есть

▼

Следовательно,
Алгебраическое значение скорости в данный момент
времени равно производной от дуговой координаты по
времени.
М

Вектор скорости направлен по
траектории точки в сторону движения.

касательной

к

▼

Определение ускорения точки
М
М1

+

О
−

Пусть

▼

Вычислим вектор ускорения точки по его проекциям на
естественные оси.
М
М1

+

О
−

Естественные оси – это оси подвижной прямоугольной
системы координат с началом в движущейся точке.
Эти оси направлены следующим образом:

▼

Ось Мτ направлена по касательной к траектории в
положительном
направлении
отсчета
дуговой
координаты.
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Ось Мn направлена по главной нормали в сторону
вогнутости траектории.
Ось Мb перпендикулярна к первым двум и направлена
так, чтобы она образовывала с ними правую тройку.

▼

Так как ускорение лежит в соприкасающейся плоскости,
то проекция вектора ускорения на бинормаль равна
нулю, то есть
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Таким образом

▼

где

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения точки на касательную равна
первой производной от численной величины скорости
или второй производной от дуговой координаты по
времени.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по модулю.
▼

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения на главную нормаль равна
квадрату скорости, деленному на радиус кривизны
траектории в данной точке кривой.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по направлению.
▼

Вектор ускорения точки изображается диагональю
параллелограмма, построенного на касательной и
нормальной составляющих.
τ

М
+

n

О
−

b

Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны,
то по модулю

▼


Slide 5

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Естественный способ
задания движения

При естественном способе задаются:

 траектория точки;

М

+
О
−

 начало отсчета на траектории;
 положительное
отсчета;

направление

 закон
изменения
координаты:

дуговой

s = s(t)
▼

Определение скорости точки
М

М1

s1
О
−

+

s

Δs

Пусть за время t точка прошла путь ОМ = s.
За время t1 = t + Δt точка прошла путь ОМ1 = s1.
Δ s – путь, пройденный точкой за время Δt.

▼

Отношении пройденного пути Δs к промежутку времени
Δt называется средней скоростью точки за время Δt.

Скорость точки в данный момент времени находится
как предел средней скорости при стремлении
промежутка времени к нулю, то есть

▼

Следовательно,
Алгебраическое значение скорости в данный момент
времени равно производной от дуговой координаты по
времени.
М

Вектор скорости направлен по
траектории точки в сторону движения.

касательной

к

▼

Определение ускорения точки
М
М1

+

О
−

Пусть

▼

Вычислим вектор ускорения точки по его проекциям на
естественные оси.
М
М1

+

О
−

Естественные оси – это оси подвижной прямоугольной
системы координат с началом в движущейся точке.
Эти оси направлены следующим образом:

▼

Ось Мτ направлена по касательной к траектории в
положительном
направлении
отсчета
дуговой
координаты.
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Ось Мn направлена по главной нормали в сторону
вогнутости траектории.
Ось Мb перпендикулярна к первым двум и направлена
так, чтобы она образовывала с ними правую тройку.

▼

Так как ускорение лежит в соприкасающейся плоскости,
то проекция вектора ускорения на бинормаль равна
нулю, то есть
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Таким образом

▼

где

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения точки на касательную равна
первой производной от численной величины скорости
или второй производной от дуговой координаты по
времени.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по модулю.
▼

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения на главную нормаль равна
квадрату скорости, деленному на радиус кривизны
траектории в данной точке кривой.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по направлению.
▼

Вектор ускорения точки изображается диагональю
параллелограмма, построенного на касательной и
нормальной составляющих.
τ

М
+

n

О
−

b

Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны,
то по модулю

▼


Slide 6

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Естественный способ
задания движения

При естественном способе задаются:

 траектория точки;

М

+
О
−

 начало отсчета на траектории;
 положительное
отсчета;

направление

 закон
изменения
координаты:

дуговой

s = s(t)
▼

Определение скорости точки
М

М1

s1
О
−

+

s

Δs

Пусть за время t точка прошла путь ОМ = s.
За время t1 = t + Δt точка прошла путь ОМ1 = s1.
Δ s – путь, пройденный точкой за время Δt.

▼

Отношении пройденного пути Δs к промежутку времени
Δt называется средней скоростью точки за время Δt.

Скорость точки в данный момент времени находится
как предел средней скорости при стремлении
промежутка времени к нулю, то есть

▼

Следовательно,
Алгебраическое значение скорости в данный момент
времени равно производной от дуговой координаты по
времени.
М

Вектор скорости направлен по
траектории точки в сторону движения.

касательной

к

▼

Определение ускорения точки
М
М1

+

О
−

Пусть

▼

Вычислим вектор ускорения точки по его проекциям на
естественные оси.
М
М1

+

О
−

Естественные оси – это оси подвижной прямоугольной
системы координат с началом в движущейся точке.
Эти оси направлены следующим образом:

▼

Ось Мτ направлена по касательной к траектории в
положительном
направлении
отсчета
дуговой
координаты.
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Ось Мn направлена по главной нормали в сторону
вогнутости траектории.
Ось Мb перпендикулярна к первым двум и направлена
так, чтобы она образовывала с ними правую тройку.

▼

Так как ускорение лежит в соприкасающейся плоскости,
то проекция вектора ускорения на бинормаль равна
нулю, то есть
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Таким образом

▼

где

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения точки на касательную равна
первой производной от численной величины скорости
или второй производной от дуговой координаты по
времени.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по модулю.
▼

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения на главную нормаль равна
квадрату скорости, деленному на радиус кривизны
траектории в данной точке кривой.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по направлению.
▼

Вектор ускорения точки изображается диагональю
параллелограмма, построенного на касательной и
нормальной составляющих.
τ

М
+

n

О
−

b

Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны,
то по модулю

▼


Slide 7

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Естественный способ
задания движения

При естественном способе задаются:

 траектория точки;

М

+
О
−

 начало отсчета на траектории;
 положительное
отсчета;

направление

 закон
изменения
координаты:

дуговой

s = s(t)
▼

Определение скорости точки
М

М1

s1
О
−

+

s

Δs

Пусть за время t точка прошла путь ОМ = s.
За время t1 = t + Δt точка прошла путь ОМ1 = s1.
Δ s – путь, пройденный точкой за время Δt.

▼

Отношении пройденного пути Δs к промежутку времени
Δt называется средней скоростью точки за время Δt.

Скорость точки в данный момент времени находится
как предел средней скорости при стремлении
промежутка времени к нулю, то есть

▼

Следовательно,
Алгебраическое значение скорости в данный момент
времени равно производной от дуговой координаты по
времени.
М

Вектор скорости направлен по
траектории точки в сторону движения.

касательной

к

▼

Определение ускорения точки
М
М1

+

О
−

Пусть

▼

Вычислим вектор ускорения точки по его проекциям на
естественные оси.
М
М1

+

О
−

Естественные оси – это оси подвижной прямоугольной
системы координат с началом в движущейся точке.
Эти оси направлены следующим образом:

▼

Ось Мτ направлена по касательной к траектории в
положительном
направлении
отсчета
дуговой
координаты.
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Ось Мn направлена по главной нормали в сторону
вогнутости траектории.
Ось Мb перпендикулярна к первым двум и направлена
так, чтобы она образовывала с ними правую тройку.

▼

Так как ускорение лежит в соприкасающейся плоскости,
то проекция вектора ускорения на бинормаль равна
нулю, то есть
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Таким образом

▼

где

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения точки на касательную равна
первой производной от численной величины скорости
или второй производной от дуговой координаты по
времени.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по модулю.
▼

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения на главную нормаль равна
квадрату скорости, деленному на радиус кривизны
траектории в данной точке кривой.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по направлению.
▼

Вектор ускорения точки изображается диагональю
параллелограмма, построенного на касательной и
нормальной составляющих.
τ

М
+

n

О
−

b

Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны,
то по модулю

▼


Slide 8

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Естественный способ
задания движения

При естественном способе задаются:

 траектория точки;

М

+
О
−

 начало отсчета на траектории;
 положительное
отсчета;

направление

 закон
изменения
координаты:

дуговой

s = s(t)
▼

Определение скорости точки
М

М1

s1
О
−

+

s

Δs

Пусть за время t точка прошла путь ОМ = s.
За время t1 = t + Δt точка прошла путь ОМ1 = s1.
Δ s – путь, пройденный точкой за время Δt.

▼

Отношении пройденного пути Δs к промежутку времени
Δt называется средней скоростью точки за время Δt.

Скорость точки в данный момент времени находится
как предел средней скорости при стремлении
промежутка времени к нулю, то есть

▼

Следовательно,
Алгебраическое значение скорости в данный момент
времени равно производной от дуговой координаты по
времени.
М

Вектор скорости направлен по
траектории точки в сторону движения.

касательной

к

▼

Определение ускорения точки
М
М1

+

О
−

Пусть

▼

Вычислим вектор ускорения точки по его проекциям на
естественные оси.
М
М1

+

О
−

Естественные оси – это оси подвижной прямоугольной
системы координат с началом в движущейся точке.
Эти оси направлены следующим образом:

▼

Ось Мτ направлена по касательной к траектории в
положительном
направлении
отсчета
дуговой
координаты.
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Ось Мn направлена по главной нормали в сторону
вогнутости траектории.
Ось Мb перпендикулярна к первым двум и направлена
так, чтобы она образовывала с ними правую тройку.

▼

Так как ускорение лежит в соприкасающейся плоскости,
то проекция вектора ускорения на бинормаль равна
нулю, то есть
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Таким образом

▼

где

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения точки на касательную равна
первой производной от численной величины скорости
или второй производной от дуговой координаты по
времени.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по модулю.
▼

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения на главную нормаль равна
квадрату скорости, деленному на радиус кривизны
траектории в данной точке кривой.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по направлению.
▼

Вектор ускорения точки изображается диагональю
параллелограмма, построенного на касательной и
нормальной составляющих.
τ

М
+

n

О
−

b

Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны,
то по модулю

▼


Slide 9

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Естественный способ
задания движения

При естественном способе задаются:

 траектория точки;

М

+
О
−

 начало отсчета на траектории;
 положительное
отсчета;

направление

 закон
изменения
координаты:

дуговой

s = s(t)
▼

Определение скорости точки
М

М1

s1
О
−

+

s

Δs

Пусть за время t точка прошла путь ОМ = s.
За время t1 = t + Δt точка прошла путь ОМ1 = s1.
Δ s – путь, пройденный точкой за время Δt.

▼

Отношении пройденного пути Δs к промежутку времени
Δt называется средней скоростью точки за время Δt.

Скорость точки в данный момент времени находится
как предел средней скорости при стремлении
промежутка времени к нулю, то есть

▼

Следовательно,
Алгебраическое значение скорости в данный момент
времени равно производной от дуговой координаты по
времени.
М

Вектор скорости направлен по
траектории точки в сторону движения.

касательной

к

▼

Определение ускорения точки
М
М1

+

О
−

Пусть

▼

Вычислим вектор ускорения точки по его проекциям на
естественные оси.
М
М1

+

О
−

Естественные оси – это оси подвижной прямоугольной
системы координат с началом в движущейся точке.
Эти оси направлены следующим образом:

▼

Ось Мτ направлена по касательной к траектории в
положительном
направлении
отсчета
дуговой
координаты.
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Ось Мn направлена по главной нормали в сторону
вогнутости траектории.
Ось Мb перпендикулярна к первым двум и направлена
так, чтобы она образовывала с ними правую тройку.

▼

Так как ускорение лежит в соприкасающейся плоскости,
то проекция вектора ускорения на бинормаль равна
нулю, то есть
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Таким образом

▼

где

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения точки на касательную равна
первой производной от численной величины скорости
или второй производной от дуговой координаты по
времени.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по модулю.
▼

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения на главную нормаль равна
квадрату скорости, деленному на радиус кривизны
траектории в данной точке кривой.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по направлению.
▼

Вектор ускорения точки изображается диагональю
параллелограмма, построенного на касательной и
нормальной составляющих.
τ

М
+

n

О
−

b

Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны,
то по модулю

▼


Slide 10

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Естественный способ
задания движения

При естественном способе задаются:

 траектория точки;

М

+
О
−

 начало отсчета на траектории;
 положительное
отсчета;

направление

 закон
изменения
координаты:

дуговой

s = s(t)
▼

Определение скорости точки
М

М1

s1
О
−

+

s

Δs

Пусть за время t точка прошла путь ОМ = s.
За время t1 = t + Δt точка прошла путь ОМ1 = s1.
Δ s – путь, пройденный точкой за время Δt.

▼

Отношении пройденного пути Δs к промежутку времени
Δt называется средней скоростью точки за время Δt.

Скорость точки в данный момент времени находится
как предел средней скорости при стремлении
промежутка времени к нулю, то есть

▼

Следовательно,
Алгебраическое значение скорости в данный момент
времени равно производной от дуговой координаты по
времени.
М

Вектор скорости направлен по
траектории точки в сторону движения.

касательной

к

▼

Определение ускорения точки
М
М1

+

О
−

Пусть

▼

Вычислим вектор ускорения точки по его проекциям на
естественные оси.
М
М1

+

О
−

Естественные оси – это оси подвижной прямоугольной
системы координат с началом в движущейся точке.
Эти оси направлены следующим образом:

▼

Ось Мτ направлена по касательной к траектории в
положительном
направлении
отсчета
дуговой
координаты.
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Ось Мn направлена по главной нормали в сторону
вогнутости траектории.
Ось Мb перпендикулярна к первым двум и направлена
так, чтобы она образовывала с ними правую тройку.

▼

Так как ускорение лежит в соприкасающейся плоскости,
то проекция вектора ускорения на бинормаль равна
нулю, то есть
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Таким образом

▼

где

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения точки на касательную равна
первой производной от численной величины скорости
или второй производной от дуговой координаты по
времени.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по модулю.
▼

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения на главную нормаль равна
квадрату скорости, деленному на радиус кривизны
траектории в данной точке кривой.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по направлению.
▼

Вектор ускорения точки изображается диагональю
параллелограмма, построенного на касательной и
нормальной составляющих.
τ

М
+

n

О
−

b

Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны,
то по модулю

▼


Slide 11

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Естественный способ
задания движения

При естественном способе задаются:

 траектория точки;

М

+
О
−

 начало отсчета на траектории;
 положительное
отсчета;

направление

 закон
изменения
координаты:

дуговой

s = s(t)
▼

Определение скорости точки
М

М1

s1
О
−

+

s

Δs

Пусть за время t точка прошла путь ОМ = s.
За время t1 = t + Δt точка прошла путь ОМ1 = s1.
Δ s – путь, пройденный точкой за время Δt.

▼

Отношении пройденного пути Δs к промежутку времени
Δt называется средней скоростью точки за время Δt.

Скорость точки в данный момент времени находится
как предел средней скорости при стремлении
промежутка времени к нулю, то есть

▼

Следовательно,
Алгебраическое значение скорости в данный момент
времени равно производной от дуговой координаты по
времени.
М

Вектор скорости направлен по
траектории точки в сторону движения.

касательной

к

▼

Определение ускорения точки
М
М1

+

О
−

Пусть

▼

Вычислим вектор ускорения точки по его проекциям на
естественные оси.
М
М1

+

О
−

Естественные оси – это оси подвижной прямоугольной
системы координат с началом в движущейся точке.
Эти оси направлены следующим образом:

▼

Ось Мτ направлена по касательной к траектории в
положительном
направлении
отсчета
дуговой
координаты.
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Ось Мn направлена по главной нормали в сторону
вогнутости траектории.
Ось Мb перпендикулярна к первым двум и направлена
так, чтобы она образовывала с ними правую тройку.

▼

Так как ускорение лежит в соприкасающейся плоскости,
то проекция вектора ускорения на бинормаль равна
нулю, то есть
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Таким образом

▼

где

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения точки на касательную равна
первой производной от численной величины скорости
или второй производной от дуговой координаты по
времени.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по модулю.
▼

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения на главную нормаль равна
квадрату скорости, деленному на радиус кривизны
траектории в данной точке кривой.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по направлению.
▼

Вектор ускорения точки изображается диагональю
параллелограмма, построенного на касательной и
нормальной составляющих.
τ

М
+

n

О
−

b

Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны,
то по модулю

▼


Slide 12

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Естественный способ
задания движения

При естественном способе задаются:

 траектория точки;

М

+
О
−

 начало отсчета на траектории;
 положительное
отсчета;

направление

 закон
изменения
координаты:

дуговой

s = s(t)
▼

Определение скорости точки
М

М1

s1
О
−

+

s

Δs

Пусть за время t точка прошла путь ОМ = s.
За время t1 = t + Δt точка прошла путь ОМ1 = s1.
Δ s – путь, пройденный точкой за время Δt.

▼

Отношении пройденного пути Δs к промежутку времени
Δt называется средней скоростью точки за время Δt.

Скорость точки в данный момент времени находится
как предел средней скорости при стремлении
промежутка времени к нулю, то есть

▼

Следовательно,
Алгебраическое значение скорости в данный момент
времени равно производной от дуговой координаты по
времени.
М

Вектор скорости направлен по
траектории точки в сторону движения.

касательной

к

▼

Определение ускорения точки
М
М1

+

О
−

Пусть

▼

Вычислим вектор ускорения точки по его проекциям на
естественные оси.
М
М1

+

О
−

Естественные оси – это оси подвижной прямоугольной
системы координат с началом в движущейся точке.
Эти оси направлены следующим образом:

▼

Ось Мτ направлена по касательной к траектории в
положительном
направлении
отсчета
дуговой
координаты.
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Ось Мn направлена по главной нормали в сторону
вогнутости траектории.
Ось Мb перпендикулярна к первым двум и направлена
так, чтобы она образовывала с ними правую тройку.

▼

Так как ускорение лежит в соприкасающейся плоскости,
то проекция вектора ускорения на бинормаль равна
нулю, то есть
М

τ
М1

+

n

О
−

b

Таким образом

▼

где

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения точки на касательную равна
первой производной от численной величины скорости
или второй производной от дуговой координаты по
времени.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по модулю.
▼

τ

М
+

n

О
−

b

Проекция ускорения на главную нормаль равна
квадрату скорости, деленному на радиус кривизны
траектории в данной точке кривой.
Эта составляющая характеризует изменение скорости
по направлению.
▼

Вектор ускорения точки изображается диагональю
параллелограмма, построенного на касательной и
нормальной составляющих.
τ

М
+

n

О
−

b

Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны,
то по модулю

▼