Ускорение точки - Student
Download
Report
Transcript Ускорение точки - Student
Лекция К1.
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
Механическое движение −
изменение положения одного тела
относительно другого (тела
отсчета), с которым связана система
координат, называемая системой
отсчета.
Основными задачами кинематики точки
являются:
Описание способов задания движения
точки.
Определение кинематических
характеристик движения точки (скорости,
ускорения) по заданному закону движения
Геометрическое место
последовательных
положений движущейся
точки в рассматриваемой
системе отсчета называется
траектория точки.
Задать движение − это дать способ, с
помощью которого можно определить
положение точки в любой момент
времени по отношению к выбранной
системе отсчета. К основным способам
задания движения точки относятся:
векторный,
координатный
и естественный.
1.Векторный
движения
способ
задания
Положение точки определяется радиусвектором, проведенным из неподвижной
точки, связанной с телом отсчета:
r r t
− векторное уравнение движения точки.
.
t
Скорость и ускорение точки
Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени
r r ( t t ) r ( t )
−Тогда средняя скорость точки за промежуток времени .
r
vср
t
Скорость точки в данный момент времени находится как предел
средней скорости при
t 0
Среднее ускорение характеризует изменение
вектора скорости за малый промежуток
времени t
v
aср
t
Ускорение точки в
данный момент времени
находится как предел
среднего ускорения при
t 0
v dv
a lim
t 0 t
dt
Скорость точки − это кинематическая мера
ее движения, равная производной
по времени от
радиус-вектора этой
точки в рассматриваемой системе отсчета.
Вектор скорости направлен по касательной к
траектории точки в сторону движения.
dr
v
dt
Ускорение точки − это мера изменения ее
скорости, равная производной по времени от
скорости этой точки или второй производной
от радиус-вектора точки по времени.
Ускорение точки характеризует изменение
вектора скорости по величине и направлению.
Вектор ускорения направлен в сторону
вогнутости траектории.
2
dv d r
a
2
dt dt
2.Координатный способ задания движения
В этом случае задаются координаты точки как
функции времени:
уравнения движения точки в координатной
форме.
x x t , y y t , z z t ;
Это и параметрические уравнения
траектории движущейся точки, в которых
роль параметра играет время .
Чтобы записать ее уравнение
форме, надо исключить из них ,
в явной
t
В случае
исключив
t
пространственной
получим:
F1 x , y , z 0,
F2 x , y , z 0.
траектории,
В случае плоской траектории исключив
или
получим
x x t ,
y y t ,
y x
,
F ( x, y ) 0
t
7.3. Определение скорости и ускорения точки при
координатном способе задания движения
Связь векторного способа задания движения и
координатного дается соотношением
r xi yj zk
Из определения скорости:
dr d dx dy dz
v xi yj zk i j k
dt dt
dt
dt
dt
Проекции скорости на оси координат равны производным
соответствующих координат по времени
v x x
v y y
v z z
Модуль скорости определяется выражением
v v x2 v 2y v z2
Из определения ускорения:
dv d
a
x i y j zk xi yj zk
dt dt
Проекции ускорения на оси координат равны вторым
производным соответствующих
координат по
,
времени:
.
a x x
a z z
a y y
Модуль ускорения определяется выражением:
a
2
ax
2
ay
2
az
3. Естественный способ задания движения
В этом случае задаются:
1)траектория точки,
2)начало отсчета на траектории,
3) положительное направление отсчета,
4)закон изменения дуговой координаты s st
3) положительное
направление отсчета,
2)начало отсчета на
траектории,
1)траектория точки,
s st
Естественные оси
(касательная, главная нормаль, бинормаль)
− это оси подвижной прямоугольной системы
координат с началом в движущейся точке.
Их положение определяется траекторией движения.
Касательная с единичным вектором
направлена по касательной
в положительном направлении отсчета дуговой
координаты и находится как предельное положение
секущей, проходящей через данную точку.
M1
M
M
M1
O
Нормальная плоскость перпендикулярна касательной.
Линия пересечения нормальной и соприкасающейся
плоскостей
− главная нормаль.
Единичный вектор главной нормали
в сторону вогнутости траектории.
n
направлен
b
Бинормаль с единичным вектором
направлена перпендикулярно касательной
главной нормали так, что орты
образуют правую тройку векторов
n
b
и
Координатные плоскости введенной подвижной
системы координат
(соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая)
образуют естественный трехгранник,
который перемещается вместе с движущейся точкой,
как твердое тело.
Его движение в пространстве определяется траекторией
и законом изменения дуговой координаты.
СКОРОСТЬ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ
dr
r
r s
v
lim
lim
dt t 0 t t 0 s t
r
lim
t 0 s
− единичный вектор касательной
ds
v
dt
v s
v s
Алгебраическая скорость− проекция вектора
скорости на касательную, равная производной
от дуговой координаты по времени. Если
производная положительна, то точка движется в
положительном направлении отсчета дуговой
координаты.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ТОЧКИ
ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ
dr
r
r s
v
lim
lim
dt t 0 t t 0 s t
ds
v
dt
r
lim
t 0 s
v s
v s
Алгебраическая скорость − проекция вектора скорости на касательную,
равная производной от дуговой координаты по времени.
Если производная положительна, то точка движется в положительном
направлении отсчета дуговой координаты.
УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ
ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ
dv d
d
a
s s s
dt dt
dt
1
d d d
nk n
ds d ds
d
n
d
d
k
ds
1
k
единичный вектор главной нормали
кривизна траектории
радиус кривизны траектории в данной точке
M1
s
1
M
O
2
s
a s n
вектор ускорения раскладывается на две составляющие
– касательное и нормальное ускорения
a a an
a s v
2
v
an
a s v
2
v
an
n
алгебраическое значение касательного ускорения
(проекция вектора ускорения на касательную)
характеризует изменение скорости по величине;
нормальное ускорение
(проекция вектора ускорения на нормаль)
характеризует изменение скорости по направлению
Вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскости,
проекция ускорения на бинормаль равна нулю
ab 0
Движение точки ускоренное,
если знаки проекций векторов скорости
и ускорения на касательную совпадают
M
a
v
n
an
a