Slide 1

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 2

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 3

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 4

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 5

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 6

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 7

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 8

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 9

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 10

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 11

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 12

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 13

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 14

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 15

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 16

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 17

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 18

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 19

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 20

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 21

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 22

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 23

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 24

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 25

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 26

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 27

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 28

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 29

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 30

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 31

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 32

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 33

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 34

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 35

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 36

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 37

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 38

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 39

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 40

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 41

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 42

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 43

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 44

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 45

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 46

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 47

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 48

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 49

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 50

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 51

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 52

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 53

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC


Slide 54

„Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi oczyma.
W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.
Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na świat.
Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra, skały, góry,
wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych rzeczy.
I już nigdy nie będą te same."
Michael F. Barnsley

Co to jest fraktal?
Fraktal, według definicji encyklopedycznej to
obiekt, dla którego wymiar fraktalny (HausdorffaBesicovitcha) jest większy od wymiaru
topologicznego.

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w
znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt
samopodobny (tzn. taki, którego części są
podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym
powiększeniu).

Co to jest fraktal?
Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy
obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:
• ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
• struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej
geometrii euklidesowej,
• jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to
przybliżonym lub stochastycznym,
• jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar
topologiczny,
• ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
• ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Historia fraktali
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki
przez francuskiego informatyka i matematyka
polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w
latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez
niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym
przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama
zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa,
postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady
pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie
fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary,
mająca swoje początki w pracach Constantina
Carathéodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Fraktale w przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są
powszechnie spotykane w
przyrodzie.
Przykładem mogą być :

Generowanie fraktali
Fraktale generuje się za pomocą komputera.
Owszem można je tworzyć przy pomocy
ołówka i kalkulatora, ale było by to żmudne
i dosyć trudne.

Zastosowanie fraktali
Fraktale nie służą jedynie generowaniu
złożonych kolorowych obrazów po to, by
zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka. Ich
zastosowanie jest jak najbardziej praktyczne.
Za ich pomocą modeluje się różnorakie
zjawiska spotykane w przyrodzie, takie jak linie
brzegowe lądów, chmur czy systemy
komórkowe i struktury polimerowe.

Zastosowanie fraktali
Bada się też ewolucję wszechświata,
galaktyk i systemów słonecznych. Teoria
fraktali wykorzystywana jest również do
tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów
kompresji danych. Za pomocą niej śledzi się
chaotyczne procesy w dynamicznych
nieliniowych układach fizycznych. Pomaga
ona badać harmoniczne struktury w muzyce.

Zbiór Cantora
Georg Cantor (1918-1945) był wybitnym
niemieckim matematykiem - twórcą m. in. teorii
mnogości. Zbiór przez niego stworzony jest niezwykle
istotny nie tylko dla samego świata fraktali, ale dla
całej matematyki. Za jego pomocą dowodzi się
nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, jest on
także podstawą zbioru Julii. Został on opisany w 1883
roku.

Konstrukcja zbioru Cantora
Georg Cantor
zaproponował prostą
konstrukcję, w wyniku której
otrzymuje się zbiór nazwany
jego imieniem. Odcinek [0,1]
dzielimy na trzy równe części
i usuwamy środkową. Z
pozostałymi dwoma
odcinkami postępujemy
analogicznie. W
konsekwencji takiego
działania w granicy
nieskończonej ilości kroków
powstaje zbiór punktów
Cantora.

,
Trójkat Sierpinskiego
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka
Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali.
Znany był na długo przed powstaniem tego
pojęcia. Konstrukcja tego zbioru była podana przez
polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego
w 1915.

Krok po kroku; budowa trójkąta.

1.

Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny
o długości boku np.1.

Środki boków trójkąta łączymy odcinkami.
Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne.

Usuwamy środkowy trójkąt.

2.
Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów
dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów
otrzymanych w pierwszym kroku.

Usuwamy środkowe trójkąty.

3.
W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.

Po kolejnych krokach,
trójkąt będzie miał coraz więcej dziur,
którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości.

,

Dywan Sierpinskiego
Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu
za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3)
mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego
kwadratu i ponownego rekurencyjnego
zastosowania tej samej procedury do każdego
z pozostałych ośmiu kwadratów.

Krok po kroku; budowa dywanu.

1.

Najpierw rysujemy kwadrat,
który dzielimy na dziewięć równych części
i usuwamy środkowy kwadrat.

2.

Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych
kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych
części i usuwamy środkowe kwadraciki.

3.

W kolejnych krokach
postępujemy podobnie jak poprzednio.
Z każdym krokiem ‘dywan’ będzie miłą coraz więcej dziur,
którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości.

Krzywa i platek Kocha
Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można
zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu
krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie
długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można
więc narysować pewne jej przybliżenie.
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i
nazywane jest płatkiem Kocha.

Krok po kroku; budowa krzywej

1.
Najpierw rysuje się linię prostą, która jest inicjatorem.

Następnie dzieli się ją na trzy równe części.
Na środkowej tworzy się trójkąt równoboczny
i usuwa jego podstawę.

To pierwszy krok - generator krzywej Kocha.

2.

Ten sam algorytm wykonuje się na każdym
z powstałych odcinków.

3.
Jeżeli połączy się trzy takie krzywe odpowiednio odwrócone,
otrzyma się figurę, która nazywana jest płatkiem śniegu
lub śnieżynką Kocha.

Drzewo Pitagorejskie
Drzewo pitagorejskie to konstrukcja
geometryczna, która składa się z trójkątów
prostokątnych i kwadratów, zbudowanych
na bokach trójkąta prostokątnego.

1.
W pierwszym kroku rysujemy kwadrat.

Następnie trójkąt prostokątny równoramienny,
którego przeciwprostokątna jest jednym
z boków kwadratu.

2.
W kolejnym kroku, na każdej z przyprostokątnych trójkąta
konstruujemy kwadrat,
z kolejnym trójkątem na przeciwległym boku.

3.

Następnie wystarczy powtórzyć tą czynność
dla każdego nowego kwadratu i w ten sposób
powstanie drzewo Pitagorejskie.

*Galeria

Paproć Barnsleya

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą
łatwą , to cieszą się one sporym zainteresowaniem.
Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych
dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego –
w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa
Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest
to, że niektóre fraktale są bardzo ładne
i sprawiają wiele radości tym,
którzy je oglądają"

Prezentacja multimedialna
_______________________
-> fraktale
-> gra w chaos

paproć
układ
dywan
system
punkt
trójkąt
generowanie
drzewo
gra
Atraktor
układ
fraktal
nieliniowy
w
Barnsleya
Sierpińskiego
stały
Sierpińskiego
chaos
funkcji
deterministyczny
Pitagorasa
iterowanych

Prezentacja
multimedialna
__________
Joanna Swatek
Andżelika Hołubek

Karolina Radomska

KONIEC