Fraktale Michał Nowakowski Dariusz Cieślicki Wojciech Maciejewski Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu potocznym oznacza: • Obiekt samo-podobny (tzn.
Download ReportTranscript Fraktale Michał Nowakowski Dariusz Cieślicki Wojciech Maciejewski Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu potocznym oznacza: • Obiekt samo-podobny (tzn.
Slide 1
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 2
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 3
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 4
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 5
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 6
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 7
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 8
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 9
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 10
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 11
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 12
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 13
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 14
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 15
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 16
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 17
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 18
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 19
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 20
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 21
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 22
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 23
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 24
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 25
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 26
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 27
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 28
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 29
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 30
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 31
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 32
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 33
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 34
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 35
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 2
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 3
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 4
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 5
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 6
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 7
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 8
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 9
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 10
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 11
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 12
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 13
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 14
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 15
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 16
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 17
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 18
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 19
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 20
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 21
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 22
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 23
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 24
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 25
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 26
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 27
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 28
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 29
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 30
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 31
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 32
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 33
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 34
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?
Slide 35
Fraktale
Michał Nowakowski
Dariusz Cieślicki
Wojciech Maciejewski
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu
potocznym oznacza:
• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne
do całości)
• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale
nawet w wielokrotnym powiększeniu).
A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego
wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od
wymiaru topologicznego.
Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco
Kształt podobny
do kształtu całej
figury
Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktal ukazuje
detale w
nieskończonym
powiększeniu
Rodzaje Fraktali
• Zbiór Cantora
• Fraktale Sierpińskiego
• Trójkąt Sierpińskiego
• Dywan Sierpińskiego
• Krzywa Kocha
• Zbiory Julii
• Zbiory Mandelbrota
Zbiór Cantora
Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka
jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo
prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy
środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch
odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba
odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.
Zbiór
Cantora
został
opracowany
w
1883
roku,
przez
niemieckiego
matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Zbiór Cantora – poszczególne iteracje
Fraktale Sierpińskiego
Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.
Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława
Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,
jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich
czasów.
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie
równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na
cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech
pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na
cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych
czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu
powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Struktura taka powstaje w następujący sposób:
dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego
wnętrze (część środkowego). To samo robimy z
pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym
kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema
kwadratami itd.
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego
Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach
Krzywa Kocha
Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego
matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech
odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.
Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na
tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej
części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i
usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.
Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy
części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.
Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania
Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu
Zbiory Julii
Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń
iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach
zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.
Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach
iteracji otrzymamy:
krok 0: Zn
krok 1: Zn 2 + C
krok 2: (Zn 2 +C)2 + C
krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C
krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C
Zbiory Julii
Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać
ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze
środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,
dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego
elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu
przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.
Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i
Jest to przykład zbioru nieograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i
Jest to przykład zbioru ograniczonego
Zbiór Mandelbrota
Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór
Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.
Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko
obiegły cały świat.
Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie
samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy
udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących
tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.
Zbiór Mandelbrota
Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii
Wymiar Fraktalny
Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk
fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a
dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka
różnych definicji wymiaru:
• wymiar samopodobieństwa
• wymiar pudełkowy
• wymiar cyrklowy
• I wiele, wiele innych…
Wymiar Samopodobieństwa
Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest
podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar
fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:
𝐥𝐨𝐠(𝐚)
𝐃=
𝟏
𝐥𝐨𝐠( )
𝐬
• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których
zbudowany jest obiekt.
• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi
mniejszymi częściami.
Wymiar Cyrklowy
Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako:
𝑫=𝟏+𝒅
Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów,
który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu
1
𝑠
dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta
przedstawia się wzorem:
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒖 = 𝒇(𝐥𝐨𝐠( ))
𝒔
Wymiar Pudełkowy
Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu
zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w
przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i
zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego
obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od
długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako
N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym
samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres
określony zależnością:
IFS – System iterowania funkcji
IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,
skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty
fraktali.
Jak to działa?
•
Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.
•
Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i
zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.
•
Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.
IFS – Paproć Barnsleya
IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D
IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D
Zastosowanie Fraktali
•
Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin
•
Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)
•
Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie
lokalnego wymiaru fraktalnego
•
Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego
prototypu)
•
Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń
•
Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy
zapisu EKG.
Macie jakieś pytania?