Transcript fraktale_(NXPowerLite)

Świat
Fraktali
Co to jest fraktal?
Fraktal to zbiór o skomplikowanej budowie, ale
opisany prostymi równaniami, które powtarza się
wiele razy.

Wiele fraktali kryje w sobie zadziwiającą
tajemnicę jaką jest ich nieskończone
samopodobieństwo. Oznacza to, że dowolnie
mały jego kawałek, odpowiednio powiększony,
przypomina do złudzenia cały zbiór lub jego
znaczną część.

Definicje
Fraktalem nazywamy taki zbiór, którego wymiar
topologiczny jest różny (mniejszy) od wymiaru
Hausdorffa.

Fraktal to obiekt samopodobny, o wymiarze
ułamkowym. Jak za niedługo się okaże, fraktal
wcale nie musi mieć wymiaru równego dwa czy
trzy.

Podział fraktali
Fraktale
IFS
Na płaszczyźnie
zespolonej
Fraktale Sierpińskiego



Również polski matematyk, Wacław Sierpiński
zajmował się tego typu figurami.
Fraktalami Sierpińskiego nazywamy:
- Dywan Sierpińskiego
- Trójkąt Sierpińskiego
- Piramidę Sierpińskiego
Z czasem powstało wiele wariacji tych figur i
powstały zbiory o bardziej skomplikowanej
budowie.
Dywan Sierpińskiego

Krok 1: Kwadrat o boku a dzielimy na 9 części i
usuwamy środkową częśc.
Dywan Sierpińskiego

Krok 2 i dalsze: Postępujemy tak samo z
kolejno powstającymi kwadratami.
Dywan Sierpińskiego

Oto figura po 5 krokach
Dywan Sierpińskiego
• Po nieskończenie wielu krokach z początkowej
figury powstaje zbiór punktów
• Pole Dywanu Sierpińskiego (jak i innych jego
fraktali) jest równe zero
• Liczbę „dziur” po n-tym przekształceniu można
obliczyć ze wzoru: 1  8  82  83  ...  8k 1
• Przekształcając trójkąt czy czworościan w
podobny sposób otrzymujemy inne fraktale
Sierpińskiego:
Trójkąt Sierpińskiego
Piramida Sierpińskiego
Krzywa i Płatek Koha


Twórcą tego fraktala jest Hegle von Koch,
szwedzki matematyk.
Dany odcinek dzielimy na trzy części i
usuwamy środkową. W to miejsce wstawiamy
trójkąt równoboczny, pozbawiony podstawy
Krzywa i Płatek Koha

Tak postępujemy dla każdego z czterech
powstałych odcinków.
Krzywa i Płatek Koha

Oto figura po 5 przekształceniach.

Krzywa ma teraz 1024 boki
Płatek Koha
• Płatek Kocha powstaje po połączeniu trzech
krzywych Kocha pod kątem 60°, “chropowatą”
stroną na zewnątrz.
• Innymi słowy każdy z boków trójkąta
równobocznego traktujemy jak „podstawę”
krzywej Koha.
• Płatek ma nieskończony obwód ale skończone
2 3
pole, wynosi ono
5
Płatek Koha
System IFS


System IFS (z ang. iterated function systemsystem funkcji iterowanych) wykorzystuje
przekształcenia afiniczne do konstrukcji fraktali.
Odpowiednio dobrane współczynniki tego
układu równań powodują, że kolejne obrazy
punktów zbiegają się do punktu stałego.
System IFS



Przekształcenie które zbliża punkty do punktu
stałego nazywamy przekształceniem
zawężającym.
Metoda polega na stosowaniu kilku
przekształceń w pętli a przekształcenie,
które w danym momencie będzie zastosowane
dla punktu jest losowane.
Algorytm tej konstrukcji jest bardzo prosty
w porównaniu ze zbiorami punktów jakie można
otrzymać co potwierdza jedną z podstawowych
właściwości fraktali: prosty wzórskomplikowana budowa.
Fraktale IFS



Istnieje bardzo wiele fraktali IFS
Również wcześniej przedstawione fraktale
można otrzymać na drodze funkcji IFS
Przykłady:
- Smok Heighwaya
- Smok Levyego
- Kostka Mengera
- Paproć Bransleya
- i wiele, wiele innych
Smok Heighwaya
Smok Levyego
Kostka Mengera
Zbiór Julii



Francuski matematyk Gaston Julia zastosował
do swoich badań przestrzeń zespoloną.
Oprócz liczb rzeczywistych operujemy tutaj
liczbami zespolonymi a zamiast przekształceń
afinicznych ciągami wielomianów zespolonych
Zbiór Julii opisuje równanie:
gdzie c to pewna ustalona stała zespolona
Zbiór Julii - konstrukcja




Ustalamy koło, w którym nasz zbiór musi się
zmieścić
Wybieramy punkt leżący wewnątrz koła
Obliczamy L pierwszych wyrazów ciągu dla
tego punktu i badamy jego zbieżność
Jeżeli ciąg nie ucieka do nieskończoności,
kolorujemy punkt który badaliśmy
Zbiór Julii - konstrukcja
Czerwony ciąg mieści się w kole,
więc postawilibyśmy punkt o współrzędnych z0

Zbiór Julii



Jeżeli postąpimy tak z każdym punktem
znajdującym się wewnątrz koła otrzymamy
zbiór Julii
Stała c jest bardzo ważna.
W zależności od jej wartości, zbiór będzie
spójny lub nie.

Niespójny zbiór Julii

Spójny zbiór Julii
Zbiór Mandelbrota



Zbiór Mandelbrota to zbiór tych punktów c dla
których Zbiór Julii jest spójny
Zbiór Mandelbrota jest tylko jeden, natomiast
zbiorów Julii jest nieskończenie wiele
Zbiór ten jest uznawany za najbardziej
skomplikowaną strukturą znaną człowiekowi
Zbiór Mandelbrota



Zbiór ten, jest zadziwiającym przykładem
samopodobieństwa
Powiększając fraktal olbrzymią liczbę razy
natrafiamy wciąż na bardzo podobne lub wręcz
identyczne fragmenty
Jedyną granicą jest moc obliczeniowa
komputera który generuje fraktal

Powiększenie 210 350x

Powiększenie 5 141 100 000x

Powiększenie 248 034 982 258x
Filmy ze zbioru Mandelbrota




Następne trzy krótkie filmy prezentują
właściwości zbioru Mandelbrota
Pierwszy: generację zbiorów Julii z różnych
miejsc (wartość c) zbioru Mandelbrota
Drugi: krótka podróż wgłąb zbioru Mandelbrota
Trzeci: bardzo szybkie powiększanie zbioru
Mandelbrota
Inne zbiory tego typu



Istnieje wiele zbiorów powstających na
płaszczyźnie zespolonej
Najważniejsze i najciekawsze z nich to:
- wstęga Newtona
- „Płonący statek”
- „Magnet”
- „Phoenix”
Istnieje też wiele wariacji zbiorów Mandelbrota i
Julii


„Płonący statek”
Na kolejnym obrazku powiększenie
zaznaczonego fragmentu
Metody kolorowania



Powyższe przykłady używały tylko kolorowanie
zewnętrznego, istnieje też kolorowanie
wewnętrzne
Najprostszym sposobem kolorowania jest
oznaczanie tym samym kolorem punktów
powstałych przy tej samej iteracji
Najczęściej do tego celu używa się
wielokolorowych gradientów
Wymiary fraktali



Pojęcie wymiaru w matematyce nie jest takie
jednoznaczne
Najprostsza definicja to wymiar topologiczny –
wymiar który określamy intuicyjnie ( prosta – 1
wymiar, kwadrat – 2 wymiary, itd.)
Do opisywania fraktali stosuje się wymiar
Hausdorffa
Wymiar Hausdorffa


Przeanalizujmy pewne zależności między skalą
podobieństwa a wymiarem
Odcinek, powiększony dwukrotnie mieści dwa
wyjściowe odcinki:
Wymiar Hausdorffa


Kwadrat powiększony dwukrotnie, mieści cztery
wyjściowe kwadraty
Innymi słowy jego pole jest czterokrotnie
większe
Wymiar Hausdorffa

Postępując podobnie z sześcianem,
zwiększamy jego objętość ośmiokrotnie
Wymiar Hausdorffa

Jak wiadomo kwadrat skali podobieństwa jest
równy stosunkowi pól (a sześcian, objętości),
czyli ogólnie:
N= s

d
Gdzie:
N – stosunek pola/objętości
s – skala podobieństwa
d - wymiar
Wymiar Hausdorffa

Wyprowadzając z tego wzoru d otrzymujemy:
ln N
d=
ln s


Gdzie:
N – stosunek pola/objętości
s – skala podobieństwa
d – wymiar
Otrzymaną równość nazywamy wymiarem
Hausdorffa
Wymiary Fraktali

Krzywa Koha:
ln 4
d=
= 1,2618...
ln 3

Trójkąt Sierpińskiego:
ln 3
d=
= 1,5849
ln 2

Dywan Sierpińskiego:
ln 8
d=
= 1,8927...
ln 3

Zbiory Julii Mandelbrota maja wymiar 2
Fraktale a natura


Benoit Mandelbrot miał powiedzieć: „Wszystko
jest fraktalem”, uważał, że kształty takie jak koło
czy kwadrat nie istnieją w naturze
Okazuje się że wiele naturalnych rzeczy ma
cechy fraktali:
- chmury
- skały
- cząsteczki DNA
- kryształy niektórych związków chemicznych
- rośliny jak paproć czy drzewa
- i wiele innych
Oto zwykła paproć
A to
paproć Bransleya
(fraktal IFS)
Fraktalna roślina- kalafior Romanesco
Klej silikonowy
Zastosowanie fraktali





Fraktale to nie tylko ładne obrazki:
Badania nad fraktalami pomogły zrozumieć
pewne zasady pól magnetycznych
Rośliny klasyfikuje się na podstawie fraktalnego
wymiaru ich liści
Stosuje się fraktalną kompresję obrazu
Za pomocą fraktali generuje się komputerowo
wiele naturalnych kształtów
Kompresja fraktalna

Chcąc skompresować
ten obrazek wystarczy
nam informacja, że
pole 4 jest czarne, pole
1 białe a pola 2 i 3 są
pomniejszonymi
kopiami całości
Kompresja fraktalna





Dekompresja:
Zamalowujemy całe pole
dowolnym kolorem, a pole
1 i 4 na odpowiednio na
biało i czarno
Wstawiamy pomniejszone
kopie w pole 2 i 3
W nowe-pozostałe
obszary wstawiamy
pomniejszone kopie kopii
Itd, aż do zamalowania
całego pola
Kompresja fraktalna

Oto oryginalny obrazek:
Kompresja fraktalna

Obrazek po kompresji fraktalnej
(żadnej różnicy a jest mniejszy 19 razy)
Kompresja fraktalna


Jakość fraktali →
jest dużo lepsza
Porównanie
powiększeń JPEG i
fraktali:
Kompresja fraktalna


Pozwala na powiększanie obrazów bez
wyraźnej utraty jakości
Pozwala znacznie kompresować pliki bez utraty
jakości (mimo kompresji stratnej)

Kompresja jest niestety bardzo wolna

Dekompresja jest natomiast bardzo szybka
Generowanie krajobrazów


Fraktale wykorzystuje się również do
generowania:
- krajobrazów
- wysp
- linii brzegowych
- drzew, liści i innych roślin
Istnieje też i rozwija się sztuka fraktalna

Fraktalny krajobraz

Wyspa ze zbioru Mandelbrota

Drzewa ze Smoka Heighwaya
Fraktalne pędy traw
Struktury nieskończoności...
Andrzej Krentosz, 2007
Bibliografia
http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/dydaktyka/matematyka/c_fraktale_i_chaos/index.php?id=1
http://www.mini.pw.edu.pl/MiNIwyklady/fraktale/strona.html
http://pl.wikipedia.org/wiki/Fraktale
http://pl.wikipedia.org/wiki/Kategoria:Geometria_fraktalna
http://tages.fm.interia.pl/art_fraktale.html
http://www.premiumwanadoo.com/poulosamuse/Resources/Romanesco%203.jpghttp://com
mons.wikimedia.org/wiki/Fractal
http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Fractals
http://web.cortland.edu/broyles/hayscented%20fern.html
http://www.home.aone.net.au/byzantium/ferns/fractal.html
http://www.fractal.art.pl/obrazy.html
http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/ifs.html
http://archiwum.wiz.pl/1996/96101900.asp
http://www.jakubas.pl/artykuly/skl-J-M/skl-J-M.htm
http://www.jakubas.pl/artykuly/skl-prz/skl-prz.htm
http://www-users.mat.uni.torun.pl/~philip/festiwal/festiwal.html
http://andy.univ.gda.pl/marek/fic/
Oprogramowanie:
Gnofract4d, Xaos, Ultra Fractal 4
MS Power Point, OO.org Impress
Andrzej Krentosz, 2007, [email protected]