1º I.T.I. : MECANICA I TEMA Nº 9: ESTÁTICA ROZAMIENTO Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES.
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1º I.T.I. :
MECANICA I
TEMA Nº 9:
ESTÁTICA
ROZAMIENTO
Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
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Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila
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Indice
Punto 9.1 Introducción
Punto 9.2 Características del Rozamiento de Coulomb
Punto 9.3 Análisis de Sistemas con Rozamiento Seco
Punto 9.2.1 Tipos de problemas de rozamiento
Punto 9.3.1 Cuñas
Punto 9.4 Resistencia a la Rodadura
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9.1 Introducción
Las superficies perfectamente lisas o exentas de rozamientos constituyen un modelo
útil para muchas situaciones. Ahora bien, en el contacto entre superficies reales,
siempre están presentes fuerzas de rozamiento que se ejercen tangencialmente a las
superficies oponiéndose a la tendencia de las superficies en contacto a deslizar una
respecto a otra.
Estas fuerzas de rozamiento pueden resultar convenientes (andar, conducir un
automóvil, recoger objetos, frenos, correas de transmisión, embragues, etc.) o nocivas
ya que el rozamiento origina pérdidas de energía y desgaste de las superficies en
contacto que deslicen una sobre otra.
En la ingeniería se encuentran corrientemente dos tipos principales de rozamiento:
El rozamiento seco o rozamiento de Coulomb que describe la componente
tangencial de la fuerza de contacto que existe cuando dos superficies secas
deslizan o tienden a deslizar una respecto a la otra.
El rozamiento fluido describe la componente tangencial de la fuerza de
contacto que existe entre capas contiguas de un fluido que se mueven con
velocidad relativa una respecto a otra.
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9.2 Características del rozamiento
de Coulomb
Experiencia sencilla: Un bloque sólido de masa m descansa sobre una superficie
horizontal rugosa y se halla sometido a una fuerza horizontal P.
El equilibrio del bloque exige una fuerza que tenga
componente normal N y componente horizontal de
rozamiento F que actúen sobre la superficie de contacto.
Si P es nula F también lo será y al ir aumentando P
también aumenta el rozamiento F.
F no puede aumentar indefinidamente alcanzando su valor
máximo Fmax en el valor límite de rozamiento estático.
Este punto se conoce como deslizamiento inminente con
lo que con una P por encima de este punto el rozamiento
ya no puede proporcionar la F necesaria para el equilibrio.
Cuando comienza a deslizar el cuerpo, la fuerza de
rozamiento disminuye su módulo entre un 20 y un 25 %
manteniéndose después aproximadamente constante.
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Tras diferentes experiencias, se demuestra que el
valor del rozamiento límite es proporcional a la
fuerza normal en la superficie de contacto.
Fmax s N
La constante de proporcionalidad s recibe el nombre de coeficiente de rozamiento
estático y depende de los tipos de material de contacto.
Se cree que el rozamiento seco se debe principalmente a la rugosidad de las dos
superficies y, en menor grado, a la atracción entre las moléculas de las dos superficies.
Aun cuando se consideren superficies lisas, siempre tienen irregularidades, por lo que
el contacto entre el bloque y la superficie solo tiene lugar en unas cuantas áreas
pequeñas de la superficie común.
Entonces la fuerza de rozamiento F es la
resultante de las componentes tangenciales de
las fuerzas que se ejercen en cada uno de estos
diminutos puntos de contacto, al igual que la
fuerza normal N es la resultante de las
componentes normales de dichas fuerzas.
La situación exacta de N se determinará mediante el equilibrio de momentos, por lo
que no conviene dibujar la fuerza actuando en el centro del cuerpo.
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El rozamiento es una fuerza resistiva, por lo
que siempre se opone al movimiento (nunca
tiende a crear movimiento).
La fuerza de rozamiento que se ejerce nunca es mayor que la necesaria para
satisfacer las ecuaciones de equilibrio, donde el signo igual sólo vale en condiciones
de deslizamiento inminente.
F sN
Cuando el bloque empiece a deslizar respecto a la superficie, la fuerza de
rozamiento disminuirá hasta el valor:
F k N
Donde el valor k es el coeficiente de rozamiento cinético que es independiente de
la fuerza normal y de la celeridad del movimiento relativo.
Los valores de s y de k deben determinarse experimentalmente para cada par de
superficies de contacto.
Los valores de k suelen ser un 20 o 25% inferiores a los dados para s.
Como los coeficientes de rozamiento son cocientes de dos fuerzas, serán
magnitudes adimensionales.
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En muchos problemas sencillos de rozamiento,
conviene utilizar la resultante de las fuerzas
normal y de rozamiento en lugar de estas
componentes por separado.
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MECANICA I
En el caso del bloque analizado anteriormente, quedarían
sólo tres fuerzas ejerciéndose sobre él.
El equilibrio de momentos se establece sin más que hacer
concurrentes las tres fuerzas y sólo será necesario
considerar el equilibrio de fuerzas. Así:
R
N F
2
2
y
tan
F
N
En la situación de deslizamiento inminente:
R
N F max
tan s
2
F
N
2
sN
N
N s N
2
2
N 1 s
2
s
Donde el ángulo s que forma la resultante con la normal a la superficie recibe el
nombre de ángulo de rozamiento estático.
s arc tan s
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Para una fuerza normal N, si la fuerza de
rozamiento es menor que la máxima
F sN
el ángulo de la resultante será menor que el de rozamiento
estático θ < s. En ningún caso puede el ángulo θ de la
resultante ser mayor que s si el cuerpo está en equilibrio.
En el caso de rozamiento cinético se obtiene una relación
análoga, tan k k
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MECANICA I
Donde el ángulo k recibe el nombre de ángulo de
rozamiento cinético. arc tan
k
k
Cuando un bloque descansa sobre un plano inclinado y
sólo actúa sobre aquel la gravedad, la resultante de las
fuerzas normal y de rozamiento debe ser colineal con el
peso del bloque. Pero el ángulo que forma la resultante
con la normal a la superficie nunca puede ser mayor que
el ángulo de rozamiento estático s. Por tanto, la máxima
inclinación θ para la cual el bloque pueda estar aún en
equilibrio es igual al ángulo de rozamiento estático.
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9.2.1 Tipos de problemas de rozamiento
1.- No se supone deslizamiento inminente.
En el DSL se representan la fuerza de rozamiento necesaria para mantener, junto con la
fuerza normal N, el equilibrio y se determinan mediante las EQ de fuerzas.
La fuerza normal no tiene por qué dibujarse pasando por el centro del cuerpo. Su
situación se determina utilizando el equilibrio de momentos.
El rozamiento Fnec que se necesita para que haya equilibrio y la situación de la fuerza
normal se comprueban en función de sus valores máximos. Se dan tres casos:
a) Si el rozamiento Fnec necesario para el equilibrio es menor o igual que el rozamiento
máximo disponible Fdisp Fmax s N
y la fuerza normal está situada en el cuerpo, éste estará en equilibrio. En este caso, la
fuerza de rozamiento real que opone la superficie es Freal Fnec Fdisp s N
b) Si el rozamiento Fnec necesario para el equilibrio es menor o igual que el máximo
disponible, pero la fuerza normal no se encuentra en el cuerpo, éste no estará en
equilibrio y volcará.
c) Si el rozamiento Fnec necesario para el equilibrio es mayor que el máximo disponible el
cuerpo no estará en equilibrio y deslizará. En este caso, la fuerza de rozamiento real
que opone la superficie será la fuerza de rozamiento cinético Freal k N
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2.- Se sabe que habrá deslizamiento inminente
en todas las superficies de contacto.
Como se sabe que en todas las superficies de contacto hay deslizamiento inminente,
en los DSL se podrá considerar que todas las fuerzas de rozamiento valen sN.
Entonces se pueden escribir las EQ y:
a) Si se dan todas las fuerzas aplicadas pero se desconoce s, se podrán despejar N y
s de las EQ. Este s será el menor coeficiente para el cual podrá estar en
equilibrio el cuerpo.
b) Si se da el coeficiente de rozamiento pero se desconoce una de las fuerzas
aplicadas, se podrá despejar esta y N de las EQ.
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3.- Se sabe que hay movimiento inminente
pero no se conoce el tipo de movimiento o la
superficie de deslizamiento.
Como no se sabe si el cuerpo vuelca o desliza, habrá que dibujar los DSL como en el
caso 1 sin poder considerar que las fuerzas de rozamiento valgan sN.
Así, las tres EQ contendrán más de tres incógnitas, por lo que habrá que formular
hipótesis acerca del tipo de movimiento que está a punto de producirse hasta
que el número de ecuaciones sea igual a de incógnitas. Una vez resuelto el
sistema habrá que comprobar de acuerdo con las hipótesis realizadas acerca del
deslizamiento o vuelco.
Si Fnec resulta ser mayor que Fdisp = sN en alguna superficie o si la fuerza normal no
se halla en el cuerpo, habrá que cambiar las hipótesis y volver a resolver el
problema.
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En los dos últimos casos (2b y 3), la fuerza de rozamiento se trata como si fuera
conocida. Hay que estar seguro de que se oponga a la tendencia de las otras
fuerzas a originar movimiento.
El resultado no podrá incluir un signo negativo que indique que el sentido supuesto a
la fuerza de rozamiento está equivocado.
Si se asigna incorrectamente el sentido de la fuerza de rozamiento, se tendrá
resultados incorrectos.
El sentido se determina fácilmente considerando por un instante que no hay
rozamiento. Entonces se aplica el rozamiento en un sentido tal que se oponga al
movimiento que se tendría en ausencia del mismo.
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PROBLEMA 9.1
Una unidad de un equipo electrónico que pesa 100 N se coloca sobre un calzo de
madera que pesa 50 N y se apoya sobre un suelo de hormigón. Suponiendo un
coeficiente de rozamiento estático de 0,45 determinar la mínima fuerza con que
hay que empujar el mango para hacer que el calzo empiece a deslizar sobre el
suelo.
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PROBLEMA 9.2
Idem al problema anterior aplicando ahora una fuerza de tracción.
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PROBLEMA 9.3
Una caja homogénea de peso 100 N ha volcado y descansa contra otra caja
homogénea de peso 200 N. El coeficiente de rozamiento entre la caja A y el suelo
es 0,7; entre la caja B y el suelo es 0,4. Considerar lisa la superficie de contacto
de las dos cajas y determinar si éstas están en equilibrio.
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PROBLEMA 9.3 bis
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PROBLEMA 9.4
Las ruedas del frigorífico no pueden girar por estar trabadas. El frigorífico pesa
600 N. Supóngase que el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y el piso vale
0,6 y determinar la fuerza necesaria para que el frigorífico inicie su movimiento.
Calcular la altura máxima h a la que puede aplicarse la fuerza sin que vuelque
el frigorífico.
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PROBLEMA 9.5
La furgoneta se mueve con una velocidad constante de 80 km/h transportando
una caja de peso 300 N. Esta sobresale 30 cm por encima de la cabina de la
furgoneta. La resistencia aerodinámica de la caja puede considerarse que es una
fuerza de 417 N/m distribuida uniformemente sobre el borde de la caja expuesto
al viento. Calcular el mínimo coeficiente de rozamiento necesario para impedir
el deslizamiento de la caja en la furgoneta y decir si vuelca o no.
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PROBLEMA 9.6
(pag. 396)
Las barras de la figura tienen pesos
depreciables y los pasadores están exentos de
rozamiento. El coeficiente de rozamiento
entre la corredera de 40 kg y el suelo es 0,40.
• Si P es horizontal (θ = 0) determinar su valor
máximo de forma que se mantenga el
equilibrio del sistema.
• Determínese el ángulo θ que da la máxima
fuerza absoluta para la cual no se produce
movimiento.
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PROBLEMA 9.13
(pag. 398)
El bloque A de la figura está presionado contra el suelo por una fuerza de 325 N
aplicada al miembro indicado. El pasador está exento de rozamientos y el peso
del miembro se puede despreciar. El coeficiente de rozamiento es 0,2 en todas las
superficies. Determinar el peso mínimo de A necesario para evitar el
deslizamiento.
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PROBLEMA 9.21
(pag. 399)
En la figura la caja A pesa 50 N y descansa sobre un plano inclinado, mientras la
caja B pesa 100 N y descansa sobre una superficie horizontal. El coeficiente de
rozamiento entre la caja A y el plano inclinado es 0,45; entre la caja B y la
superficie horizontal es 0,5. las poleas están todas exentas de rozamientos.
Determinar el peso máximo que puede tener C para que no se produzca
movimiento.
¿Qué movimiento tendrá lugar antes?
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PROBLEMA 9.31
(pag. 401)
Una cuerda ligera está enrollada alrededor de un tambor que pesa 500 N, pasa
por la garganta de una polea exenta de rozamientos y soporta en su extremo un
peso W. El coeficiente de rozamiento entre el tambor y las superficies es 0,50.
Determinar el peso máximo que puede soportar este dispositivo.
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PROBLEMA 9.34
(pag. 402)
Una cuerda ligera está enrollada alrededor de un tambor que pesa 100 N. El
coeficiente de rozamiento entre el tambor y el suelo es 0,30. Determinar el
máximo ángulo que impida el deslizamiento del tambor y la tensión del cable
para este ángulo.
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9.3 Análisis de sistemas con
rozamiento seco
El rozamiento se encuentra a menudo en aplicaciones sencillas pero también
aparece frecuentemente en aplicaciones más complicadas, tales como:
• CUÑAS
• TORNILLOS
• COJINETES DE BOLAS
• COJINETES DE EMPUJE
• CORREAS DE TRANSMISIÓN.
Para su estudio será necesario considerar el equilibrio de las partes
componentes de la maquinaria, aun cuando sólo interesen fuerzas exteriores o
reacciones.
En el presente curso de Mecánica I, debido al nº de horas que se dispone
para impartir el temario, únicamente estudiaremos las CUÑAS.
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9.3.1 Cuñas
Una cuña es un bloque que tiene dos caras
planas que forman un ángulo pequeño.
Las cuñas se utilizan muchas veces por
parejas para elevar cargas pesadas. Según
cual sea el ángulo de las caras de la cuña,
el peso que se eleva puede ser mucho
mayor que la fuerza P aplicada a la cuña.
Además,
una
cuña
proyectada
adecuadamente se mantendrá en su sitio y
aguantará la carga incluso después de
suprimir la fuerza P.
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Los problemas de cuñas se pueden resolver a
menudo mediante un método semigráfico.
• Las cuñas están vinculadas casi siempre
contra la rotación, por lo que sólo será
necesario considerar equilibrio de fuerzas.
• Además el nº de fuerzas que se ejercen sobre
la cuña suele ser pequeño (el rozamiento y las
fuerzas normales suelen combinarse en una
sola fuerza resultante) por lo que el equilibrio
de fuerzas podrá expresarse mediante un
polígono de fuerzas.
• Para relacionar fuerzas y ángulos se podrán
utilizar el teorema del seno y el del coseno.
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MECANICA I
En el caso de movimiento inminente, la
resultante de las fuerzas normal y de
rozamiento se dibuja según el ángulo de
rozamiento estático y se determina el módulo
de la resultante u otra fuerza.
Si el movimiento no es inminente, se dibuja
la resultante con un módulo cualquiera y
según un ángulo cualquiera 1 que sea de los
que corresponden al equilibrio. Este ángulo
se compara entonces con el de rozamiento
estático 1 ≤ 1s para determinar si hay
equilibrio o no.
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D .M .
fuerza directa
fuerza de la cuña
Al igual que otras máquinas, las cuñas se caracterizan por su desarrollo
mecánico (D.M.) que es la razón de la fuerza de salida a la de la entrada.
•El numerador es la fuerza que hay que aplicar directamente a un objeto
para efectuar la tarea deseada (por ejemplo: el peso del cuerpo que se
eleva).
•El denominador es la fuerza que hay que aplicar a la cuña para efectuar la
misma tarea. (por ejemplo: la fuerza P indicada en la figuras).
•Resulta obvio que una cuña bien proyectada debe tener un D.M. > 1.
No obstante, una cuña que tenga un D.M. muy grande puede no ser lo más
conveniente. Un criterio de diseño habitual es que la cuña permanezca en su
sitio después de haber estado sometida a una carga (irreversibilidad de la
cuña)
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MECANICA I
PROBLEMA 9.6
Se utiliza una cuña para hacer deslizar
sobre el suelo la caja de caudales de
3.000 N de peso representada en la
figura. Determinar la mínima fuerza P
necesaria para ello si el coeficiente de
rozamiento es 0,35 en todas las
superficies y se puede despreciar el peso
de las cuñas.
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MECANICA I
PROBLEMA 9.6 bis
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I.T.I 1º:
MECANICA I
PROBLEMA 9.7
Se utiliza una cuña para elevar un
frigorífico de 1750 N de peso. El
coeficiente de rozamiento es 0,2 en todas
las superficies.
• Determinar la mínima fuerza
necesaria para introducir la cuña.
P
• Determinar si el sistema seguirá
estando en equilibrio cuando P = 0.
• Si el sistema no estuviera en equilibrio
cuando P = 0, determinar la fuerza que
sería necesaria para mantener la cuña
en su sitio o, si el sistema estuviera en
equilibrio cuando P = 0, determinar la
fuerza necesaria para extraer la cuña.
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PROBLEMA 9.7 bis
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9.4 Resistencia a la rodadura
La resistencia a la rodadura tiene que ver con las
fuerzas que hacen que una rueda que esté rodando
se vaya parando gradualmente y llegue a
detenerse.
Esta no se debe al rozamiento de Coulomb ya que
no existe un deslizamiento y no se puede describir
mediante un coeficiente de rozamiento.
Por tanto habrá que examinar el origen y
naturaleza de la resistencia a la rodadura:
Para hacer que una rueda que gire se ralentice gradualmente y llegue a
pararse se combinan diversos efectos entre los que se encuentran la
resistencia al aire y el rozamiento en los cojinetes.
En adelante se considerará que la principal fuente de resistencia es la
interacción de la rueda con la superficie sobre la cual está rodando.
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MECANICA I
En la 1ª figura tenemos una rueda que
avanza rodando con velocidad constante por
una superficie plana horizontal gracias a
una fuerza P aplicada a su centro.
En la figura inferior se ha representado el DSL de la
rueda. La fuerza L representa su peso más toda la
carga vertical que pueda estar aplicada a su eje.
• Si la rueda y la superficies son perfectamente
rígidas, la fuerza normal pasará por el centro de la
rueda.
• Sumando momentos respecto de este centro dará que
F = 0. Es decir, sobre el punto más bajo de la rueda no
se ejerce rozamiento de Coulomb.
• Además, la suma de fuerzas en la dirección
horizontal da P = 0. Es decir, no se necesita ninguna
fuerza impulsora para mantener la rueda girando con
velocidad constante.
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I.T.I 1º:
MECANICA I
Nuestra experiencia nos dice que el hecho de
que no se necesite ninguna fuerza impulsora
para mantener la rueda girando con
velocidad constante no ocurre realmente.
El error cometido está en suponer que la rueda y la superficie son
perfectamente rígidas. Los materiales reales se deforman todos en mayor o
menor grado. Cuanto más blandos sean los materiales y/o más pesada sea la
carga, tanto mayor será la deformación.
La situación real se parecerá más a la representada en la figura inferior en la
que una rueda de goma rueda sobre un piso de goma.
La carga L hará que se abollen la superficie
y la rueda. Además, como se empuja la
rueda hacia la derecha, probablemente la
superficie se dilatará y ascenderá un poco
delante de la rueda.
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En la figura puede verse el DSL
I.T.I 1º:
correspondiente a esta situación, en el cual
MECANICA I
R representa la resultante de todas las
fuerzas de contacto entre rueda y superficie.
El equilibrio de momentos respecto al centro de la rueda exige que R pase por
dicho centro. Entonces, sumando momentos respecto al punto A por donde
pasa R, se tiene
M
A
L .a P .b
En la mayoría de los casos de interés la deformación es pequeña, por lo que b
será casi igual al radio de la rueda. Por tanto, la fuerza P necesaria para
mantener la rueda girando con velocidad constante valdrá:
a .L
P
r
A la distancia a se le suele llamar coeficiente de
resistencia a la rodadura (No es adimensional) y
depende de las propiedades de las superficies de
contacto. Como se debe a la deformación y no a
la rugosidad no está relacionado con s y k .
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MECANICA I
PROBLEMA 9.156
(pag.433)
Una grúa aérea tiene dos ruedas de acero de
75 mm de diámetro que cabalgan sobre un
rail de acero. Determinar la fuerza
horizontal necesaria para empujar la grúa
cuando transporte una carga de masa 2000
kg. Despreciar todo rozamiento menos la
resistencia a la rodadura.
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MECANICA I
PROBLEMA 9.165
(pag.435)
En la figura se ha representado un dispositivo elevador de objetos rectangulares
tales como ladrillos y bloques de hormigón. Determinar el mínimo coeficiente de
rozamiento estático entre las superficies en contacto que haga útil el dispositivo.
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MECANICA I
PROBLEMA 9.166
(pag.435)
El coeficiente de rozamiento estático entre la pastilla de freno y el tambor de
freno de la figura vale 0,40. cuando a la palanca de freno se aplica una fuerza de
350 N, determinar qué par se necesita para iniciar la rotación del tambor si el
sentido de rotación es (a) horario y (b) antihorario.
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MECANICA I
PROBLEMA
EXAMEN
La prensa de la figura se
emplea para troquelar un
pequeño sello E. Sabiendo
que
el
coeficiente
de
rozamiento entre la guía
vertical y el troquel D es 0,30,
hallar
• La fuerza que el troquel
ejerce sobre el sello. (664 N ↓)
• El desarrollo mecánico
conseguido
con
este
dispositivo. (2,656)
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I.T.I 1º:
MECANICA I
PROBLEMA
EXAMEN
Una roca tiene una masa de 500 Kg
y se mantiene horizontal por una
cuña en B, como se muestra en la
figura. Si el coeficiente de fricción
estática es µs = 0,3 en la superficie
de contacto con la cuña,
determinar la fuerza P necesaria
para mover la cuña, suponiendo
que la roca no resbala en el punto
A. (1.153,75 N)
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1º I.T.I. :
MECANICA I
TEMA Nº 9:
ESTÁTICA
ROZAMIENTO
Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
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Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila
I.T.I 1º:
MECANICA I
Indice
Punto 9.1 Introducción
Punto 9.2 Características del Rozamiento de Coulomb
Punto 9.3 Análisis de Sistemas con Rozamiento Seco
Punto 9.2.1 Tipos de problemas de rozamiento
Punto 9.3.1 Cuñas
Punto 9.4 Resistencia a la Rodadura
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I.T.I 1º:
MECANICA I
9.1 Introducción
Las superficies perfectamente lisas o exentas de rozamientos constituyen un modelo
útil para muchas situaciones. Ahora bien, en el contacto entre superficies reales,
siempre están presentes fuerzas de rozamiento que se ejercen tangencialmente a las
superficies oponiéndose a la tendencia de las superficies en contacto a deslizar una
respecto a otra.
Estas fuerzas de rozamiento pueden resultar convenientes (andar, conducir un
automóvil, recoger objetos, frenos, correas de transmisión, embragues, etc.) o nocivas
ya que el rozamiento origina pérdidas de energía y desgaste de las superficies en
contacto que deslicen una sobre otra.
En la ingeniería se encuentran corrientemente dos tipos principales de rozamiento:
El rozamiento seco o rozamiento de Coulomb que describe la componente
tangencial de la fuerza de contacto que existe cuando dos superficies secas
deslizan o tienden a deslizar una respecto a la otra.
El rozamiento fluido describe la componente tangencial de la fuerza de
contacto que existe entre capas contiguas de un fluido que se mueven con
velocidad relativa una respecto a otra.
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MECANICA I
9.2 Características del rozamiento
de Coulomb
Experiencia sencilla: Un bloque sólido de masa m descansa sobre una superficie
horizontal rugosa y se halla sometido a una fuerza horizontal P.
El equilibrio del bloque exige una fuerza que tenga
componente normal N y componente horizontal de
rozamiento F que actúen sobre la superficie de contacto.
Si P es nula F también lo será y al ir aumentando P
también aumenta el rozamiento F.
F no puede aumentar indefinidamente alcanzando su valor
máximo Fmax en el valor límite de rozamiento estático.
Este punto se conoce como deslizamiento inminente con
lo que con una P por encima de este punto el rozamiento
ya no puede proporcionar la F necesaria para el equilibrio.
Cuando comienza a deslizar el cuerpo, la fuerza de
rozamiento disminuye su módulo entre un 20 y un 25 %
manteniéndose después aproximadamente constante.
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I.T.I 1º:
MECANICA I
Tras diferentes experiencias, se demuestra que el
valor del rozamiento límite es proporcional a la
fuerza normal en la superficie de contacto.
Fmax s N
La constante de proporcionalidad s recibe el nombre de coeficiente de rozamiento
estático y depende de los tipos de material de contacto.
Se cree que el rozamiento seco se debe principalmente a la rugosidad de las dos
superficies y, en menor grado, a la atracción entre las moléculas de las dos superficies.
Aun cuando se consideren superficies lisas, siempre tienen irregularidades, por lo que
el contacto entre el bloque y la superficie solo tiene lugar en unas cuantas áreas
pequeñas de la superficie común.
Entonces la fuerza de rozamiento F es la
resultante de las componentes tangenciales de
las fuerzas que se ejercen en cada uno de estos
diminutos puntos de contacto, al igual que la
fuerza normal N es la resultante de las
componentes normales de dichas fuerzas.
La situación exacta de N se determinará mediante el equilibrio de momentos, por lo
que no conviene dibujar la fuerza actuando en el centro del cuerpo.
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I.T.I 1º:
MECANICA I
El rozamiento es una fuerza resistiva, por lo
que siempre se opone al movimiento (nunca
tiende a crear movimiento).
La fuerza de rozamiento que se ejerce nunca es mayor que la necesaria para
satisfacer las ecuaciones de equilibrio, donde el signo igual sólo vale en condiciones
de deslizamiento inminente.
F sN
Cuando el bloque empiece a deslizar respecto a la superficie, la fuerza de
rozamiento disminuirá hasta el valor:
F k N
Donde el valor k es el coeficiente de rozamiento cinético que es independiente de
la fuerza normal y de la celeridad del movimiento relativo.
Los valores de s y de k deben determinarse experimentalmente para cada par de
superficies de contacto.
Los valores de k suelen ser un 20 o 25% inferiores a los dados para s.
Como los coeficientes de rozamiento son cocientes de dos fuerzas, serán
magnitudes adimensionales.
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En muchos problemas sencillos de rozamiento,
conviene utilizar la resultante de las fuerzas
normal y de rozamiento en lugar de estas
componentes por separado.
I.T.I 1º:
MECANICA I
En el caso del bloque analizado anteriormente, quedarían
sólo tres fuerzas ejerciéndose sobre él.
El equilibrio de momentos se establece sin más que hacer
concurrentes las tres fuerzas y sólo será necesario
considerar el equilibrio de fuerzas. Así:
R
N F
2
2
y
tan
F
N
En la situación de deslizamiento inminente:
R
N F max
tan s
2
F
N
2
sN
N
N s N
2
2
N 1 s
2
s
Donde el ángulo s que forma la resultante con la normal a la superficie recibe el
nombre de ángulo de rozamiento estático.
s arc tan s
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Para una fuerza normal N, si la fuerza de
rozamiento es menor que la máxima
F sN
el ángulo de la resultante será menor que el de rozamiento
estático θ < s. En ningún caso puede el ángulo θ de la
resultante ser mayor que s si el cuerpo está en equilibrio.
En el caso de rozamiento cinético se obtiene una relación
análoga, tan k k
I.T.I 1º:
MECANICA I
Donde el ángulo k recibe el nombre de ángulo de
rozamiento cinético. arc tan
k
k
Cuando un bloque descansa sobre un plano inclinado y
sólo actúa sobre aquel la gravedad, la resultante de las
fuerzas normal y de rozamiento debe ser colineal con el
peso del bloque. Pero el ángulo que forma la resultante
con la normal a la superficie nunca puede ser mayor que
el ángulo de rozamiento estático s. Por tanto, la máxima
inclinación θ para la cual el bloque pueda estar aún en
equilibrio es igual al ángulo de rozamiento estático.
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MECANICA I
9.2.1 Tipos de problemas de rozamiento
1.- No se supone deslizamiento inminente.
En el DSL se representan la fuerza de rozamiento necesaria para mantener, junto con la
fuerza normal N, el equilibrio y se determinan mediante las EQ de fuerzas.
La fuerza normal no tiene por qué dibujarse pasando por el centro del cuerpo. Su
situación se determina utilizando el equilibrio de momentos.
El rozamiento Fnec que se necesita para que haya equilibrio y la situación de la fuerza
normal se comprueban en función de sus valores máximos. Se dan tres casos:
a) Si el rozamiento Fnec necesario para el equilibrio es menor o igual que el rozamiento
máximo disponible Fdisp Fmax s N
y la fuerza normal está situada en el cuerpo, éste estará en equilibrio. En este caso, la
fuerza de rozamiento real que opone la superficie es Freal Fnec Fdisp s N
b) Si el rozamiento Fnec necesario para el equilibrio es menor o igual que el máximo
disponible, pero la fuerza normal no se encuentra en el cuerpo, éste no estará en
equilibrio y volcará.
c) Si el rozamiento Fnec necesario para el equilibrio es mayor que el máximo disponible el
cuerpo no estará en equilibrio y deslizará. En este caso, la fuerza de rozamiento real
que opone la superficie será la fuerza de rozamiento cinético Freal k N
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MECANICA I
2.- Se sabe que habrá deslizamiento inminente
en todas las superficies de contacto.
Como se sabe que en todas las superficies de contacto hay deslizamiento inminente,
en los DSL se podrá considerar que todas las fuerzas de rozamiento valen sN.
Entonces se pueden escribir las EQ y:
a) Si se dan todas las fuerzas aplicadas pero se desconoce s, se podrán despejar N y
s de las EQ. Este s será el menor coeficiente para el cual podrá estar en
equilibrio el cuerpo.
b) Si se da el coeficiente de rozamiento pero se desconoce una de las fuerzas
aplicadas, se podrá despejar esta y N de las EQ.
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MECANICA I
3.- Se sabe que hay movimiento inminente
pero no se conoce el tipo de movimiento o la
superficie de deslizamiento.
Como no se sabe si el cuerpo vuelca o desliza, habrá que dibujar los DSL como en el
caso 1 sin poder considerar que las fuerzas de rozamiento valgan sN.
Así, las tres EQ contendrán más de tres incógnitas, por lo que habrá que formular
hipótesis acerca del tipo de movimiento que está a punto de producirse hasta
que el número de ecuaciones sea igual a de incógnitas. Una vez resuelto el
sistema habrá que comprobar de acuerdo con las hipótesis realizadas acerca del
deslizamiento o vuelco.
Si Fnec resulta ser mayor que Fdisp = sN en alguna superficie o si la fuerza normal no
se halla en el cuerpo, habrá que cambiar las hipótesis y volver a resolver el
problema.
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MECANICA I
En los dos últimos casos (2b y 3), la fuerza de rozamiento se trata como si fuera
conocida. Hay que estar seguro de que se oponga a la tendencia de las otras
fuerzas a originar movimiento.
El resultado no podrá incluir un signo negativo que indique que el sentido supuesto a
la fuerza de rozamiento está equivocado.
Si se asigna incorrectamente el sentido de la fuerza de rozamiento, se tendrá
resultados incorrectos.
El sentido se determina fácilmente considerando por un instante que no hay
rozamiento. Entonces se aplica el rozamiento en un sentido tal que se oponga al
movimiento que se tendría en ausencia del mismo.
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MECANICA I
PROBLEMA 9.1
Una unidad de un equipo electrónico que pesa 100 N se coloca sobre un calzo de
madera que pesa 50 N y se apoya sobre un suelo de hormigón. Suponiendo un
coeficiente de rozamiento estático de 0,45 determinar la mínima fuerza con que
hay que empujar el mango para hacer que el calzo empiece a deslizar sobre el
suelo.
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MECANICA I
PROBLEMA 9.2
Idem al problema anterior aplicando ahora una fuerza de tracción.
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MECANICA I
PROBLEMA 9.3
Una caja homogénea de peso 100 N ha volcado y descansa contra otra caja
homogénea de peso 200 N. El coeficiente de rozamiento entre la caja A y el suelo
es 0,7; entre la caja B y el suelo es 0,4. Considerar lisa la superficie de contacto
de las dos cajas y determinar si éstas están en equilibrio.
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PROBLEMA 9.3 bis
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PROBLEMA 9.4
Las ruedas del frigorífico no pueden girar por estar trabadas. El frigorífico pesa
600 N. Supóngase que el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y el piso vale
0,6 y determinar la fuerza necesaria para que el frigorífico inicie su movimiento.
Calcular la altura máxima h a la que puede aplicarse la fuerza sin que vuelque
el frigorífico.
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MECANICA I
PROBLEMA 9.5
La furgoneta se mueve con una velocidad constante de 80 km/h transportando
una caja de peso 300 N. Esta sobresale 30 cm por encima de la cabina de la
furgoneta. La resistencia aerodinámica de la caja puede considerarse que es una
fuerza de 417 N/m distribuida uniformemente sobre el borde de la caja expuesto
al viento. Calcular el mínimo coeficiente de rozamiento necesario para impedir
el deslizamiento de la caja en la furgoneta y decir si vuelca o no.
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MECANICA I
PROBLEMA 9.6
(pag. 396)
Las barras de la figura tienen pesos
depreciables y los pasadores están exentos de
rozamiento. El coeficiente de rozamiento
entre la corredera de 40 kg y el suelo es 0,40.
• Si P es horizontal (θ = 0) determinar su valor
máximo de forma que se mantenga el
equilibrio del sistema.
• Determínese el ángulo θ que da la máxima
fuerza absoluta para la cual no se produce
movimiento.
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I.T.I 1º:
MECANICA I
PROBLEMA 9.13
(pag. 398)
El bloque A de la figura está presionado contra el suelo por una fuerza de 325 N
aplicada al miembro indicado. El pasador está exento de rozamientos y el peso
del miembro se puede despreciar. El coeficiente de rozamiento es 0,2 en todas las
superficies. Determinar el peso mínimo de A necesario para evitar el
deslizamiento.
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I.T.I 1º:
MECANICA I
PROBLEMA 9.21
(pag. 399)
En la figura la caja A pesa 50 N y descansa sobre un plano inclinado, mientras la
caja B pesa 100 N y descansa sobre una superficie horizontal. El coeficiente de
rozamiento entre la caja A y el plano inclinado es 0,45; entre la caja B y la
superficie horizontal es 0,5. las poleas están todas exentas de rozamientos.
Determinar el peso máximo que puede tener C para que no se produzca
movimiento.
¿Qué movimiento tendrá lugar antes?
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I.T.I 1º:
MECANICA I
PROBLEMA 9.31
(pag. 401)
Una cuerda ligera está enrollada alrededor de un tambor que pesa 500 N, pasa
por la garganta de una polea exenta de rozamientos y soporta en su extremo un
peso W. El coeficiente de rozamiento entre el tambor y las superficies es 0,50.
Determinar el peso máximo que puede soportar este dispositivo.
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I.T.I 1º:
MECANICA I
PROBLEMA 9.34
(pag. 402)
Una cuerda ligera está enrollada alrededor de un tambor que pesa 100 N. El
coeficiente de rozamiento entre el tambor y el suelo es 0,30. Determinar el
máximo ángulo que impida el deslizamiento del tambor y la tensión del cable
para este ángulo.
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MECANICA I
9.3 Análisis de sistemas con
rozamiento seco
El rozamiento se encuentra a menudo en aplicaciones sencillas pero también
aparece frecuentemente en aplicaciones más complicadas, tales como:
• CUÑAS
• TORNILLOS
• COJINETES DE BOLAS
• COJINETES DE EMPUJE
• CORREAS DE TRANSMISIÓN.
Para su estudio será necesario considerar el equilibrio de las partes
componentes de la maquinaria, aun cuando sólo interesen fuerzas exteriores o
reacciones.
En el presente curso de Mecánica I, debido al nº de horas que se dispone
para impartir el temario, únicamente estudiaremos las CUÑAS.
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MECANICA I
9.3.1 Cuñas
Una cuña es un bloque que tiene dos caras
planas que forman un ángulo pequeño.
Las cuñas se utilizan muchas veces por
parejas para elevar cargas pesadas. Según
cual sea el ángulo de las caras de la cuña,
el peso que se eleva puede ser mucho
mayor que la fuerza P aplicada a la cuña.
Además,
una
cuña
proyectada
adecuadamente se mantendrá en su sitio y
aguantará la carga incluso después de
suprimir la fuerza P.
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MECANICA I
Los problemas de cuñas se pueden resolver a
menudo mediante un método semigráfico.
• Las cuñas están vinculadas casi siempre
contra la rotación, por lo que sólo será
necesario considerar equilibrio de fuerzas.
• Además el nº de fuerzas que se ejercen sobre
la cuña suele ser pequeño (el rozamiento y las
fuerzas normales suelen combinarse en una
sola fuerza resultante) por lo que el equilibrio
de fuerzas podrá expresarse mediante un
polígono de fuerzas.
• Para relacionar fuerzas y ángulos se podrán
utilizar el teorema del seno y el del coseno.
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I.T.I 1º:
MECANICA I
En el caso de movimiento inminente, la
resultante de las fuerzas normal y de
rozamiento se dibuja según el ángulo de
rozamiento estático y se determina el módulo
de la resultante u otra fuerza.
Si el movimiento no es inminente, se dibuja
la resultante con un módulo cualquiera y
según un ángulo cualquiera 1 que sea de los
que corresponden al equilibrio. Este ángulo
se compara entonces con el de rozamiento
estático 1 ≤ 1s para determinar si hay
equilibrio o no.
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I.T.I 1º:
MECANICA I
D .M .
fuerza directa
fuerza de la cuña
Al igual que otras máquinas, las cuñas se caracterizan por su desarrollo
mecánico (D.M.) que es la razón de la fuerza de salida a la de la entrada.
•El numerador es la fuerza que hay que aplicar directamente a un objeto
para efectuar la tarea deseada (por ejemplo: el peso del cuerpo que se
eleva).
•El denominador es la fuerza que hay que aplicar a la cuña para efectuar la
misma tarea. (por ejemplo: la fuerza P indicada en la figuras).
•Resulta obvio que una cuña bien proyectada debe tener un D.M. > 1.
No obstante, una cuña que tenga un D.M. muy grande puede no ser lo más
conveniente. Un criterio de diseño habitual es que la cuña permanezca en su
sitio después de haber estado sometida a una carga (irreversibilidad de la
cuña)
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I.T.I 1º:
MECANICA I
PROBLEMA 9.6
Se utiliza una cuña para hacer deslizar
sobre el suelo la caja de caudales de
3.000 N de peso representada en la
figura. Determinar la mínima fuerza P
necesaria para ello si el coeficiente de
rozamiento es 0,35 en todas las
superficies y se puede despreciar el peso
de las cuñas.
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I.T.I 1º:
MECANICA I
PROBLEMA 9.6 bis
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I.T.I 1º:
MECANICA I
PROBLEMA 9.7
Se utiliza una cuña para elevar un
frigorífico de 1750 N de peso. El
coeficiente de rozamiento es 0,2 en todas
las superficies.
• Determinar la mínima fuerza
necesaria para introducir la cuña.
P
• Determinar si el sistema seguirá
estando en equilibrio cuando P = 0.
• Si el sistema no estuviera en equilibrio
cuando P = 0, determinar la fuerza que
sería necesaria para mantener la cuña
en su sitio o, si el sistema estuviera en
equilibrio cuando P = 0, determinar la
fuerza necesaria para extraer la cuña.
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I.T.I 1º:
MECANICA I
PROBLEMA 9.7 bis
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I.T.I 1º:
MECANICA I
9.4 Resistencia a la rodadura
La resistencia a la rodadura tiene que ver con las
fuerzas que hacen que una rueda que esté rodando
se vaya parando gradualmente y llegue a
detenerse.
Esta no se debe al rozamiento de Coulomb ya que
no existe un deslizamiento y no se puede describir
mediante un coeficiente de rozamiento.
Por tanto habrá que examinar el origen y
naturaleza de la resistencia a la rodadura:
Para hacer que una rueda que gire se ralentice gradualmente y llegue a
pararse se combinan diversos efectos entre los que se encuentran la
resistencia al aire y el rozamiento en los cojinetes.
En adelante se considerará que la principal fuente de resistencia es la
interacción de la rueda con la superficie sobre la cual está rodando.
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MECANICA I
En la 1ª figura tenemos una rueda que
avanza rodando con velocidad constante por
una superficie plana horizontal gracias a
una fuerza P aplicada a su centro.
En la figura inferior se ha representado el DSL de la
rueda. La fuerza L representa su peso más toda la
carga vertical que pueda estar aplicada a su eje.
• Si la rueda y la superficies son perfectamente
rígidas, la fuerza normal pasará por el centro de la
rueda.
• Sumando momentos respecto de este centro dará que
F = 0. Es decir, sobre el punto más bajo de la rueda no
se ejerce rozamiento de Coulomb.
• Además, la suma de fuerzas en la dirección
horizontal da P = 0. Es decir, no se necesita ninguna
fuerza impulsora para mantener la rueda girando con
velocidad constante.
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I.T.I 1º:
MECANICA I
Nuestra experiencia nos dice que el hecho de
que no se necesite ninguna fuerza impulsora
para mantener la rueda girando con
velocidad constante no ocurre realmente.
El error cometido está en suponer que la rueda y la superficie son
perfectamente rígidas. Los materiales reales se deforman todos en mayor o
menor grado. Cuanto más blandos sean los materiales y/o más pesada sea la
carga, tanto mayor será la deformación.
La situación real se parecerá más a la representada en la figura inferior en la
que una rueda de goma rueda sobre un piso de goma.
La carga L hará que se abollen la superficie
y la rueda. Además, como se empuja la
rueda hacia la derecha, probablemente la
superficie se dilatará y ascenderá un poco
delante de la rueda.
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En la figura puede verse el DSL
I.T.I 1º:
correspondiente a esta situación, en el cual
MECANICA I
R representa la resultante de todas las
fuerzas de contacto entre rueda y superficie.
El equilibrio de momentos respecto al centro de la rueda exige que R pase por
dicho centro. Entonces, sumando momentos respecto al punto A por donde
pasa R, se tiene
M
A
L .a P .b
En la mayoría de los casos de interés la deformación es pequeña, por lo que b
será casi igual al radio de la rueda. Por tanto, la fuerza P necesaria para
mantener la rueda girando con velocidad constante valdrá:
a .L
P
r
A la distancia a se le suele llamar coeficiente de
resistencia a la rodadura (No es adimensional) y
depende de las propiedades de las superficies de
contacto. Como se debe a la deformación y no a
la rugosidad no está relacionado con s y k .
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I.T.I 1º:
MECANICA I
PROBLEMA 9.156
(pag.433)
Una grúa aérea tiene dos ruedas de acero de
75 mm de diámetro que cabalgan sobre un
rail de acero. Determinar la fuerza
horizontal necesaria para empujar la grúa
cuando transporte una carga de masa 2000
kg. Despreciar todo rozamiento menos la
resistencia a la rodadura.
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I.T.I 1º:
MECANICA I
PROBLEMA 9.165
(pag.435)
En la figura se ha representado un dispositivo elevador de objetos rectangulares
tales como ladrillos y bloques de hormigón. Determinar el mínimo coeficiente de
rozamiento estático entre las superficies en contacto que haga útil el dispositivo.
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I.T.I 1º:
MECANICA I
PROBLEMA 9.166
(pag.435)
El coeficiente de rozamiento estático entre la pastilla de freno y el tambor de
freno de la figura vale 0,40. cuando a la palanca de freno se aplica una fuerza de
350 N, determinar qué par se necesita para iniciar la rotación del tambor si el
sentido de rotación es (a) horario y (b) antihorario.
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I.T.I 1º:
MECANICA I
PROBLEMA
EXAMEN
La prensa de la figura se
emplea para troquelar un
pequeño sello E. Sabiendo
que
el
coeficiente
de
rozamiento entre la guía
vertical y el troquel D es 0,30,
hallar
• La fuerza que el troquel
ejerce sobre el sello. (664 N ↓)
• El desarrollo mecánico
conseguido
con
este
dispositivo. (2,656)
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Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales
Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila
I.T.I 1º:
MECANICA I
PROBLEMA
EXAMEN
Una roca tiene una masa de 500 Kg
y se mantiene horizontal por una
cuña en B, como se muestra en la
figura. Si el coeficiente de fricción
estática es µs = 0,3 en la superficie
de contacto con la cuña,
determinar la fuerza P necesaria
para mover la cuña, suponiendo
que la roca no resbala en el punto
A. (1.153,75 N)
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