1º I.T.I. : MECANICA I

TEMA Nº 5: ESTÁTICA FUERZAS DISTRIBUIDAS: CENTROIDES Y CENTRO DE GRAVEDAD

Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

I.T.I 1º: MECANICA I

Indice



Punto 5.1 Introducción



Punto 5.2 Centro de masa y centro de gravedad

  Punto 5.2.1 Centro de masa Punto 5.2.2 Centro de gravedad 

Punto 5.3 Centroides de volúmenes, superficies y líneas

   Punto 5.3.1 Centroides de volúmenes Punto 5.3.2 Centroides de superficies Punto 5.3.3 Centroides de líneas 

Punto 5.4 Centroides de cuerpos compuestos



Punto 5.5 Teoremas de Pappus y Guldin

- 2 -

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

I.T.I 1º: MECANICA I 5.1 Introducción

Hasta ahora hemos tratado con fuerzas concentradas representadas por un vector con su módulo, una recta soporte, un sentido y en ocasiones, un punto de aplicación.

Pero en muchos casos, las cargas no están concentradas en un punto sino que están distribuidas a lo largo de una línea o sobre una superficie. Son cargas cuya distribución puede ser uniforme o no. La fuerza distribuida está caracterizada por su intensidad y por su dirección y sentido. Cuando las zonas a las que se aplican las cargas son considerables frente al tamaño del cuerpo, ya no es válida la hipótesis de fuerza concentrada.

Otras fuerzas llamadas másicas, debidas a efectos gravitatorios, eléctricos o magnéticos, se distribuyen por toda la masa del cuerpo (se miden en N/m 3 ).

La fuerza distribuida sobre una superficie ejercida normalmente a ésta se denomina presión y se mide en N/m 2 .

La fuerza distribuida sobre una línea ejercida normalmente a ésta se mide en N/m.

- 3 -

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

I.T.I 1º: MECANICA I

Hasta ahora hemos considerado los momentos de fuerzas respecto a un punto o respecto a un eje.

En el análisis de muchos problemas de ingeniería aparecen expresiones que representan

momentos de masas, fuerzas, volúmenes, superficies o líneas respecto a ejes o planos

. Ejemplo: Momento de una superficie A (contenida en el plano

xy

) respecto al eje y.

La superficie puede considerarse compuesta por un gran número de elementos de superficie muy pequeños de área dA, así el momento de un elemento respecto al eje y será:

dM i



x i dA i

Y el momento total de la superficie A respecto del eje y será:

M y



n



x i dA i o M y

 

x i dA i i

 1

A

El momento de una masa, fuerza, volumen, superficie o línea respecto a un eje o a un plano puede definirse de manera análoga recibiendo el nombre de

primer momento

de la magnitud que se considere. Este puede ser nulo y su signo positivo o negativo ya que las coordenadas pueden ser positivas o negativas.

- 4 -

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

I.T.I 1º: MECANICA I 5.2 Centro de masa y centro de gravedad

5.2.1 Centro de masa (C.D.M.)

Punto de un sistema de puntos materiales o de un cuerpo físico en donde podría concentrarse toda la masa de manera que el momento de la masa concentrada respecto a un eje o plano cualquiera fuese igual al momento respecto a dicho eje o plano de la masa distribuida

.

Si consideramos un sistema de

n

puntos materiales, las distancias a los planos de coordenadas del C.D.M. G del sistema de puntos materiales son:

M yz



m x



i n

  1

m i x i o sea x

 1

m i n

  1

m i x i M zx M xy



m y



i n

  1

m i y i



m z



i n

  1

m i z i o sea o sea y

 1

m i n

  1

m i y i z

 1

m i n

  1

m i z i

Donde:

m



i n

  1

m i

- 5 -

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

I.T.I 1º: MECANICA I

Las ecuaciones anteriores pueden condensarse en una ecuación vectorial única así:

m x

i



m y

j



m z

k



i n

  1

m i x i

i



i n

  1

m i y i

j



i n

  1

m i z i

k

de donde

m

(

x

i



y

que se reduce a

M

O

j



z



m

r k

)  

i n

  1

m i

(

x i i n

  1

m i

r

i

i



y i o sea

j



z i

k

)

r

 1

m i n

  1

m i

r

i

ya que el vector de posición del punto i-ésimo respecto al origen es

r

i



x i

i



y i

j



z i

k

y el vector de posición del CDM respecto al origen es

r



x

i



y

j



z

k - 6 -

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

I.T.I 1º: MECANICA I

Si los puntos formasen un cuerpo continuo, las sumas se sustituyen por integrales extendidas a toda la masa del cuerpo.

M yz



m x

 

x dm M zx



m y

 

y dm M xy



m z

 

z dm o sea o sea o sea x

 1

m



x dm y

 1

m



y dm z

 1

m



z dm

Vectorialmente:

m

r

 

m

r

dm

 

V

r



dV

r

 1

m



m

r

dm

 1

m



V

r



dV

Donde:

m

 

dm

donde

r

es el vector de posición del elemento densidad del elemento y

dV

es su volumen

dm

del cuerpo respecto al origen,

ρ

es la

- 7 -

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila 5.2.2 Centro de gravedad (C.D.G.)

I.T.I 1º: MECANICA I

El peso de un cuerpo es la resultante de las fuerzas másicas distribuidas que la Tierra ejerce sobre los puntos materiales que constituyen el cuerpo

.

• El punto G del cuerpo en el que actúa el peso es el C.D.G. del cuerpo.

• El módulo de la fuerza que la Tierra ejerce sobre un punto material dado del cuerpo depende de la masa de dicho punto y de la distancia a que se encuentre del centro de la Tierra. En la práctica se supone que todos los puntos del cuerpo experimentan la misma aceleración gravitatoria

g

. Además, debido al tamaño de la Tierra, las rectas soporte de las fuerzas que se ejercen sobre los distintos puntos materiales concurren en el centro de la Tierra y se pueden suponer paralelas. Estas dos hipótesis dan un centro de gravedad que coincide con el CDM ya que:

W



m g

• Si se multiplican por g los dos miembros de las ecuaciones descritas para el cálculo del CDM tendremos:

M yz



W x

 

x dW o sea x

 1

W



x dW M zx



W y

 

y dW o sea y

 1

W



y dW

Donde:

W

 

dW M xy



W z

 

z dW o sea z

 1

W



z dW

- 8 -

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

Cuando el cuerpo tenga una forma concreta, su

I.T.I 1º: MECANICA I

C.D.G. podrá determinarse considerando que el cuerpo está constituido por infinitos elementos cada uno de los cuales tenga un peso

dW

 

dV dW

dado así: donde γ es el peso específico del material (peso por unidad de volumen) y volumen del elemento. El peso total del cuerpo será:

W

 

V



dV

Si se elige un sistema de coordenadas

xyz dV

es el tal que la recta soporte del peso W sea paralela al eje

z

, el momento respecto al eje

dM



y x y

del peso

dW



dW x

(  de un elemento será

dV

) y según la definición de CDG:

M y



x W



x

 

dV

 

x

( 

V V

así pues, la coordenada x de un punto de la recta soporte del peso W será:

x

 

V



V x

 ( 

dV dV

) y análogamente:

y

 

V



V y

 ( 

dV

)

dV

y

z

 

V



V z dV

 (  )

dV

)

dV

- 9 -

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

I.T.I 1º: MECANICA I

PROBLEMA 5.1

Cuatro cuerpos A, B, C y D (puntos materiales) están unidos a un árbol. Sus masas son 0,2 kg, 0,4 kg, 0,6 kg y 0,8 kg, respectivamente y las distancias de sus centros de masa al eje del arbol son 1,50 m, 2,50 m, 2,00 m y 1,25 m respectivamente. Hallar el C.D.M. de los 4 cuerpos.

- 10 -

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

I.T.I 1º: MECANICA I 5.3 Centroides de Volúmenes, Superficies y Líneas

5.3.1 Centroides de Volúmenes

Cuando sea constante el peso específico de un cuerpo tendremos que:

x

 1

V



V x dV

Estas coordenadas (

Centroide

) solo dependen de la configuración geométrica del cuerpo y son independientes de sus propiedades físicas.

El centroide de un volumen coincide en posición con el C.D.G.

G

del cuerpo si este es homogéneo. Cuando el peso específico varíe de unos puntos a otros, el C.D.G.

G

del cuerpo y el centroide no tienen por que coincidir.

Ejemplo:

En el caso de la figura, como el peso específico de la parte inferior del cono es mayor que el de la parte superior, el C.D.G., que depende del peso de las dos partes, se hallará por debajo del centroide C que solo depende del volumen de dichas partes.

y

 1

V



V y dV z

 1

V



V z dV

- 11 -

I.T.I 1º: MECANICA I

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

Flotación

- 12 -

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

I.T.I 1º: MECANICA I

5.3.2 Centroides de Superficies

El C.D.G.

G

de una placa delgada, homogénea, de grosor t uniforme y superficie de área A, se puede determinar considerando un elemento infinitesimal de volumen

dV

que se puede expresar en función de un elemento infinitesimal de superficie placa en la forma siguiente:

dV = t dA

.

Así pues, en el caso de una placa delgada tendríamos:

dA

de la

x

 1

A



A x dA y

 1

A



A y dA z

 1

A



A z dA

5.3.3 Centroides de Líneas

El C.D.G.

G

de un alambre curvo, homogéneo, de pequeña sección recta de área A y de longitud L, se puede determinar considerando un elemento infinitesimal de volumen

dV

que se puede expresar en función de un elemento infinitesimal de longitud en la forma:

dV = A dL

.

Así pues, para una varilla o alambre finos tendríamos:

x

 1

L



L x dL y

 1

L



L y dL z

 1

L



L z dL

- 13 -

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

I.T.I 1º: MECANICA I 5.4 Centroides de cuerpos compuestos

Si puede dividirse una línea, superficie o volumen en partes cuyos respectivos centroides tengan posiciones conocidas, se podrá determinar sin integración el momento de la línea, superficie o volumen total obteniendo la suma algebraica de los primeros momentos (producto de la longitud, área o volumen por la distancia del centroide al eje o plano) de las partes en que se haya dividido la línea, superficie o volumen.

Ejemplo:

Si tenemos una superficie compuesta por la superficies A 1 , A 2 , …, A n coordenadas de los centroides de las respectivas partes son

x

1 ,

x

2 , ...,

x n

y las tendremos:

M y

 (

A

1 

A

2  ...



A n

)

x



A

1

x

1 

A

2

x

2  ...



A n x n M y



A x



i n

  1

A i x i

análogamen te o sea

x



M y A

 1

A i n

  1

A i x i

Si se considera un agujero como parte integrante de un cuerpo compuesto, su área se considerará magnitud negativa.

M x



A y



i n

  1

A i y i

o sea

y



M x A

 1

A i n

  1

A i y i

Se pueden desarrollar ecuaciones análogas para L, V, m y W.

- 14 -

I.T.I 1º: MECANICA I

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila Centroides en algunas Líneas y Superficies - 15 -

I.T.I 1º: MECANICA I

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila Centroides en algunas Líneas y Superficies - 16 -

I.T.I 1º: MECANICA I

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila Centroides de algunos Volúmenes - 17 -

I.T.I 1º: MECANICA I

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila Centroides de algunos Volúmenes - 18 -

I.T.I 1º: MECANICA I

Una varilla delgada se ha doblado, dándole la forma que se indica en la figura. Localizar su centroide.

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

PROBLEMA 5.9

- 19 -

I.T.I 1º: MECANICA I

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

PROBLEMA 5.10

Localizar el centroide de la superficie compuesta de la figura.

- 20 -

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

I.T.I 1º: MECANICA I 5.5 Teoremas de Pappus y Guldin

Teorema 1: El área de la superficie de revolución generada al girar una curva plana de longitud L alrededor de un eje coplanario con ella y que no la corte es igual al producto de la longitud de la curva por la longitud del camino que recorre su centroide.

Teorema 2: El volumen V del sólido de revolución generado al hacer girar una superficie plana de área A alrededor de un eje coplanario que no la corte es igual al producto del área de dicha superficie por la longitud del camino que recorre el centroide de la superficie.

- 21 -

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

I.T.I 1º: MECANICA I

PROBLEMA 5.11

Determinar el área A de la superficie y el volumen V del cuerpo (toro) generado por rotación de 360º alrededor del eje y del círculo de la figura.

- 22 -

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila

I.T.I 1º: MECANICA I

PROBLEMA 5.12

Determinar el área A de la superficie y el volumen V del cuerpo generado por rotación de 360º alrededor del eje y de la superficie sombreada de la figura.

- 23 -