RELATIVITE RESTREINTE MÉTHODE D’ENSEIGNEMENT Le facteur k (effet Doppler) ou méthode de Bondi Introduction Introduite par Hermann Bondi (1919 / 2005) en 1964 dans son ouvrage « Relativity and.
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RELATIVITE
RESTREINTE
MÉTHODE
D’ENSEIGNEMENT
Le facteur k (effet Doppler)
ou
méthode de Bondi
1
Slide 2
Introduction
Introduite par Hermann Bondi
(1919 / 2005) en 1964 dans son
ouvrage « Relativity and Common
Sense », la méthode a pour
objectif
de
faciliter
la
compréhension des phénomènes
de dilatation du temps, de
contraction des longueurs, de
relativité de la simultanéité, sans
introduire
d’emblée
la
transformation de Lorentz. Cette
dernière peut cependant être
retrouvée à partir des calculs
précédents.
2
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Introduction
Tous les raisonnements sont conduits à partir
d’expériences de pensée consistant en échanges de
signaux lumineux, c'est-à-dire avec émission,
réflexion et réception d’impulsions lumineuses.
On ne considère que des événements se produisant
sur les axes, portés par la même droite, Ox du
repère (R) et O’x’ du repère (R’), ce dernier étant
en mouvement avec la vitesse V par rapport au
premier. Deux observateurs (A) et (A’) font des
mesures depuis les origines O et O’.
3
Slide 4
Introduction
Les différentes mesures de temps réalisées par
les observateurs (A) et (A’) sur leur propre
horloge HA et HA’, respectivement au repos
dans les repères (R) et (R’), nous permettront
de construire les relations cinématiques
importantes de la relativité restreinte. Pour
simplifier les calculs nous considérerons que HA
et HA’ sont mises à 0 par chaque observateur à
l’instant où les origines O et O’ de (R) et (R’)
coïncident (synchronisation des horloges). On
considérera le plus souvent que (A) et (A’)
occupent chacun l’origine de leur référentiel.
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Éléments de base de la
méthode
Les postulats de base d’Albert Einstein s’appliquant
aux phénomènes physiques étudiés dans des
référentiels inertiels ou galiléens sont :
·
(P1) : Les lois de la physique ont la même
forme dans tous les référentiels inertiels (principe
de relativité).
·
(P2) : La vitesse de propagation de la lumière
dans le vide est la même dans tout référentiel
inertiel. Elle est donc indépendante du mouvement
de la source.
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Éléments de base de la
méthode
Le point de départ de la méthode est l’effet
Doppler, d’après lequel la fréquence de la lumière
captée par le récepteur est fonction du mouvement
relatif de ce dernier par rapport à la source
lumineuse.
Considérons deux observateurs (A) et (A’)
immobiles respectivement dans (R) et (R’). Ainsi,
lorsque l’observateur (A) enverra des signaux
lumineux avec une période T, l’observateur (A’)
les recevra avec une période différente T’ que nous
exprimerons par rapport à T selon l’expression :
Mesuré par (A’)
T’ = k.T
Mesuré par (A)
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Éléments de base de la
méthode
En mécanique classique l’expression de k prend
différentes formes selon que la source et/ou le
récepteur sont/est en mouvement par rapport à
l’éther. Cependant pour des vitesses relatives entre
les deux très inférieures à c nous avons pour le
récepteur qui s’éloigne de l’émetteur :
k =1/(1 – V/c) = 1/(1 – b) (1 + b)
k ne dépend donc, dans cette approximation, que
de la vitesse relative (S) / (E). Nous conserverons
cette propriété pour notre étude qui devra, bien sûr,
aboutir à une expression de k se raccordant à la
précédente pour les faibles vitesses.
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Éléments de base de la
méthode
Diagramme du mouvement de
(A’) dans le référentiel de (A)
Ce facteur k est à la base de la
méthode étudiée ici mais, en
introduisant le postulat (P2),
nous allons changer beaucoup
de choses. Soulignons que
l’intervalle de temps T
est
mesuré entre l’envoi de deux
signaux
consécutifs
par
l’horloge de (A) au repos dans
(R) et que l’intervalle T’ = k.T
est mesuré entre la réception
de ces deux
signaux par
l’horloge de (A’) au repos dans
8
(R’).
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Éléments de base de la
méthode
Les propriétés fondamentales d’homogénéité et
d’isotropie de l’espace et du temps permettent
d’admettre que le facteur k ne dépend pas :
• de l’instant de l’émission et de la réception du signal
• de la direction de propagation des signaux
• des coordonnées de la source ou du récepteur
• de l’intervalle de temps séparant des signaux émis
successivement
Il dépend, comme en physique classique :
• de la vitesse relative V entre (A) et (A’).
Il doit, de plus, permettre le raccordement des
expressions avec celles de la physique classique pour
9
v << c.
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Éléments de base de la
méthode
Le postulat (P2) nous impose l’équivalence de tous
les observateurs.
Si (A), dans le référentiel (R), envoie des
impulsions
lumineuses
avec
la
période
T
l’observateur (A’) dans le référentiel (R’) les
recevra avec la période k.T
Maintenant si (A’) émet des impulsions avec la
période T’, (A) les recevra avec la période k.T’
On a ici l’application à deux observateurs inertiaux
du principe de relativité pour les lois physiques.
10
Slide 11
Combinaison des
facteurs k
Considérons maintenant le cas
de trois repères (R), (R’) et
(R”) en mouvement relatif et
dont les origines respectives O,
O’ et O” sont occupées chacune
par un observateur.
Peut-on trouver k(A,A”) si k(A,A’)
et k(A’,A”) sont connus ?
11
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Combinaison des
facteurs k
(A) envoie deux signaux lumineux séparés par
l’intervalle de temps T lu sur sa propre horloge.
(A’) les recevra séparés, sur sa propre horloge,
par l’intervalle T’1 = k(A,A’).T. Les signaux, une
fois (A’) passé, poursuivent vers (A”). Quand le
premier signal de (A) arrive à l’observateur (A’),
celui-ci, envoie alors un signal vers (A”). Les
deux signaux se propagent maintenant ensemble
vers (A”) et forment en pratique un seul signal.
L’observateur (A’) effectue la même opération au
moment de l’arrivée du second signal en
provenance de (A).
12
Slide 13
Combinaison des
facteurs k
(A’’) reçoit les premiers signaux lumineux en
provenance de (A) et de (A’) en même temps lu
sur sa propre horloge. Il en est de même du
groupe des seconds signaux. On va alors écrire :
Pour l’intervalle entre la réception du groupe de
signaux envoyés par (A) :
T’’1 = k(A,A”).T
Pour l’intervalle entre la réception du groupe de
signaux envoyés par (A’) :
T’’2 = k(A’,A”).T’1 = k(A’,A”).k(A,A’).T
13
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Combinaison des
facteurs k
Comme pour (A’’) les signaux correspondant de
chaque groupe sont arrivés simultanément, le
temps étant lu sur sa propre horloge, on va
pouvoir écrire :
T’’1 = k(A,A”).T = T’’2 = k(A,A’).k(A’,A”).T
Donc finalement :
k(A,A”) = k(A,A’).k(A’,A”)
Si l’on connaît les
référentiels ayant
peut déterminer le
repères par simple
facteurs k de deux couples de
un référentiel en commun, on
k inconnu entre les deux autres
produit des facteurs k connus.
14
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Calcul du coefficient k
Calculons, dans le référentiel (R), la
distance dAA’ à l’instant ou (A’)
reçoit le signal émis à l’instant T lu
sur l’horloge HA. C’est la moitié de
la distance franchie par la lumière
entre T et k.(k.T) à la vitesse c.
dAA’=1/2.(k2.T-T).c=1/2.(k2-1).T.c
L’instant tAA’, mesuré sur HA, de la
réception par A’ est :
tAA’=1/2.(k2.T+T)=1/2.(k2+1).T
15
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Calcul du coefficient k
La vitesse V du référentiel (R’) par rapport à (R)
est alors :
V
d AA '
t AA '
1 2 .( k
2
1 2 .( k
1 ).T .c
2
1 ).T
(k
(k
2
2
1)
1)
.c
En notant b = V/c on peut en déduire l’expression
de b en fonction de k :
b
(k
(k
2
1)
2
1)
L’expression de k en fonction de b est alors :
k
T'
T
1 b
1 b
16
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Composition des
vitesses
Une des conséquences de l’expression de la
composition des facteurs k est la nouvelle
formulation de la composition des vitesses. Pour
simplifier les notations appelons k12 le facteur entre
(R) et (R’) k23 entre (R’) et (R’’) et k13 le facteur
entre (R) et (R’’). On peut écrire :
k13 = k12.k23
On a vu que :
b
(k
(k
Donc :
2
1)
2
1)
( k 13 1 )
2
b 13
( k 13 1 )
2
17
Slide 18
Composition des
vitesses
( k 12 .k 23 1 )
2
b 13
2
( k 12 .k 23 1 )
2
2
Avec :
k 12
1 b 12
1 b 12
et
k 23
1 b 23
1 b 23
Donc, après calcul :
b 13
( b 12 b 23 )
( 1 b 12 .b 23 )
v 13
v 12 v 23
1 v 12 .v 23 c
2
18
Slide 19
Notion de temps propre
avec le facteur k
La méthode du facteur k permet facilement d’établir
la relation existant entre l’intervalle de temps pour un
couple d’événements ayant lieu en un même point
d’un repère (temps propre), et donc mesuré avec
une même horloge, et l’intervalle de temps (temps
impropre) du même couple d’événements mesuré
par les horloges d’un autre repère où les événements
considérés se produisent en des points différents.
Si (A) émet des signaux séparés, d’après son
horloge, par l’intervalle Dt0 = T, leur réception est
séparée par l’intervalle Dt’ = k.T d’après l’horloge de
(A’). Nous savons que, du point de vue de (A), cet
intervalle est égal à Dt = (1/2).(k2 + 1).T (dia 15) 19
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Notion de temps propre
avec le facteur k
Le rapport entre ces deux grandeurs, Dt et Dt’, nous
fournit justement la relation entre le temps propre
Dt’ = k.T et le temps Dt mesuré par deux horloges
d’un autre référentiel en mouvement par rapport au
premier qui est un temps impropre :
Δt'
Δt
k.T
1
.(k
2
1).T
2k
k 1
2
1
V
c
2
2
2
Rappelons que les 2 événements sont :
E1 : arrivée en (A’) de l’impulsion n
E2 : arrivée en (A’) de l’impulsion (n+1)
Sachant que
V k
1
b
2
c k
1
20
2
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Remarque sur k
Méthode de mesure correcte en RR
Dans les ouvrages de TS on ne considère, pour
mesurer aussi bien le temps propre que le temps
impropre, qu’une seule horloge :
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Slide 22
Remarque sur k
Pour (A) appelons t01 et t02 les instants enregistrés
par H0 des évènements E1 et E2. Appelons Dt0
l’intervalle de temps des observations de E1 et E2
vue par H0 et Dt l’intervalle entre les mêmes
événements vus par H1 qui donne t1 et par H2 qui
donne t2, H0, H1 et H2 étant synchronisées. Nous
avons :
x
v .t 1
Relation entre le « vrai »
t 01 t 1 1 t 1
c
c
temps impropre Dt et
x2
v .t 2
t 02 t 2
t2
l’intervalle Dt0 mesuré par
c
c
une seule horloge H0.
( t t ) ( t t ).( 1 v c )
02
01
2
1
D t 0 D t .( 1 b )
Dt0 n’est donc PAS le « vrai » temps impropre.
22
Slide 23
Remarque sur k
Relation entre l’intervalle de
temps propre Dt’=(t’2 – t’1)
donné par l’horloge de (A’) - au
repos dans (R’) - et celui de
temps impropre Dt=(t2–t1) donné
par les deux horloges H1 et H2 au
repos dans (R) de (A).
Relation entre l’intervalle de
temps propre Dt’=(t’2 – t’1)
donné par l’horloge de (A’) au repos dans (R’) - et Dt0,
celui donné par la seule
horloge H0 au repos dans (R).
Dt
D t0
(1 b )
D t0
D t0
D t'
1 b
2
D t'
1 b
(1 b )
1 b
2
.D t'
2
(1 b ). (1 b )
(1 b ). (1 b )
Δt 0
(1 β)
(1 β)
.D t'
.D t'
23
Slide 24
Remarque sur k
Le calcul précédent montre que le temps appelé
« temps mesuré » dans le programme de TS
(notre « temps impropre ») n’est PAS celui que
l’on attend car il est déterminé par une seule
horloge, celle de l’observateur « au repos ». Par
contre l’intervalle de temps qui lui correspond est
un temps propre relié à la réception par (A) des
impulsions émises par (A’) et qui permettent de
définir l’effet Doppler relativiste.
24
Slide 25
Contraction des
longueurs
Considérons une règle s’éloignant
de l’observateur (A) avec (A’) se
trouvant à l’extrémité la plus
proche de (A).
Pour mesurer la longueur de la
règle,(A) envoie un signal à
l’instant t1 et attend le retour de
ce signal après réflexion sur
l’extrémité éloignée de la règle.
Soit t4 l’instant de cette arrivée,
toujours pour (A).
L’instant de la réflexion est évidemment égal à
(1/2).(t1 + t4) dans le référentiel de (A).
25
Slide 26
Contraction des
longueurs
De façon analogue (A) envoie
un signal vers l’extrémité proche
à l’instant t2 et reçoit le retour
à l’instant t3. L’instant de
réflexion
du
signal
est
évidemment égal, pour (A), à
(1/2).(t2 + t3). Pour que les
deux
réflexions
soient
simultanées selon l’horloge de
(A) il est nécessaire que :
(1/2).(t1 + t4) = (1/2).(t2 + t3)
En effet, pour (A), les deux mesures doivent être
26
réalisées au même instant.
Slide 27
Contraction des
longueurs
(A’), situé sur l’extrémité proche de la règle, reçoit
le premier signal de (A) à l’instant, lu sur son
horloge, k.t1.
Réfléchi sur l’extrémité éloignée de la règle, le
signal qui revient en (A) à l’instant t4 est passé en
(A’) à l’instant t’ = t4/k.
En effet, le signal reçu par (A’) à l’instant t4/k
atteindra (A) à l’instant k.t’ = k.(t4/k) = t4.
27
Slide 28
Contraction des
longueurs
Du point de vue de l’observateur (A’), le double de
la longueur l0 de la règle est égale à l’intervalle de
temps nécessaire à la lumière pour arriver à
l’extrémité éloignée et revenir multiplié par la
vitesse de la lumière c.
On a alors :
l 0 1 2 .(
t4
k
k .t 1 ).c
La relation entre t2 et t3 découle de la définition du
facteur k :
t3 = k2.t2
28
Slide 29
Contraction des
longueurs
Sachant que les impulsions envoyées par (A) aux
instants t1 et t2 arrivent, pour (A), au même instant
sur les deux extrémités de la règle, on respecte bien
l’exigence de simultanéité. La distance entre (A) et
l’extrémité éloignée de la règle est égale à
(1/2).(t4 – t1).c et celle entre (A) et son
extrémité proche vaut (1/2).(t3 – t2).c. Donc, (A)
attribue à la longueur l l’expression :
l = (1/2).[(t4 – t1) – (t3 – t2)].c
29
Slide 30
Contraction des
longueurs
La formule de simultanéité des mesures nous
donne : t4 = t2 + t3 – t1.
En portant cette expression de t4 dans le second
membre de celle de l0 et nous obtenons :
l0
1
.(
t 2 t3 t1
2
k
k .t 1 ).c
En utilisant la relation entre t2 et t3 :
c (k 1)
l0 .
.( t 2 t 1 )
2
k
2
30
Slide 31
Contraction des
longueurs
Comme t2 – t1 = t4 – t3, l’expression de l devient :
l = (1/2).[(t4 – t1) – (t3 – t2)].c
l = (1/2).[(t4 – t3) + (t2 – t1)].c
l = (t2 – t1).c
Remplaçons la quantité (t2 – t1) dans l’expression
de l par celle extraite de l’expression de l0. Nous
obtenons :
l
2 .k
(k 1)
2
.l 0 l 0 . ( 1 b )
2
31
Slide 32
Relativité de la
simultanéité
Dans l’expérience précédente les impulsions
envoyées par (A) aux instants tAV=t1 et tAR= t2
arrivent, pour (A), au même instant sur les deux
extrémités de la règle. Qu’en est-il pour (A’) ?
L’impulsion émise en t1 par (A) arrive à l’avant de
la règle, pour (A’), en t’AV tel que t’AV = k.t1
et celle émise en t2 par (A) arrive à l’arrière de la
règle, pour (A’), en t’AR = k.t1 + l0/c
On a donc : t’AV t’AR alors que tAV = tAR
La simultanéité est donc une notion relative en RR.
32
Slide 33
La transformation de
Lorentz
On considère deux référentiels (R) et (R’) ayant
chacun un observateur (A) et (A’). A l’instant t1 (A)
envoie une impulsion lumineuse que (A’) reçoit à t’1,
lu sur son horloge. A cet instant, (A’) émet à son
tour une impulsion lumineuse qui chemine avec la
précédente. Considérons le même événement (E)
« Réception du signal composite » ayant dans (R) et
(R’) les coordonnées suivantes :
E ( R ) x ,t
E ( R ' ) x' , t'
Lorsque le signal arrive au point où se produit (E),
il est renvoyé en direction de (A’) et de (A). Il
passe en (A’) à l’instant t’2 qui lui ajoute son
33
propre signal et arrive en (A) en t2.
Slide 34
La transformation de
Lorentz
34
Slide 35
La transformation de
Lorentz
TEMPS
(A)
t1
t (x)
ALLER
(A’)
(A)
t’1
t2
t’ (x’)
T (x)
RETOUR
(A’)
t’2
t’ (x’)
35
Slide 36
La transformation de
Lorentz
Coordonnées de (E) dans (R) pour (A) :
t 1 2 .( t 1 t 2 ) et x 1 2 .( t 2 t 1 ).c
On obtient alors pour t1 et t2 :
t1 t x c
et
t2 t x c
De même, pour t’1 et t’2, on obtient :
t' 1 t' x' c
et
t' 2 t' x' c
Compte de la synchronisation des horloges lors
de la rencontre nous pouvons écrire :
t' 1 k .t 1
et
k .t 1 t' x' c
t 2 k .t' 2
k .( t x c ) t' x' c
36
Slide 37
La transformation de
Lorentz
( 1 k ) .t 2 t' x' c
( 1 k ) .( t x c ) t' x' c
Regroupons différemment les deux équations
précédentes et multiplions les membre à membre :
t' x' c k .( t x c )
t' x' c' ( 1 k ).( t x c )
t' x'
2
2
c t x
2
2
2
c
2
On retrouve l’invariance du ds2 dans cette dernière
expression. Tirons maintenant des deux premières
équations ci dessus l’expression de t’=f(x,t) et de
x’=g(t,x).
37
Slide 38
La transformation de
Lorentz
k 1
2
t'
k 1
2
.t
2k
2 k .c
k 1
2
x'
k 1
2
.x
2k
Sachant que :
.x
.c .t
2k
k 1
2
k 1
2
et
.b
2k
On aboutit aux TL :
2k
x' .( x b .c .t )
t' .( t
b
c
.x )
38
Slide 39
Le voyageur de
Langevin
Deux terriens (A) et (A’) se mettent d’accord pour
organiser un voyage en fusée de (A’) vers une
étoile « lointaine » avec retour immédiat vers la
Terre lorsque le but aura été atteint. Combien de
temps va durer le voyage pour (A) et pour (A’) ?
Nous supposerons que pendant tout le périple, (A)
envoie des impulsions lumineuses en direction de
(A’) avec une période T. A la réception de chacun
des signaux, (A’) renvoie alors des impulsions
lumineuses de réponse.
39
Slide 40
Le voyageur de
Langevin
L’intervalle
entre
deux
envois successifs de (A)
étant T, celui entre les
réceptions et renvois par
(A’) est k.T. Ces derniers
signaux seront alors reçus
par (A) avec un intervalle
k.(k.T) donc k2.T.
Pour (A), la durée du
voyage sera t et il enverra
durant
ce
temps
N
impulsions tel que :
t = N.T
40
Slide 41
Le voyageur de
Langevin
Pour (A’) la durée du voyage sera t’. Durant cet
aller/retour il devra envoyer NA impulsions, de
période k.T, pendant l’aller et NR, de période
(1/k).T, pendant le retour. On peut alors écrire :
t'= NA.k.T + NR.(1/k).T
(1)
Comme le nombre d’impulsions échangées est
bien sûr le même on a :
N = NA + NR
(2)
41
Slide 42
Le voyageur de
Langevin
Or les durées, lues sur les horloges de (A’), de l’aller
et du retour sont les mêmes, ce qui nous donne :
NA.k.T = NR.(1/k).T
NA = NR.(1/k2)
(3)
L’expression (2) nous permet d’écrire :
NA = N - NR NR.(1/k2) = N - NR
NR = [k2/(1+k2)].N
(4)
En remplaçant cette valeur de NR dans (3) nous
obtenons NA :
NA. = [1/(1+k2)].N
(5)
42
Slide 43
Le voyageur de
Langevin
En remplaçant NA et NR par leurs expressions en
fonction de N dans (1) on obtient t’ :
t' = [1/(1+k2)].k.N.T + .(1/k). [k2/(1+k2)].N.T
t' = [k/(1+k2)].N.T + [k/(1+k2)].N.T = [2.k/(1+k2)].N.T
t = N.T
Or :
Donc :
t' = [2.k/(1+k2)].t
Sachant que le facteur 2k/(1+k2) vaut (1 – b2)1/2,
nous obtenons finalement :
t'
( 1 b ) .t
2
t
ou
t .t'
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RELATIVITE
RESTREINTE
MÉTHODE
D’ENSEIGNEMENT
Le facteur k (effet Doppler)
ou
méthode de Bondi
1
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Introduction
Introduite par Hermann Bondi
(1919 / 2005) en 1964 dans son
ouvrage « Relativity and Common
Sense », la méthode a pour
objectif
de
faciliter
la
compréhension des phénomènes
de dilatation du temps, de
contraction des longueurs, de
relativité de la simultanéité, sans
introduire
d’emblée
la
transformation de Lorentz. Cette
dernière peut cependant être
retrouvée à partir des calculs
précédents.
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Introduction
Tous les raisonnements sont conduits à partir
d’expériences de pensée consistant en échanges de
signaux lumineux, c'est-à-dire avec émission,
réflexion et réception d’impulsions lumineuses.
On ne considère que des événements se produisant
sur les axes, portés par la même droite, Ox du
repère (R) et O’x’ du repère (R’), ce dernier étant
en mouvement avec la vitesse V par rapport au
premier. Deux observateurs (A) et (A’) font des
mesures depuis les origines O et O’.
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Introduction
Les différentes mesures de temps réalisées par
les observateurs (A) et (A’) sur leur propre
horloge HA et HA’, respectivement au repos
dans les repères (R) et (R’), nous permettront
de construire les relations cinématiques
importantes de la relativité restreinte. Pour
simplifier les calculs nous considérerons que HA
et HA’ sont mises à 0 par chaque observateur à
l’instant où les origines O et O’ de (R) et (R’)
coïncident (synchronisation des horloges). On
considérera le plus souvent que (A) et (A’)
occupent chacun l’origine de leur référentiel.
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Éléments de base de la
méthode
Les postulats de base d’Albert Einstein s’appliquant
aux phénomènes physiques étudiés dans des
référentiels inertiels ou galiléens sont :
·
(P1) : Les lois de la physique ont la même
forme dans tous les référentiels inertiels (principe
de relativité).
·
(P2) : La vitesse de propagation de la lumière
dans le vide est la même dans tout référentiel
inertiel. Elle est donc indépendante du mouvement
de la source.
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Éléments de base de la
méthode
Le point de départ de la méthode est l’effet
Doppler, d’après lequel la fréquence de la lumière
captée par le récepteur est fonction du mouvement
relatif de ce dernier par rapport à la source
lumineuse.
Considérons deux observateurs (A) et (A’)
immobiles respectivement dans (R) et (R’). Ainsi,
lorsque l’observateur (A) enverra des signaux
lumineux avec une période T, l’observateur (A’)
les recevra avec une période différente T’ que nous
exprimerons par rapport à T selon l’expression :
Mesuré par (A’)
T’ = k.T
Mesuré par (A)
6
Slide 7
Éléments de base de la
méthode
En mécanique classique l’expression de k prend
différentes formes selon que la source et/ou le
récepteur sont/est en mouvement par rapport à
l’éther. Cependant pour des vitesses relatives entre
les deux très inférieures à c nous avons pour le
récepteur qui s’éloigne de l’émetteur :
k =1/(1 – V/c) = 1/(1 – b) (1 + b)
k ne dépend donc, dans cette approximation, que
de la vitesse relative (S) / (E). Nous conserverons
cette propriété pour notre étude qui devra, bien sûr,
aboutir à une expression de k se raccordant à la
précédente pour les faibles vitesses.
7
Slide 8
Éléments de base de la
méthode
Diagramme du mouvement de
(A’) dans le référentiel de (A)
Ce facteur k est à la base de la
méthode étudiée ici mais, en
introduisant le postulat (P2),
nous allons changer beaucoup
de choses. Soulignons que
l’intervalle de temps T
est
mesuré entre l’envoi de deux
signaux
consécutifs
par
l’horloge de (A) au repos dans
(R) et que l’intervalle T’ = k.T
est mesuré entre la réception
de ces deux
signaux par
l’horloge de (A’) au repos dans
8
(R’).
Slide 9
Éléments de base de la
méthode
Les propriétés fondamentales d’homogénéité et
d’isotropie de l’espace et du temps permettent
d’admettre que le facteur k ne dépend pas :
• de l’instant de l’émission et de la réception du signal
• de la direction de propagation des signaux
• des coordonnées de la source ou du récepteur
• de l’intervalle de temps séparant des signaux émis
successivement
Il dépend, comme en physique classique :
• de la vitesse relative V entre (A) et (A’).
Il doit, de plus, permettre le raccordement des
expressions avec celles de la physique classique pour
9
v << c.
Slide 10
Éléments de base de la
méthode
Le postulat (P2) nous impose l’équivalence de tous
les observateurs.
Si (A), dans le référentiel (R), envoie des
impulsions
lumineuses
avec
la
période
T
l’observateur (A’) dans le référentiel (R’) les
recevra avec la période k.T
Maintenant si (A’) émet des impulsions avec la
période T’, (A) les recevra avec la période k.T’
On a ici l’application à deux observateurs inertiaux
du principe de relativité pour les lois physiques.
10
Slide 11
Combinaison des
facteurs k
Considérons maintenant le cas
de trois repères (R), (R’) et
(R”) en mouvement relatif et
dont les origines respectives O,
O’ et O” sont occupées chacune
par un observateur.
Peut-on trouver k(A,A”) si k(A,A’)
et k(A’,A”) sont connus ?
11
Slide 12
Combinaison des
facteurs k
(A) envoie deux signaux lumineux séparés par
l’intervalle de temps T lu sur sa propre horloge.
(A’) les recevra séparés, sur sa propre horloge,
par l’intervalle T’1 = k(A,A’).T. Les signaux, une
fois (A’) passé, poursuivent vers (A”). Quand le
premier signal de (A) arrive à l’observateur (A’),
celui-ci, envoie alors un signal vers (A”). Les
deux signaux se propagent maintenant ensemble
vers (A”) et forment en pratique un seul signal.
L’observateur (A’) effectue la même opération au
moment de l’arrivée du second signal en
provenance de (A).
12
Slide 13
Combinaison des
facteurs k
(A’’) reçoit les premiers signaux lumineux en
provenance de (A) et de (A’) en même temps lu
sur sa propre horloge. Il en est de même du
groupe des seconds signaux. On va alors écrire :
Pour l’intervalle entre la réception du groupe de
signaux envoyés par (A) :
T’’1 = k(A,A”).T
Pour l’intervalle entre la réception du groupe de
signaux envoyés par (A’) :
T’’2 = k(A’,A”).T’1 = k(A’,A”).k(A,A’).T
13
Slide 14
Combinaison des
facteurs k
Comme pour (A’’) les signaux correspondant de
chaque groupe sont arrivés simultanément, le
temps étant lu sur sa propre horloge, on va
pouvoir écrire :
T’’1 = k(A,A”).T = T’’2 = k(A,A’).k(A’,A”).T
Donc finalement :
k(A,A”) = k(A,A’).k(A’,A”)
Si l’on connaît les
référentiels ayant
peut déterminer le
repères par simple
facteurs k de deux couples de
un référentiel en commun, on
k inconnu entre les deux autres
produit des facteurs k connus.
14
Slide 15
Calcul du coefficient k
Calculons, dans le référentiel (R), la
distance dAA’ à l’instant ou (A’)
reçoit le signal émis à l’instant T lu
sur l’horloge HA. C’est la moitié de
la distance franchie par la lumière
entre T et k.(k.T) à la vitesse c.
dAA’=1/2.(k2.T-T).c=1/2.(k2-1).T.c
L’instant tAA’, mesuré sur HA, de la
réception par A’ est :
tAA’=1/2.(k2.T+T)=1/2.(k2+1).T
15
Slide 16
Calcul du coefficient k
La vitesse V du référentiel (R’) par rapport à (R)
est alors :
V
d AA '
t AA '
1 2 .( k
2
1 2 .( k
1 ).T .c
2
1 ).T
(k
(k
2
2
1)
1)
.c
En notant b = V/c on peut en déduire l’expression
de b en fonction de k :
b
(k
(k
2
1)
2
1)
L’expression de k en fonction de b est alors :
k
T'
T
1 b
1 b
16
Slide 17
Composition des
vitesses
Une des conséquences de l’expression de la
composition des facteurs k est la nouvelle
formulation de la composition des vitesses. Pour
simplifier les notations appelons k12 le facteur entre
(R) et (R’) k23 entre (R’) et (R’’) et k13 le facteur
entre (R) et (R’’). On peut écrire :
k13 = k12.k23
On a vu que :
b
(k
(k
Donc :
2
1)
2
1)
( k 13 1 )
2
b 13
( k 13 1 )
2
17
Slide 18
Composition des
vitesses
( k 12 .k 23 1 )
2
b 13
2
( k 12 .k 23 1 )
2
2
Avec :
k 12
1 b 12
1 b 12
et
k 23
1 b 23
1 b 23
Donc, après calcul :
b 13
( b 12 b 23 )
( 1 b 12 .b 23 )
v 13
v 12 v 23
1 v 12 .v 23 c
2
18
Slide 19
Notion de temps propre
avec le facteur k
La méthode du facteur k permet facilement d’établir
la relation existant entre l’intervalle de temps pour un
couple d’événements ayant lieu en un même point
d’un repère (temps propre), et donc mesuré avec
une même horloge, et l’intervalle de temps (temps
impropre) du même couple d’événements mesuré
par les horloges d’un autre repère où les événements
considérés se produisent en des points différents.
Si (A) émet des signaux séparés, d’après son
horloge, par l’intervalle Dt0 = T, leur réception est
séparée par l’intervalle Dt’ = k.T d’après l’horloge de
(A’). Nous savons que, du point de vue de (A), cet
intervalle est égal à Dt = (1/2).(k2 + 1).T (dia 15) 19
Slide 20
Notion de temps propre
avec le facteur k
Le rapport entre ces deux grandeurs, Dt et Dt’, nous
fournit justement la relation entre le temps propre
Dt’ = k.T et le temps Dt mesuré par deux horloges
d’un autre référentiel en mouvement par rapport au
premier qui est un temps impropre :
Δt'
Δt
k.T
1
.(k
2
1).T
2k
k 1
2
1
V
c
2
2
2
Rappelons que les 2 événements sont :
E1 : arrivée en (A’) de l’impulsion n
E2 : arrivée en (A’) de l’impulsion (n+1)
Sachant que
V k
1
b
2
c k
1
20
2
Slide 21
Remarque sur k
Méthode de mesure correcte en RR
Dans les ouvrages de TS on ne considère, pour
mesurer aussi bien le temps propre que le temps
impropre, qu’une seule horloge :
21
Slide 22
Remarque sur k
Pour (A) appelons t01 et t02 les instants enregistrés
par H0 des évènements E1 et E2. Appelons Dt0
l’intervalle de temps des observations de E1 et E2
vue par H0 et Dt l’intervalle entre les mêmes
événements vus par H1 qui donne t1 et par H2 qui
donne t2, H0, H1 et H2 étant synchronisées. Nous
avons :
x
v .t 1
Relation entre le « vrai »
t 01 t 1 1 t 1
c
c
temps impropre Dt et
x2
v .t 2
t 02 t 2
t2
l’intervalle Dt0 mesuré par
c
c
une seule horloge H0.
( t t ) ( t t ).( 1 v c )
02
01
2
1
D t 0 D t .( 1 b )
Dt0 n’est donc PAS le « vrai » temps impropre.
22
Slide 23
Remarque sur k
Relation entre l’intervalle de
temps propre Dt’=(t’2 – t’1)
donné par l’horloge de (A’) - au
repos dans (R’) - et celui de
temps impropre Dt=(t2–t1) donné
par les deux horloges H1 et H2 au
repos dans (R) de (A).
Relation entre l’intervalle de
temps propre Dt’=(t’2 – t’1)
donné par l’horloge de (A’) au repos dans (R’) - et Dt0,
celui donné par la seule
horloge H0 au repos dans (R).
Dt
D t0
(1 b )
D t0
D t0
D t'
1 b
2
D t'
1 b
(1 b )
1 b
2
.D t'
2
(1 b ). (1 b )
(1 b ). (1 b )
Δt 0
(1 β)
(1 β)
.D t'
.D t'
23
Slide 24
Remarque sur k
Le calcul précédent montre que le temps appelé
« temps mesuré » dans le programme de TS
(notre « temps impropre ») n’est PAS celui que
l’on attend car il est déterminé par une seule
horloge, celle de l’observateur « au repos ». Par
contre l’intervalle de temps qui lui correspond est
un temps propre relié à la réception par (A) des
impulsions émises par (A’) et qui permettent de
définir l’effet Doppler relativiste.
24
Slide 25
Contraction des
longueurs
Considérons une règle s’éloignant
de l’observateur (A) avec (A’) se
trouvant à l’extrémité la plus
proche de (A).
Pour mesurer la longueur de la
règle,(A) envoie un signal à
l’instant t1 et attend le retour de
ce signal après réflexion sur
l’extrémité éloignée de la règle.
Soit t4 l’instant de cette arrivée,
toujours pour (A).
L’instant de la réflexion est évidemment égal à
(1/2).(t1 + t4) dans le référentiel de (A).
25
Slide 26
Contraction des
longueurs
De façon analogue (A) envoie
un signal vers l’extrémité proche
à l’instant t2 et reçoit le retour
à l’instant t3. L’instant de
réflexion
du
signal
est
évidemment égal, pour (A), à
(1/2).(t2 + t3). Pour que les
deux
réflexions
soient
simultanées selon l’horloge de
(A) il est nécessaire que :
(1/2).(t1 + t4) = (1/2).(t2 + t3)
En effet, pour (A), les deux mesures doivent être
26
réalisées au même instant.
Slide 27
Contraction des
longueurs
(A’), situé sur l’extrémité proche de la règle, reçoit
le premier signal de (A) à l’instant, lu sur son
horloge, k.t1.
Réfléchi sur l’extrémité éloignée de la règle, le
signal qui revient en (A) à l’instant t4 est passé en
(A’) à l’instant t’ = t4/k.
En effet, le signal reçu par (A’) à l’instant t4/k
atteindra (A) à l’instant k.t’ = k.(t4/k) = t4.
27
Slide 28
Contraction des
longueurs
Du point de vue de l’observateur (A’), le double de
la longueur l0 de la règle est égale à l’intervalle de
temps nécessaire à la lumière pour arriver à
l’extrémité éloignée et revenir multiplié par la
vitesse de la lumière c.
On a alors :
l 0 1 2 .(
t4
k
k .t 1 ).c
La relation entre t2 et t3 découle de la définition du
facteur k :
t3 = k2.t2
28
Slide 29
Contraction des
longueurs
Sachant que les impulsions envoyées par (A) aux
instants t1 et t2 arrivent, pour (A), au même instant
sur les deux extrémités de la règle, on respecte bien
l’exigence de simultanéité. La distance entre (A) et
l’extrémité éloignée de la règle est égale à
(1/2).(t4 – t1).c et celle entre (A) et son
extrémité proche vaut (1/2).(t3 – t2).c. Donc, (A)
attribue à la longueur l l’expression :
l = (1/2).[(t4 – t1) – (t3 – t2)].c
29
Slide 30
Contraction des
longueurs
La formule de simultanéité des mesures nous
donne : t4 = t2 + t3 – t1.
En portant cette expression de t4 dans le second
membre de celle de l0 et nous obtenons :
l0
1
.(
t 2 t3 t1
2
k
k .t 1 ).c
En utilisant la relation entre t2 et t3 :
c (k 1)
l0 .
.( t 2 t 1 )
2
k
2
30
Slide 31
Contraction des
longueurs
Comme t2 – t1 = t4 – t3, l’expression de l devient :
l = (1/2).[(t4 – t1) – (t3 – t2)].c
l = (1/2).[(t4 – t3) + (t2 – t1)].c
l = (t2 – t1).c
Remplaçons la quantité (t2 – t1) dans l’expression
de l par celle extraite de l’expression de l0. Nous
obtenons :
l
2 .k
(k 1)
2
.l 0 l 0 . ( 1 b )
2
31
Slide 32
Relativité de la
simultanéité
Dans l’expérience précédente les impulsions
envoyées par (A) aux instants tAV=t1 et tAR= t2
arrivent, pour (A), au même instant sur les deux
extrémités de la règle. Qu’en est-il pour (A’) ?
L’impulsion émise en t1 par (A) arrive à l’avant de
la règle, pour (A’), en t’AV tel que t’AV = k.t1
et celle émise en t2 par (A) arrive à l’arrière de la
règle, pour (A’), en t’AR = k.t1 + l0/c
On a donc : t’AV t’AR alors que tAV = tAR
La simultanéité est donc une notion relative en RR.
32
Slide 33
La transformation de
Lorentz
On considère deux référentiels (R) et (R’) ayant
chacun un observateur (A) et (A’). A l’instant t1 (A)
envoie une impulsion lumineuse que (A’) reçoit à t’1,
lu sur son horloge. A cet instant, (A’) émet à son
tour une impulsion lumineuse qui chemine avec la
précédente. Considérons le même événement (E)
« Réception du signal composite » ayant dans (R) et
(R’) les coordonnées suivantes :
E ( R ) x ,t
E ( R ' ) x' , t'
Lorsque le signal arrive au point où se produit (E),
il est renvoyé en direction de (A’) et de (A). Il
passe en (A’) à l’instant t’2 qui lui ajoute son
33
propre signal et arrive en (A) en t2.
Slide 34
La transformation de
Lorentz
34
Slide 35
La transformation de
Lorentz
TEMPS
(A)
t1
t (x)
ALLER
(A’)
(A)
t’1
t2
t’ (x’)
T (x)
RETOUR
(A’)
t’2
t’ (x’)
35
Slide 36
La transformation de
Lorentz
Coordonnées de (E) dans (R) pour (A) :
t 1 2 .( t 1 t 2 ) et x 1 2 .( t 2 t 1 ).c
On obtient alors pour t1 et t2 :
t1 t x c
et
t2 t x c
De même, pour t’1 et t’2, on obtient :
t' 1 t' x' c
et
t' 2 t' x' c
Compte de la synchronisation des horloges lors
de la rencontre nous pouvons écrire :
t' 1 k .t 1
et
k .t 1 t' x' c
t 2 k .t' 2
k .( t x c ) t' x' c
36
Slide 37
La transformation de
Lorentz
( 1 k ) .t 2 t' x' c
( 1 k ) .( t x c ) t' x' c
Regroupons différemment les deux équations
précédentes et multiplions les membre à membre :
t' x' c k .( t x c )
t' x' c' ( 1 k ).( t x c )
t' x'
2
2
c t x
2
2
2
c
2
On retrouve l’invariance du ds2 dans cette dernière
expression. Tirons maintenant des deux premières
équations ci dessus l’expression de t’=f(x,t) et de
x’=g(t,x).
37
Slide 38
La transformation de
Lorentz
k 1
2
t'
k 1
2
.t
2k
2 k .c
k 1
2
x'
k 1
2
.x
2k
Sachant que :
.x
.c .t
2k
k 1
2
k 1
2
et
.b
2k
On aboutit aux TL :
2k
x' .( x b .c .t )
t' .( t
b
c
.x )
38
Slide 39
Le voyageur de
Langevin
Deux terriens (A) et (A’) se mettent d’accord pour
organiser un voyage en fusée de (A’) vers une
étoile « lointaine » avec retour immédiat vers la
Terre lorsque le but aura été atteint. Combien de
temps va durer le voyage pour (A) et pour (A’) ?
Nous supposerons que pendant tout le périple, (A)
envoie des impulsions lumineuses en direction de
(A’) avec une période T. A la réception de chacun
des signaux, (A’) renvoie alors des impulsions
lumineuses de réponse.
39
Slide 40
Le voyageur de
Langevin
L’intervalle
entre
deux
envois successifs de (A)
étant T, celui entre les
réceptions et renvois par
(A’) est k.T. Ces derniers
signaux seront alors reçus
par (A) avec un intervalle
k.(k.T) donc k2.T.
Pour (A), la durée du
voyage sera t et il enverra
durant
ce
temps
N
impulsions tel que :
t = N.T
40
Slide 41
Le voyageur de
Langevin
Pour (A’) la durée du voyage sera t’. Durant cet
aller/retour il devra envoyer NA impulsions, de
période k.T, pendant l’aller et NR, de période
(1/k).T, pendant le retour. On peut alors écrire :
t'= NA.k.T + NR.(1/k).T
(1)
Comme le nombre d’impulsions échangées est
bien sûr le même on a :
N = NA + NR
(2)
41
Slide 42
Le voyageur de
Langevin
Or les durées, lues sur les horloges de (A’), de l’aller
et du retour sont les mêmes, ce qui nous donne :
NA.k.T = NR.(1/k).T
NA = NR.(1/k2)
(3)
L’expression (2) nous permet d’écrire :
NA = N - NR NR.(1/k2) = N - NR
NR = [k2/(1+k2)].N
(4)
En remplaçant cette valeur de NR dans (3) nous
obtenons NA :
NA. = [1/(1+k2)].N
(5)
42
Slide 43
Le voyageur de
Langevin
En remplaçant NA et NR par leurs expressions en
fonction de N dans (1) on obtient t’ :
t' = [1/(1+k2)].k.N.T + .(1/k). [k2/(1+k2)].N.T
t' = [k/(1+k2)].N.T + [k/(1+k2)].N.T = [2.k/(1+k2)].N.T
t = N.T
Or :
Donc :
t' = [2.k/(1+k2)].t
Sachant que le facteur 2k/(1+k2) vaut (1 – b2)1/2,
nous obtenons finalement :
t'
( 1 b ) .t
2
t
ou
t .t'
43