مدخل تاريخي لألعداد العقدية وضع األداة كيف ظهرت األعداد العقدية؟ • االعتقاد بأن أصل األعداد العقدية هو حل معادالت 2 الدرجة الثانية ax bx
Download ReportTranscript مدخل تاريخي لألعداد العقدية وضع األداة كيف ظهرت األعداد العقدية؟ • االعتقاد بأن أصل األعداد العقدية هو حل معادالت 2 الدرجة الثانية ax bx
Slide 1
مدخل تاريخي لألعداد العقدية
وضع األداة
Slide 2
كيف ظهرت األعداد العقدية؟
•
االعتقاد بأن أصل األعداد العقدية هو حل معادالت
2
الدرجة الثانيةax bx c 0 :
• هذا اعتقاد خطاء ،ألن هذا النوع من المعادالت يتوفر
على 0أو جذر واحد أو جذرين مختلفين في Rمجموعة
األعداد الحقيقية.
• وعدد جذور المعادلة مرتبط كما نعلم بإشارة المميز:
b 4 ac
2
Slide 3
عدد جذور معادلة من الدرجة
الثانية وفق إشارة مميزها
∆> 0المعادلة تقبل جذرين حقيقين،
∆= 0 المعادلة تقبل جذرا حقيقيا واحدا
مزدوجا،
∆>0 المعادلة ال تقبل أي جذر حقيقي.
Slide 4
مثال أول
معادلة من الدرجة الثالثة تقبل ثالثة جذور
حقيقية.
صيغة المعادلة:
x3-7x-6=0
نالحظ أن x=-1جذر بالنسبة لهذه المعادلة،
ومنهx3-7x-6=(x+1)(x²-x-6) :
Slide 5
• المعادلة x²-x-6=0تقبل جذرين حقيقيين،
ألن مميزها يساوي:
=)∆=(-1)²-4.1.(-6
1+24=25
• وهو عدد موجب والجذرين هما على التوالي:
َ x1=[-(-1)+5]/2=3و x2=[-(-1)-5]/2=-2
إذن جذور هذه المعادلة هيَ -1 :وَ -2و.3
Slide 6
المثال الثاني
معادلة تقبل جذرا حقيقا أوال وجذرا حقيقيا ثانيا
مزدوجا:
صيغة المعادلة هي:
x3-3x+2=0
نالحظ أن x=-2جذر بالنسبة لهذه المعادلة.
إذن:
x3-3x+2=(x+2)(x²-2x+1)=(x+2)(x-1)²
جذرا المعالة هما َ -2و 1مزدوج
Slide 7
المثال الثالث
•
•
معادلة تقبل جذرا حقيقيا وجذرين آخرين غير
حقيقين:
صيغة المعادلة هي:
• x3-2x+4=0
• نالحظ أن -2جذر بالنسبة لهذه المعادلة ،وبعد التعميل
تصبح صيغة المعادلة هي:
(x+2)(x²-2x+2)=0
Slide 8
لنأخذ المعادلة من الدرجة الثانية:
x²-2x+2=0
• لدينا
∆=(-2)²-4.1.2=4-8=-4
• لكيييي نيييتمكن مييين تحدييييد الجيييذرين ا خيييرين يجيييب أن
نتمكن من تحديد الجذر المربيع للعيدد .-4وهيذا مسيتحيل
في Rمجموعة األعداد الحقيقية.
Slide 9
ما هو أصل األعداد العقدية إذن؟
•
يعيييود ظهيييور األعيييداد العقديييية إليييى محاولييية بعييي
الرياضيييييين ،مثييييل اإليطيييياليين كيييياردان وطارغاليييييا
وبومبيلي ،حل معادالت من الدرجة الثالثة والرابعة.
• معادالت الدرجة الثالثة:
cx d 0
2
bx
3
ax
Slide 10
كيف يمكن حل مثل هذه المعادالت؟
أول مالحظة :العدد aغير منعدم ,وإال أصبحت
المعادلة من الدرجة الثانية ،إذن a≠0؛
b
بوضعنا
xz
3a
• تصبح صيغة المعادلة على الشكل:
z pz q 0
3
c
a
2
2
b
3a
p
حيث
d
و
a
)
bc
a
2
2b
2
(
b
27a a
q
Slide 11
حل المعادلة:
x 3 px q 0
• نضع = x u+v؛ بما أن:
(u+v)3=u3+3u²v+3uv²+v3
• المعادلة أعاله تصبح:
u³ + 3u²v + 3uv² + v³ + p( u + v ) + q = 0
• أي u³ + v³ + ( 3uv + p )( u + v ) +q = 0 :
Slide 12
أي أن:
uv = -p/3و u3+v3 = -q
p
• ونحصل على النظمة التالية:
S
u3v3 = -p3/27
u3+v3 = -q
• لدينا عددين معلوم مجموعهما وجداؤهما ،فهما جذري
المعادلة من الدرجة الثانية التاليةt ²-(-q)t+(-p3/27)=0 :
• أيt²+qt-p3/27=0 :
Slide 13
لنطبق هذه الطريقة على األمثلة التي
درسنا سابقا
•
المثال األول:
x3-7x+6=0
• المعادلة المساعدة هي:
t²+6t-(-7)3/27=0
t²+6t+343/27=0
Slide 14
•
هذه المعادلة المساعدة تقبل كمميز العدد:
∆’= (3)² -343/27 = 9-343/7 = -100/27
• هذذذه المعادلذذة ب تقبذذل أي جذذذر حقيق ذ ،علمذذا أن المعادلذذة
األصذذلية تقبذذل ثالثذذة جذذذور حقيقيذذة ،أيذذن ذهب ذ ذن الجذذذور
الحقيقية لهذه المعادلة؟
• هذا تنذاض ،،ألنذم مذن المضذرو ،أن نحصذل علذى نضذ عذدد
الجذور بالطريقتين.
• مذذن جهذذة لذذدينا معادلذذة مذذن الدرجذذة الثالثذذة تقبذذل ثالثذذة جذذذور؛
ومن جهة أخرى لذدينا معادلذة مسذاعدة ب تقبذل أي جذذر حقيقذ .
هذا التناض ،هو الذي أدى لى ظهور األعداد العقدية؟
Slide 15
• جذور المعادلة ه 3 :
3 10
100
9
•
t 3
27
ذا لم نعر كبير اهتمام للعبارة
3
• و ذا ضمنذذا بجنجذذاز عمليذذة حسذذال ضيمذذة العذذدد uفسذذون نحصذذل
على األعداد التالية:
3
3
1 2
و
3
6
5
1
2
و
3
6
3
2
Slide 16
•
أين ذهب الجذور الحقيقية؟
• بعد تحديد القيم المناسبة ِل vوبعد نجاز المجموع u+v
ف كل حالة نحصل على القيم 3و -1و.-2
Slide 17
بالنسبة للمثال الثان
•
المعادلة ه :
x3-3x+2=0
• p=-3و q=2
• المعادلة المساعدة ه t²+2t-(-3)3/27=0 :
• أي t²+2t+1=0=(t+1)²
Slide 18
•
•
أي أن -1( u=v=-1جذر مزدوج للمعادلة
المساعدة)
• x=u+v=-2
أين الجذر المزدوج 1؟ أمر عجيل
• نضذذ المالحظذذة :هذذذا التنذذاض ،كذذان وراا اكت ذذان
األعداد العقدية.
Slide 19
المثال الثالث
•
صيغة المعادلة األصلية ه :
x3-2x+4=0
• المعادلة المساعدة ه :
t²+4t+(2)3/27=0
• المميز هو:
∆’=4-8/27=100/27
Slide 20
جذرا المعادلة هما:
•
3
2 10
100
9
27
3
100
2 10
9
2
3
u
v 2
3
27
• بعد حسال الجذور المكعبة نحصل على
3
3
u 1
3
3
v 1
Slide 21
المراجع المعتمدة
1. Jean Dhombre et Al. (1987). «
Mathématiques au fil des ages ».
IREM.Groupe epistemologique. Bordas.
Paris
2. Dahan– Dalmedico / J.Peiffer. (1986).
« Une histoire des mathématique, route
et dédales » ; Editions du Seuil.
3. Dedron P. et J.Itard ; (1959)
« Mathématiques et mathématiciens » ;
Editions Magnard
Slide 22
Dahan– Dalmedico / J.Peiffer. (1986). « Une histoire des
mathématique, route et dédales » ; Editions du Seuil.
Dedron P. et J.Itard ; (1959) « Mathématiques et
mathématiciens » ; Editions Magnard
Slide 23
مدخل تاريخي لألعداد العقدية
وضع األداة
Slide 2
كيف ظهرت األعداد العقدية؟
•
االعتقاد بأن أصل األعداد العقدية هو حل معادالت
2
الدرجة الثانيةax bx c 0 :
• هذا اعتقاد خطاء ،ألن هذا النوع من المعادالت يتوفر
على 0أو جذر واحد أو جذرين مختلفين في Rمجموعة
األعداد الحقيقية.
• وعدد جذور المعادلة مرتبط كما نعلم بإشارة المميز:
b 4 ac
2
Slide 3
عدد جذور معادلة من الدرجة
الثانية وفق إشارة مميزها
∆> 0المعادلة تقبل جذرين حقيقين،
∆= 0 المعادلة تقبل جذرا حقيقيا واحدا
مزدوجا،
∆>0 المعادلة ال تقبل أي جذر حقيقي.
Slide 4
مثال أول
معادلة من الدرجة الثالثة تقبل ثالثة جذور
حقيقية.
صيغة المعادلة:
x3-7x-6=0
نالحظ أن x=-1جذر بالنسبة لهذه المعادلة،
ومنهx3-7x-6=(x+1)(x²-x-6) :
Slide 5
• المعادلة x²-x-6=0تقبل جذرين حقيقيين،
ألن مميزها يساوي:
=)∆=(-1)²-4.1.(-6
1+24=25
• وهو عدد موجب والجذرين هما على التوالي:
َ x1=[-(-1)+5]/2=3و x2=[-(-1)-5]/2=-2
إذن جذور هذه المعادلة هيَ -1 :وَ -2و.3
Slide 6
المثال الثاني
معادلة تقبل جذرا حقيقا أوال وجذرا حقيقيا ثانيا
مزدوجا:
صيغة المعادلة هي:
x3-3x+2=0
نالحظ أن x=-2جذر بالنسبة لهذه المعادلة.
إذن:
x3-3x+2=(x+2)(x²-2x+1)=(x+2)(x-1)²
جذرا المعالة هما َ -2و 1مزدوج
Slide 7
المثال الثالث
•
•
معادلة تقبل جذرا حقيقيا وجذرين آخرين غير
حقيقين:
صيغة المعادلة هي:
• x3-2x+4=0
• نالحظ أن -2جذر بالنسبة لهذه المعادلة ،وبعد التعميل
تصبح صيغة المعادلة هي:
(x+2)(x²-2x+2)=0
Slide 8
لنأخذ المعادلة من الدرجة الثانية:
x²-2x+2=0
• لدينا
∆=(-2)²-4.1.2=4-8=-4
• لكيييي نيييتمكن مييين تحدييييد الجيييذرين ا خيييرين يجيييب أن
نتمكن من تحديد الجذر المربيع للعيدد .-4وهيذا مسيتحيل
في Rمجموعة األعداد الحقيقية.
Slide 9
ما هو أصل األعداد العقدية إذن؟
•
يعيييود ظهيييور األعيييداد العقديييية إليييى محاولييية بعييي
الرياضيييييين ،مثييييل اإليطيييياليين كيييياردان وطارغاليييييا
وبومبيلي ،حل معادالت من الدرجة الثالثة والرابعة.
• معادالت الدرجة الثالثة:
cx d 0
2
bx
3
ax
Slide 10
كيف يمكن حل مثل هذه المعادالت؟
أول مالحظة :العدد aغير منعدم ,وإال أصبحت
المعادلة من الدرجة الثانية ،إذن a≠0؛
b
بوضعنا
xz
3a
• تصبح صيغة المعادلة على الشكل:
z pz q 0
3
c
a
2
2
b
3a
p
حيث
d
و
a
)
bc
a
2
2b
2
(
b
27a a
q
Slide 11
حل المعادلة:
x 3 px q 0
• نضع = x u+v؛ بما أن:
(u+v)3=u3+3u²v+3uv²+v3
• المعادلة أعاله تصبح:
u³ + 3u²v + 3uv² + v³ + p( u + v ) + q = 0
• أي u³ + v³ + ( 3uv + p )( u + v ) +q = 0 :
Slide 12
أي أن:
uv = -p/3و u3+v3 = -q
p
• ونحصل على النظمة التالية:
S
u3v3 = -p3/27
u3+v3 = -q
• لدينا عددين معلوم مجموعهما وجداؤهما ،فهما جذري
المعادلة من الدرجة الثانية التاليةt ²-(-q)t+(-p3/27)=0 :
• أيt²+qt-p3/27=0 :
Slide 13
لنطبق هذه الطريقة على األمثلة التي
درسنا سابقا
•
المثال األول:
x3-7x+6=0
• المعادلة المساعدة هي:
t²+6t-(-7)3/27=0
t²+6t+343/27=0
Slide 14
•
هذه المعادلة المساعدة تقبل كمميز العدد:
∆’= (3)² -343/27 = 9-343/7 = -100/27
• هذذذه المعادلذذة ب تقبذذل أي جذذذر حقيق ذ ،علمذذا أن المعادلذذة
األصذذلية تقبذذل ثالثذذة جذذذور حقيقيذذة ،أيذذن ذهب ذ ذن الجذذذور
الحقيقية لهذه المعادلة؟
• هذا تنذاض ،،ألنذم مذن المضذرو ،أن نحصذل علذى نضذ عذدد
الجذور بالطريقتين.
• مذذن جهذذة لذذدينا معادلذذة مذذن الدرجذذة الثالثذذة تقبذذل ثالثذذة جذذذور؛
ومن جهة أخرى لذدينا معادلذة مسذاعدة ب تقبذل أي جذذر حقيقذ .
هذا التناض ،هو الذي أدى لى ظهور األعداد العقدية؟
Slide 15
• جذور المعادلة ه 3 :
3 10
100
9
•
t 3
27
ذا لم نعر كبير اهتمام للعبارة
3
• و ذا ضمنذذا بجنجذذاز عمليذذة حسذذال ضيمذذة العذذدد uفسذذون نحصذذل
على األعداد التالية:
3
3
1 2
و
3
6
5
1
2
و
3
6
3
2
Slide 16
•
أين ذهب الجذور الحقيقية؟
• بعد تحديد القيم المناسبة ِل vوبعد نجاز المجموع u+v
ف كل حالة نحصل على القيم 3و -1و.-2
Slide 17
بالنسبة للمثال الثان
•
المعادلة ه :
x3-3x+2=0
• p=-3و q=2
• المعادلة المساعدة ه t²+2t-(-3)3/27=0 :
• أي t²+2t+1=0=(t+1)²
Slide 18
•
•
أي أن -1( u=v=-1جذر مزدوج للمعادلة
المساعدة)
• x=u+v=-2
أين الجذر المزدوج 1؟ أمر عجيل
• نضذذ المالحظذذة :هذذذا التنذذاض ،كذذان وراا اكت ذذان
األعداد العقدية.
Slide 19
المثال الثالث
•
صيغة المعادلة األصلية ه :
x3-2x+4=0
• المعادلة المساعدة ه :
t²+4t+(2)3/27=0
• المميز هو:
∆’=4-8/27=100/27
Slide 20
جذرا المعادلة هما:
•
3
2 10
100
9
27
3
100
2 10
9
2
3
u
v 2
3
27
• بعد حسال الجذور المكعبة نحصل على
3
3
u 1
3
3
v 1
Slide 21
المراجع المعتمدة
1. Jean Dhombre et Al. (1987). «
Mathématiques au fil des ages ».
IREM.Groupe epistemologique. Bordas.
Paris
2. Dahan– Dalmedico / J.Peiffer. (1986).
« Une histoire des mathématique, route
et dédales » ; Editions du Seuil.
3. Dedron P. et J.Itard ; (1959)
« Mathématiques et mathématiciens » ;
Editions Magnard
Slide 22
Dahan– Dalmedico / J.Peiffer. (1986). « Une histoire des
mathématique, route et dédales » ; Editions du Seuil.
Dedron P. et J.Itard ; (1959) « Mathématiques et
mathématiciens » ; Editions Magnard
Slide 23