Transcript 3. 克卜勒新天文學(103頁)

天文學的確定
—克卜勒劃時代的貢獻
I.天作之遇-第谷
II.太陽的定位
III. 克卜勒行星三定律
IV. 結語
五大行星週期和半徑
名稱
水星
金星
火星
木星
土星
t（年）
0.32
1.60
2.14
1.09
1.04
τ（年）
0.06
0.19
0.27
0.25
0.24
週期理論值
0.24
0.62
1.84
12.19
27.04
公認值
0.24
0.62
1.88
11.86
29.46
半徑理論值
0.38
0.72
1.43
6.59
8.95
公認值
0.38
0.72
1.52
5.20
9.55
「所有天體以太陽為中點繞行，因此
太陽是宇宙的中心。」
《概論》
「最後，我們將會認識到，居於宇宙
中心的正是太陽。」 《天體運行論》
「天球中心靠近太陽。……宇宙中心
在靜止的太陽附近。……諸行星天
球的中心並非在地球附近，而是在
太陽附近。」
I. 天作之遇-第谷
天文觀測
的
大邁進
第谷
(1546
-1601)
天 作 之 遇
實驗  理論
克卜勒
(1571
-1630). )
“我確信我有責任維護
哥白尼之學說，當我已
在靈魂深處證明它為真
時，並陶醉於其沉思之
美時，我將以全部力量
公然捍衛它。”
“凡是有質的地方，同樣也
就有量，但反之不亦然。
…除了量或者通過量之
外，沒有什麼東西能夠
被完整地知道，…數學
結構是最確定無疑的。”
宇宙奧秘
(1596)
新天文學
(1609) 38歲
世界之和諧
(1619)
哥白尼天文學概要 (1617-1621)
魯道夫星表
(1626-1627)
II. 太陽的定位
太陽角色的不確定
E
O
OE
S
《天體運行論》
太陽的位置
(偏心點的存在)
190.6°
1982年3月31日
CB = 0.07232,
AB = 0.11332
∠DAE = 65.5°- 5.4° = 190.6°
∠EAF = 125.2°
∠FAG = 97.2°
∠GAD = 77.5°
1990年11月27日
65.5°
287.9°
1986年7月10日
1988年9月28日
5.4°
(以秋分點之太陽位置為0°)
克卜勒火星暫代性假說
H
F
C
E
A
G
D
I
找出偏心圓的流程
一、由觀測數據，決定四次衝時的火星位置分別至太陽 A
所張的角度，與四次火星至偏心勻速點C所張的角度。
二、定出太陽至火星的不同距離，尋找火星軌道之圓心B
∠EDG
∠EFG
∠DEF
∠DGF
∠EDG +∠EFG
∠DEF +∠DGF
117.0°
63.0°
83.9°
96.1°
180.0°
180.0°
三、決定太陽A至軌道圓心B及火星所張之角度
四、檢視太陽 A、軌道圓心 B 與偏心勻速點 C是否成一直線
∠BAF
∠HAF
34.6°
34.6°
“如果這種冗長的方法讓你
厭煩的話，你或許更會憐憫
起我來。因為我花費了巨大
的時間，反覆了至少 70餘次
的計算，從探討火星開始，
至今已過了五個年頭。”
III.
克卜勒
行星運動三定律
距離規則
(第零定律)
HK/IL’
= AD/AE
距離規則 - 遠近日點速率與距離之關係
行星在行星遠日點與近日
點處，行經相同路程所需
花費的時間(HK或IL)與行
星至太陽的距離(AD或AE)
成正比。
HK/IL= AD/AE
橢 圓 律
克卜勒卵形軌道
橢圓律
QO ＝ 0.00429
sec(5°18’) ＝ 1.00429
“當我看到這時，彷彿從睡夢中
被喚醒，見到一道曙光向我穿
透。我開始了下面的推理。”
BQ/BO ＝ 1/(1-0.00429)
 1+0.00429
＝ sec(5°18’) ＝ secφ= SO/BO
BQ ＝ SO =1 = 半徑 (半長軸)
命題7
P
Q
A
命題9
M
2
2
＝ B N － BH 2
＝ EH 2 － BH 2
( e2 ＝ 1 － b2 )
O
K
HN
KT＝KH＋HN cos∠AHK
L
NM＝KT
E
B
b
1
R
S
r＝1＋ecosβ
β
1
(r為行星到太陽距離，AH ＝1，HN=e)
r
H
一、任意取圓上一點K，從K點作垂線
KL，交AC直徑於L。
ecosβ
e
N
V
T
二、過H點，自K點做直線KI與圓周交
於I 點。
Y
C
I
三、自N點再做垂線NT，交KI於T點。
四、以N為圓心，KT長為半徑劃弧，
交KL於M，則M點即為行星橢圓
路徑上之點。
x2 /a 2 + y2 / b2 = 1
GG ' : HG '  II' : JI'  KK ' : LK '  a : b
ML = BH sinβ
( x= b sinβ )
x
KL = KHsinβ=EH sinβ
EH : BH = KL : ML = 1:b
y=KHcosβ=cosβ
面 積 律
dA  1 / 2  R  d S
dA / dt  1 / 2  R  dS / dt
根據距離定律，速率dS/dt 與 R 成
反比，故 dA/dt = 定值
距離規則  面積律
dA/dt =1/2 R d(R)/dt =1/2 R2 d/dt =1/2 R2 
命題15（面積律)：
橢圓路徑AM上每
一點至焦點之連
線和，亦即所需
花費的時間，可
由橢圓面積AMN
來表示。
克卜勒橢圓軌道與面積律
-新天文學59章
面積律：
行星經過PCK弧
長所費時間，
可由面積PCKA
來量測。
-哥白尼天文學概要
5章1部份4節
行星第一、二定律
簡易的再發現
(項武義
張海潮
姚 珩)
地
球
的
面積律 與 橢圓律
從地球出發
M
跨週期疊合測距
αi αj
1948年5月5日
Ei
E
μi
正弦定律
衝：1950年3月23日
μj
ri
rj
Ej
ri
1952年2月8日
sin  i

SM
sin  i
S
rj
sin 
rj
ri


j
SM
sin  j
sin  i sin 
j
sin  j sin  i
比較 rj2/ri2 與 ωi /ωj 值
日期
μ
∠ i
μ
∠ j
∠α i
∠α j
(面積律ri2ωi=rj2ωj)
rj2/ri2
ωi
ωj
ωi /ωj
1944.7.31
126.013°
20.099°
1.011
0.956
1.014
1946. 6.18
84.454°
33.141°
1.013
0.954
1.016
1948. 5. 5
37.085°
42.622°
0.969
1952. 2. 8
43.645°
36.147°
0.956
1.012
0.958
1953.12.26
87.942°
31.372°
0.949
1.019
0.951
週期性運動之函數表示
1
r
1
r
1
 a0 
 a n cos n 
n

 bn sin n 
n
 a 0  a 1 cos   b1 sin 
 c 
r
  c o  c 1 cos   c 2 sin 
(地球面積律)
計算軌跡方程式數據
θi
ωi
213.2°
85.8°
0.975
1998. 7.31
308.1°
180.7°
0.956
1998.10. 2
9.1°
-118.3°
0.984
日 期
地球經度
1998. 1.27
127.4°
1998. 4.23
c0 = 0.993
c1 = 0.015
c2 =－0.007
  0 . 993  0 . 015 cos   0 . 007 sin 
a (1  e )
2
橢圓方程式
r 
1  e cos 
或
1
 B  A cos 
r
2
2
B＝1 a (1  e ) A＝e a (1  e )
e為離心率 a為半長軸
若 x 軸非兩焦點連線，則橢圓方程式可改寫為
1
r
 B  A cos(    0 )  B  c1 cos   c 2 sin 
θ0為近日點至原點連線與 x 軸之夾角
c12＋c22＝A2
2
c1  c 2
2
B  A B e

1
r
 B  A cos 

0
1
r
 B  A cos(    0 )  B  c1 cos   c 2 sin 
離心率
2
e＝
c1  c 2
B
2
＝
(  0 . 007 )
2
 0 . 015
2
0 . 993
＝ 0.017
此值正是地球軌道離心率之公認值0.017
而可明顯得知距離倒數之週期函數與橢圓方程式等價
且亦精確地確認地球運行的軌道即為橢圓軌道
行
星
的
面積律 與 橢圓律
火星(行星)的面積律
M
自地球觀察
μi、μj 及θ 此三個角度，在
αi αj
地球上是可以觀測得到的
Ei
數據，又地球的面積律已
d
μi
ri
μj E
j
rj
θ
S
成立。
d
sin 
＝
j
d＝
rj
sin 
sin 
sin 
j
j
j
rj
四邊形內角和為360°
μi＋μj＋θ＋（αi＋αj）＝360°
M
αi αj
Ei
d
μi
ri
θ
或 αi＝360°－μi－μj－θ－αj ＝β－αj
d
μj
rj
S
正弦定律
Ej
sin  i
＝
ri
d
sin  i
sin 
sin  i
sin 
j
ri
＝r
j
rj
j
＝ sin 
sin  i
sin 
＝k
j
sinβ cosαj－cosβ sinαj＝k sinαj
αj
＝ cot
1
 k  cos  


 sin  
j
M2
Ej2
Ei1
d2
rj2
Ei2
ri1
d1
ri2
Ej3
S
rj3
ri3
d3
Ei3
M3
M1
rj1= r0
Ej1
不同日期計算所得之日火距 d
日期
μi
μj
θ
αj
rj
d
1950. 5.13
120.656° 141.140° 42.456° 22.973° 100000 160750
(1952. 3.30)
1952. 6.21
122.319° 130.592° 41.744° 30.593° 101072 150805
(1954. 5. 9)
1954. 8.15
125.251° 116.179° 41.593° 40.722° 101770 139993
(1956. 7. 2)
（括號內日期與無括號日期相差一火星年）
火星的角速率 ω
角速率 ω 取在一日內
火星相對於太陽所走過的角度
M2
M1
φ=b＋c－a
a＝180°－∠ j1－∠ j1
φ
Ei2
Ei1
b
a
b＝180°－∠ j2－∠ j2
Ej2
c
Ej1
日期
ω ( φ)
1952. 3.30
0.469
1954. 5. 9
0.534
1956. 7. 2
0.620
S
比較 dj2/di2 與 ωi /ωj 值 (面積律 di2ωi=dj2ωj)
日期
d
ω
dj2/di2
ωi/ωj
1952. 3.30
160750
0.469
1.000
1.000
1954. 5. 9
150805
0.534
0.880
0.878
1956. 7. 2
139993
0.620
0.758
0.756
火星的橢圓律
1
d1
1
d2
1
d3
 a 0  a 1 cos  1  b1 sin  1
 a 0  a 1 cos 
 a 0  a 1 cos 
2
3
 b1 sin 
 b1 sin 
日期
ψ
1950. 5.13
0.000°
1952. 6.21
41.337°
1954. 8.15
98.458°
1956.11. 1
174.976°
2
3
(火星至太陽連線所張之角度ψ)
1
d
＝0.00000662－0.00000040 cos ψ＋0.00000047 sin ψ
火星的橢圓律
1
＝0.00000662－0.00000040 cos ψ＋0.00000047 sin ψ
d
2
e＝
c1  c 2
B
2

 0 . 00000040 
2
 0 . 00000047

2
0 . 00000662
＝ 0.093
此值正是火星軌道離心率之公認值0.093
而可明顯得知距離倒數之週期函數與橢圓方程式等價
且亦精確地確認火星運行的軌道即為橢圓軌道
木星的面積律
不同日期計算所得之日木距d
日 期
1962. 8. 6
μi
μj
θ
αj
rj
d
146.236° 152.523° 49.469° 5.372° 100000 492868
1964.10.19 145.966° 151.732° 50.540° 5.422°
98199
492182
1966.12.28 144.850° 153.833° 50.363° 4.737°
96988
517905
比較 dj2/di2 與 ωi /ωj 值 (面積律 di2ωi=dj2ωj)
日期
d
ω
dj2/di2
ωi/ωj
1962. 8. 6
492868
0.090
1.000
1.000
1964.10.19
492182
0.090
0.997
0.997
1966.12.28
517905
0.081
1.104
1.104
木星的橢圓律
1
d
＝0.00000195＋0.0000000751 cos ψ＋0.0000000584 sin ψ
2
e＝
a 1  b1
a0
2

  0 . 0000000751  2  0 . 0000000584  2
0 . 00000195
＝0.049
與木星軌道離心率的公認值0.048相差無幾，
顯示木星的運行軌道是以太陽為焦點的橢圓軌道。
土星的面積律
不同日期計算所得之日土距d
日 期
μi
μj
θ
αj
rj
d
1959. 9.24
90.062° 96.808° 161.726° 5.679° 100000 1003449
1962.10.30
88.223° 97.408° 162.840° 5.796° 100919
991020
1965.12. 6
86.283° 97.115° 164.749° 6.002° 101418
962461
比較 dj2/di2 與 ωi /ωj 值 (面積律 di2ωi=dj2ωj)
d
ω
dj2/di2
ωi/ωj
1959. 9.24
1003449
0.030
1.000
1.000
1962.10.30
991020
0.031
0.975
0.976
1965.12. 6
962461
0.033
0.920
0.920
日 期
土星的橢圓律
1
d
＝0.00000105－0.0000000570 cos ψ＋0.00000000574 sin ψ
2
e＝
a 1  b1
a0
2

  0 . 0000000570  2  0 . 0000000057
4
0 . 00000105
＝0.055
與土星軌道離心率的公認值0.056相差無幾，
顯示土星的運行軌道是以太陽為焦點的橢圓軌道。
2
水星的面積律
不同日期計算所得之日水距d
日 期
μi
μj
θ
αj
rj
d
1950. 4.27 19.065° 21.155° 87.591° 111.551° 100000 38802
1951. 8. 6
27.114° 20.249° 84.161° 131.381° 102489 47274
1952.11.21 17.005° 16.952° 86.901° 118.563° 102548 34043
比較 dj2/di2 與 ωi /ωj 值 (面積律 di2ωi=dj2ωj)
日 期
d
ω
dj2/di2
ωi/ωj
1950. 4.27
38802
4.015
1.000
1.000
1951. 8. 6
47274
2.746
1.484
1.462
1952.11.21
34043
5.369
0.770
0.748
水星的橢圓律
1
d
＝0.0000267－0.000000872 cos ψ－0.00000544 sin ψ
2
e＝
a 1  b1
a0
2

  0 . 000000872  2    0 . 00000544  2
0 . 0000267
＝0.206
與水星軌道離心率的公認值0.206相同，
顯示水星的運行軌道是以太陽為焦點的橢圓軌道。
金星的面積律
不同日期計算所得之日金距d
日 期
μi
μj
θ
αj
rj
d
1950. 5.13 41.666° 43.622° 135.142° 73.416° 100000 71984
1951.12.14 39.066° 44.316° 140.862° 73.441° 97406
70994
1953. 7.26 41.776° 42.790° 138.534° 72.152° 100505 71726
比較 dj2/di2 與 ωi /ωj 值 (面積律 di2ωi=dj2ωj)
日 期
d
ω
dj2/di2
ωi/ωj
1950.05.13
71984
1.581
1.000
1.000
1951.12.14
70994
1.626
0.973
0.972
1953.07.26
71726
1.593
0.993
0.993
金星的橢圓律
1
d
＝0.0000140－0.0000000985 cos ψ－0.0000000188 sin ψ
2
e＝
a 1  b1
a0
2

  0 . 0000000985  2
   0 . 0000000188
0 . 0000140
＝0.007
與金星軌道離心率的公認值0.007相同，
顯示金星的運行軌道是以太陽為焦點的橢圓軌道。
2
和 諧 律
“對同一外接圓，遠日點
與近日點處之同一時間
內，所經過之弧角與此
二點至太陽距離之倒數
平方成正比例。”- 3章12節
dA/dt = 1/2  r 2  = 常數
   1/r2 或 r  1/1/2
 對圓迷思的破除
 均勻性的重現再生
( 對稱性)
(日心說已不可再被質疑)
IV. 結
語
◎ 簡單、對稱、和諧
的數學結構才能
真正反應天文世界
裡的秩序。
☼天體圓周運動迷思
的修正與均勻性的
尋求，確立並促成
天文學理論快速發
展。
“造物者懂得 幾何學，
神是按照 數的和諧
創造了世界。”
如果不相信我們的理論結
構能夠領悟客觀實在，如
果不相信我們世界的內在
和諧性，那就不會有任何
科學。
這種信念是，並且永遠是
一切科學創造的根本動機
“在萬物被造之前，幾何
即與 神聖之靈，同為永
恆存在者。它提供了神
創世之型式，並將它與
神之形象一同傳送到人
們身上。”
和諧 神聖 永恆

數 學
萬 法 皆 心 照
- 禪 宗
謝
謝!