Transcript LA THERMODYNAMIQUE pour madame et monsieur Toutlemonde Denis Chadebec Le 7 juin 2014 Remarque: dans tout cet exposé, il sera fait un usage répété d’une des.

LA THERMODYNAMIQUE
pour madame et monsieur
Toutlemonde
Denis Chadebec
Le 7 juin 2014
1
Remarque: dans tout cet exposé, il sera fait un usage répété
d’une des plus belles théories mathématiques de tous les temps :
le Calcul Différentiel
&
Intégral
initiée au moyen âge puis énoncée par
Newton & Leibnitz au XVIIe siècle
2
3
PLAN DE LA CONFERENCE-DEBAT
GENERALITES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES GRANDEURS PHYSIQUES
fig 005
DE LA FORCE A L’ENERGIE
fig 022
LA LOI DE CONSERVATION DE L’ENERGIE
fig 038
L’ENERGIE OU LES ENERGIES ?
fig 051
L’IRRÉVERSIBILITÉ
fig 058
L’IDENTITÉ FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE
fig 067
LE CORPS ET SON MILIEU
fig 082
RENDEMENT OPTIMAL D’UN MOTEUR
fig 092
LES GAZ PARFAITS
fig 095
L’EXPÉRIMENTATION
fig 100
L’ENTROPIE ET LE DÉSORDRE COUPUSCULAIRE
fig 108
ENTROPIE ET ÉQUILIBRE DES TEMPÉRATURES
fig 114
13 chapitres répartis en 5 grands chapitres vont être commentés l’un après l’autre
4
GENERALITES SUR LES REPRESENTATIONS
GRAPHIQUES DES GRANDEURS PHYSIQUES
5
GENERALITES SUR LES REPRESENTATIONS GRPHIQUES DES
GRANDEURS PHYSIQUES
Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x
Grandeur f ’
Aire = grandeur f
Grandeur x
Valeur initiale xo
6
Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x
Grandeur f ’
Aire = δf
Regardons δf
Variation δx de
la grandeur x
Aire = grandeur f
Grandeur x
Valeur initiale xo
7
Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x
Aire plus
grande que
la variation
δf de f
Elle vaut
Grandeur f ’
≤δf
max(f ’) δx
Variation δx de
la grandeur x
Aire = grandeur f
Grandeur x
Valeur initiale xo
8
Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x
Aire plus
petite que la
variation δf
de f
Grandeur f ’
min(f ’) δx ≤
δf
≤
max(f ’) δx
Elle vaut
Variation δx de
la grandeur x
Aire = grandeur f
Grandeur x
Valeur initiale xo
9
Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x
Divisons partout par δx
min(f ’) δx ≤
δx
Grandeur f ’
Aire = δf
≤ max(f ’) δx
≤
≤
δx
δx
δf
Variation δx de
la grandeur x
et simplifions
Aire = grandeur f
Grandeur x
Valeur initiale xo
10
Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x
grandeur f ’
Aire = δf
min(f ’) δx ≤ δf ≤ max(f ’) δx
min f ’ ≤
≤ max f ’
δx
δx
δx
Variation δx de
la grandeur x
Aire = grandeur f
grandeur x
valeur initiale xo
11
Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x
Imaginons que δx soit
choisi de plus en plus
grandeur f ’
proche de zéro
min(f ’) δx ≤ δf ≤ max(f ’) δx
min f ’ ≤
≤ max f ’
δx
δx
δx
devient
Aire = δf
variation δx de
la grandeur x
devient
Aire = grandeur f
f ’ ≤ limite ≤ f ’
grandeur x
valeur initiale xo
limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx
= f ’(x)
12
Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x
grandeur f ’
Aire = δf
Quand δx est suffisamment petit
les grandeurs δf et δx sont
considérées comme proportionnelles
variation δx de
la grandeur x
δf = f ’(x) δx
Aire = grandeur f
Vocabulaire : on dit que f est
différentiable par rapport à x
et que f’ est la dérivée de
f par rapport à x
grandeur x
valeur initiale xo
limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx
= f ’(x)
13
Variation δf de
la grandeur f
Grandeur f
δx
δf
grandeur f ’
Courbe représentative de f
Aire = f
Variation δx de
la grandeur x
grandeur x
valeur initiale xo
limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx
= f ’(x)
14
Variation
Variation
Variation
δf de
nommée
Δf
la grandeur f nommée df
En suivant la sécante
Abscisse Ordonnée
δx
dx
grandeur f
Δf =
Tangente
Sécante
δf
dx
δx
δf
Δf
Variation dx de
la grandeur x
df = f ’(x) dx
Variation δx de
la grandeur x
grandeur x
Retenons cette équation de la tangente
df = f ’(x) dx
limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx
= f ’(x)
15
nous adoptons une démarche intellectuelle très
fréquente en physique :
quand une grandeur f
dépend d’une autre
Grandeur f
grandeur x,
nous admettons que, si la taille de la
variation δx est en-dessous d’un seuil δmax x
la variation δf de f peut être assimilée à df
Tangente
δf
δf = f ’(x) δx
seuil δmaxx
C’est pourquoi, ces deux
écritures seront utilisées
à tour de rôle selon les
besoins du moment
δx
Grandeur x
df = f ’(x) dx
parce que nous
admettons que
limite (quand δf tend vers 0) de
δf
δx
= f ’(x)
16
grandeur f ’
Point de
contact
δf = f ’(x) δx
Tangente
Nous l’appliquons à la dérivée elle-même
δf ’ = f ’’(x) Δx
f ’(m) = f ’(x) + δf ’
Δx
Aire = grandeur f
m
grandeur x
17
Segments
égaux
Point de
contact
Segments
égaux
grandeur f
Tangente
sécante
parallèle à la
tangente
δf
δf
δx
δf = f ’(m)
’(x) δx
δx
Δx
Nous l’appliquons à la dérivée elle-même
δf ’ = f ’’(x) Δx
f ’(m) = f ’(x) + δf ’
m
grandeur x
18
Point de
contact
Tangente
grandeur y
sécante
parallèle
δy
δx
Substituons f’(x) δf = f ’(m) δx
Δx
Nous l’appliquons à la dérivée elle-même
δf ’ = f ’’(x) Δx
f ’(m) = f ’(x) + δf ’
Substituons δf ’
δf = f ’(x) + δf ’ δx
m
δf = f ’(x) + f ’’(x) Δx δx
On développe :
grandeur x
Note : si δx est négatif alors δx est aussi négatif
δf = f ’(x) δx + f ’’(x) Δx δx, Δx et δx sont de même signe,
et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit.
19
La thermodynamique traite des échanges d’énergie entre les
systèmes physiques. Mais sait-on vraiment ce qu’est cette
grandeur ?
L’énergie
est un pouvoir de déplacer les corps
et qui se consomme quand elle agit
Qu’est-ce que c’est ?
La même chose que la force ?
Non ... Parce que ...
La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps
qui ne se consomme pas quand elle agit
20
DE LA FORCE
À L’ÉNERGIE
Sous-chapitres :
- La vitesse
- L’accélération
- La force
- L’énergie
21
La vitesse
22
Au commencement était une idée très ancienne ...
... si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps
alors le tableau
Temps
Espace
dt
dx
1
vx
nous donne l’équation (égalité des produits croisés) dx = vx dt
Vitesse
Cette formule nous donne la
géométrie ci-contre
vx
Aire = dx
dt
Temps
23
L’accélération
24
Si maintenant la vitesse est variable …
le corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps …
... mais une distance qui varie avec le temps
alors le tableau
Temps
Espace
dt
dx
1
vx
nous donne l’équation (égalité des produits croisés) dx = vx dt
Vitesse
Cette formule nous donne la
géométrie ci-contre
vx
Aire = dx
dt
t
Temps
mais l’aire de la
surface jaune est
toujours égale à la
distance …
25
Cas particulier bien utile : La vitesse d’un corps augmente proportionnellement au
temps
alors nous pouvons appliquer la géométrie de Thalès …
Temps
Vitesse
dt
dvx
1
ax
dvx = ax dt
Définition : le nombre ax est
l’abscisse de l’accélération.
Vitesse
dvx vx
Aire = dx
dt
t
Temps
26
Cas particulier bien utile : La vitesse d’un corps augmente proportionnellement au
temps
alors nous pouvons appliquer la géométrie de Thalès :
Conclusion : si, pendant le temps dt l’accélération est constante, alors
la distance parcourue est donnée par la formule
Temps
Vitesse
dx = 1 dt (vxo + vx)
2
dvx
dt
1
ax
dvx = vx – vxo
Vitesse
Aire jaune = aire verte
Aire totale = longueur x largeur = dt (vxo + vx)
Aire jaune =
1
dt (vxo + vx)
2
vxo
dvx
vx
vxo
dt
Temps
27
D’abord, en trois dimensions, nous avons trois équations au lieu d’une :
dvx = ax dt , dvy = ay dt et dvz = az dt
(cette idée est venue au moyen âge de la pratique de l’épure des architectes antiques)
La force
De la
diapositive
26 vient
dvx = ax dt
28
Comment Newton a défini la force ?
D’abord, en trois dimensions, nous avons trois équations au lieu d’une :
dvx = ax dt , dvy = ay dt et dvz = az dt
Faisons quelques expériences de pensée
• Expérience de pensée 2 – Si, à ce deuxième
corps l’accélération est doublée ...
... alors nous admettrons que la force qu’il
subit est encore doublée.
• Soit un corps subissant une certaine force lui
imprimant une accélération.
• Expérience de pensée 1 - Si on remplace le corps
par un autre de masse double, et si on lui
imprime la même accélération, alors ...
... nous admettrons que la force subie par
le nouveau corps est doublée.
Etudions les trois définitions suivantes :
Fx = m ax
,
Fy = m ay
,
Fz = m az .
Nous voyons bien que les résultats
des deux expériences de pensée
précédentes sont respectés.
Note : Trois coordonnées
font d’une force une Grandeur
orientée
Ce fut par une argumentation de
cette sorte que Newton
convainquit les scientifiques de
son temps pour faire accepter
cette définition de la force
29
L’énergie
30
Multiplions la force par le déplacement
Fx dx = m ax dx ,
Fy dy = m ay dy ,
Fz dz = m az dz .
Substituons le déplacement par sa formule de calcul dx = 1 dt (vxo + vx)
2
1
1
1
Fx dx = m ax
(v + vxo) dt =
m ax dt (vx + vxo) =
m dx (vx + vxo)
2 x
2
2
1
Vu l’identité remarquable (p – q) (p + q) = p2 – q2
m (vx - vxo) (vx + vxo)
=
2
1
1
1
m (vx2 – vxo2) =
m vx2 –
m vxo2 = d 1 m vx2
Fx dx =
2
2
2
2
Fx dx = d
Fx = m ax
,
1
m vx2
2
Fy = m ay
,
F z = m az .
31
1
m vx2 Additionnons membre à membre : sachant la règle
2
df + dg + dh = d(f + g + h)
1
Fy dy = d
m vy2 et sachant que les « un demi » et la masse sont facteurs communs
2
Fx dx = d
Fz dz = d
1
m vz2
2
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d
1
m (vx2 + vy2 + vz2)
2
Petites justifications mathématiques
parce que df + dg + dh = (f – fo) + (g – go) + ( h – ho) = f – fo + g – go + h – ho
= f + g + h – fo – go – ho = (f + g + h) – (fo + go + ho) = d(f + g + h)
32
Ce triangle est
rectangle
L2 = vx2 + vy2
vx
vy
v2 = L2 + vz2
v2 = vx2 + vy2 + vz2
vz
vy
on applique le
théorème de
Pythagore
vx
Ce triangle est
rectangle
v
vx
vz
vy
v, vx, vy et vz sont des distances parcourues en une seconde
comme si la vitesse restait figée
33
1
m vx2 Additionnons membre à membre : sachant la règle
2
df + dg + dh = d(f + g + h)
1
Fy dy = d
m vy2 et sachant que les « un demi » et la masse sont facteurs communs
2
Fx dx = d
Fz dz = d
1
m vz2
2
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d
1
1
m (vx2 + vy2 + vz2) = d
m v2
2
2
34
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d
Travail de la force
Force
Fx
1
1
m (vx2 + vy2 + vz2) = d
m v2
2
2
du grec ’’en ergos’’ (= ’’de mouvement’’)
vint ’’ énergie’’
cas d’une force
constante
Aire = travail
Position x
dx
35
Et si la force n’est pas constante ?
Fx dx + Fy dy +δFW
z dz = d
(de l’anglais
work = travail)
Force
Fx
1
1
m (vx2 + vy2 + vz2) = d
m v2
2
2
du grec ’’en ergos’’ (= ’’de mouvement’’)
vint ’’ énergie’’
cas d’une force
non constante
Aire = travail
Position x
dx
36
Ce théorème est connu comme celui de l’énergie cinétique
δW
(de l’anglais
work = travail)
=d
1
1
m (vx2 + vy2 + vz2) = d
m v2
2
2
du grec ’’en ergos’’ (= ’’de mouvement’’)
vint ’’ énergie’’
1
1
W(
Fx (x –dex0) + FDy (y –ày0) + A
Fz (z –)z0) =
m vA2 –
m vD2
2
2
(départ) (arrivée)
37
La loi de conservation de l’énergie
38
Un classement essentiel des forces
Choisissons un lieu n’importe où dans l’espace … et nommé Ref
(il nous servira de lieu de référence)
W(de D à A) est toujours décomposable en
W(de D à Ref) + W(de Ref à A)
Question :
Le résultat, dépend-t-il
du choix du lieu de
référence ?
Si oui
La force est non conservative
Si non
La force est conservative
W(de M à Ref)
est renommé UM
11
11
2–
2
à
)
W(
de
D
A
2
F
(x
–
x
)
+
F
(y
–
y
)
+
F
(z
–
z
)
=
m
v
W(
Fxx (x –de
+ Fyy+(yW(de
–ày00) Ref
+ Fzzà(zA)–)z00) = 2 m vA – 2 mmv0vD2
W(de
Dxà00)Ref)
2
2
(départ) (arrivée)
UD – UA
1
1
=
m vA 2 –
m vD2
2
2
pour n’importe
quelle force
seulement pour
les forces
conservatives
39
Et si plusieurs forces agissent simultanément ?
On additionne !
Donc on additionne les travaux conservés et les travaux non conservés
Pour l’ensemble des forces
somme des UD – UA + somme des W autres forces (de D à A)) =
1
1
W(
Fx (x –dex0) + Fy (y –ày0) +UFDz–(zU–A)z0) =
m vA2 –
2
2
m
vD2
1
1
m vA2 –
m vD2
2
2
seulement pour
les forces
conservatives
40
Et si le système est composé de plusieurs corps ?
On additionne !
somme des UD – UA + somme des W autres forces (de D à A)) =
1
1
m vA2 –
m vD2
2
2
somme (tous les corps) des UD – UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A)
= somme (tous les corps) des
1
1
m vA2 – somme (tous les corps) des
m vD2
2
2
41
LA LOI DE CONSERVATION DE
L’ENERGIE
42
Et si un corps est composé de plusieurs corpuscules (atomes) ?
Si le corps est au repos
Leur vitesse est vx :
à cause du désordre de leurs mouvements
l’addition de toutes ces vitesses est zéro.
Mais la somme des carrés vx2 de ces vitesses
n’est pas zéro
donc la somme des v2 est non nulle !
La somme de ces énergies cinétiques 1 m v2
2
est la chaleur du corps
Sa vitesse Vx est nulle
Raisonnons
d’abord
Les corpuscules (microscopiques)
? Le
corps sur
(macroscopique) ?
une seule coordonnée,
l’abscisse par exemple
somme (tous les corps) des UD – UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A)
= somme (tous les corps) des
1
1
m vA2 – somme (tous les corps) des
m vD2
2
2
43
Et si un corps est composé de plusieurs corpuscules (atomes) ?
Si un corps est en mouvement
Leur vitesse est vx + Vx
Si on nomme M la masse du corps
2
La somme des carrés (vx + Vx) de ces vitesses
alors la somme des m est M
est Σ vx 2 + Σ Vx 2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle
Sa vitesse Vx est non nulle
La somme de ces énergies cinétiques est
1
1
somme des
m vx2
somme des
m V x2 facteur commun
2
2
1
1
M V x2
m vx2
= somme des
2
2
c’est la chaleur du corps Q
c’est l’énergie cinétique du corps
Les petits (microscopiques) ?
Le gros (macroscopique) ?
+
+
somme (tous les corps) des UD – UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A)
= somme (tous les corps) des
1
1
m vA2 – somme (tous les corps) des
m vD2
Additionnons sur les trois
2
2
coordonnées (abscisse,
ordonnée et cote)
Loi de conservation de l’énergie
44
Et si un corps est composé de plusieurs corpuscules (atomes) ?
Si un corps est en mouvement
La somme de ces énergies cinétiques est
1
m vx2
= somme des
2
c’est la chaleur du corps Q
Les petits (microscopiques) ?
1
M V x2
2
c’est l’énergie cinétique du corps
Le gros (macroscopique) ?
+
somme (tous les corps) des UD – UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A)
= somme (tous les corps) des
1
1
mV
vA2 – somme (tous les corps) des
mVvD2
2
2
+ QA
+ QD
Loi de conservation de l’énergie
45
somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) = somme (tous les corps) des – UD + UA
1
+ somme (tous les corps) des
m VA2 – somme (tous les corps) des 1 m VD2
2
2
+ QA
+ QD
Soustrayons les énergies potentielles
somme (tous les corps) des UD – UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A)
= somme (tous les corps) des
1
1
mV
vA2 – somme (tous les corps) des
mVvD2
2
2
+ QA
+ QD
Loi de conservation de l’énergie
46
somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) = somme (tous les corps) des – UD + UA
1
+ somme (tous les corps) des
m VA2 – somme (tous les corps) des 1 m VD2
2
2
+ QA
+ QD
puis regroupons les énergies cinétiques et potentielles
somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) =
somme (tous les corps) des
1
1
m VD2 + UD + QD
m VA2 + UA + QA –
2
2
Loi de conservation de l’énergie
47
Regroupons à gauche les forces non conservatrices
Le système
physique reçoit
ou perd de
l’énergie sous
forme de travail
des forces non
conservatives
Il en perd ou reçoit sous
forme d’énergie cinétique de
ses parties macroscopiques
Il en perd ou reçoit sous
forme d’énergie
potentielle de ses parties
macroscopiques
Il en perd ou reçoit sous forme de chaleur
somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A)
= somme (tous les corps) des
1
1 mV 2+U +Q
m VA2 + UA + QA –
D
D
D
2
2
48
Regroupons à gauche les forces non conservatrices
La discipline qui se préoccupe de ces échanges est la
thermodynamique
Il en perd ou reçoit sous forme de chaleur
somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A)
= somme (tous les corps) des
Nom donné par les
thermodynamiciens :
énergie interne
1
1 mV 2+U +Q
m VA2 + UA + QA –
D
D
D
2
2
Renommés UA et UD
par les thermodynamiciens
Nous devons alors les renommer ! Ce sera Upot A et Upot D
49
L’ENERGIE OU LES ENERGIES ?
50
L’ancienne unité de quantité de chaleur:
LA CALORIE
Variation de la température de l’eau liquide
Définition du zéro degrés ? C’est la température de l’eau autour de la glace fondante.
Définition du cent degrés ? C’est la température de la vapeur au-dessus de l’eau bouillante
(la pression est fixée à 1 atmosphère, soit 101 325 Pascals).
Définition de l’unité de quantité de chaleur,
la calorie
degrés C
Et si la matière n’est
pas de l’eau ?
masse
calories
Masse
d’eau (g)
1
1
1
C
par définition
θ
1
Cθθ
par hypothèse
θ
m
mmCθθ
par hypothèse
à une époque où on
ignorait la nature de
la chaleur !
C est nommé chaleur massique
51
Joule et les machine électriques
Horloge
Générateur
(pile ou machine électromagnétique)
Moteur
V
A
Mesure de la
tension
électrique U
Mesure de l’intensité
I du courant
Elle monte d’une
hauteur h
Charge
somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) venant de l’électricité
= somme (tous les corps) des
Vitesses initiales et
finales nulles
1
1 mV 2+U +Q
m VA2 + UA + QA –
D
D
D
2
2
Pas d’élévation des
températures
soit m g h
52
Joule et les machine électriques
Horloge
Générateur
(pile ou machine électromagnétique)
Moteur
V
Si je double I alors
je pense que ce
travail va doubler
A
Mesure de la
tension
électrique U
Elle monte d’une
hauteur h
Si je double U alors
je pense que ce
travail va doubler
Charge
Mesure de l’intensité
I du courant
Mais
expérimentalement
il est impossible de
somme (tous les corps) des W autres forces (de
D à A)
venant de l’électricité
régler
séparément
les deux
1
1 mV 2+U +Q
2+U +Q
m
V
–
D
D
D
A
A
A
= somme (tous les corps) des
2
2
Vitesses initiales et
finales nulles
Pas d’élévation des
températures
soit m g h
53
Joule et les machine électriques
Horloge
Générateur
(pile ou machine électromagnétique)
Moteur
V
Mesure de la
Elle monte d’une
tension Par ailleurs, si en
plus jeh
hauteur
Ce n’est pas gênant : si je
électrique U double le temps de
A
double I et U alors je
l’expérience, alors ce travail
m’attend à ce que ce travail
Mesure de l’intensité
va être multiplié par huit !
soit quadruplé
I du courant
Charge
somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) On
venant
a testé
de l’électricité
directement U I t
= somme (tous les corps) des
Vitesses initiales et
finales nulles
1
1 mV 2+U +Q
m VA2 + UA + QA –
D
D
D
2
2
Pas d’élévation des
températures
soit m g h
54
Joule et les machine électriques
Thermomètre
Générateur
(pile ou machine électromagnétique)
Calorimètre
V
A
Mesure de la
tension
électrique U
eau
Mesure de l’intensité
I du courant
Conducteur électrique
somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) On a testé directement U I t
= somme (tous les corps) des
Vitesses initiales et
finales nulles
1
1 mV 2+U +Q
m VA2 + UA + QA –
D
D
D
2
2
Pas d’élévation des
températures
soit m g h
55
L’unité de U avait été
définie en comparant avec
le pouvoir électrique d’un
élément de pile de Volta :
le Volt
Joule et les machine électriques
Elévation de la température
θA – θD
Chaleur prise par
l’eau = m (θA – θD)
Thermomètre
Tambour
Calorimètre
Pour assurer l’égalité, l’unité de I
avait été définitivement adoptée :
l’Ampère
Masse m tombant d’une hauteur h
Jusqu’à ce jour, aucun fait
expérimental nouveau n’est venu
somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A)
contredire cette théorie
Zéro = somme (tous les corps) des
Le poids est une force
conservative
1
1 mV 2+U +Q
m VA2 + UA + QA –
D
D
D
2
2
Avant et après l’essai,
rien ne bouge
Généralisation : tout travail est convertible en chaleur
(premier principe de la thermodynamique)
m (θA – θD)
soit m g h
égal à U I t ?
56
L’IRRÉVERSIBILITÉ
57
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
L’expérience montre que
la chaleur va toujours
spontanément du chaud
vers le froid
Corps froid
Corps chaud
Milieu chaud
Milieu froid
somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A)
= somme (tous les corps) des
En bref,
0 = QA – QD
1
1 mV 2+U +Q
m VA2 + UA + QA –
D
D
D
2
2
Pas de travail
Pas de mouvement
58
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
L’expérience montre que
la chaleur va toujours
spontanément du chaud
vers le froid
Corps chaud
Milieu froid
0 = somme (corps et milieu) des {QA – QD}
0 = {QA, corps – QD, corps} + {QA, milieu – QD, milieu}
Corps froid
Milieu chaud
0 = QA – QD
0 = dQcorps + dQmilieu
0 = dQfroid + dQchaud
59
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
L’expérience montre que
la chaleur va toujours
spontanément du chaud
vers le froid
Corps chaud
Corps froid
Milieu chaud
Milieu froid
Divisons par la température chaude
dQfroid
dQchaud
0=
+
Tchaude
Tchaude
et remplaçons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la température froide,
histoire de rendre la formule physiquement cohérente
0 = dQfroid + dQchaud
En effet, on remplace le diviseur Tchaude
dQfroid
dQchaud
par un autre plus petit, Tfroide , donc le
0<
+
Tfroide
Tchaude
quotient augmente,
donc le signe « égal à » est à remplacer
par un signe « plus petit que »
60
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
L’expérience montre que
la chaleur va toujours
spontanément du chaud
vers le froid
Corps froid
Corps chaud
Milieu chaud
Milieu froid
dQchaud
0 =dQ
dQ
froid
froid + dQ
dS =
+ chaud
Tfroide
Tchaude
dQchaud
0 =dQ
dQ
froid
froid + dQ
0<
+ chaud
Tfroide
Tchaude
Nous avons donc cette loi expérimentale
exprimant l’irréversibilité de l’échange
spontané de chaleur dS > 0.
D’où l’intérêt de nommer cette
grandeur,
ou plutôt de considérer cette formule comme le calcul
de la variation dS d’une grandeur alors inconnue S …
61
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
L’expérience montre que
la chaleur va toujours
spontanément du chaud
vers le froid
Corps chaud
Milieu froid
dQchaud
0 =dQ
dQ
froid
froid + dQ
dS =
+ chaud
Tfroide
Tchaude
Telle fut l’origine du
second principe de la
thermodynamique
Corps froid
Milieu chaud
Nous avons donc cette loi expérimentale
exprimant l’irréversibilité de l’échange
spontané de chaleur dS > 0
que nous devons à Clausius
Vocabulaire :
Si pour une grandeur, pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur
les parties, alors la grandeur est dite extensive. Dans le cas contraire, la grandeur est 62
intensive.
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
L’expérience montre que
la chaleur va toujours
spontanément du chaud
vers le froid
Corps chaud
Milieu froid
dQchaud
0 =dQ
dQ
froid
froid + dQ
dS =
+ chaud
Tfroide
Tchaude
Telle fut l’origine du
second principe de la
thermodynamique
Corps froid
Milieu chaud
dS > 0
Généralisation naturelle : pour
un système de plusieurs corps
n’échangeant pas d’énergie
avec son environnement,
dS = somme (sur tous les composants) des dQ / T > 0
63
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
… l’expérience montre
que la chaleur va toujours
se retourner et aller
spontanément du chaud
vers le froid
Corps froid
Corps chaud
Milieu chaud
Milieu froid
Si un évènement (un feu, un frottement par exemple) a rompu l’uniformité des
températures, la chaleur a été contrainte à se concentrer sur une partie du système …
dS > 0
Quel nom fut donné à S ?
en grec, έυτροπή (entropè) veut dire ’’action de se retourner’’ :
La grandeur S sera
nommée entropie
(Clausius)
dS = somme (sur tous les composants) des dQ / T > 0
64
(second principe de la thermodynamique)
L’IDENTITÉ FONDAMENTALE DE
LA THERMODYNAMIQUE
65
Soit un système physique soumis dont la condition d’existence est caractérisée par un
paramètre x, et considérons un de ces petits sauts.
Tant que x ne varie pas, le système est
comme isolé.
x
Entropie
Son entropie est donc croissante.
saut
Soit un saut de x …
… si soudain et si petit que l’entropie n’a
pas eu le temps de réagir …
Temps
suivie aussitôt de la stabilisation de x :
x
Entropie
alors l’entropie est à nouveau croissante.
saut
Temps
Les physiciens se sont convaincus que l’évolution de la condition d’existence des systèmes se
fait par une succession de très nombreux sauts brusques et petits, en raison de l’agitation
microscopique et désordonnée des particules qui les composent.
Cela est bien illustré par l’expérience du mouvement brownien.
On est amenés alors à comparer, sur une succession d’un grand nombre de sauts, la
variation résultante δx de x et celle δS de l’entropie.
Conclusion : que δx soit positive ou négative, δS est toujours positive.
66
Voyons ce qui se passe si δx est petite (bien qu’elle soit la résultante
d’un grand nombre de petits sauts).
Servons-nous de la formule de la diapositive n° 16 :
δS = S’(x) δx + S’’(x) Δx δx
Factorisons δx :
δS = S’(x) + S’’(x) Δx δx
δf = f ’(x) δx + f ’’(x) Δx δx, avec
Δx et δx de même signe,
et tels que si δx est petit alors Δx est
encore plus petit
Si δx est assez faible, le terme S’’(x) Δx est négligeable devant S’(x)
donc de la formule précédente il reste
δS = S’(x) δx
ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositive
parce que, d’après la formule précédente,
si on inverse le signe de δx, δS devrait devenir négative !
La seule solution est d’admettre que S’(x) est nulle,
donc il nous reste de la formule
δS = S’’(x) Δx δx < S’’(x) δx2
formule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de même signe.
En conséquence, Δx δx est positif et plus petit que le carré de δx, donc
On est amenés alors à comparer, sur une succession d’un grand nombre de sauts, la
variation résultante Δx de x et celle ΔS de l’entropie.
Conclusion : que Δx soit positive ou négative, ΔS est toujours positive.
Voyons ce qui se passe si δx est petite (bien qu’elle soit la résultante
d’un grand nombre de petits sauts).
67
δS / S’’(x)
ou
S(x)
parabole
y = δx2
Courbe représentant δS / δx2
δx
Dans cette zone, S ne
varie pratiquement pas
δS = S’’(x) Δx δx < S’’(x) δx2
un faible changement de x rend donc δS quasi nul.
Soit une grandeur physique quelconque caractérisant l’état d’un système
(exemple : la chaleur qu’il possède et qu’on nomme énergie interne U)
et dépendant d’un certain nombre de grandeurs comme x
et qui varient de δx
alors la variation de U due à celle de x peut être écrite
δU(x) = U’(x) δx (diapositive n° 10)
la variation δU(x) se faisant à entropie constante.
68
Supposons maintenant que U dépende de plusieurs paramètres comme x, les xn ,
on cumule des effets sur U, chaque xn étant associé à son coefficient Xn :
δU = T δS +
Σn X
n
δxn
L’un des plus importants paramètre xn est la
pression que le corps subit à sa surface …
Mais si l’amplitude de δx est trop grande,
alors l’entropie va commencer à varier et à faire sentir les effets de cette variation
et nous devons corriger la formule δU = X δx
d’un nouveau terme inspiré par l’expression de Clausius T δS
δU = T δS + X δx .
δU(x) = U’(x) δx
δU = X δx
Il existe donc un coefficient de proportionnalité U’(x), qu’on va
nommer X, entre le petit δx et la variation correspondante δU(x),
renommée δU :
69
δU = T δS +
Σn X
n
δxn
L’un des plus importants paramètre xn est la
pression que le corps subit à sa surface …
Aires,
volumes,
pression,
travail de la pression
70
Soit une surface de contact d’aire δA entre deux corps.
La force de contact est (diapositive n°10 : δf = f ’(x) δx) exprimée par
δFP ou C = FP’(A) ou FC’ (A) x δA
La pression fut définie comme le coefficient multiplicateur FP’(A) de cette formule.
Le cisaillement fut définie comme le coefficient multiplicateur FC’(A) de cette formule.
δFP ou C = P ou σ (A) x δA
Forceparamètre
exercée par lexcorps
L’un des plus importants
n est la
n° 2 sur le corps n° 1
composante pressante
pression que le corps subit
à sa surface …
FP
F
Plan défini par
Corps n° 1
la force et cette
perpendiculaire
Surface de
contact d’aire δA
composante cisaillante
FC
Corps n° 2 Perpendiculaire à la surface
Note : FP ’(A) ou FC ’(A) sont les longueurs des flèches des vecteurs FP ou FC
71
Histoire de volume …
Glissement de la face supérieure sur elle-même
hauteur = h
Volume = δA h
Le prisme droit est
devenu un
parallélépipède
quelconque
Aire de la base = δA
Ceci est un parallélépipède rectangle
72
Histoire de volume …
hauteur = h
Volume = δA h
Aire de la base = δA
Volume perdu
73
Volume gagné
hauteur = h
Volume = δA h
Aire de la base = δA
Volume perdu
74
Volume gagné
hauteur = h
Volume = δA h
Ils sont
égaux
Aire de la base = δA
Volume perdu
75
hauteur = h
Ce triangle est
rectangle
Volume
= δA
Hh
cos α
Volume
= δA
Ces deux
volumes sont
donc égaux
Aire de la base = δA
angle α
Son cosinus est h / H
hypoténuse = H
76
Travail de la composante pressante
δW = FC h = P δA H cos α = P δV
Composante pressante (diapositive n° 65)
Sa copie
FC = P δA
hauteur = h
Volume = δA H cos α
Aire de la base = δA
angle α
hypoténuse = H = déplacement
de la surface de
contact
77
Travail de la composante pressante
δW = FC h = P δA H cos α = P δV
Composante pressante (diapositive n° 65)
Sa copie
Si le corps 2 compresse le
En Newtons
corps 1,
FC = P δA
l’expérience montre que le
corps 1 devient plus chaud,
donc que son énergie
En Pascals
interne augmente.
Le corps 1 étant comprimé,
Volume = δA H cos α
son volume diminue,
Corps n° 1
d’où un signe moins.
Surface de contact
angle α
Corps n° 2
En m2
La formule (diapositive n° 63) δU = T δS +
δU = T δS – P δV +
Σn X
n
δxn est détaillée ainsi :
Σn autres X
n
δxn
78
Nous avons justifié l’une des formules les plus fondamentales de
la thermodynamique.
δU = T δS – P δV +
Σn autres X
n
δxn
79
LE CORPS ET SON MILIEU
80
Le corps et son milieu
Corps
Milieu
Où sommes-nous, les
usagers de la
thermodynamique ?
ici !
L’énergie interne est la somme des deux énergies internes :
δU = δU corps + δU milieu
δU = T δS – P δV +
Σn autres X
n
δxn
81
Attention ! Cette proposition n’est pas vraie en général !
Parce qu’entre les particules d’un système existent des forces mutuelles dont le travail est
conservé, donc est constamment échangé contre de l’énergie cinétique microscopique.
Dans le cas de deux corps, les forces inter corpusculaires sont de trois espèces :
- entre particules de l’un,
- entre particules de l’autre,
- entre particules de l’un et particules de l’autre.
La formule ci-dessous devrait être complétée ainsi :
δU = δU corps + δU milieu + δUcorps & milieu .
Mais le troisième terme ne concerne en général que la frontière entre le corps et le milieu,
et l’aire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compacte,
si bien que δUcorps & milieu peut être négligé la plus part du temps.
L’énergie interne est la somme des deux énergies internes :
δU = δU corps + δU milieu
Cependant, les particules de la surface frontière jouent un rôle essentiel : ce sont elles qui
sont responsables des échanges énergétiques entre le corps et le milieu par conduction !
Il y a aussi les ondes créées dans un des deux systèmes et excitant les particules de l’autre
(rayonnements).
Mais heureusement, très souvent, les émetteurs de ces ondes sont fort dilués dans la
matière.
82
Le corps et son milieu
Corps
Milieu
Où sommes-nous, les
usagers de la
thermodynamique ?
Moi, l’usager, je me
sers d’une partie de
cette quantité de
chaleur
ici !
L’énergie interne est la somme des deux énergies internes :
δU = δU corps + δU milieu
donc δU = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu
δU = T δS – P δV +
Σn autres X
n
δxn
83
Le corps et son milieu
Corps
Hypothèse : le volume de la réunion du corps et du
milieu est constant : 0 = δVcorps + δVmilieu
Hypothèse : les pressions dans le corps et le milieu
sont les mêmes
Hypothèse : la pression est constante
Milieu
L’énergie interne est la somme des deux énergies internes :
δU = δU corps + δU milieu
donc δU = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu
Définition : la réunion du corps et du milieu est isolée si le bilan de ses échanges d’énergie
interne est nul : 0 = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu donne
T milieu δS milieu = – (δU corps – P milieu δV milieu)
T milieu δS milieu = – (δU corps + P milieu δV corps)
T milieu δS milieu = – (δU corps + P corps δV corps)
T milieu δS milieu = – δ(U corps + P corps V corps)
Définition :
comme έυ·θαλπω veut dire réchauffer
(enthalpè)
H = U + P V est l’enthalpie d’un
système
84
Le corps et son milieu
Corps
Milieu
Où sommes-nous, les
usagers de la
thermodynamique ?
ici !
Moi, l’usager, je me
sers d’une partie de ce
travail
L’énergie interne est la somme des deux énergies internes :
δU = δU corps + δU milieu
donc δU = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu
85
Le corps et son milieu
Corps
Hypothèse : l’entropie de la réunion du corps et du
milieu est maximale, donc ne peut que rester stable :
0 = δS corps + δS milieu
Hypothèse : les températures dans le corps et le
milieu sont les mêmes
Hypothèse : la température est constante
Milieu
L’énergie interne est la somme des deux énergies internes :
δU = δU corps + δU milieu
donc δU = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu
Définition : la réunion du corps et du milieu est isolée si le bilan de ses échanges d’énergie
interne est nul : 0 = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu
0 = δU corps – T milieu δS corps – P milieu δV milieu
Définition : F = U – T S est l’énergie libre du
0 = δU corps – T corps δS corps – P milieu δV milieu
système
0 = δ(U corps – T corps S corps) – P milieu δV milieu
P milieu δV milieu = δ(U corps – T corps S corps)
86
Le corps et son milieu
Corps
Où sommes-nous, les
usagers de la
thermodynamique ?
Question pratique : la loi de croissance de
l’entropie concerne à la fois le corps et le
milieu, c’est-à-dire nous : ce n’est pas
Milieu
simple !
L’énergie interne est la somme des deux énergies internes :
ici !
δU = δU corps + δU milieu
donc δU = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu
Définition : la réunion du corps et du milieu est isolée si le bilan de ses échanges d’énergie
interne est nul : 0 = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu
Existe-t-il une loi analogue que ne met en scène
que les grandeurs du corps seul ?
87
Le corps et son milieu
L’entropie de la réunion du corps et du milieu est la somme des
entropies de chacun : S = S corps + S milieu donc δS = δS corps + δS milieu
Corps
La réunion du corps et du milieu étant isolée, son entropie
ne peut que croître donc
Milieu
L’énergie interne est la somme des deux énergies internes :
δU = δU corps + δU milieu
donc δU = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu
Définition : la réunion du corps et du milieu est isolée si le bilan de ses échanges d’énergie
interne est nul : 0 = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu (δS – δS corps) – P milieu δV milieu
0 = δU corps + T milieu δS – T milieu δS corps – P milieu δV milieu
– T milieu δS = δU corps – T milieu δS corps – P milieu δV milieu
δU corps – T milieu δS corps – P milieu δV milieu est négatif
88
Le corps et son milieu
Hypothèse : les températures dans le corps et le
milieu sont les mêmes
Hypothèse : les pressions dans le corps et le milieu
sont les mêmes
Corps
Milieu
Hypothèse : le volume de la réunion du corps et du
milieu est constant :
Hypothèse : la température et la pression sont
constantes
Cette soustraction Cette addition
justifie le mot
justifie le mot
« libre »
« enthalpie »
Définition : G = U – T S + P V
est l’enthalpie libre du système
δ(U corps – T corps δS corps + P corps δV corps) est négatif
δ(U corps – T corps δS corps – P corps δV milieu) est négatif
δ(U corps – T corps δS corps – P milieu δV milieu) est négatif
δ(U corps – T milieu δS corps – P milieu δV milieu) est négatif
89
Rendement optimal d’un moteur
90
Rendement optimal d’un moteur
dUc = Tc dSc – Pc dVc
Système chaud
Machine
système froid
Usage
dU = dW
C’est le travail que l’usager attend de la
machine
dUm = Tm dSm – Pm dVm
nulle car la machine ne fait
que transmettre l’énergie
qu’elle reçoit
Ensemble isolé dU + dUc + dUf + dUm= 0
dUf = Tf dSf – Pf dVf
Second principe : dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif
Du problème il reste : dW + Tc dSc – Pc dVc + Tf dSf – Pf dVf = 0
dSc + dSf est positif
91
Rendement optimal
Travail maximal : toute l’énergie
chaude est convertie en travail
dWmax + Tc dSc – Pc dVc = 0
Cycle de Carnot : après un cycle le travail final et nul
dW + Tc dSc + Tf dSf = 0
dWmax + Tc dSc = 0
dU = dW
dWmax = – Tc dSc (positif)
dUc = Tc dSc – Pc dVc
Système chaud
Machine
Usage
système froid
Ensemble isolé
dUf = Tf dSf – Pf dVf
Introduction de l’entropie du tout
dW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0
Suppression de l’entropie du tout
dW + Tc dSc – Tf dSc < 0
dW < – (Tc – Tf) dSc
On peut diviser les deux membres
par Wmax ou – Tc dSc qui sont positifs
dW
Tc – Tf
<
dW–max
T
Du problème il reste : dW + Tc dS
P
c
c dVc +c Tf dSf – Pf dVf = 0
dStout = dSc + dSf est positif
92
Il existe donc une ’’cause’’ mystérieuse qui gouverne le sens des
échanges d’énergie entre systèmes et qu’on nomme entropie …
… mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause
aux composants de la matière et à leur comportement
mécanique !
Un sujet d’étude va nous donner la clé :
LES GAZ PARFAITS
93
Conséquence logique : dès qu’une
molécule sort du cube, une autre y
entre presque au même endroit
Ceci est un cube mentalement
découpé dans un gaz …
… et cela est une pièce
de la surface de
contact entre le gaz et
la paroi de son
contenant
Opinion commune à tous les physiciens du
XIXe siècle :
Dans ce cube existent des milliards de molécules
du gaz séparées les unes des autres par du vide.
Mais l’opinion suivante n’était soutenue que par les
Britanniques (Dewar, Graham, Brown, etc)
Le mouvement des molécules est complètement
désordonné
Conséquence logique : la pression d’un gaz sur la paroi du
ballon qui le contient est due aux milliards de chocs
élastiques des molécules
94
Conséquence logique : statistiquement, la moitié des molécules de ce cube se dirigent vers la
paroi.
Soit dt une durée. En moyenne, une molécule parcoure la distance Vx dt pendant cette
durée.
Si donc la longueur de l’arête du cube est justement Vx dt, la moitié de toutes les molécules
du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes.
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube,
alors c’est la masse M / 2 qui va rebondir sur la
paroi.
Avant les chocs, la quantité de mouvement des
molécules est – M Vx / 2 .
– Vx
+ Vx
abscisse
Après les chocs, elle devient + M Vx / 2 . Différence = 2 fois M Vx / 2 = M Vx.
Divisée par le temps dt, cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droite
Divisée par l’aire de la face de contact du cube sur la paroi
F pression = M Vx / dt .
cela donne la pression de cette paroi sur la gaz
P x (arête)2 = M Vx / dt ,
Mais la masse se calcule à partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arête)3
donc P x (arête)2 = μ (arête)3 Vx / dt , soit, après simplification P = μ x arête x Vx / dt ,
donc, par substitution de l’arête P = μ Vx dt Vx / dt ,
95
P = μ Vx2.
Conséquence logique : statistiquement, la moitié des molécules de ce cube se dirigent vers la
paroi.
Soit dt une durée. En moyenne, une molécule parcoure la distance Vx dt pendant cette
durée.
Si donc la longueur de l’arête du cube est justement Vx dt, la moitié de toutes les molécules
du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes.
Si M est la masse du gaz contenu dans le cube,
Note : La fluctuation moyennealors
de l’abscisse
de la M
quantité
c’est la masse
/ 2 quide
va rebondir sur la
mouvement est donc M Vx / Nparoi.
où N est le nombre des molécules du
gaz.
Avant les chocs, la quantité de mouvement des
molécules
est donc
–M
Vx / 2 . dans
Mais M / N est la masse m d’une
molécule,
l’intervalle
lequel
l’abscisse
laabscisse
quantité de mouvement d’une molécule
– Vfluctue
+ Vde
x
x
est m Vx.
Après les chocs, elle devient + M Vx / 2 . Différence = 2 fois M Vx / 2 = M Vx.
Divisée par le temps dt, cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droite
Divisée par l’aire de la face de contact du cube sur la paroi
F pression = M Vx / dt .
cela donne la pression de cette paroi sur la gaz
P x (arête)2 = M Vx / dt ,
Mais la masse se calcule à partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arête)3
donc P x (arête)2 = μ (arête)3 Vx / dt , soit, après simplification P = μ x arête x Vx / dt ,
donc, par substitution de l’arête P = μ Vx dt Vx / dt ,
96
P = μ Vx2.
Le désordre moléculaire étant total, la moyenne des vitesse le long d’un axe est la même
quelque soit cet axe : Vx2 = Vy2 = Vz2 = V 2 . Or on démontre que V 2 = Vx2 + Vy2 + Vz2
donc
Vx2 = V 2 / 3 donc
P x volume = M V 2 / 3
et une algèbre permet le calcul de la vitesse :
P x volume = M Vx2
P x volume
M
P x volume
M
– Vx
+ Vx
= Vx2
= Vx
abscisse
Multiplions par le volume : P volume = μ x volume Vx2 / 3
mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse
Conséquence pratique et théorique : on peut expérimentalement mesurer la vitesse
moyenne des molécules !
Un manomètre donne P,
P x volume = M Vx2
on peut mesurer ou calculer le volume,
on peut peser le gaz,
P = μ Vx2.
97
L’EXPÉRIMENTATION
98
P x volume = M V 2 / 3
Remarque 1 : la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante …
… à condition de ne pas changer la masse enfermée ni la vitesse des molécules.
Expérimentation
Le matériel
Vanne fermée
ouverte
Thermomètre
Etalonnage :
Définition du zéro degrés ? C’est la température de l’eau autour de la glace fondante.
Définition du cent degrés ? C’est la température de la vapeur au-dessus de l’eau bouillante.
99
Mesure de la pression atmosphérique
Expérience témoin
Vanne ouverte
Thermomètre
Air extérieur : il pousse le piston vers la gauche
Air intérieur : il pousse le piston vers la droite
Le piston étant immobile, ces deux poussées sont égales
Mais celle-ci est égale à P S
où S est l’aire de la face du piston
Donc cette poussée là
est aussi égale à P S
100
Mesure de la pression atmosphérique
Vanne ouverte
101
Mesure de la pression atmosphérique
Vide : rien ne pousse le piston vers la droite
Vanne fermée
Force de traction F
(mesurée avec un dynamomètre)
Air extérieur : il pousse le piston vers la gauche
avec une force égale à P A où A est l’aire du
piston : A = π R2 où R est le rayon de sa face
interne.
L’immobilisation du piston montre que les deux forces sont opposées
F = P π R2 donne P = F
Résultats : P = environ 100 000 Pascals
π R2
102
Mesure de la pression atmosphérique
Expériences et mesures
Force extérieure : elle
pousse ou tire le piston
(signe +) (signe –)
Vanne fermée
Thermomètre
Air extérieur : il pousse le piston vers la gauche
Gaz intérieur : il pousse le piston vers la droite
Quantité = n moles
P gaz S
– P air S
Bilan : P gaz S – P air S = + ou – F
103
Résultats fondamentaux (Gay-Lussac, Boyle, Charles)
Abscisse
ordonnée
T max
(P V) max
T
PV
(P V) max
PV
Zéro
θ (degrés centigrades)
Zone expérimentalement accessible
Extrapolation
Découverte du
’’zéro absolu’’
établi à – 273,15 °C
Exploitation des
mesures
en hiver
θmin
en été
θmax
T max
Définition de la température absolue T
T = θ + 273,15
(P V) max
nommé R
Règle des produits croisés :
PV=
T
(constante des gaz parfaits)
T max
104
Résultats fondamentaux (Gay-Lussac, Boyle, Charles)
PV
Zéro
Kelvins
273,15
Zéro
Kelvins
θT (degrés
(Kelvins)
centigrades)
Soit Av le nombre d’Avogadro (défini comme le nombre d’unités dans une mole)
Nombre de molécules
R
P V = n R T = n Av
T
Av
(P V) max
PV=
T
T max
Constante de
Boltzmann kB
nommé R
(constante des gaz parfaits)
105
L’entropie et le désordre corpusculaire
106
L’entropie et le désordre corpusculaire
double d’une énergie cinétique
Diapositive n° 88 :
P x volume = M V 2 / 3 = N m V 2 / 3
= N 2 Ec / 3
masse du gaz = N m
masse d’une molécule
nombre de moles
Nombre
d’Avogadro
(diapositive n° 88)
V 2 = Vx2 + Vy2 + Vz2 = 3 Vx2
et = 1 m V 2 = 3 m Vx2
donc
2
2
kB T = m Vx2
Énergie cinétique d’une molécule = 3 kB T
2
Nombre de molécules = N
2 Ec / 3 = N kB T
donne Ec = 3 N kB T / 2
R
P V = n R T = n Av
T
Av
Constante de
Boltzmann kB
107
L’entropie et le désordre corpusculaire
somme des énergies cinétiques moléculaires
= chaleur Q
Q = N 3 kB T
2
= N 2 Ec / 3
Q = 3 N m Vx2
2
Variation dQ = 3 N m d(Vx2)
2
= 3 N m Vx dVx
kB T = m Vx2
Énergie cinétique d’une molécule = 3 kB T
2
D’après Clausius (diapositive n° 56) dS est définie selon
3 N m Vx dVx
dQ
dQ
kB
= kB
=
T
kB T
m Vx2
dQ
= 3 N kB d ln (m Vx)
T
= 3 N kB
dVx
d(m Vx)
= 3 N kB
m Vx
Vx
R
P V = n R T = n Av
T
Av
Constante de
Boltzmann kB
108
L’entropie et le désordre corpusculaire
Or, m Vx est la longueur de l’intervalle de variation continuelle d’une coordonnée (ici
l’abscisse) de la quantité de mouvement m vx (diapositive n° 88).
ΔΩp = (m Vx) 3 N
qui nous donne une entropie égale à S = kB ln ΔΩp .
Cette formule n’est pas complète. Considérons cette expérience de Gibbs
Gaz
Gaz
Vide
Cloison
amovible
Avant
dQ
dS = 3 N kB d ln (m Vx)
T
Cette cloison est
brusquement ôtée
Après
= kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]
109
L’entropie et le désordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
ΔΩp = (m Vx) 3 N
S = kB ln ΔΩp .
Cette formule n’est pas complète. Considérons cette expérience de Gibbs
Gaz
Vide
Gaz
Cloison
amovible
Avant
Après
Elle manifeste une nouvelle espèce d’irréversibilité, donc une nouvelle espèce d’entropie
où Δ(m Vx) est remplacé par l’intervalle Δx de fluctuation de la coordonnée de la molécule
110
L’entropie et le désordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N
Récapitulons
Nommons Δpx, Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonnées de la quantité
de mouvement corpusculaire
Nommons Δx, Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonnées des corpuscules
ΔΩp =
Π
Δpx Δpy Δpz
ΔΩx =
particules
Π
Δx Δy Δz
particules
Alors l’entropie du système est définie par
S = kB ln
Π
Δpx Δpy Δpz Δx Δy Δz = kB ln ΔΩ
particules
111
Mise à jour du 08 juin 2014
ENTROPIE ET ÉQUILIBRE DES
TEMPÉRATURES
112
ÉQUILIBRE DES TEMPÉRATURES
L’expérience montre que
la chaleur va toujours
spontanément du chaud
vers le froid
(Voir diapositive n°52)
Corps froid
Corps chaud
Milieu chaud
Milieu froid
… et nous en avons déduit la loi de croissance de l’entropie.
Objectif : partir de la loi de croissance de l’entropie dSc + dSf > 0,
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid.
Moyens : - Définir la variation de l’entropie par dS = dQ / T (diapositive n° 56),
- supposer l’énergie interne additive (diapositive n° 75) dUc + dUf = dUtout,
- supposer la réunion des deux systèmes isolée dUtout = 0,
- supposer l’absence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls),
et de toute autre cause de variation de l’énergie interne (les autres Xn dxn sont
nuls) …
… et bien entendu se servir de l’identité fondamentale de la thermodynamique
δU = T δS +
Σn X
n
δxn
113
IRRÉVERSIBILITÉ ET ÉCART DE TEMPÉRATURE
… et bien entendu se servir de l’identité fondamentale de la thermodynamique
dU =T dS +
Σn X
n
dxn
Corps chaud
(Voir diapositive n°52)
Corps froid
Milieu chaud
Milieu froid
Objectif : partir de la loi de croissance de l’entropie dSc + dSf > 0,
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid.
Moyens : - Définir la variation de l’entropie par dS = dQ / T (diapositive n° 56),
- supposer la réunion des deux systèmes isolée dUtout = 0,
- supposer l’énergie interne additive (diapositive n° 75) dUc + dUf = dUtout,
- supposer l’absence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls),
et de toute autre cause de variation de l’énergie interne (les autres Xn dxn sont
nuls) …
dUc = Tc dSc
Tc dSc + Tf dSf = 0
dUf = Tf dSf
114
Irréversibilité et écart de température
Corps chaud
Corps froid
Milieu chaud
Milieu froid
Objectif : qui est atteint.
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid.
Étant donnée que l’entropie est extensive (additive, voir diapositive n° 56)
Tc dSc + Tf dStout – Tf dSc = 0
Tc dSc + Tf (dStout – dSc) = 0
(Tc – Tf) dSc + Tf dStout = 0
(Tc – Tf) dSc = – Tf dStout
Étant donnée la loi de croissance de l’entropie, Tf dStout est positif, donc
(Tc – Tf) dSc est négatif. Comme Tc > Tf , on a dSc < 0, donc dQc = Tc dSc est négatif ,
Tc dSc + Tf dSf = 0
donc dQf = Tf dSf est positif . 115
Équilibre des températures
Corps froid
Corps chaud
Milieu froid
Milieu chaud
Objectif : qui est atteint.
et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid.
De plus, en cas d’équilibre thermodynamique, défini par dStout = 0,
cette formule (Tc – Tf) dSc + Tf dStout = 0
montre qu’il n’est possible que si les températures sont égales.
116
La thermodynamique
et
Denis Chadebec
remercient Madame et Monsieur
Toutlemonde
pour leur aimable et infatigable
coopération
117