Matematyczne techniki zarządzania - 151 NIEKTÓRE ZASTOSOWANIA EKONOMETRII A. PROGNOZOWANIE Przedmiot „Prognozowanie i symulacja” w następnym semestrze Cel: przewidzenie przyszłości na podstawie modelu ekonometrycznego Makroekonomia:
Download ReportTranscript Matematyczne techniki zarządzania - 151 NIEKTÓRE ZASTOSOWANIA EKONOMETRII A. PROGNOZOWANIE Przedmiot „Prognozowanie i symulacja” w następnym semestrze Cel: przewidzenie przyszłości na podstawie modelu ekonometrycznego Makroekonomia:
Matematyczne techniki zarządzania - 151 NIEKTÓRE ZASTOSOWANIA EKONOMETRII A. PROGNOZOWANIE Przedmiot „Prognozowanie i symulacja” w następnym semestrze Cel: przewidzenie przyszłości na podstawie modelu ekonometrycznego Makroekonomia: prognozują rządy, organizacje międzynarodowe: zjawiska demograficzne, zasoby surowców, rozwój gospodarki, ekologia Mikroekonomia: prognozują duże firmy w ramach zarządzania strategicznego: ceny surowców i produktów, koszty, rozwój techniki, popyt, zachowanie się konkurencji Prognostyka (predykcja, forecasting) opiera się zwykle na założeniu, że obserwowane tendencje rozwojowe nie zmienią zasadniczo swego kierunku i nasilenia (często zawodne!) MIEJSCE PROGNOZ W ZARZĄDZANIU C zynno ść S terow anie procesam i K ierow anie produkcją Z arz ądzanie firm ą U spra w nianie firm y P ro g n o zo w an ie Z łe zarząd zan ie In żyn ier (tech n ik) K iero w n ik d ziału D yrekcja (zarz ąd ) ? ? D o b re zarz ąd zan ie R o b o tn ik T ech n ik In żyn ier-m en ed żer D yrekcja (zarz ąd ) D yrekcja (zarz ąd ) Ze względu na horyzont czasowy prognozy dzieli się na: krótko-, średnio- i długoterminowe oraz perspektywiczne Matematyczne techniki zarządzania - 152 Przykład 36. W ekonomice poszukiwań naftowych ogólnie znana jest funkcja poszukiwań* AM t Z t U (1 e ) Zt — efekt poszukiwań: ilość dotychczas odkrytych zasobów ropy i gazu (do roku t) Mt — nakłady na poszukiwania: ilość dotychczas odwierconych metrów (do roku t) U Zt ( m ln tpu ) 400 PL Prognoza Z CO DAJE TA FUNKCJA: • ZASOBY CAŁKOWITE U • ILOŚĆ ODKRYĆ Z PO WYKONANIU M WIERCEŃ • E= Z/ M 200 • TEMPO SPADKU EFEKTYWNOŚCI A 40 lat historii M 0 5 10 15 Mt ( m ln m ) *Z. Łucki: Ocena inwestycji i podejmowanie decyzji w górnictwie naftowym i gazownictwie. Kraków 1995. Matematyczne techniki zarządzania - 153 Techniki prognozowania • ekstrapolacja: wyznaczanie wartości funkcji na zewnątrz przedziału, w którym funkcja jest znana • interpolacja: wyznaczanie w pewnym przedziale funkcji, która przyjmuje z góry dane wartości dla danych liczb z tego przedziału Prognozowanie przy użyciu modeli tendencji rozwojowej • potrzebny model „historii” danego zjawiska • wstawiamy t* do modelu i otrzymujemy y* oraz przedział ufności (na podstawie błędu prognozy sp) • prognozy ekstrapolacyjne rzadko zdają egzamin, gdyż historię można opisać wieloma funkcjami, z których każda daje inną prognozę ? RODZINA FUNKCJI y Co robią specjaliści: t • szukają teorii ekonomicznych i związków przyczynowo-skutkowych APROKSYMACYJNYCH ? • badają stabilność procesów • budują kilka scenariuszy: niski, średni i wysoki • poddają się: otoczenie jest zmienne i znaczenie prognoz maleje ? HISTORIA PROGNOZA t Matematyczne techniki zarządzania - 154 Prognozowanie przy użyciu modeli przyczynowo-skutkowych • zakłada się określone wartości poszczególnych zmiennych objaśniających xi* • wartości te wstawia się do równania regresji i otrzymuje prognozę punktową yi* • oblicza się błąd prognozy sp (wzory w książkach) i wyznacza prognozę przedziałową — patrz krzywe Neymana na planszy 106 P ( y i z / 2 s p y i y i z / 2 s p ) 1 • przy ekstrapolacji poza zakres zaobserwowanych wartości xi należy zachować ostrożność • proces musi być stabilny, a próbka bardzo duża (n>100) • przykład prognozowania na modelu zależności średniej ze studiów od wieku studenta, czasu poświęcanego na naukę itd. B. ZARZĄDZANIE PRZEDSIĘBIORSTWEM I. Zarządzanie finansami II. Zarządzanie produkcją III. Marketing IV. Zarządzanie kadrami NIE ZOSTAŃ, PROSZĘ, WTÓRNYM ANALFABETĄ! Matematyczne techniki zarządzania - 155 I. Zarządzanie finansami Stosuje się wiele modeli (np. w rachunkowości zarządczej), takich jak modele kosztów produkcji (patrz przykład 33, plansza 143) , w których: • zmienne objaśniane: koszty całkowite, koszty jednostkowe produkcji • zmienne objaśniające: — czynniki obiektywne: wielkość produkcji, poziom techniki i technologii, organizacja pracy, warunki naturalne — czynniki subiektywne: płace, szkolenie, motywacja — czynniki losowe: awarie, klęski żywiołowe II. Zarządzanie produkcją Funkcja produkcji — patrz przykład 34, plansze 144-146 Modele indywidualnej wydajności pracy x7 — stan zdrowia x14 — przeszkolenie x1 — kwalifikacje x8 — płeć pracownika x15 — numer zmiany roboczej x2 — rodzaj wykonywanej pracy x9 — wykorzystanie urlopu x3 — wynagrodzenie x10 — stan cywilny x16 — wielkość partii produkcyjnej x4 — system płac x11 — wielkość rodziny x5 — wiek robotnika x12 — ilość posiadanego pola x6 — staż robotnika x13 — czas dojazdu do pracy y — wydajność robotników x17 — sytuacja firmy x18 — atmosfera w firmie x19 — status własnościowy firmy Matematyczne techniki zarządzania - 156 Modele zespołowej wydajności pracy y — wydajność zespołów (brygad, sklepów, fabryk, firm w koncernie itd.) x5 — organizacja pracy x6 — dyscyplina pracy x1 — długość serii produkcyjnej (efekt skali) x7 — warunki BHP x2 — stopień automatyzacji pracy x8 — przeszkolenie x3 — system motywacyjny x9 — system zarządzania x4 — warunki naturalne x10 — konkurencja Modele norm pracy lub zużycia materiałów y — czas realizacji partii produkcyjnej na danej maszynie (tokarka, prasa itd.) norma y rzeczywistość x — wielkość partii produkcyjnej (liczba wykonanych elementów (np. odkuwek) Otrzymaliśmy zadanie sprawdzenia normy A B poprzez obserwację rzeczywistości Wniosek: norma jest niesprawiedliwa — zbyt napięta w obszarze A, a zbyt luźna w obszarze B x III. Marketing Metody statystyczne (analiza wariancji, analiza regresji) umożliwiają sprawdzanie wszelkich przypuszczeń (hipotez) odnośnie efektywności różnych sposobów promocji, sprzedaży, reklamy i innych decyzji (w tym „4P”) z zakresu marketingu — patrz wcześniejsze przykłady. Matematyczne techniki zarządzania - 157 Szczególnie poleca się konieczność weryfikacji hipotez o istotności wpływu czynników niemierzalnych i mierzalnych: wynik z próbki nie powinien być podstawą decyzji! IV. Zarządzanie kadrami Wszelkie decyzje i oceny powinny być oparte na dowodach statystycznych — patrz przykłady 28 (plansza 89) i 30 (plansza 95) oraz modele wydajności pracy na planszach 155-156 Zarządzanie małymi i średnimi przedsiębiorstwami (MSP) Sektor MSP (SME — Small and Medium Enterprises) to motor napędowy gospodarki wolnorynkowej Zakres zastosowania metod statystycznych do badania MSP można zobaczyć w czasopismach Journal of Small Business Management (USA) oraz Journal of Small Business & Enterprise Development (UK); oba dostępne w Bibliotece Głównej AGH JĘZYKI OBCE — Państwa przyszłość, są możliwości: ERASMUS, stypendia indywidualne, wykłady po angielsku na Wydziale KONIEC PRZEDMIOTU „Matematyczne techniki zarządzania — statystyka i ekonometria” Matematyczne techniki zarządzania - 158 APEL EGZAMINACYJNY Wszystkim dziękuję za cały semestr współpracy! Paniom specjalne podziękowanie! Egzamin jest ustny — potrzebne są inne kwalifikacje! Pytania dostępne na dyskietce: 30 ze statystyki i 30 z ekonometrii ŻYCZĘ Terminy 24 i 25 stycznia 2000 r.; proszę przychodzić na POŁAwyznaczoną godzinę Podstawowe umiejętności: MANIA NÓG! • korzystanie z tablic statystycznych: Poissona, z, t, 2, F, , R • interpretacja wydruków: analiza wariancji, analiza regresji i korelacji, krzywe Neymana PROSZĘ, BĄDŹCIE DOROŚLI: • przede wszystkim to ma być normalna rozmowa dwojga ludzi • sprawy specjalne proszę załatwiać wcześniej (a nie po fakcie) DO ZOBACZENIA W NASTĘPNYM SEMESTRZE! • nie ma egzaminu komisyjnego dla osób, które nie miały ochoty lub czasu przystąpić do normalnego egzaminu Jak zdać egzamin, Universitas, Kraków 1998. Matematyczne techniki zarządzania - 159 MTZ — BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne (ang. Operation Research) — wyznaczanie optymalnych rozwiązań różnorodnych problemów, głównie technicznych, organizacyjnych, ekonomicznych, wojskowych, za pomocą zespołu metod matematyczno-statystycznych Badania operacyjne (BO) — nauka o podejmowaniu decyzji Cel badań operacyjnych — doskonalenie przyszłości przez poprawę podejmowanych decyzji (ang. Decision Making) na podstawie znajomości rzeczywistości Dwa podejścia do przedmiotu (patrz Vademecum studentów WZ): • teoretyczne: prof. Tadeusz Sawik, Badania operacyjne dla inżynierów zarządzania, Wyd. AGH, Kraków 1998 • praktyczne: zespół Katedry Zarządzania Przedsiębiorstwem Charakterystyka podejścia praktycznego • znajomość obszarów zastosowania BO w całym przedsiębiorstwie różnego typu i przeznaczenia • umiejętność sformułowania problemu decyzyjnego i zebrania danych dla jego rozwiązania • umiejętność korzystania z profesjonalnych programów komputerowych i interpretacji otrzymanych wydruków Matematyczne techniki zarządzania - 160 Rodzaje decyzji podejmowanych przez menedżerów • niewykonalne (niedopuszczalne) • wykonalne (dopuszczalne): — optymalne — nieoptymalne Kryterium optymalności: decyzja optymalna decyzje niedopuszczalne zbiór wszystkich decyzji • maksymalizacja efektu (finansowego, zwykle zysku), np. jak najdalej zajechać na kuli ziemskiej za posiadaną kwotę • minimalizacja nakładów (zwykle kosztów), np. zajechać jak najtaniej do Indii Narzędzia matematyczne używane w BO decyzje dopuszczalne rozwiązanie modelu; liczby do ustalenia Narzędziem tym są modele optymalizacyjne (decyzyjne) składające się z wielu równań i nierówności; typowy model ma dwie części: • funkcję celu (funkcję kryterium), która opisuje przyjęte kryterium decyzyjne (kryterium optymalności) • warunki ograniczające, które opisują sytuację i możliwości przedsiębiorstwa na podstawie badań statystycznych Decyzja wskazana przez model to zbiór zmiennych decyzyjnych X=[xi] Matematyczne techniki zarządzania - 161 Rodzaje modeli decyzyjnych (w zależności od sytuacji decydenta) • deterministyczne • probabilistyczne • statystyczne stochastyczne • strategiczne Historia rozwoju badań operacyjnych • II Wojna Światowa; pierwsze koncepcje i zastosowania do przygotowywania operacji wojskowych i dowodzenia nimi • przejście BO do „cywila” (do dużych koncernów), przy braku możliwości powszechnego zastosowania ze względów sprzętowych i programowych • rozpowszechnienie BO w miarę komputeryzacji przedsiębiorstw: — dostępność profesjonalnych programów optymalizacyjnych: Statgraphics, QSB+ (Quality System for Business) etc., które stworzyły BAZY PROGRAMÓW — dostępność profesjonalnych BAZ DANYCH — tworzenie systemów wspomagania decyzji SWD (DSS — Decision Support System) i komputerowych systemów zarządzania — rozwój metod analizy wrażliwości (czułości), tj. programowania parametrycznego — BO zeszły „pod strzechy” Matematyczne techniki zarządzania - 162 Dziesięć zastosowań BO w przedsiębiorstwie produkcyjnym PRACE ROZWOJOWE INWESTYCJE TRANSPORT MAGAZYN TRANSPORT SUROWCÓW PRODUKCJA TRANSPORT MAGAZYN TRANSPORT WYROBÓW ZAOPATRZENIE — JIT NAPRAWY BIEŻĄCE ALOKACJA KAPITAŁU ALOKACJA ŚRODKÓW PRODUKCJI PROBLEM MIESZANKI (DIETY) ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE ZARZĄDZANIE ZAPASAMI ZBYT REMONTY ZAGADNIENIE WYMIANY PLANOWANIE PRZEDS. NIEPR. TEORIA KOLEJEK (M. OBSŁUGI) TEORIA DECYZJI, TEORIA GIER SYMULACJA KOMPUTEROWA Matematyczne techniki zarządzania - 163 Omówienie kolejnych zagadnień: • cel problemu (co jest zmienną decyzyjną) • dane potrzebne do wyznaczenia optymalnej decyzji • metody rozwiązywania problemu Ważniejszy jest menedżerski (ekonomiczny) • wyniki dostarczane przez komputer • interpretacja wyników (bez analizy czułości) ALOKACJA KAPITAŁU W BO obowiązuje podwójny język — matematyczny i menedżerski Cel problemu alokacji (rozdziału, rozmieszczenia) kapitału • optymalny rozdział posiadanej kwoty K pomiędzy n obiektów • kryterium optymalizacji: maksymalizacja zysku z kwoty K • zmienną decyzyjną xi jest kwota przyznana i-temu obiektowi • problem jest zdeterminowany, nie uwzględniamy ryzyka Dane potrzebne do rozwiązania problemu • wielkość kwoty K (ograniczenie) • liczba obiektów n starających się środki inwestycyjne • funkcje rentowności poszczególnych obiektów n xi K i 1 f ( xi ) gi ( xi ) Matematyczne techniki zarządzania - 164 Funkcja f(xi) to zysk uzyskany w i-tym obiekcie z przyznanej mu kwoty xi; funkcja ta może być dana w postaci równania lub tabeli Przykład 37. Przedsiębiorstwo ma do dyspozycji na inwestycje kwotę 3 mln zł, a rentowność 3 kandydujących obiektów: K w o ta p rzyd zie lo n a x i 0 1 2 3 1 0 ,0 1 ,0 1 ,5 2 ,0 Z ys k f(x i ) u zys k a n y w o b ie k c ie 2 0 ,0 0 ,5 1 ,0 3 ,0 3 0 ,0 2 ,0 2 ,5 2 ,6 Zwróć uwagę, że obiekt 1 ma funkcję liniową, obiekt 2 — funkcję o coraz silniejszym wzroście, a obiekt 3 — funkcję o malejącym tempie wzrostu Metody rozwiązywania • przykładowe rozwiązania dopuszczalne: — wszystkie pieniądze dla 2. obiektu: x1=0, x2=3, x3=0; wartość funkcji celu: 0+3,0+0 = 3,0 mln zł — każdy obiekt po 1 mln: x1=x2=x3=1; wartość funkcji celu = 1,0+0,5+2,0=3,5 mln zł • rozwiązanie optymalne: programowanie dynamiczne, programowanie nieliniowe (Ekonometria, pr. zb. pod red. M. Krzysztofiaka) Matematyczne techniki zarządzania - 165 Wyniki • macierz X = [xi]; jaką kwotę przydzielić i-temu obiektowi • F(X)=Z(X)=max; maksymalna wartość funkcji celu = największy zysk możliwy do uzyskania w danych warunkach Interpretacja: optymalny plan inwestycyjny ALOKACJA ŚRODKÓW PRODUKCJI Środki produkcji: surowce i materiały, maszyny i urządzenia, oraz siła robocza Cel problemu alokacji (rozdziału, rozmieszczenia) środków produkcji • optymalny rozdział surowców, zdolności produkcyjnej maszyn oraz dysponowanego czasu pracy ludzi pomiędzy poszczególne wyroby (produkty), jakie może produkować firma • kryterium optymalizacji: maksymalizacja zysku • zmienną decyzyjną xj jest wielkość produkcji j-tego wyrobu • ograniczeniami są ilości posiadanych środków produkcji oraz technologia produkcji stosowana w firmie AB CX Matematyczne techniki zarządzania - 166 Dane potrzebne do rozwiązania problemu • technologia produkcji [aij] = A; ilość i-tego środka produkcji potrzebna do wyprodukowania jednostki j-tego wyrobu • ilość posiadanych środków produkcji [bi] = B • zysk jednostkowy [cj] = C; zysk ze sprzedaży jednostki j-tego wyrobu cj = cena — koszt jednostkowy produkcji Metody rozwiązywania Programowanie liniowe: • metoda graficzna (geometryczna): przy dwu wyrobach • metoda SIMPLEX dla dowolnej liczby zmiennych Wyniki • X = [xj]; wielkość produkcji poszczególnych wyrobów • F(X)=Z(X)=max; maksymalna wartość funkcji celu = największy zysk możliwy do uzyskania w danych warunkach • analiza wrażliwości (wyniki programowania parametrycznego) Interpretacja: optymalny plan produkcji • ile i czego • ile i kiedy • ile i z czego • ile i jak Matematyczne techniki zarządzania - 167 PROBLEM STOLARZA Przykład 38. Stolarz produkuje dwa wyroby — stoły i szafy — z dwu materiałów — desek i płyt. Ustal optymalny plan produkcji dający największy możliwy zysk. Tabelka decyzyjna (technologiczna) P1 ST O Ł Y 1 2 2 x1 S 1 D E S KI S 2 PŁ YT Y c j Z Y S K JE D N O ST K O W Y Z M IE N N A D E C Y ZY JN A A = [aij] B = [bi] C = [cj] P2 S Z AF Y 2 4 5 x2 bi O G R AN IC Z E N IA 30 100 M AX 1 A 2 30 B 100 2 4 Strategie krańcowe: • zaleta: niskie zużycie materiałów C 2 5 2. Produkować same szafy 1. Produkować same stoły • wada: niska rentowność • zaleta: wysoka rentowność X = [xj] X ? ? ŻÓŁTA KARTKA • wada: duże zużycie materiałów OPTYMALNE ROZWIĄZANIE ZNAJDUJE SIĘ GDZIEŚ POŚRODKU Matematyczne techniki zarządzania - 168 Model optymalizacyjny Z(X ) • funkcja celu opisująca zysk firmy 2 x 1 5 x 2 max same szafy same stoły x1 rozwiązanie optymalne • pr. liniowe najważniejsze! • szczegóły na ćwiczeniach i po skończeniu „bryka” Model może im mieć 500 równań i nierówności • warunki ograniczające opisujące możliwości firmy bilans desek 1 x 1 2 x 2 30 bilans płyt 2 x 1 4 x 2 100 • warunki nieujemności (rozwiązania ujemne, możliwe matematycznie, nie mają dla stolarza sensu) x1 0 x2 0 PROBLEM MIESZANKI (DIETY) Cel problemu diety PROBLEM DIETY • minimalizacja kosztów produkcji mieszanki • zapewnienie mieszance odpowiednich właściwości (ograniczenia) • receptura mieszanki: wartości xi Matematyczne techniki zarządzania - 169 Dane potrzebne do rozwiązania problemu NALEŻY ODRÓŻNIĆ • składniki • komponenty Składniki mieszanki — produkty widoczne, dostępne w handlu, używane bezpośrednio do sporządzania mieszanki Komponenty — substancje niewidoczne, niedostępne w handlu, decydujące o właściwościach mieszanki K A R M A D L A D R O B IU W S A D D O W IE L K IE G O PIE C A skład n ik „j” P ro du kty ró żn ych firm sp rzed aw an e w sklep ach Ruda S Ruda BR Ruda SU ko m p on ent „i” B iałko W itam in y W ęg low od an y Ż elazo M an g an S iarka A — ilość i-tego komponentu zawarta w jednostce j-tego składnika B — najmniejsza dopuszczalna ilość i-tego komponentu w mieszance C — cena j-tego składnika X — ilość j-tego składnika, jaką należy wziąć do sporządzenia mieszanki Metody rozwiązywania Matematycznie problem mieszanki jest bardzo podobny do problemu alokacji środków produkcji: również programowanie liniowe Matematyczne techniki zarządzania - 170 W zapisie ogólnym: ALOKACJA ŚRODKÓW PRODUKCJI Wyniki MIESZANKA CX max CX min AX B AX B X 0 X 0 • X = [xj]; ilość poszczególnych składników, jaka powinna być użyta do sporządzenia mieszanki • F(X)=Z(X)=min; minimalna wartość funkcji celu = najmniejszy koszt sporządzenia mieszanki możliwy do uzyskania przy danych założeniach • analiza wrażliwości (wyniki programowania parametrycznego) Interpretacja • optymalna receptura mieszanki (xi) n • ilość otrzymanej mieszanki • koszt najtańszej mieszanki Q xi Z(X) i 1 WYKŁADOWCA NIE PONOSI ŻADNEJ ODPOWIEDZIALNOŚCI ZA SKUTKI UŻYCIA TEGO MODELU DO KARMIENIA MĘŻA, NARZECZONEGO ITP. Przykład 39. Dane dotyczące karmy dla zwierząt przedstawiają się jak w podanej tabelce decyzyjnej. Zbuduj model optymalizacyjny, rozważ strategie krańcowe i zinterpretuj rozwiązanie modelu. TABELKA TECHNOLOGICZNA Matematyczne techniki zarządzania - 171 P1 S K Ł A D N IK I 2 3 2 x1 S 1 B IA Ł K O S 2 W ĘG LO W O D AN Y cj C E N A Z M IE N N A D E C Y Z Y J N A Strategie krańcowe: 1. Karmić tylko składnikiem I: • potrzeba 6 jednostek składnika I, aby trzoda była zdrowa* • koszt karmienia wyniesie 12 2. Karmić tylko składnikiem II: • potrzeba 9 jednostek składnika II, aby trzoda była zdrowa* • koszt karmienia wyniesie 27 OPTYMALNE ROZWIĄZANIE ZNAJDUJE SIĘ GDZIEŚ POŚRODKU *daje to nadmiar któregoś komponentu Z(X ) 27,0 10,2 12,0 P2 S K Ł A D N IK II 4 1 3 x2 bi O G R A N IC Z E N IA 12 9 M IN Model optymalizacyjny • funkcja celu opisująca koszt mieszanki Z ( X ) 2 x 1 3 x 2 min • warunki ograniczające opisujące właściwości mieszanki 2 x 1 4 x 2 12 białko 3 x1 1 x 2 9 węglowodany • warunki nieujemności x1 0 x 2 0 Rozwiązanie modelu x 1 2 ,4 x 2 1,8 Z ( X ) ( 2 , 4 )( 2 ) ( 1 , 8 )( 3 ) 10 , 2 Białko: (2,4)(2)+(1,8)(4) = 12,0 0 2,4 6,0 x1 Weglowodany: (2,4)(3)+(1,8)(1) = 9,0 Matematyczne techniki zarządzania - 172 Rzeczywiste modele mieszanki: • większość produktów to mieszanki: paliwa, tworzywa sztuczne, materiały budowlane, farby, włókna itd. • komponowanie benzyn (kilkadziesiąt składników) • historia z Instytutu Ciężkiej Syntezy Organicznej ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Omówimy trzy problemy: • KZG (klasyczne zagadnienie transportowe) • WZG (wieloetapowe zagadnienie transportowe) • problem komiwojażera (akwizytora) Nowe pojęcie SIEĆ Matematyczne techniki zarządzania - 173 KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE Cel problemu KZG • przewóz towarów masowych (węgla, cukru itd.) od dostawców do odbiorców c ij O1 D1 • minimalizacja łącznego kosztu przewozu całego towaru • zmienną decyzyjną xij jest ilość towaru, jaką należy przewieźć od i-tego dostawcy do jtego odbiorcy O2 D2 O3 JAK RYSOWAĆ SIEĆ • długości i kąty łuków nie mają żadnego znaczenia • ograniczeniami są wielkość podaży i popytu Dane potrzebne do rozwiązania problemu • podaż A = [ai] wyrażone w km, godz., zł/t, zł/szt. • popyt B = [bj] • X = [xij] rozwiązanie optymalne • odległości C = [cij] TABELKA TRANSPORTOWA D O ST AW C Y O1 D1 D2 PO PYT c 11 c 21 x 11 x 21 b1 PO DAŻ O D B IO R C Y O2 c 12 c 22 O3 x 12 x 22 b2 c 13 c 23 x 13 x 23 b3 a1 a2 Matematyczne techniki zarządzania - 174 Metody rozwiązywania Model optymalizacyjny • programowanie liniowe • funkcja celu opisująca całkowite koszty (drogę, czas) transportu • simpleks transportowy • metody ręczne Z ( X ) c ij x ij min i CX min c 11 x 11 c 12 x 12 ... c 23 x 23 min • warunki ograniczające wywóz towaru x ij a i j x ij b j x 11 x 12 x 13 a 1 j przywóz towaru i • warunki nieujemności x 21 x 22 x 23 a 2 x ij 0 x 11 x 21 b1 Wyniki x 12 x 22 b 2 • X = [xjj]; ilość towaru, jaka powinna być przewieziona poszczególnymi trasami x 13 x 23 b 3 • F(X)=Z(X)=min; minimalna wartość funkcji celu = najmniejszy możliwy koszt przewiezienia całego towaru • analiza wrażliwości (wyniki programowania parametrycznego) Matematyczne techniki zarządzania - 175 Interpretacja • optymalny plan przewozów towaru (xij) • minimalny koszt przewozu towaru Z(X) CZĘSTO DO PROBLEMU WPROWADZA SIĘ TAKŻE KOSZTY PRODUKCJI MAMY WTEDY PROBLEM TRANSPORTOWOWIELOETAPOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE PRODUKCYJNY D1 O1 M1 O2 D2 D3 CEL, DANE, METODY ROZWIĄZYWANIA, WYNIKI I INTERPRETACJA JAK DLA KZT O3 M2 c ij O4 5 PROBLEM KOMIWOJAŻERA Cel problemu komiwojażera • komiwojażer wyjeżdża z bazy (B) swej firmy, ma odwiedzić określoną liczbę (m) klientów i wrócić do bazy tak, aby cała jego podróż była jak najkrótsza (najtańsza) 4 B 3 1 2 cij i, j = 0,1... Matematyczne techniki zarządzania - 176 • należy znaleźć najkrótszą drogę w sieci łączącą wszystkie węzły • zmienna decyzyjna: Dane • liczba (m) klientów do odwiedzenia xij = 1 (iść drogą i-j) • odległości (cij) pomiędzy bazą i klientami oraz pomiędzy klientami xij = 0 (nie iść drogą i-j) • c ij 0 c ij Metody rozwiązywania • dawniej — przeszukiwanie wszystkich lub części dopuszczalnych rozwiązań Liczba możliwych rozwiązań (kombinacji): • w rozważanym przypadku: (5)(4)(3)(2)(1) = 5! = 120 • w ogólności: m! • obecnie — profesjonalne programy komputerowe Wyniki • wartości poszczególnych zmiennych decyzyjnych xij • minimalna wartość funkcji celu Interpretacja • najkrótsza (najtańsza) trasa przejazdu komiwojażera • długość (koszt) optymalnej trasy przejazdu POMYŚL — W ILU FIRMACH MAMY CODZIENNIE DO CZYNIENIA Z PRZEWOZAMI TYPU PROBLEM KOMIWOJAŻERA CZY NIE OPŁACIŁOBY SIĘ WZIĄĆ KIEROWCÓW W RYZY? Matematyczne techniki zarządzania - 177 ZARZĄDZANIE ZAPASAMI Problem zarządzania (sterowania) zapasami dotyczy zapasów: • surowców i materiałów • wyrobów gotowych GROMADZENIE ZAPASÓW JEST W OGÓLNOŚCI NIEWSKAZANE, BO: • magazynowanie kosztuje ale... • zapasy to zamrożony kapitał koszt JIT Just-inTime K = Kprod + Kmag = koszt działalności firmy Kmag Kprod Zopt przeciętny poziom zapasów Cel problemu • ustalenie optymalnej strategii sterowania zapasami • kryterium optymalizacji: minimalizacja kosztów działalności przedsiębiorstwa • poziom zapasów nie może być zmienną decyzyjną, bo ta liczba zmienia się i w sposób ciągły i skokowy równocześnie! Matematyczne techniki zarządzania - 178 Zarządzanie zapasami surowców • opis funkcji Kmag K koszt Kmag • opis funkcji Kprod (chomikowanie, przestoje, niektóre surowce są sezonowe, wahania cen, duże partie są tańsze) • gospodarka zapasami = temat zarządzania produkcją Kprod Zopt Z przeciętny poziom zapasów czas • rozpatrzymy prostą sytuację zużycie surowca w trakcie produkcji moment zamówienia 1. partii surowca moment dostawy 1. partii surowca dostawa 1. partii surowca moment zamówienia 2. partii 0 • MRP (material requirements planning) jako system surowca szybsze zużycie surowca przestój z powodu braku surowca dostawa 2. partii surowca bezpieczny zapas surowca Matematyczne techniki zarządzania - 179 Najstarszy i najbardziej znany model zapasów EOQ No = optymalna liczba zamówień na rok dająca najmniejsze całkowite koszty zapasów A = wartość rocznego zużycia surowca C = ułamek określający udział kosztów magazynowania P = koszt realizacji jednego zamówienia No 2P Dalsze wzory = cena jednej jednostki surowca 2 AP 2 AP N • optymalnego momentu złożenia zamówienia • optymalnej wielkości zamówienia Dane • koszty realizacji zamówienia j C Decyzje przy zarządzaniu zapasami surowców dotyczą: • wielkości bezpiecznego poziomu zapasów AC N zł Nj = optymalna wielkość jednego zamówienia R 2P N d 365 Nd = optymalna liczba dni na jedno zamówienie Nzł = optymalna wartość jednego zamówienia AC 2 R C • koszty magazynowania: odsetki, straty, utrzymanie magazynu, eksploatacja magazynu, ubezpieczenie, koszty ogólne • zużycie jednostkowe surowca i inne Matematyczne techniki zarządzania - 180 Zarządzanie zapasami wyrobów gotowych koszt K jedn . Kmag • opis funkcji Kmag • opis funkcji Kprod (efekt skali produkcji) Dwie strategie krańcowe produkcja na zamówienie: małe partie, wyższe koszty produkcji, niższe magazynowania produkcja na magazyn: duże Kprod Zopt partie, niższe koszty produkcji, wyższe magazynowania przeciętny poziom zapasów Decyzje przy zarządzaniu zapasami wyrobów gotowych dotyczą: • optymalnej wielkości partii produkcyjnej • optymalnego planu produkcji według asortymentów Dane • zdolność produkcyjna zakładu • popyt na wyroby • koszty jednostkowe produkcji Wszystkie dane w postaci funkcji (zależnych od wielkości produkcji i czasu) • koszty jednostkowe magazynowania • pojemność magazynu