Matematyczne techniki zarządzania - 241 Wymiana urządzeń (teoria odnowy) Celem jest ustalenie optymalnego momentu wymiany maszyn (obrabiarek, samochodów, agregatów itp.), tak aby zminimalizować.
Download ReportTranscript Matematyczne techniki zarządzania - 241 Wymiana urządzeń (teoria odnowy) Celem jest ustalenie optymalnego momentu wymiany maszyn (obrabiarek, samochodów, agregatów itp.), tak aby zminimalizować.
Matematyczne techniki zarządzania - 241 Wymiana urządzeń (teoria odnowy) Celem jest ustalenie optymalnego momentu wymiany maszyn (obrabiarek, samochodów, agregatów itp.), tak aby zminimalizować koszty ich użytkowania Koszt użytkowania maszyny od pt — cena nowej maszyny w roku t roku i do roku j vt — wartość maszyny używanej przez t lat j cij pi rt v j rt — koszt eksploatacji maszyny w roku t i Wzór rekurencyjny f i min[cnk f k ] k c14 Jest to problem szukania najkrótszej drogi w sieci Przykład 52. Znaleźć optymalny moment wymiany maszyny dla następujących danych (n = 6) Rok 1 2 3 4 5 pt 100 105 110 115 120 vt 50 25 10 5 2 rt 30 40 50 75 90 c 24 c13 1 c12 2 c23 3 c34 4 Obliczamy wartości cij, na przykład: c12 100 30 50 80 c13 100 ( 30 40) 25 145 c36 110 ( 30 40 50) 10 220 Matematyczne techniki zarządzania - 242 i Tablica wartości cij j 2 80 1 2 3 4 5 Rozwiązanie ogólne f6 0 3 145 85 4 210 150 90 5 290 215 155 95 6 383 295 220 160 100 f 5 min(c56 f 6 ) min(100 0) 100 k k f 4 min(c45 f 5 ; c46 f 6 ) min(95 100; 160 0) 160 k k f 3 min(c34 f 4 ; c35 f 5 ; c36 f 6 ) min(90 160; 155 100; 220 0) 220 k k f 2 min(85 220; 150 160; 215 100; 295 0) 295 k f1 min(80 295; 145 220; 210 160; 290 100; 383 0) 365 c26 c13 k Trzy interpretacje fi • stan systemu po i-tym etapie • najkrótsza droga w sieci z węzła i-tego do węzła końcowego • minimalne koszty utrzymania maszyny od okresu i-tego do ostatniego Rozwiązanie szczegółowe Maszynę należy wymienić w trzecim roku eksploatacji 1 c 145 13 3 c 220 6 36 optymalny moment wymiany f opt 365 Matematyczne techniki zarządzania - 243 Analiza otrzymanego rozwiązania • rozwiązanie optymalne: koszt 365 • wymiana co roku: koszt 80+85+90+95+100=450 Koszt 450 400 350 300 • bez wymiany: koszt c16 = 383 1 2 3 4 5 6 lata Zagadnienie plecaka (optymalnego załadunku) Alpinista chce tak załadować plecak, aby jego użyteczność była jak największa. Jest to model załadunku kontenerów, ładowni statków itd. W — pojemność plecaka N — liczba różnych przedmiotów wyposażenia wi — objętość zajmowana przez i-ty przedmiot i=1, 2,..., N Ri — użyteczność i-tego przedmiotu xi — liczba przedmiotów i-tego rodzaju włożonych do plecaka N Funkcja celu Ri xi max i 1 Warunek ograniczający N wi xi W i 1 xi = 1, 2,..., n Równanie rekurencyjne f i ( w ) max[ Ri x f i 1 (W wi x )] x Matematyczne techniki zarządzania - 244 PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE Zmienna decyzyjna xi musi być liczbą całkowitą — programowanie dyskretne, w tym programowanie dychotomiczne czyli binarne (0-1) Zastosowanie: optymalizacja wykorzystania maszyn, środków transportu, optymalizacja produkcji itd. x1 5 Różnica pomiędzy programowaniem całkowitoliczbowym (ZPCL) a zwykłym programowaniem liniowym (ZZPL) 3 Warunki ograniczające dla obu problemów są takie same zbiór rozwiązań dopuszczalnych dla ZZPL 2 zbiór rozwiązań dopuszczalnych dla ZPCL 4 Dla ZZPL rozwiązanie optymalne znajduje się na jednym z wierzchołków, a dla ZPC nie wiadomo gdzie! 1 0 0 1 2 3 4 5 6 W rzeczywistości mamy znacznie więcej wymiarów! 7 x2 Nie da się go uzyskać przez „zaokrąglenie” tego pierwszego! Matematyczne techniki zarządzania - 245 Przykład 53. Znaleźć rozwiązanie zwykłe i całkowitoliczbowe dla następującego modelu 21 x1 11 x2 max 7 x1 4 x2 13 Rozwiązania te nie mają nic wspólnego ZZPL: x1 = 13/7 x2 = 0 Z(X) = 39 Szukając rozwiązania ZPCL nie możemy przyjąć x1 = 2 i x2 = 0; zaś dla x1 = 1 i x2 = 0 otrzymamy niemaksymalną wartość Z(X) = 21 ZPCL: x1 = 0 x3 = 3 Z(X) = 33 Metody rozwiązywania ZPCL Punktów w hiperprzestrzeni tworzących zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest bardzo dużo. Jedynym wyjściem jest ich przeszukiwanie według jakiegoś schematu: • metoda Gomory’ego (odcięć) • metoda podziału i ograniczeń • programy profesjonalne Metoda podziału i ograniczeń Kroimy „placek” (zbiór rozwiązań dopuszczalnych) według linii liczb całkowitych aż do znalezienia „rodzynka” (rozwiązania) W usuniętej części na pewno nie ma rozwiązania optymalnego Matematyczne techniki zarządzania - 246 Algorytm metody podziału i ograniczeń x1 a,b - sąsiednie liczby całkowite 1. Tworzymy ZZPL z posiadanego ZPCL 2. Rozwiązujemy ZZPL 3. Wokół tego rozwiązania wycinamy — na jednej osi (x2) — pas jednostkowy wokół rozwiązania dla ZZPL a x b ax b 2opt 4. Otrzymujemy dwa nowe ZZPL: oraz 2opt x2 5. Kroki te powtarzamy po poszczególnych osiach (wymiarach), dzieląc „placek” i patrząc czy otrzymane rozwiązanie jest całkowitoliczbowe 1 DRZEWO ROZWIĄZAŃ 3 4 2 ZZPL, które nie mają rozwiązania dopuszczalnego ZZPL, dla kórych znaleziono rozwiązanie całkowitoliczbowe; zapisujemy je w celu porównania z innymi (1, 2, 3 i 4) i przez porównanie wartości funkcji celu znajdujemy rozwiązanie ZPCL (na przykład nr 4) Matematyczne techniki zarządzania - 247 Jak długo się dzieli? Nazwy etapów algorytmu Ile gałęzi ma drzewo? • rozgałęzienie Prowadzi się wykaz ZZPL, dopisując nowe i skreślając zbadane. Algorytm się kończy po skreśleniu wszystkich ZZPL z wykazu. • osłabienie • badanie ŻYCIE JEST NIELINIOWE • podział PROGRAMOWANIE NIELINIOWE • polega na tym, że funkcja celu lub/i ograniczenie jest funkcją nieliniową • może wystąpić w każdym zagadnieniu optymalizacyjnym • skąd się bierze nieliniowość: — f. ekonomiczne są zwykle nieliniowe — nieliniowość wynika z techniki lub prawa k K TARYFA I TARYFA II P Funkcja jednostkowych kosztów produkcji Z Koszty, ceny, stawki celne, taryfy itd. Matematyczne techniki zarządzania - 248 Różnica pomiędzy programowaniem liniowym a nieliniowym x1 x1 x2 PROGRAMOWANIE LINIOWE x2 PROGRAMOWANIE NIELINIOWE stały kierunek wzrostu Z(X) •zmienny kierunek wzrostu Z(X) maksimum na wierzchołku maksimum w różnym miejscu W programowaniu nieliniowym mamy dwa rodzaje optimum: •optimum bezwarunkowe DLA OSOBY, KTÓRA LUBI GÓRY I ZNA SIĘ NA MAPACH, TE IZOLINIE TO WARSTWICE A ROZWIĄZANIA DOPUSZCZALNE TO POLE GAZDY, NA KTÓRYM SZUKAMY...PUNKTU •optimum warunkowe; trzy możliwości względem zbioru rozwiązań dopuszczalnych • wewnątrz • na krawędzi • na wierzchołku Matematyczne techniki zarządzania - 249 METODY ROZWIĄZYWANIA PROGRAMOWANIA NIELINIOWEGO 1. Szukanie optimum bezwarunkowego przy wielu zmiennych W ogólności oblicza się pochodne cząstkowe, przyrównuje je do zera i rozwiązuje otrzymany układ równań Metoda najszybszego wzrostu (metoda Cauchy’ego) Kierujemy się tylko pochodnymi 1. rzędu wyznaczonymi w punkcie podejmowania decyzji co do dalszego „marszu” x1 C D Decyzja dotyczy: • kierunku marszu d B • długości marszu t w danym kierunku y kj t k d kj A x2 k — numer etapu marszu j — wymiar (zmienna) Modyfikacje metody uwzględniają pochodne 2. rzędu (krótsze kroki) 2. Inne metody (łącznie z szukaniem optimum warunkowego) zmiennych rozdzielonych dużych kroków simpleks kwadratowy płaszczyzny tnącej • funkcji barierowych Lagrange’a kombinacji wypukłych • rzutu gradientu • Kuhna-Tuckera Matematyczne techniki zarządzania - 250 PROGRAMOWANIE STOCHASTYCZNE ma trzy znaczenia: • prawdopodobieństwo (szansa) czegoś np. 0,6 ZYSK — JEST BRA- RYZYKO TEM STRATY (przysłowie tureckie) • możliwość wystąpienia różnych wyników podjętej • możliwość poniesienia strat działalności (decyzji) Przykład 54. Oblicz, którą decyzję powinno podjąć przedsiębiorstwo w następujących warunkach ryzyka. S1 A1 A B Prawdopodobieństwo S1 S2 S3 P1 P2 P3 90 S 2 100 S3 130 A2 C Udział w rynku, % 50 S1 S2 100 S3 EMV ( A) maxEMV ( B), EMV (C ) 112,5 150 30 35 40 0,125 0,500 0,375 Zysk w ciągu 5 lat, mln zł Rozbudowa budowa zakładu A1 zakładu A2 V1 90 V1 50 V2 100 V2 100 V3 130 V3 150 k E ( X ) EMV PiVi i 1 EMV ( B ) (0,125)(90) (0,500)(100) (0,375)(130) 110,0 EMV (C ) (0,125)(50) (0,500)(100) (0,375)(150) 112,5 Matematyczne techniki zarządzania - 251 Decyzja: należy wybudować nowy zakład produkcyjny (x1=0, x2=1) Zalety teorii gier i metody drzewka (dendrytu) decyzyjnego: • bardzo proste obliczenia • jasno widać wszystkie sploty okoliczności (6 możliwości) • model zbyt uproszczony w stosunku do rzeczywistości DECYZJ Ę PODJĘTO NA PODSTAWIE LICZBY 112,5 MLN ZŁ, A BĘDZIE • niezrozumiały dla laików, bo odwołuje się do prawa wielkich liczb ALBO 50 MLN • można przeprowadzić analizę wrażliwości (plansza 197) Wady metody: • trudno zdobyć dane, szczególnie prawdopodobieństwa • posługuje się wartością oczekiwaną, występuje miraż średniej ALBO 100 MLN ALBO 150 MLN • nie da się sprawdzić na pojedynczym przykładzie Jak wytłumaczyć laikom działanie prawa wielkich liczb? Zakładamy, że decyzja z przykładu 54 zostaje podjęta 80 razy; wtedy: • w 10 przypadkach (80x0,125) firma zarobi po 50 mln zł; razem 500 mln zł • w 40 przypadkach (80x0,500) firma zarobi po 100 mln zł; razem 4000 mln zł • w 30 przypadkach (80x0,375) firma zarobi po 150 mln zł; razem 4500 mln zł OGÓŁEM 9000 mln zł Dzieląc 9000 mln zł przez 80 przedsięwzięć otrzymamy średnią 112,5 mln zł Matematyczne techniki zarządzania - 252 DECYZJA ZRANDOMIZOWANA (ROZWIĄZANIE ZRANDOMIZOWANE) W wielu sytuacjach rozwiązanie zrandomizowane daje lepsze wyniki niż decyzja zdeterminowana Przykład 55. Znamy popyt na luksusowy tort pieczony w Wadowicach. Przedstawić skutki finansowe produkcji zdeterminowanej i zrandomizowanej. Decyzja zdeterminowana Popyt, sztuki 0 Prawdopodobieństwo 1/6 Koszt pieczenia 1 tortu: 1c 1 1/6 2 2/3 ŚREDNIA JEST MIRAŻEM! NIE NALEŻY JEJ UŻYWAĆ DO PODEJMOWANIA DECYZJI! Przykład 56. Rozpatrujemy zagadnienie planowania przedsięwzięć nieprodukcyjnych w wersji stochastycznej (PERT), a następnie decyzję — czy wynająć konsultanta, który obiecuje skrócić czas realizacji o 1 tydzień za kwotę 20 tys. zł Pieczemy codziennie 1 tort: • koszt dzienny: 1c • zaspokojenie popytu: 1/6+1/6=1/3 Decyzja zrandomizowana Pieczemy co piąty dzień 2 torty, w pozostałe dni nie pieczemy tortu: • koszt dzienny: (2/5)c = 0,4c • zaspokojenie popytu: (1/5)(1)+(4/5)(1/6) = 10/30=1/3 WNIOSEK: decyzja zrandomizowana jest o wiele bardziej opłacalna! Matematyczne techniki zarządzania - 253 Będziemy szukać najdłuższej drogi w następującej sieci: A 2 1 3 B C 3 D 1 0 Czas realizacji niektórych czynności jest zmienną losową: 2 E 2 3 Symbol A B C D E ti 2 2, 3, 4 2, 3, 4 1 1, 2, 3 P(ti) 1,0 po 1/3 po 1/3 1,0 po 1/3 Również czas realizacji całego przedsięwzięcia jest zmienną losową: • czas minimalny: 4 tygodnie • czas maksymalny: 7 tygodni • czas średni: 5 tygodni (patrz rysunek sieci) Czas realizacji przedsięwzięcia wpływa na zysk Czas realizacji, tygodnie 3 4 5 6 7 Zysk firmy, tys. zł 120 110 100 50 0 Czy opłaca się wynająć za 20 tys. zł konsultanta, który skróci ten czas o jeden tydzień? A. Decyzja oparta na wartości średniej Bez konsultanta: czas 5 tygodni, zysk 100 tys. zł Z konsultantem: czas 4 tygodnie, zysk 110 tys. zł KONSULTANT NIE OPŁACA SIĘ, BO KOSZTUJE WIĘCEJ NIŻ KORZYŚĆ Z NIEGO! Matematyczne techniki zarządzania - 254 B. Decyzja oparta na rozkładzie prawdopodobieństwa Tworzymy rozkład czasu realizacji przedsięwzięcia, rozpatrując 27 kombinacji wartości ti i znajdując dla nich ścieżkę krytyczną (najdłuższą drogę) Czas realizacji, tygodnie Prawdopodobieństwo 4 2/27 5 8/27 6 14/27 7 3/27 Razem 1,0 Zysk bez konsultanta E ( Z ) (2 / 27)(110) (8 / 27)(100) (14 / 27)(50) (3 / 27)(0) 64 Zysk z konsultantem E ( Z ) (2 / 27)(120) (8 / 27)(110) (14 / 27)(100) (3 / 27)(50) 99 KONSULTANT OPŁACA SIĘ, BO KOSZTUJE 20.000, A FIRMA ZAROBI 35.000 NA PRZYSPIESZENIIU PRAC DECYZJA OPARTA NA ROZKŁADZIE PRAWDOPODOBIEŃSTWA JEST CAŁKIEM INNA NIŻ DECYZJA OPARTA NA ŚREDNIEJ Wartość idealnej informacji (Wii) Jest to maksymalna kwota, jaką opłaca się zapłacić instytucji lub osobie („wróżce”) za prawdziwą, idealną (nie obarczoną żadnym błędem) informację o stanie natury w każdorazowym przypadku spośród wielu rozpatrywanych w ramach prawa wielkich liczb. Wartość Wii służy do negocjowania umów za informacje rzeczywiste, obarczone pewnym błędem, dostarczane przez różnego rodzaju firmy konsultacyjne, doradcze, przez niezależnych ekspertów itd. Matematyczne techniki zarządzania - 255 Przykład 56 cd. Ile opłaca się zapłacić za informację — ile wyniesie czas realizacji przedsięwzięcia w konkretnym przypadku? Wii EMVii EMVbi EMVbi możemy wyznaczyć na podstawie wcześniejszych obliczeń jako równe 99 — 20 = 79 tys. zł EMVii obliczamy zakładając, że w każdym przypadku z góry wiemy jaki bę-dzie czas realizacji projektu i na tej podstawie potrafimy podjąć właściwą decyzję o wynajęciu konsultanta Czas realizacji projektu 4 5 6 7 Decyzja o wynajęciu konsultanta Zysk firmy, tys. zł Prawdopodobieństwo Nie wynajmujemy Nie wynajmujemy Wynajmujemy Wynajmujemy 110 100 100-20 = 80 50-20 = 30 2/27 8/27 14/27 3/27 Wii=4.000 zł EMVii ( 2 / 27)(110) (8 / 27)(100) (14 / 27)( 80) ( 3 / 27)( 30) 83 tys. zł BAYESOWSKA TEORIA DECYZJI Przykład 57. Polski Koncern Naftowy (PKN) analizuje w której miejscowości w pobliżu Krakowa zlokalizować skład paliw. Kryterium decyzyjnym jest maksymalizacja zysku. Ryzyko wynika z nieznanego popytu w różnych częściach aglomeracji. DRZEWKO DECYZYJNE Z ZAKUPEM NIEDOSKONAŁEJ INFORMACJI Matematyczne techniki zarządzania - 256 Rozważane są dwie lokalizacje: A Wisła • miejscowość A (decyzja A1) • miejscowość B (decyzja A2) B A1 A2 S2 40 60 • S1: większość klientów na lewym brzegu Wisły • S2: klienci rozłożeni mniej więcej po równo ANALIZA EKONOMICZNA S1 100 10 W zależności od zachowania się rynku, możliwe są trzy stany natury: • S3: większość klientów na prawym brzegu Wisły S3 0 80 MACIERZ ZYSKÓW (UŻYTECZNOŚCI) Z1 Z2 Z3 S1 0,6 0,3 0,1 S2 0,3 0,5 0,2 S3 0,2 0,3 0,5 MACIERZ WIARYGODNOŚCI Ponieważ koszt inwestycji jest duży, PKN jest ostrożny i postanawia zlecić WZ AGH przeprowadzenie badań rynkowych (decyzja A3) — koszt 4 Badania mogą dać następujące wyniki: • Z1: większość klientów na lewym brzegu Wisły • Z2: klienci rozłożeni mniej więcej po równo • Z3: większość klientów na prawym brzegu Wisły Badania są przeprowadzane na próbach statystycznych i z tego tytułu są obarczone błędem; dostarczają niedoskonałą informację — patrz macierz wiarygodności badań rynkowych KTÓRĄ DECYZJĘ PODJĄĆ I CZY SŁUCHAĆ BADAŃ RYNKOWYCH? Matematyczne techniki zarządzania - 257 EMV(A)=62 S1 A A1 OGÓŁEM MAMY 13 WĘZŁÓW I 24 GAŁĄZKI 10 S1 S 2 60 B 80 S3 A2 N 100 S 2 40 0 S3 A3 S1 S2 D A1 S3 EMV(B)=39 Z1 C K S1 A2 E EMV(C)=? 4 6 S2 S3 76 M I 36 56 Z2 Z3 A1 96 L A2 A1 F Przyjmujemy następujące prawdopodobienstwa: S1 — 0,5 S2 — 0,3 S2 — 0,2 JEŚLI KTOŚ JE KWESTIONUJE, MOŻE ZROBIĆ POTEM ANALIZĘ WRAŻLIWOŚCI! Dla węzła A łatwo można obliczyć EMV(A)=62 oraz dla węzła B A2 EMV(B)=39 H G Jak policzyć EMV(C)? Matematyczne techniki zarządzania - 258 Jak policzyć EMV(C)? A3 Z1 C Należy posłużyć się rachunkiem bayesowskim K A1 D S1 96 p1 0,5 S2 36 p2 0,3 4 p3 0,2 S3 EMV ( D) 96 p1 36 p2 4 p3 p1 — prawdopodobieństwo wystąpienia stanu S1 pod warunkiem, że wynik badania był Z1, itd. P(Z1) — prawdopodobieństwo całkowite P(S1|Z1) — prawdopodobieństwo bayesowskie p1 P ( S 1 Z 1) p2 P ( S 2 Z 1) p3 P ( S 3 Z 1) P ( Z 1) P ( Z 1 S1) P ( S1) P ( Z 1 S 2) P ( S 2) P ( Z 1 S 3) P ( S 3) P ( Z 1 S 1) P ( S 1) P ( S 1 Z 1) P ( Z 1) ? P(Z1) = 0,6*0,5+0,3*0,3+0,2*0,2 = 0,43 P(S1) = 0,5 P(Z1|S1) = 0,6 P(S2) = 0,3 P(Z1|S2) = 0,3 P(S2) = 0,2 P(Z1|S3) = 0,2 p1 = P(S1|Z1) = (0,6*0,5)/0,43 = 30/43 = 0,70 p2 = P(S2|Z1) = (0,3*0,3)/0,43 = 9/43 = 0,21 p3 = P(S3|Z1) = (0,2*0,2)/0,43 = 4/43 = 0,09 Razem = 1,0 Matematyczne techniki zarządzania - 259 EMV(D) = 96*0,70+36*0,21-4*0,09 = 74,1 W węźle K należy podjąć decyzję A1 EMV(E) = 6*0,70+56*0,21+76*0,09 = 23,0 EMV(K) = 74,1 INTERPRETACJA — rozwiązanie przykładu 57 PODOBNIE MOŻNA POLICZYĆ, ŻE... PKN powinien zlecić WZ AGH przeprowadzenie badań rynkowych, a po otrzymaniu ich wyników powinien: W węźle L należy podjąć decyzję A1 • jeśli badania wykażą, że większy popyt będzie na lewym brzegu Wisły — zlokalizować skład w miejscowości A W węźle M należy podjąć decyzję A2 • jeżeli badania wykażą, że popyt jest mniej więcej jednakowy po obu stronach Wisły — zlokalizować skład w miejscowości A W węźle N należy podjąć decyzję A3 • jeśli badania wykażą, że większy popyt będzie na prawym brzegu Wisły — zlokalizować skład w miejscowości B Kryteria decyzyjne uproszczone I. Minimax użyteczności (kryterium pesymisty) max min U ij i j min dla A1 = 0; min dla A2 = 10; wybieramy mniejsze zło: decyzję A2 Przykład 57 Matematyczne techniki zarządzania - 260 II. Minimax zawodu (ryzyka) (kryterium ostrożnego) Zawód (ryzyko) to strata finansowa z danej decyzji w stosunku do decyzji najlepszej przy danym stanie natury dla A1 = 80; max dla A2 = 90; min max Rij max S1 S2 S3 wybieramy mniejsze zło: decyzję A1 i j A1 0 20 80 S1 S2 S3 A2 90 0 0 III. Kryterium Hurwicza (średnia ważona) H (ai ) k max U ij (1 k ) min U ij A1 A2 100 10 40 60 0 80 k — wskaźnik optymizmu (0—1) k = 0,7: H(A1) = (0,7)(100) + (0,3)(0) = 70 H(A2) = (0,7)(80) + (0,3)(10) = 59; wybieramy decyzję A1 IV. Kryterium Bernoulliego (średnia arytmetyczna) H (ai ) U ij i m H(A1) = (100+40+0)/3 = 46,7 H(A2) = (10+60+80)/3 = 50,0; wybieramy decyzję A2 Przykład 57 cd. Obliczyć wartość idealnej informacji dla PKN o zachowaniu się rynku paliw w Krakowie EMVbi = 62 (decyzja A1, plansza 257) EMVii = (100)(0,5) + (60)(0,3) + (80)(0,2) = 84 (przy każdym stanie natury wybierzemy lepszą decyzję) Wii = 22 Teoria gier Matematyczne techniki zarządzania - 261 Przykład 58. Producent aparatury elektronicznej ma kłopoty w pewnym wyrobem (straty z powodu reklamacji). Aby wyprzedzić konkurentów, projektuje się wprowadzić do tego wyrobu podzespół najnowszej generacji, będący jeszcze w stadium prób laboratoryjnych u jego dostawcy. Jest to przedsięwzięcie ryzykowne, producent rozważa więc trzy strategie: A1 — wprowadzenie podzespołu do wyrobu bez żadnych prób; strategia ta jest ryzykowna, gdyż dostawca podzespołu nie daje pełnej gwarancji A2 — wyprodukowanie próbnej partii wyrobów z nowym podzespołem, i wprowadzenie go do produkcji seryjnej wyrobów w razie udanej próby; strategia ryzykowna, gdyż udana próba nie musi oznaczać sukcesu przy produkcji seryjnej A3 — niedokonywanie żadnych zmian w wyrobie Drugim „graczem” (Naturą) jest podzespół wmontowany do wyrobu; można wyróżnić cztery jego strategie: B1 — próba pozytywna, produkcja seryjna negatywna B2 — próba pozytywna, produkcja seryjna pozytywna B3 — próba negatywna, produkcja seryjna pozytywna B4 — próba negatywna, produkcja seryjna negatywna DANE FINANSOWE POTRZEBNE DO ZBUDOWANIA MECIERZY WYPŁAT Matematyczne techniki zarządzania - 262 -3 10 koszt przestawienia produkcji na zmodernizowany wyrób zysk w razie udanej konstrukcji zmodernizowanego wyrobu -1 koszt próby dla stwierdzenia jakości podzespołu (nowej konstrukcji) -5 straty z powodu reklamacji wadliwych wyrobów 2 rekompensata od dostawcy podzespołu za wykonanie próby w razie jej negatywnego wyniku Ponadto uwzględnimy następujące prawdopodobieństwa: 10% szansa udanej modernizacji wyrobu 70% szansa, że próba wskaże prawidłowo złą jakość podzespołu 80% szansa, że próba wskaże prawidłowo dobrą jakość podzespołu MACIERZ WYPŁAT Firma Natura B1 A1 A2 A3 -3 -5 -3 -1 -5 -5 B2 -8 -3 -9 -3 10 10 -1 -5 7 -3 6 -1 B3 10 -5 2 -5 B4 7 -3 -4 -1 -5 -5 2 -8 -4 -5 Co ma zrobić firma? Jeśli nic nie zrobi, na pewno straci 5; jeśli zaryzykuje modernizację wyrobu — może zarobić 7, ale również może stracić 9; szansa sukcesu może być mała, może być duża... Gra nie ma punktu siodłowego, trzeba więc zbudować model programowania liniowego Matematyczne techniki zarządzania - 263 8 x1 7 x2 7 x3 8 x4 V 9 x1 6 x2 4 x3 4 x4 V 5 x1 5 x2 5 x3 5 x4 V 1 x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 1 x1 0,7 x1 1 x4 0,9 0,3 x4 0 0,2 x2 0,8 x3 Strategia zrandomizowana Natury: x1, x2, x3, x4 Rozwiązanie modelu • optymalna strategia Natury 0,17 - 0,08 - 0,02 - 0,73 • optymalna strategia firmy 0-1-0 0 • wartość gry V = -4,55 Firma powinna uruchomić próbną produkcję nowych wyrobów; w razie sukcesu uruchomić produkcję seryjną, w razie niepowodzenia odebrać rekompensatę. Nie jest to strategia gwarantująca zyski, ale lepsza nic NIC NIE ROBIĆ! PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE • dotychczas mieliśmy tylko jedno kryterium: — maksymalizacja zysku — minimalizacja kosztów • teraz rozważymy sposób uwzględniania wielu kryteriów jednocześnie Matematyczne techniki zarządzania - 264 Na przykład przy wyborze lokalizacji nowego zakładu produkcyjnego: • minimalizacja kosztów zakupu terenu i kosztów budowy • minimalizacja kosztów transportu wyrobów z fabryki do ośrodków dystrybucji • minimalizacja kosztów rekrutacji i utrzymania pracowników • minimalizacja kosztów energii i paliw • minimalizacja podatków D1 D2 WZAJEMNY STOSUNEK CELÓW Mogą być zależne, zgodne, sprzeczne, niezgodne, konfliktowe itd. Niezgodność celów Podwyższenie stopnia osiągnięcia jednego zmniejsza stopień osiągnięcia drugiego Co się robi przy sprzecznych celach? • Ustala się hierarchię celów D1 D2 D1 D2 D1 D2 • Szuka się strategii, która jest najbliżej osiągnięcia wszystkich celów (z uwzględnieniem priorytetów) Metoda: Goal Programming (GP) Utrzymanie decyzji wielokryterialnych w ramach programowania liniowego Matematyczne techniki zarządzania - 265 Przykład 59. Klient biura maklerskiego chce zainwestować na giełdzie 80.000 zł przy następujących kryteriach: kryterium 1: ograniczenie rocznego ryzyka maksymalnie do 700 zł kryterium 2: zapewnienie rocznego zysku co najmniej 9.000 zł Ograniczamy rozważania do dwu firm STRATEGIE DOPUSZCZALNE Firma F1 F2 Cena zł/akcję 25 50 Zysk roczny zł % 3 12 5 10 Ryzyko zł/akcję 0,50 0,25 1. Kupić 3.200 akcji tańszej firmy F1 (3.200*25 = 80.000) wynik: ryzyko 1.600 zł (3.200*0,50), zysk 9600 zł (3.200*3) 2. Nic nie kupować wynik: ryzyko 0, zysk 0 3. Kupić 2.000 akcji F1 i 600 akcji F2 (2.000*25 + 600*50 = 80.000) wynik: ryzyko 1.150 zł (2.000*0,50+600*0,25) zysk 900 zł (2.000*3 + 600*5) CELE SĄ KONFLIKTOWE Ustalamy: Cel główny (priorytet nr 1) ZNALEŹĆ PORTFEL AKCJI O RYZYKU 700 ZŁ LUB NIŻSZYM Matematyczne techniki zarządzania - 266 Cel drugorzędny (priorytet nr 2) ZNALEŹĆ PORTFEL AKCJI DAJĄCY ROCZNY ZYSK CO NAJMNIEJ 9.000 ZŁ z uwzględnieniem ograniczenia 80.000 zł Budowa modelu optymalizacyjnego x1 — liczba kupionych akcji firmy F1 x2 — liczba kupionych akcji firmy F2 d1+, d1— — zmienne odchylenia od celu 1 d2+, d2— — zmienne odchylenia od celu 2 Warunek ograniczający: Równanie celu 1: 25 x1 50 x2 1 = 4,1 zł 80.000 0,50 x1 0,25 x2 d1 d1 700 3 x1 Równanie celu 2: 5 x2 d 2 d 2 9.000 Interpretacja zmiennych odchylenia d1+ = ilość zł, o jaką ryzyko dla wybranego portfela przekroczy 700 zł, i tak dalej Funkcja celu w programowaniu wielokryterialnym (GP) polega na minimalizacji odpowiednich zmiennych odchylenia: •kryterium 1: min d1+ •kryterium 2: min d2— dlaczego? Matematyczne techniki zarządzania - 267 Sposób postępowania: • wpierw szukamy rozwiązania dającego jak najpełniejsze spełnienie priorytetu 1 (P1) • następnie modyfikujemy to rozwiązanie kierując się priorytetem 2 (P2) — ale tak, aby nie spowodować obniżenia stopnia osiągnięcia celu P1 • dla każdego priorytetu budujemy jedno zadanie programowania liniowego (PL), rozpoczynając od P1 • przy każdym kolejnym PL zmieniamy funkcję celu poprzedniego i dodajemy jedno ograniczenie • zadanie z dwoma zmiennymi możemy rozwiązywać graficznie PRIORYTET P1 min d1 25 x1 funkcja celu 50 x2 0,50 x1 0,25 x2 d1 d1 3 x1 80.000 ograniczenie funduszy cel 1 (ryzyko) 700 d 2 d 2 9.000 5 x2 x1 , x2 , d1 , d1 , d 2 , d 2 0 cel 2 (zysk), usypiamy go nieujemność Rozwiązanie będzie w I ćwiartce; szukamy punktów przecięcia się dwu warunków (fundusze i cel 1) z osiami x1 i x2: • fundusze: x1=0 x2=80.000/50=1.600 • cel 1: d1+=0 d1—=0 x1=0 x2=0 x2=700/0,25=2.800 x1=80.000/25=3.200 x2=0 x1=700/0,5=1.400 Matematyczne techniki zarządzania - 268 x2 3000 Portfele zapewniające realizację celu nr 1, czyli dające ryzyko nie przekraczające 700 zł Cel 1 przy d1+=d1—=0 2000 Koniec rozwiązywania P1 d1+>0 PRIORYTET P2 • czy wolno przekroczyć zysk 9.000 zł? TAK 1000 Fundusze • czy wolno zejść z zyskiem poniżej 9.000 zł? NIE, ALE... d1+=0 0 0 1000 2000 3000 liczba akcji firmy F1 4000 Nie wolno więc pogorszyć rozwiązania uzyskanego dla P1! min d 2 25 x1 funkcja celu 50 x2 0,50 x1 0,25 x2 d1 d1 3 x1 x1 Będziemy minimalizować d2— pamięta-jąc, że P2 to cel drugorzędny! 80.000 ograniczenie funduszy cel 1 (ryzyko) 700 d 2 d 2 9.000 5 x2 d1 x1 , x2 , d1 , d1 , d 2 , d 2 cel 2 (zysk) 0 stopień osiągnięcia celu 1 0 nieujemność Matematyczne techniki zarządzania - 269 x2 3000 Elementy, które uległy zmianie (dwie różnice pomiędzy PL a GP): Cel 1 przy d1+=d1—=0 • inna funkcja celu d1+>0 2000 • dodatkowe ograniczenie na P1 Wprowadzamy na rysunek równanie celu 2: d2+ = 0 d2— = 0 Cel 2 przy d2+=d2—=0 d2+>0 1200 1000 d1+=0 0 0 d2—>0 1000 800 x1=0 x2=9.000/5 = 1.800 x2=0 x1=9.000/3 = 3.000 Fundusze 2000 3000 liczba akcji firmy F1 4000 WNIOSKI x1 Jak widać, nie da się osiągnąć celu 2, musimy trochę z niego „opuścić” — rozwiązanie optymalne dla dwu kryteriów leży w punkcie • nie ma rozwiązania, które zapewnia osiągnięcie celu P1 i równocześnie celu P2 • najlepsze rozwiązanie to punkt x1 = 1200 x2 = 800; jest to takie rozwiązanie spośród spełniających cel P1, które jest najbliższe spełnienia celu P2 • roczny zysk dla tego rozwiązania: 3*800+5*1200 = 8.400 zł; stąd d2—=600 zł OPTYMALNA DECYZJA Należy kupić 800 akcji firmy F1 1200 akcji firmy F2 Wydamy na ten zakup: 800*25+1200*50 = 80.000 zł Matematyczne techniki zarządzania - 270 Algorytm programowania GP 1. Zdefiniuj cele i ograniczenia 2. Określ hierarchię celów (priorytet dla każdego celu — P1, P2 itd.) 3. Zdefiniuj zmienne decyzyjne 4. Sformułuj warunki ograniczające w normalny sposób 5. Napisz równanie dla każdego celu, włączając w nie zmienne odchylenia di+ oraz di— 6. Napisz fukcję celu minimalizującą wybrane di 7. Rozwiązuj po kolei według priorytetu (według hierarchii) Przykład 60. Szef firmy ustala plan pracy na następny miesiąc dla swoich czterech akwizytorów, kierując się następującymi danymi: czas poświęcany 1 klientowi: — starzy klienci: 2 godziny — nowi klienci: 3 godziny czas pracy akwizytorów w ciągu miesiąca: — czas nominalny: 40 godzin/tydzień, co daje 4*4*40 = 640 godzin — godziny nadliczbowe: do 40 godzin, co daje górny limit 680 godzin — dolny limit czasu pracy wszystkich akwizytorów: 600 godzin Matematyczne techniki zarządzania - 271 miesięczny plan finansowy: — akwizytorzy muszą przynieść firmie 70.000 zł przychodu — 1 stary klient daje średnio 250 zł przychodu — 1 nowy klient daje średnio 125 zł przychodu miesięczny plan rzeczowy: akwizytorzy mają odwiedzić: — 200 starych klientów — 120 nowych klientów HIERARCHIA CELÓW FIRMA NIE MA PIENIĘDZY NA GODZINY NADLICZBOWE Podane zadania (cele) są niezgodne z sobą, gdyż np.: • przychody: 200*250 + 120*125 = 65.000 zł • czas pracy: 200*2 + 120*3 = 760 godzin Musimy więc ustalić hierarchię (priorytety celów) FIRMA PILNUJE SWOJEJ PŁYNNOŚCI FINANSOWEJ POZIOM I Cel 1: łączny czas pracy nie może przekroczyć 680 godzin Cel 2: łączny czas pracy nie może być mniejszy niż 600 godzin POZIOM II Cel 3: wygenerowany przychód musi wynosić co najmniej 70.000 zł Matematyczne techniki zarządzania - 272 POZIOM III Cel 4: akwizytorzy muszą odwiedzić co najmniej 200 starych klientów Cel 5: akwizytorzy muszą odwiedzić co najmniej 120 nowych klientów ZMIENNE DECYZYJNE x1 — liczba odwiedzonych starych klientów FIRMA PILNUJE SWOJEJ CZĘŚCI RYNKU x2 — liczba odwiedzonych nowych klientów OPTYMALNE ROZWIĄZANIE (komputerowo) SPEŁNIENIE CELÓW Cel 1: 250*2 + 60*3 = 500 + 180 = 680 godzin Cel 2: x1 = 250 x2 = 60 Cel 3: 250*250 + 60*125 = 62.500 + 7.500 = 70.000 zł Cel 4: Cel 5: NIE SPEŁNIONY UFF... KONIEC MTZ! Matematyczne techniki zarządzania - 273 APEL EGZAMINACYJNY Wszystkim dziękuję za cały rok współpracy! Paniom specjalne podziękowanie! Egzamin jest ustny — potrzebne są inne kwalifikacje! Pytania dostępne na dyskietce: 30 zestawów losowanych Terminy ... i ... czerwca 2000 r.; proszę przychodzić na ŻYCZĘ wyznaczoną godzinę Podstawowe umiejętności: POŁAMANIA NÓG! • „wspomnienia statystyki” oraz „bryk z semestru letniego” • interpretacja wydruków: programowanie liniowe („stolarz” i dieta), zagadnienie transportowe, drzewko decyzyjne PROSZĘ MI SIĘ KŁANIAĆ • przede wszystkim to ma być normalna rozmowa dwojga ludzi BEZINTERESOWNIE PROSZĘ, BĄDŹCIE DOROŚLI: • sprawy specjalne proszę załatwiać wcześniej (a nie po fakcie) • nie ma egzaminu komisyjnego dla osób, które nie miały ochoty lub czasu przystąpić do normalnego egzaminu Jak zdać egzamin, Universitas, Kraków 1998.