Transcript Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones. Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones. ÍNDICE. 1. Inecuaciones 2. Inecuaciones de primer grado con una incógnita 3. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita 4. Inecuaciones con una incógnita.

Inecuaciones.
Sistemas de
inecuaciones.
Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones.
ÍNDICE.
1.
Inecuaciones
2.
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
3.
Inecuaciones de segundo grado con una incógnita
4.
Inecuaciones con una incógnita en forma de cociente
5.
Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas
6.
Sistema de inecuaciones
7.
Inecuaciones en valor absoluto
Desigualdades algebraicas
• Una DESIGUALDAD ALGEBRAICA está formada por expresiones
algebraicas y un símbolo de desigualdad (< , > , ≤ , ≥ ).
• En el caso particular de que las expresiones algebraicas sean números,
decimos que es una DESIGUALDAD NUMÉRICA.
• Si la desigualdad algebraica, se cumple para todos los valores de las
variables,
decimos
que
se
trata
de
una
DESIGUALDAD
ABSOLUTA, y en otro caso denominamos INECUACIÓN.
• Ejemplos:
( x  2)2  0 es una DESIGUALDAD ABSOLUTA
( x  2)2  8 es una INECUACIÓN
Compatibilidad. Inecuaciones equivalentes
• Una INECUACIÓN ALGEBRAICA es COMPATIBLE si tiene solución,
e INCOMPATIBLE si no la tiene.
• Ejemplo:
x  2  0 es una INECUACIÓN COMPATIBLE.
Pues se cumple para cualquier x  2
( x  2) 2  0 es una INECUACIÓN INCOMPATIBLE
Pues se no se cumple para ningún valor real de x
• Dos INECUACIONES son EQUIVALENTES, si tiene las misma
solución.
• Ejemplo:
• Para
x2 0
y
2x  4
son INECUACIONES EQUIVALENTES,
pues ambas se cumplen para todo x > 2
resolver
INECUACIONES
algebraicas,
utilizamos
INECUACIONES EQUIVALENTES lo mas sencillas posibles.
Reglas de transformación de inecuaciones
• Para simplificar una desigualdad algebraica:
Ejemplo: 2(x - y) – 1 < 2 x + 2
quitamos paréntesis y denominadores si los hubiese
Ejemplo: 2x - 2y – 1 < 2 x + 2
y utilizamos las siguientes reglas:
1.- Si sumamos o restamos a ambos miembros de la desigualdad una
expresión algebraica, obtenemos una desigualdad algebraica equivalente:
Ejemplo (sumando - 2x + 1): - 2y < 3
2.- Si multiplicamos ambos miembros de la desigualdad por un número
positivo, obtenemos una desigualdad algebraica equivalente.
3.- Si multiplicamos ambos miembros de la desigualdad por un número
negativo, invirtiendo la desigualdad de sentido obtenemos una
desigualdad algebraica equivalente :
Ejemplo (multiplicando por (- ½ ) ) : y > - 3/2
Inecuaciones de primer grado con una incógnita.
• Una INECUACIÓN es lineal (o de primer grado) con una incógnita,
cuando podemos obtener una equivalente a una de estas cuatro :
a . x + b < 0; a . x + b > 0; a . x + b ≤ 0; a . x + b ≥ 0;
a  0.
Si a > 0, estas inecuaciones tienen por solución
x <-b/a; x >-b/a; x ≤-b/a; x≥-b/a;
Si a < 0, estas inecuaciones tienen por solución
x>-b/a; x <-b/a; x ≥-b/a; x ≤-b/a;
• Ejemplo:
x 2  3  x  2  x 2  1; es equivalente a 3  x    0
Cuya solución es:
1
x
3
 1.
3
( x  1,  )
Representación de la solución en la recta real
Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
•
Una INECUACIÓN con una incógnita es cuadrática, cuando podemos
obtener una equivalente a alguna de las siguientes:
ax 2  bx  c  0; o ax 2  bx  c  0; o
ax 2  bx  c  0; o ax 2  bx  c  0; a  0
Si la ecuación ax 2  bx  c  0
1º) no tiene raíces reales, la solución será ℝ ó 
2º) tiene solamente una raíz doble r, la solución será ℝ ó ℝ - {r} ó {r} ó .
3º) tiene raíces r y s (suponemos r < s), la solución estará en algunos de los
intervalos
(-∞,r > ó < r,s > ó < s,+∞)
Donde < corresponde a ( ó [ y > corresponde a ) ó ], depende del signo de la desigualdad
Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
• Ejemplos:
1.- Resolver x 2 + x – 6 < 0.
Como las raíces de la ecuación P(x) = x 2 + x – 6 = 0 son -3 y 2, Habrá que estudiar
el signo de la expresión algebraica en cada uno de los intervalos
( - ∞ , -3 ) ó ( -3 , 2 ) ó ( 2 , + ∞ )
probando con algún valor intermedio por ejemplo x=-4 , x=0 y x=3, se obtiene que
P(-4) > 0, P(0) < 0 y P(3) >0. Se obtiene como solución el intervalo (-3,2)
2.- Resolver 2 x  5 x - 3.
2
-3
2
Como equivale 2x2 - 5x + 3  0 y las raíces de la ecuación P(x) = 2x2 - 5x + 3 = 0
son 1 y 3/2, Habrá que estudiar el signo de la expresión algebraica en
( - ∞ , 1 ) ó ( 1 , 3/2 ) ó ( 3/2 , + ∞ )
que probando con algún valor intermedio por ejemplo x=0 , x=2 y x=4, se obtiene
que P(0) > 0, P(2) < 0 y P(4) >0. Se obtiene como solución (-∞,1]  [3/2 ,+∞)
1
3/2
Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
•
Para resolver una INECUACIÓN cuadrática, de la forma:
ax 2  bx  c  0; o ax 2  bx  c  0; o
ax 2  bx  c  0; o ax 2  bx  c  0; a  0
Si r, y s son las raíces de la ecuación
ax2  bx  c  0
Resolver la inecuación cuadrática, es equivalente a resolver la inecuación:
a g(x  r )g(x  s ) < 0;
o
a g(x  r )g(x  s ) > 0;
a g(x  r )g(x  s ) £ 0;
o
a g(x  r )g(x  s ) ³ 0;
o
Que se puede resolver mediante un sistema de dos inecuaciones lineales con
una incógnita, que se explica en Sistema de inecuaciones
• Ejemplo: x 2 + x  2 £ 0,
es equivalent e a resolver la inecu ación:
(x  1)g(x + 2) £ 0
Y por t ant o equivalent e a resolver los sist emas de inecuaciones:
ïì (x  1) £ 0
ïí
y
ïï (x + 2) ³ 0
îï
ïì (x  1) ³ 0
ïí
ïï (x + 2) £ 0
îï
Inecuaciones con una incógnita en forma de cociente.
• Para resolver un una INECUACIONES con una incógnita en forma de
cociente de la forma:
(1)
(2)
(3)
(4)
ax  b
ax  b
ax  b
ax  b
0 o
0 o
0 o
0
a'x b'
a'x b'
a'x b'
a'x b'
Debemos resolver dos sistemas de dos ecuaciones de la forma
(1)
(2)
(3)
(4)
ax  b  0
ax  b  0
ax  b  0
ax  b  0




a ' x  b '  0
a ' x  b '  0
a ' x  b '  0
a ' x  b '  0
o
o
o
ax  b  0
ax  b  0
ax  b  0
ax  b  0




a
'
x

b
'

0
a
'
x

b
'

0
a
'
x

b
'

0



a ' x  b '  0
Que se puede resolver mediante un sistema de dos inecuaciones lineales con una
incógnita, que se explica en Sistema de inecuaciones
• Ejemplo:
 x  1  0,
 x  2
es equivalente a resolver los sistemas

 x  1  0


 x  2   0
y

 x  1  0


 x  2   0
Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
•
Una INECUACIÓN LINEAL con dos incógnitas x e y, es aquella que se puede
reducir a otra de la forma:
a x + b y < c; a x + b y > c; a x + b y ≤ c; a x + b y ≥ c; a, b, c  
Para representar gráficamente en el plano la inecuación, representamos en el
plano la recta:
•
ax+by=c
Y su representación gráfica en el plano es la región superior (si es > o ≥) o
inferior (si es < o ≤) limitada por dicha recta, que dependiendo de la
DESIGUALDAD, puede o no incluir a dicha recta.
•
Ejemplo: Representar la inecuación x + y > 2.
Los valores de la región que están por debajo de
la recta x + y – 2 = 0, no cumplirán la ecuación,
pero si lo cumplirán los valores (x, y) por
encima de dicha recta
2
2
Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita.
• Para resolver un SISTEMA de INECUACIONES lineal con una incógnita,
resolvemos cada una de las ecuaciones lineales, y la solución, será aquella
que se cumpla para todas las ecuaciones:
• Ejemplo: 2  x  1  x  3;
tiene por solución x   , 4
 x  5  2  x; tiene por solución x   , 5
Luego la solución del sistema es  , 4
• Resolver una inecuación de un producto o un cociente de polinomios de
1º grado, equivale a resolver dos inecuaciones poniendo los símbolos de
desigualdad adecuados para que se cumpla el producto o el cociente:
• Ejemplo:
 x  1  0, es equivalente a resolver los sistemas:
 x  2


 x  1  0
 x  1  0
y 



 x  2   0
 x  2   0
Sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
• Para resolver un SISTEMA de INECUACIONES lineal con dos incógnitas,
resolvemos cada una de las ecuaciones lineales, y la solución, será aquella
que se cumpla para todas las ecuaciones:
• Ejemplo: Resolver el sistema de
inecuaciones
x–y2
2x+y4
Teniendo en cuenta que la solución de la
primera inecuación son aquellos valores de
4
la región del plano que están por encima de
la recta x-y-2 = 0, y la solución de la
segunda inecuación son aquellos valores de
2
-2
la región del plano que están por encima de
la recta 2 x +y – 4 = 0, la solución gráfica
será
Inecuaciones de valores absolutos.
• Para resolver un una INECUACIONES con valores absolutos, resolvemos
las ecuaciones sin valor absoluto necesarias para que se cumpla la
desigualdad
• Ejemplo: Para resolver la inecuación
|x+2|1
como es equivalente a resolver la siguiente expresión
-1 x+21
Tendremos que resolver el sistema de inecuaciones
x+2-1
x+21
Cuya solución es el intervalo [ -3 , - 1 ]
-3
-1
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
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Mas ayuda del tema de la página
lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/m
atematicas.htm)
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