Transcript PROGRAMACION LINEAL Bueno

Objetivos
• Captar la idea de la programación lineal y sus
posibilidades de aplicación a problemas prácticos.
• Saber plantear un problema de programación lineal
partiendo de su enunciado en términos generales.
• Conocer y valorar el origen de la programación lineal y
su influencia en la historia.
• Dominar el lenguaje propio de la programación lineal:
función objetivo, restricciones, región factible, etc...
Competencias:
El alumno utilizando correctamente la resolución de
ecuaciones e inecuaciones será capaz de maximizar
beneficios y minimizar pérdidas.
Conocimientos previos:
Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones de 1er
grado con dos variables
Funciones lineales
Breve Reseña Histórica
1941-1942
Problema de
transporte
1776
Gaspar
Monge
1939 Leonid V.
Kantorovitch
publica
Métodos
matemáticos
de
organización y
planificación
de la
producción.
Post Guerra:
EE.UU. Proyecto
SCOOP Uso de la
Programación
Lineal para
administrar
energía y
recursos de la
Nación.
1947 Dantzig y
el Método
Simplex
El nombre de PL
procede del
término militar
“programar” =
realizar planes de
tiempo para el
entrenamiento o
despliegue.
¿Qué es la Programación Lineal?
Es un método que se utiliza en
la resolución de problemas
donde se plantea optimizar el
uso de ciertos recursos que se
disponen
para
maximizar
utilidades, beneficios, ingresos,
eficiencia o minimizar costos,
perjuicios, egresos, etc.
¿Qué es un Problema de programación lineal?
Definición: Es una técnica matemática y de investigación de
operaciones que se utiliza en la planificación administrativa y
económica para maximizar las funciones lineales de un gran
número de variables sujetas a determinadas restricciones.
El nombre de programación lineal no procede de la creación de
programas de ordenador, sino de un término militar, programar, que
significa realizar planes o propuestas de tiempo para el entrenamiento,
la logística o el despliegue de las unidades de combate.
• En sí, se llama programación lineal al conjunto de técnicas
matemáticas que pretenden resolver la siguiente situación:
• Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función
lineal de varias variables, sujeta a una serie de restricciones,
expresadas por inecuaciones lineales.
Debe cumplir con:
1. La función f(x,y) = ax + by + c llamada función
objetivo y que es necesario optimizar. En esa
expresión x e y son las variables de decisión,
mientras que a, b y c son constantes.
2. Las restricciones que deben ser inecuaciones
lineales.
3. La región factible es un polígono convexo y puede ser: acotado, no
acotado y vacío, es decir, que no haya ni un solo punto que verifique todas
las restricciones al mismo tiempo.
Factibles: Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisface las
restricciones, que a su vez pueden ser:
• Con solución única: La solución es única, y corresponde al vértice para el
que la función objetivo toma el valor máximo
• Con solución múltiple: si existe mas de una solución, la función objetivo es
paralela a una de las restricciones.
• Con solución no acotada: Cuando no existe límite para la función
objetivo, En este caso no existe un valor extremo para la función objetivo,
por lo que puede decirse que el problema carece de solución.
4. No Factibles: Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las
restricciones, es decir, las restricciones son inconsistentes.
Importancia de la programación lineal
La programación lineal constituye un importante
campo de la optimización por varias razones,
muchos problemas prácticos de la investigación
de operaciones pueden plantearse como
problemas de programación lineal. Algunos casos
especiales de programación lineal, tales como los
problemas de flujo de redes y problemas de flujo
de mercancías se consideraron en el desarrollo de
las matemáticas lo suficientemente importantes
como para generar por si mismos mucha
investigación sobre algoritmos especializados en
su solución.
Algunos Ejemplos:
• Optimización de la combinación de diámetros
comerciales en una red ramificada de distribución
de agua.
• Aprovechamiento óptimo de los recursos de una
cuenca hidrográfica, para un año con afluencias
caracterizadas por corresponder a una
determinada frecuencia.
• Soporte para toma de decisión en tiempo real,
para operación de un sistema de obras
hidráulicas;
• Solución de problemas de transporte.
Ejemplo 1
Gerardito es un estudiante que dedica parte de su
tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La
empresa A le paga Lps. 5 por cada impreso repartido y la
empresa B, con folletos más grandes, le paga Lps. 7 por
impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los
impresos A, en la que caben 120, y otra para los
impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada
día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo
que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos
habrá de repartir de cada clase para que su beneficio
diario sea máximo?
Variables
Cantidades
desconocidas
Función
Objetivo
Es la que se
desea
maximizar o
minimizar
Z=ax+by+c
Región Factible
Es el polígono
convexo formado
al resolver
gráficamente el
Sistema de
Inecuaciones
DEFINICIONES
Solución Factible
Es cualquier
punto situado
en la región
factible
Restricciones
Son las
inecuaciones
lineales que
limitan la región
factible
Solución Optima
Es una solución
factible que
maximiza o
minimiza la
función objetivo
Planteamiento del Ejemplo 1
Paso 1 (Variables decisorias)
Sea x el número de impresos A
Sea y el número de impresos B
Paso 2 (Construcción de la función objetivo)
El objetivo es maximizar la función
f(x,y) = z = 5x + 7y
Paso 3 (Restricciones)
Máximo de Impresos A igual 120  x ≤ 120
Máximo de Impresos B igual 100  y ≤ 100
150 impresos como máx.  x + y ≤ 150, x ≥ 0 , y ≥ 0
Esquema de Solución del Ejemplo 1
• x: numero de impresos A (variable)
• y: número de impresos B (variable)
• Maximizar z = 5x + 7y
• Sujeto a:
•
•
•
con:
x ≤ 120
(restricción 1)
y ≤ 100
(restricción 2)
x + y ≤ 150 (restricción 3)
x≥0 , y≥0
(Función objetivo)
Representación gráfica de la
Región Factible
Evaluando los vértices
• Los vértices de la región factible (0;0); (0;100); (50;100);
(120;30) y (120;0)
Vértice (x ; y)
z = 5x + 7y
(0 ; 0)
0
(0 ; 100)
700
(50 ; 100)
950
(120 ; 30)
810
(120 ; 0)
600
• Respuesta: Para maximizar la ganancia se debe repartir 50
impresos de la empresa A y 100 impresos de la empresa B.
ALGORITMO DE RESOLUCIÓN
Identificar las variables, la
función objetivo y las
restricciones.
Graficar el sistema de
desigualdades lineales que
forman las restricciones e
identificar la región
factible.
Determinar los vértices de
la región factible.
Interpretar los resultados.
Si se va a maximizar (o
minimizar), el valor más
grande (o pequeño) es una
solución optima.
Completar una tabla de
valores para la función
objetivo utilizando todos
los vértices.
Problema 1
Dada la región del plano definida por las inecuaciones:
x + y – 1 ≥ 0; 0 ≤ x ≤ 3 ; 0 ≤ y ≤ 2.
¿Para qué valores de la región es máxima la función Z = 5x + 2y?
Solución:
Maximizar z = 5x + 2y (Función objetivo)
Sujeto a:
• x+ y ≥ 1
(restricción 1)
• x≤3
(restricción 2)
• y≤2
(restricción 3)
con: x ≥ 0 , y ≥ 0
•
Respuesta: La función Z es máxima para el vértice (3,2), que es 19
Problema 2
Representar gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen
las siguientes inecuaciones lineales:
x + 2y ≤ 10; x + y ≥ 2; x ≤ 8; x ≥ 0; y ≥ 0
Hallar el mínimo de F(x,y) = x – 3y
Solución:
Maximizar z = x-3y (Función objetivo)
Sujeto a:
• x+ 2y ≤ 10
(restricción 1)
• x +y ≥ 2
(restricción 2)
• x≤8
(restricción 3)
con: x ≥ 0 , y ≥ 0
•
Respuesta: El mínimo se alcanza en (0,5) y es - 15
Problema 3
En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal
valen S/. 4.50 y las halógenas S/. 6.00. La producción está limitada por el
hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300
halógenas ni más de 500 en total. Si se vende toda la producción, ¿cuántas de
cada clase convendrá producir para obtener la máxima facturación?
Solución:
• x: numero de bombillas tipo normal(variable)
• y: número de bombillas halógenas(variable)
Maximizar z = 4.50x + 6.00y (Función objetivo)
Sujeto a:
• x+ y ≤ 500
(restricción 1)
• x ≤ 400
(restricción 2)
• y ≤ 300
(restricción 3)
con: x ≥ 0 , y ≥ 0
•
Respuesta: Se deben producir 200 bombillas normales y 300 halógenas