Transcript 问题：介质分界面上的麦克斯韦方程？ 束缚电荷和电流分布 ε3 ε2 ε1 面电荷、面电流会在 介质内部产生附加场 界面两侧场量发生跃变 界面上的麦克斯韦方程组——边值关系 积分形式的麦克斯韦方程组：    D  dS  Q S     B   dS L E  dl   S  t     

问题：介质分界面上的麦克斯韦方程？
束缚电荷和电流分布
ε3
ε2
ε1
面电荷、面电流会在
介质内部产生附加场
界面两侧场量发生跃变
界面上的麦克斯韦方程组——边值关系
积分形式的麦克斯韦方程组：
 
 D  dS  Q
S

  
B 
 dS
L E  dl   S

t
  
  B  dS  0
S
 H  dl  I  d D  dS
L
dt 
积分形式

  D   f




B
  E   t
 
  B  0


  D
  H  J 
f

t
微分形式
§5.电磁场边值关系
一、法线分量的边值关系
二、切向分量的边值关系
三、其它边值关系
介质2
介质1
E1t E2 n

E1
ˆ
n

ˆ 
E2n  E2 cos  n  E2

E2
E1n
E2 t
切向分量关系——界面上取狭长闭合矩形回路——M方程旋度公式
法向分量关系——界面上取扁平圆柱体——M方程散度度公式
一、电磁场量的法线方向分量的边值关系

1. D 的法向边值关系

S 2
①在界面上取微小扁平状柱体
∆S1＝ ∆S2＝ ∆S

 D  f
h
介质1

D1


S1  Sn
积分形式

D2
介质2
②取法向，从介质1指向介质2


S2  Sn
ˆ
n
 
 D  ds    f dV Q f
S
V

求矢量 D 穿过圆柱体表面的通量是多少？

S1




D2  S2  D1  S1  C  Q f

S 2
ΔQ=ρ ΔS Δh
有限

ˆ
n

D2
2
0
ρ不可能无穷大，所以体电荷密度不适
应。引入面电荷密度σ
h
1

D1

S1




D2  S2  D1  S1  C  Q f

S 2
Q    S
由于Δh→0，所以通过侧面
的通量ΔC忽略不计。



( D2  D1 )  S  Q

 
n  ( D2  D1 )S   f S

 
n  ( D2  D1 )   f
ˆ
n

D2
2
h
1

D1

S1

D 的法向方向有突变，
突变量为电荷面密度σ。
这是一个十分重要的结论！
D2n  D1n   f
讨论：
 f  0,
D2n  D1n
 f  0,
D2n  D1n
D2n  D1n   f
P2n  P1n   p
  
n  ( P2  P1 )   P

 
D  0E  P
 0 (E2n  E1n )   f   p
 f  p
E2n  E1n 
0
讨论：
一、 （1）极化电荷面密度影响极化矢量的跃变 Pn ；
（2）自由电荷面密度影响电位移矢量的跃变 Dn ；
二、
（3）总电荷面密度影响电场强度矢量的跃变 En 。
a) 对于两种电介质的分界面 f  0，则得
E2 n 1

 不连续 , 有跃变
E1n  2
 
b) 只有导体与介质交界面上，存在  f  0 。这时 D 、E 在法线上都不
D2n  D1n  连续, 无跃变
连续，有跃变。

2. B 的法向边值关系

 B  0
积分形式

B 的法向没有突变，连续
 
 B  ds  0
S

 
n  ( B2  B1 )  0
B2 n  B1n
讨论： 均匀各向同性介质
2 H 2 n  1 H1n
H 2 n 1

 不连续, 有跃变
H1n  2
一、电磁场量的切线方向分量的边值关系

1. H 的切向边值关系
面电流分布：即电流集中分布在靠近表面的薄层内（薄层的厚度
→0）（例如磁性物质表面的磁化电流）



nˆ
c
介质2
介质1
b
H1
H2
N

dl2
d

dl1
t
a
ab=cd= ∆ l
bc=da= ∆h


l 2  l t


l1   lt
①在界面上取狭长回路

②取分界面法向 nˆ ，从介质1指向介质2，切向为
  
路的法向单位矢量为：
N  n t

t ，回

  D
 H  J f 
t


l2  l




D
LH  dl  S ( J f  t )  dS
由于回路所围面积趋于零，而


d  
有限量，
l1  l
 D  dS  0

D 为
t
 dt






D
H 2  l2  H1  l1  C  ( J f 
)  lhN
t


 Δh→0时,横截面变为横截线。
 
( H 2  H1 )  lt    lN 定义电流线密度  。
 


 
I f  j f S   f l
( N  n)  ( H 2  H1 )    N
  

 
N [n  (H2  H1 )]    N
0

H 的切向有突变！


ˆ

n  ( H 2  H1 )   f
H2t  H1t   f

2. 导出 B 的切向边值关系


  

  B  0 J f  J P  J M  J D

L


  D
 H  J f 
t
 
B  dl  0 ( I  I m  I p  I D )



 
 
n  B2  B1   0    M 


ˆ

n  ( H 2  H1 )   f

3. E 的切向边值关系


B
 E  
t

E的切向分量连续！
 
d  
L E  dl   dt SB  dS

 
n  ( E2  E1 )  0
E1t  E2t
为零！

D 的切向分量一般不连续！
小结 电磁场的边值关系


 D  f
法向
D 的法向分量有突变！

 
n  ( D2  D1 )   f
D2n  D1n   f
  
n  ( B2  B1 )  0
B2 n  B1n

 B  0

B 的法向分量连续！

 
D
 H  J f 
t
切向


ˆ

n  ( H 2  H1 )   f
H2t  H1t   f
  
n  ( E2  E1 )  0
E1t  E2t


B
 E  
t

H 的切向有突变！

E 的切向分量连续！
小结

散度方程   n 

旋度方程   n 
体密度→面密度
边
值
关
系
电磁场的边值关系

 
n  (D
2 D
1)   f



n  ( B2  B1 )  0
  
n  ( E2  E1 )  0


ˆ

n  ( H 2  H1 )   f
D2n  D1n   f
E1t  E2t
B2 n  B1n
H2t  H1t   f
除前面4式，常用边值关系：
ˆ  
 p   n  ( P2  P1 )




m  n  (M 2  M1 )

 
稳定电流时： n  ( J 2  J1 )  0
J 2 n  J 1n
Note：

 
1
n  ( E2  E1 )  ( f   P )
0





n  ( B2  B1 )  0 ( f   m )
介质分界面上
f 0

f 0
解边界问题的方法：
①取坐标
②定法线方向
分析各个分界面。在每个界面上，写出边值关系
B2 n  B1n
 E1t  E2t

 D2 n  D1n  
H2t  H1t   f
导体内，E＝D=0，
如，E2t=0， D2n=0（2为导体时）
简化方程求得E1t 、 E1n



E1  E1t  E1n n
③束缚电荷分布


（法一） P  (   0 ) E
（法二） E2 n  E1n 
 f  p
0

P    P 

 P  n  ( P2  P1 )
。。。。。

 
若导电： n  ( J 2  J1 )  0
J 2 n  J 1n



J  1E1   2 E2
例：无穷大平行板电容器内有两层介质，极板上面电荷密
度为   f ，求电场和束缚电荷分布。
[分析]：用边值关系求解。取坐标向下为x轴，取从


介质指向真空为法线方向。分别为 n1 和 n2 。
[求解]：①上导体板与ε’’的分界面，介质为1，
导体为2。
由边值关系：  E  E
1t
2t

 D2 n  D1n  
因为导体内，E=0，所以 E2t=0， D2n=0
边值关系变为：  E1t  0

 D1n     f

f 

 f 
所以
E ' '  E1t  E1n n 
n
i
 ''
 ''
②下导体板与ε’的分界面

2 n2
1  ''

x
1 '
2 
n1
 f
 f

2 n2
1  ''
 
取法向 n  i，导体为2，介质为1。
由边值关系：
 E1t  E2t

 D2 n  D1n  

x
因为导体内，E=0，所以 E2t=0， D2n=0
边值关系变为： E1t  0

 D1n     f

f 


所以
E '  E1t  E1n n  
i
'
③束缚电荷分布


 ' 0 
P '  ( ' 0 ) E '  
 fi
'


 ' ' 0 
P ' '  ( ' ' 0 ) E ' '  
 fi
 ''
1 '
2 
n1

 ' P    P '  0

 ' 'P    P ' '  0
 f
 f
上导体板和介质2界面处：
   ' ' 0
  
 
 P ' '  n  ( P2  P1 )  n  P1  (i )  P' ' 
f
 ''
下导体板和介质1界面处：
  
   
 ' 0
 P '  n  ( P2  P1 )  n  P1  i  P'  
f
'
介质1和介质2分界面处

 
  
 ' 0
 ' ' 0
 P  n  ( P2  P1 )  i  ( P' P' ' ) 
f 
f
'
 ''
小
一、电磁场的边值关系

散度方程   n 

  n 
旋度方程
体密度→面密度
边
值
关
系
除前面4式，常用边值关系：
稳定电流时：
Note：

 
1
n  ( E2  E1 )  ( f   P )
0





n  ( B2  B1 )  0 ( f   m )
结

 
n  (D
2 D
1)   f



n  ( B2  B1 )  0
  
n  ( E2  E1 )  0


ˆ

n  ( H 2  H1 )   f
ˆ  
 p   n  ( P2  P1 )


 
m  n  (M 2  M1 )
  
n  ( J 2  J1 )  0
J 2 n  J 1n
分界面上  f  0

f 0
D2n  D1n   f
E1t  E2t
B2 n  B1n
H2t  H1t   f
二、电磁场的能量守恒定律
麦氏方程组
洛伦兹力公式
坡印亭矢量
能量守恒
   
   S  f  
t
ω 的定义和物理意义

S的定义和物理意义
  
S  EH
1   1  
  ED H B
2
2
(各向同性线性介质)
能量守恒定律的积分形式：
 
 
d
  S  d   f  dV   dV
dt
真空中的麦克斯韦方程组
静磁场
静电场
 

1 QQ' 
电荷守恒定律   J 
库仑定律 F 
r
0
3
4 0 r
t

 
q
r
电场强度 E ( x ) 
4 0 r 3
高斯定律
环路定律
 
1
E

d
s

s
0
 dV 
V
 
 E  dl  0
l
 

1



E
(
x
)


(
x
)


0



  E ( x )  0

变 法拉第电磁感应定律


B
化
  E感  
电
t


磁
E
位移电流
J


D
0
场
t
Q
0
毕奥—萨伐尔定律
 
 

Id l  r
（线）
B ( x )  0 L
3
4
r
 

 
0 J ( x ' )  r
B( x ) 
dV （体）

3
L
4
r 
 
安培环路定律 L B  dl  0 S J  ds
 
磁场的高斯定理  B  ds  0
S
 
  B( x )  0
 
 

  B( x )   0 J ( x )
  E  
0





B
  E  

t
 
  B  0




E



B


J



0
0 0

t
洛伦兹力公式


 
F  qE  qv  B
电动力
学的理
论基础
介质中的麦克斯韦方程组

 p    P
介质极化

P

p
 i

 nql
i
V
外场
随时
间变
化
∵电荷守恒
ˆ  
 p   n  ( P2  P1 )
极化电流

 P
jp 
t
磁化电流
介质磁化

M

m
 i
i
V

 nia


Jm    M

 
m  n  (M 2  M1 )

真空中的麦氏方程组


D  0E
介质中的麦克斯韦方程组

  D   f




引入
B
D  



E


D  0E  P 

t



  B  0
引入H


 B  
  D
H  M 
 H  J f 


t
0
 
M P0


B  0 H
本
构
方
程


D  E


B  H


j  E
介质分界面上的麦克斯韦方程组——边值关系

  D   f




B


E



t
 
  B  0


  D
  H  J 
f

t

  n 

  n 
体密度→面密度
边
值
关
系

 
n  (D
2 D
1)   f



n  ( B2  B1 )  0
  
n  ( E2  E1 )  0


ˆ

n  ( H 2  H1 )   f
其他常用边值关系：
边值关系的分量形式
ˆ  
 p   n  ( P2  P1 )
D2n  D1n   f


 
E1t  E2t
m  n  (M 2  M1 )
  
n  ( J 2  J1 )  0 （稳定电流）
B2 n  B1n
J 2 n  J 1n

 
1
n  ( E2  E1 )  ( f   P )
0





n  ( B2  B1 )  0 ( f   m )
H2t  H1t   f

 f  0,  f  0

导体与介质分界面上  f  0,  f  0
介质分界面上