Transcript Játéksorozatok Ördöglakatok •Nehezen elemezhető •Változatos bonyolultság Ördöglakatok Az egyszerűtől ... Ördöglakatok … a bonyolulton át… Ördöglakatok … a lehetetlenig! A lehetetlenség bizonyítása: • • • • Algebrai topológiai módszerek Inta Bertuccioni The American Mathematical Monthly Ördöglakatok Kapu és gyűrű Ördöglakatok Kapu és gyűrű Két.

Játéksorozatok
Ördöglakatok
•Nehezen
elemezhető
•Változatos
bonyolultság
Ördöglakatok
Az egyszerűtől ...
Ördöglakatok
… a bonyolulton át…
Ördöglakatok
… a lehetetlenig!
A lehetetlenség bizonyítása:
•
•
•
•
2003
Algebrai topológiai módszerek
Inta Bertuccioni
The American Mathematical Monthly
Ördöglakatok
Kapu és gyűrű
Ördöglakatok
Kapu és gyűrű
Két kapu és gyűrű
Ördöglakatok
Ördöglakatok
Két kapu és gyűrű golyós karikával
Ördöglakatok
Kapu és gyűrű zárókarikával
Ördöglakatok
Kapu és gyűrű új változatai
Ördöglakatok
Keresztkapu és gyűrű
Kombinatorikus 2D összerakók
Pentominó
Kombinatorikus 2D összerakók
Pentominó alakzatok
Kombinatorikus 2D összerakók
Téglalaposítható pentominók
Kombinatorikus 2D összerakók
Milyen téglalapok rakhatók ki az L-ből?
…
…
5 x 2n
5k x 2n
Kombinatorikus 2D összerakók
Milyen páros téglalapok rakhatók ki az L-ből?
1. Mindkét oldal páros
…
10k
…
2n
Kombinatorikus 2D összerakók
Milyen páros téglalapok rakhatók ki az L-ből?
2. Egyik oldal páratlan, a másik páros
5-tel osztható a páros oldal
5-tel osztható a páratlan oldal
10n
2n
k≥0
2k-4
k≥2
…
2k+1
…
…
5(2k+1)
…
…
Kombinatorikus 2D összerakók
Milyen téglalapok rakhatók ki az L-ből?
3. Mindkét oldal páratlan
9x15
David Klarner, 1969
Kombinatorikus 2D összerakók
Milyen téglalapok rakhatók ki az L-ből?
3. Mindkét oldal páratlan
1. Lemma: Ha L lefed egy (2k+1)xm–es téglalapot, akkor a téglalap
páratlan oldalán fekszik legalább egy L-nek hosszú szára.
m
…
2k+1
…
Valamelyik kell:
mert páratlan!
Hogy lehet lefedni a
köröket?
Kombinatorikus 2D összerakók
Milyen téglalapok rakhatók ki az L-ből?
3. Mindkét oldal páratlan
2. Lemma: Ha L lefed egy 5xm–es téglalapot, akkor m csak páros
lehet.
5
2k
2k
5
5
Kombinatorikus 2D összerakók
Milyen téglalapok rakhatók ki az L-ből?
3. Mindkét oldal páratlan
• 3x(2n+1) nem, az első lemma miatt
• 5x(2n+1) nem, a második lemma miatt
• 7x(2n+1) ???
• 7x5 nem (2. lemma)
• 7x15 ???
• A 7x15-ös nem
állítható elő kisebb
téglalapokból!
Kombinatorikus 2D összerakók
Milyen téglalapok rakhatók ki az L-ből?
3. Mindkét oldal páratlan
9x15, Klarner
Előállítható
kisebbekből!
Kombinatorikus 2D összerakók
Milyen téglalapok rakhatók ki az L-ből?
3. Mindkét oldal páratlan
15
7
2n
10k
Kombinatorikus 2D összerakók
Milyen téglalapok rakhatók ki az L-ből?
Csak a 2x5-ös és a 7x15-ös a lényegesen különböző. A
többi ezekből előállítható.
Az L pentominónak ez a két „Prím doboz”-a van.
Kombinatorikus 2D összerakók
Milyen téglalapok rakhatók ki az Y-ból?
5x10
20x13
15x17
14x10
15x15
Kombinatorikus 2D összerakók
Milyen téglalapok rakhatók ki az Y-ból?
Az Y prím dobozai:
5 x 10
9 x 20, 30, 45, 55
10x14, 16, 23, 27
11x20, 30, 35, 45
12x50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95
13x20, 30, 35, 45
14x15
15x15, 16, 17, 19, 21, 22, 23
17x20, 25
18x25, 35
22x25
Kombinatorikus 3D összerakók
Milyen téglatestek rakhatók ki az Y-ból?
Az Y 3D-s prím dobozai:
2x4x10, 15
2x5x6, 8, 11, 13, 15
2x7x10, 15
3x4x5
3x5x9, 11
3x6x10, 15
3x7x10, 15
4x4x5
4x5x5
5x5x5, 6, 7
5x7x7
Kombinatorikus 3D összerakók
Milyen téglatestek rakhatók ki az N-ből?
Az N 3D-s prím dobozai:
2x5x 4, 5, 6, 7
3x5x 8, 12, 13, 14, 15,
3x5x 17, 18, 19
5x5x 5
3x10x 4, 6, 7, 9
3x15x 4, 6, 7
Kombinatorikus 3D összerakók
Milyen téglatestek rakhatók ki a J-ből?
A J 3D-s prím dobozai:
2x4x 10, 15
2x5x 6, 10, 14, 15, 17, 19
2x7x 10, 15
3x3x 10, 15
3x4x 5
3x5x 5, 6, 7
4x4x5
4x5x5
5x5x5
Kombinatorikus 3D összerakók
Milyen téglalapok és -testek rakhatók
ki az Y, N, J kombinációiból?
Nem tudjuk!
Kirakható-e bármely 2-féle elemet tartalmazó
kombinációból az 5-ös kocka? Igen!
Kirakható-e bármely, mindhárom elemet
Igen!
tartalmazó kombinációból az 5-ös kocka?
Mik az elemkombinációk prím dobozai?
Főleg nem tudjuk!
Kombinatorikus 2D összerakók
Téglalaposítható pentominók
Kombinatorikus 2D összerakók
Kombinatorikus 2D összerakók
Kombinatorikus 2D összerakók
Kombinatorikus 2D összerakók
Kombinatorikus 2D összerakók
Kombinatorikus 2D összerakók
Kombinatorikus 2D összerakók
Aperiodikus parkettázás
Aperiodikus parkettázás
Penrose csempe
Aperiodikus parkettázás
Aperiodikus parkettázás
Aperiodikus parkettázás
Aperiodikus parkettázás
Aperiodikus parkettázás
Aperiodikus parkettázás
Aperiodikus parkettázás
Aperiodikus parkettázás
Aperiodikus parkettázás
Aperiodikus parkettázás
Aperiodikus parkettázás
Aperiodikus parkettázás
Aperiodikus parkettázás
Ammann
Aperiodikus parkettázás
Ammann
Kombinatorikus 2D összerakók
Tridrafter
Kombinatorikus 2D összerakók
Tridrafter
Tangramok
Szabályos alakzat szétvágásával
keletkező elemek
2D összerakók - Tangramok
Téglalap darabolása
2D összerakók - Tangramok
Téglalap darabolása
2D összerakók - Tangramok
Coffin négyzete
2D összerakók - Tangramok
Coffin négyzete
2D összerakók - Tangramok
Coffin négyzete
2D összerakók - Tangramok
Coffin négyzete
3D összerakók - dobozparadoxonok
Olvasztótégely
3D összerakók - dobozparadoxonok
Paradoxopiped
Összekapcsolódó
• Öntartóak
• Egymáson áthatoló elemek
• Fontos az összerakási
sorrend
• Sok szimmetria
Összekapcsolódó
Egyszerű csomó
Összekapcsolódó
Egyszerű csomó
2-es fokozat
Összekapcsolódó
Ketrecbe zárt csomó
12-es fokozat!!!
Összekapcsolódó
Ketrecbe zárt csomók
6 elemű rabkeresztek
6 elemű rabkeresztek
Elemek:
• 6*2*2-es vagy hosszabb
hasábok
• Kis kockák kivágva
• Elvben: 212=4096 féle elem
• Ténylegesen: 837
• Fajtái:
– fűrészelhető
– marható
– általános
6 elemű rabkeresztek
•Készlet az összes tömör kereszthez:
6 elemű
rabkeresztek
•Készlet az összes tömör
kereszthez:
42 db elem
25 fajta
220 tömör mo.
17 ezer lyukas mo.
6 elemű rabkeresztek
Legegyszerűbb
Legtöbb hamis megoldás
(legnehezebb?)
10-es fokozat, 1 mo.
12-es fokozat, színekkel 1 mo.
6 elemű rabkeresztek
Golyókkal nehezített
6 elemű rabkeresztek
A programozók rémálma
6 elemű rabkeresztek
Ketrecben
1-22-es fokozat
Táblás rabkeresztek
Táblás rabkeresztek
„Alap” kereszt
3.11-es fokozat
Táblás rabkeresztek
Tortúra
17-es fokozat!
Táblás rabkeresztek
„Clarissa” kereszt
6-os fokozat
Táblás rabkeresztek
Squarrel kereszt
6.4-es fokozat
2.5D összerakó
Elemek hossza:
2 2
2 2
1 2
2 2 1
Doboz mérete:
3 4 2
2.5D összerakó
Elemek hossza:
3 3
2
3
2 3
2
3
3
2
3
2
Doboz mérete:

5 3

3   4 

3


Játékok az „erdőből”
Köszönöm a figyelmet!
Örömmel fogadom a felmerülő kérdéseket,
észrevételeket.
Sok-sok játék részletes leírása megtalálható
könyvemben:
Gál Péter
[email protected]