Transcript Réussir une séquence de calcul mental Des outils pour la classe Réussir une séquence de calcul mental – Des outils pour la classe Travail réalisé.

Réussir une séquence
de calcul mental
Des outils pour la classe
Réussir une séquence de calcul
mental – Des outils pour la classe
Travail réalisé par Christelle Coin PE , Fabienne JafforyGlandier PE spécialisé, Christophe Carval PE, Dominique
Dagiste Directeur, Eddy Thimon PEMF, Liliane Laguerre CPC
Circonscription Fort-de-France 1 – Mars 2013
Sommaire - Cliquez sur le lien voulu
NB : sur chaque diapositive, cliquez sur le bouton en bas à droite pour revenir au sommaire principal
Importance du calcul mental
Les progressions
Le Lexique
Calcul mental
Faits numériques
Procédures numériques
Différencier faits numériques et procédures
Calcul posé
Calcul instrumenté
Calcul réfléchi
Institutionnalisation souple
Systématisation
Zoom sur la trace écrite
- le tableau
- les affichages didactiques
- l’ardoise
- le cahier
La séquence type
Phase de découverte
Phase 2 : Institutionnalisation souple
Phase 3 : Systématisation
Phase 4 : Evaluation
Exemples de séquence
Ajouter 9
Multiplier par 11
Comment évaluer le calcul mental ?
Plusieurs évaluations
Les grilles de référence palier 1
Les grilles de référence palier 2
La table de Pythagore, un outil à exploiter
Bibliographie
Importance du calcul mental, ce que
disent les textes…
 Au cycle 2 :
 L’apprentissage des mathématiques développe l’imagination, la
rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement.
…une pratique régulière du calcul mental est indispensable. De
premiers automatismes s’installent. L’acquisition des mécanismes en
mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur
signification.
 Les élèves mémorisent et utilisent les tables d’addition et de
multiplication (par 2, 3, 4 et 5)
 L’entraînement quotidien au calcul mental permet une
connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation
avec leurs propriétés.
 Selon le socle commun, palier 1 l’élève est capable de calculer
mentalement en utilisant des additions, des soustractions, et des
multiplications simples.
Importance du calcul mental, ce que
disent les textes…
Au cycle 3
L’élève renforce ses compétences en calcul mental. Il
acquiert de nouveaux automatismes. L’acquisition de
mécanismes en mathématiques est toujours associée çà
une intelligence de leur signification.
 La maîtrise des principaux éléments mathématiques
aide à agir dans la vie quotidienne et prépare la poursuite
d’études au collège.
 Selon le socle commun, palier 2, l’élève est capable de
calculer mentalement en utilisant les quatre opérations et
d’estimer l’ordre de grandeur d’un résultat.
Importance du calcul mental, un
enseignement fondamental
• François Boule « … Le calcul mental vise à
établir et renforcer des représentations
numériques et la structuration de l’ensemble
des nombres. C’est en cela qu’il contribue à
une meilleure compréhension des opérations
numériques et de leurs propriétés principales,
toutes connaissances nécessaires en
particulier à l’amélioration du calcul écrit ou
instrumenté. » Le calcul mental au quotidien-scéren CRDP Bourgogne
Importance du calcul mental, un
enseignement fondamental
Autrement dit, une pratique quotidienne du
calcul mental facilite :
 la connaissance des nombres (construction,
décomposition, numération décimale,…)
 la maîtrise des techniques opératoires
 la résolution des problèmes
 l’évaluation de la pertinence de l’utilisation
de la calculatrice
Importance du calcul mental, un
enseignement fondamental
 Développe les compétences 6 et 7 du socle,
notamment en communication
 Les élèves apprennent à argumenter, justifier
leurs réponses
LES PROGRESSIONS
Les progressions au cycle 2
Cours préparatoire
- Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers
naturels inférieurs à 100.
- Produire et reconnaître les décompositions additives des
nombres inférieurs à 20 (“table d’addition”).
- Comparer, ranger, encadrer ces nombres.
- Écrire une suite de nombres dans l’ordre croissant ou
décroissant.
- Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les
moitiés des nombres pairs inférieurs à 20.
- Connaître la table de multiplication par 2.
- Calculer mentalement des sommes et des différences.
- Calculer en ligne des sommes, des différences, des
opérations à trous.
- Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition
et commencer à utiliser celles de la soustraction (sur les
nombres inférieurs à 100).
- Résoudre des problèmes simples à une opération.
Cours élémentaire
première année
- Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers
naturels inférieurs à 1 000.
- Repérer et placer ces nombres sur une droite graduée, les
comparer, les ranger, les encadrer.
- Écrire ou dire des suites de nombres de 10 en 10, de 100 en
100, etc.
- Connaître les doubles et moitiés de nombres d’usage
courant.
- Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5.
- Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour
calculer des sommes, des différences et des produits.
- Calculer en ligne des suites d’opérations.
- Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition
et de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 1 000).
- Connaître une technique opératoire de la multiplication et
l’utiliser pour effectuer des multiplications par un nombre à
un chiffre.
- Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient
exact entier).
- Résoudre des problèmes relevant de l’addition, de la
soustraction et de la multiplication.
- Approcher la division de deux nombres entiers à partir d’un
problème de partage ou de groupements.
- Utiliser les fonctions de base de la calculatrice.
Les progressions au cycle 3
Cours élémentaire
deuxième année
Cours moyen
première année
Cours moyen
deuxième année
Les nombres entiers jusqu’au million
- Connaître, savoir écrire et nommer les nombres
entiers jusqu’au million.
- Comparer, ranger, encadrer ces nombres.
- Connaître et utiliser des expressions telles que :
double, moitié ou demi, triple, quart d’un nombre
entier.
- Connaître et utiliser certaines relations entre des
nombres d’usage courant :
entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30 et 60.
Les nombres entiers jusqu’au milliard
Les nombres entiers
- Connaître, savoir écrire et nommer les nombres
entiers jusqu’au milliard.
- Comparer, ranger, encadrer ces nombres.
- La notion de multiple : reconnaître les multiples
des nombres d’usage courant : 5, 10, 15, 20, 25,
50.
Calcul sur des nombres entiers
Calculer mentalement
- Mémoriser et mobiliser les résultats des tables
d’addition et de multiplication.
- Calculer mentalement des sommes, des
différences, des produits.
Effectuer un calcul posé
- Addition, soustraction et multiplication.
- Connaître une technique opératoire de la division
et la mettre en œuvre avec un diviseur à un chiffre.
- Organiser ses calculs pour trouver un résultat par
calcul mental, posé, où à l’aide de la calculatrice.
- Utiliser les touches des opérations de la
calculatrice.
Problèmes
- Résoudre des problèmes relevant des quatre
opérations.
Calcul
Calculer mentalement
- Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers.
- Multiplier mentalement un nombre entier ou
décimal par 10, 100, 1 000.
- Estimer mentalement un ordre de grandeur du
résultat.
Effectuer un calcul posé
- Addition et soustraction de deux nombres
décimaux.
- Multiplication d’un nombre décimal par un
nombre entier.
- Division euclidienne de deux entiers.
- Division décimale de deux entiers.
- Connaître quelques fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour effectuer une suite de
calculs.
Problèmes
- Résoudre des problèmes engageant une
démarche à une ou plusieurs étapes.
Calcul
Calculer mentalement
- Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et décimaux.
- Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100,
1 000.
Effectuer un calcul posé
- Addition, soustraction, multiplication de deux
nombres entiers ou décimaux.
- Division d’un nombre décimal par un nombre
entier.
- Utiliser sa calculatrice à bon escient.
Problèmes
- Résoudre des problèmes de plus en plus
complexes.
LE LEXIQUE
Le lexique : être au clair avec
quelques expressions
Cliquez sur le lien
 Calcul mental
 Faits numériques
Procédures
Différencier faits numériques et procédures
 Calcul posé
 Calcul instrumenté
 Calcul réfléchi
 Institutionnalisation souple
 Systématisation
Le lexique - Le calcul mental
Le calcul mental c’est l’ensemble constitué
des faits numériques et des procédures.
Enseigner le calcul mental, c’est donc
enseigner les faits numériques et les
procédures.
C’est un préalable au calcul posé !
Le lexique – les faits numériques
 Les faits numériques font appel à la
mémoire, on les mémorise
 Mémorisation à construire en classe
– Apprendre les tables d’addition et de
multiplication
– Les compléments à 10, à la dizaine supérieure, à
100
– doubles, moitié, tiers,…
– multiples et diviseurs
Le lexique – les procédures
Les procédures constituent un répertoire de
techniques mobilisables issues d’un
enseignement structuré qui ne se termine
pas à l’école élémentaire
Les procédures doivent être automatisées
 Reconnaître les situations
 Les maîtriser
Un exemple : ajouter 9, multiplier par 11
Nécessiter de connaître les faits numériques
Différencier faits numériques et
procédures
Faits ou procédures numériques, à vous de jouer ?
•5 x 2
•12 x 11
•10 – 5
•56 – 29
•45 + 27
•50 : 2
•65 + 38
Différencier faits numériques et
procédures
Faits ou procédures numériques?
5x2

= 10,table de 2, ou de 5, résultat mémorisé, fait numérique
6x4

= 24, résultat mémorisé, fait numérique
12 x 11

= 12 x 10 + 12 x 1 = 120 + 12 = 132, procédure numérique
10 – 5

= 5, complément à 10, résultat mémorisé, fait numérique
56 – 29

= 56 – 30 + 1 = 26 + 1 = 27, procédure numérique
45 + 27

= 45 + 20 + 7 = 65 + 7 = 72 ou
= 40 + 20 + 5 + 7 = 60 + 12 = 72 ou
= 40 + 5 + 27 = 40 + 32 = 72, procédures numériques
50 : 2

= 25, moitié de 50, résultat mémorisé, fait numérique
65 + 38

= 65 + 40 – 2 = 105 – 2 = 103, procédure numérique
Attention !
Lexique - Le calcul posé
 Le prérequis : connaître les tables d’addition
et les compléments à 10, avoir compris la
numération de position
 Apprentissage d’un algorithme, d’une
technique opératoire
 Les quatre opérations : addition,
soustraction, multiplication, division
Lexique – Le calcul instrumenté
 C’est l’utilisation de la calculatrice
 Un outil de vérification
 Doit faire l’objet d’un apprentissage
(vraisemblance du résultat)
Lexique – le calcul réfléchi
 N’apparaît plus dans les programmes
2008 !
Lexique – Institutionnalisation souple
Lexique - systématisation
 Entraînement avec application de la
procédure privilégiée lors de
l’institutionnalisation souple (15 minutes) – de
1 à 3 séances
 L’ardoise = outil privilégié
 Les jeux de confrontation
La séquence type
Enseigner une procédure
La séquence type
4 grands moments :
Cliquez sur le lien voulu
Phase de découverte
 Phase 2 : Institutionnalisation souple
 Phase 3 : Systématisation
 Phase 4 : Evaluation
La séquence type – Phase de découverte
 Séance
1, de 30 à 45 minutes, séance la plus longue de la
séquence
Objectif : trouver une procédure de calcul
La situation de départ : Un problème, un calcul, une question, avec
des contraintes
Recherche : individuelle ou en groupe selon la difficulté des
procédures à acquérir, sur des affiches A3 qui seront utilisées comme
affichage
Mise en commun : recensement des différentes procédures qui
doivent être toutes explicitées par les élèves. Les procédures erronées
sont écartées après explication.
Les affiches comportant les procédures justes sont collées dans la
classe.
Trace écrite : Les procédures sont notées sur le cahier de calcul
mental, ou de mathématiques.
La séquence type –
Institutionnalisation souple
 Phase 2 – Sélectionner les procédures les plus
efficaces en fonction de l’objectif de l’enseignant
(15 à 20 minutes)
Hiérarchiser la ou les procédures à privilégier
Outils : l’ardoise, le cahier
Trace écrite : Mise en relief des procédures retenues
Activités en temps limité, contraintes plus fortes pour
amener à se rendre compte qu’il y a des procédures plus
rapides
La séquence type - Systématisation
 Phase
3 – Entraînement avec application de la
procédure privilégiée (15 minutes) – de 1 à 3
séances
Outils : cahier, ardoise
L’ardoise permet une évaluation formative. Les élèves en difficulté sont
sollicités.
NB : l’utilisation de l’ardoise nécessite une bonne maîtrise du procédé de La
Martinière
Introduction des cas particuliers pour lesquels la procédure n’est pas
appropriée.
La séquence type – L’évaluation
Phase 4 : Vérification des acquis des élèves
 C’est le moment de l’évaluation sommative
 Une seule séance
 Outil : cahier de devoir, d’évaluation
cf. Comment évaluer le calcul mental ?
Zoom sur la trace écrite
Zoom sur la trace écrite
Plusieurs types de traces écrites
 Les écrits collectifs
- le tableau
- les affichages didactiques
 Les écrits individuels
- l’ardoise
- le cahier
Les écrits collectifs – Le tableau
Le tableau
 Aide à la mise en forme, à la recherche, et à la
correction
 Collecte des informations (support de
l’explication, du dialogue entre maître et classe)
Les écrits collectifs – le tableau
• L’élève explique sa
démarche au reste de
la classe
• Permet de montrer à
l’ensemble de la classe
plusieurs solutions au
problème posé
Les écrits collectifs – les affichages
didactiques
 Les affichages didactiques
 Fonction didactique de référence, mémoire des
solutions proposées par les élèves.
Les élèves pourront s’y référer lors des séances
suivantes.
 Valorisation des productions des élèves
On liste toutes les procédures proposées par les élèves. On
hiérarchisera lors de la phase d’institutionnalisation souple.
Les écrits individuels – l’ardoise
 L’ardoise
 Outil précieux pour l’enseignant : contrôle rapide des
connaissances des tous les élèves lors de la phase de
systématisation
 Ciblage rapide des difficultés récurrentes
 Correction plus immédiate
 Peut être également utilisé lors de la phase de découverte
en précisant aux élèves de noter la totalité de leur démarche
Les écrits individuels – l’ardoise
• Contrôle instantané des réponses, vision à la
fois collective et individuelle
Les écrits individuels – l’ardoise
• Permet une comparaison des diverses
solutions : les différentes propositions seront
explicitées. On écartera les solutions
erronées après justification.
Les écrits individuels – les cahiers
 Les cahiers
 Cahier de calcul mental
– Sera utilisé pour noter toutes les procédures justes
proposées par les élèves, lors de la phase de découverte
– Lors de l’institutionnalisation souple pour mettre en
évidence la ou les procédure(s) privilégiée(s)
– Lors de la systématisation pour les exercices
d’entraînement
 Cahier de devoirs ou d’évaluation
– Lors de l’évaluation sommative, phase 4 de la démarche
Les écrits individuels – les cahiers
• Un exemple de cahier de calcul mental
Les
procédures
Exercices
d’entraînement
Phase de
systématisation
EXEMPLES DE SEQUENCE
Exemples de séquences
• Ajouter 9
• Multiplier par 11
Un exemple de séquence – Ajouter 9
•
•
•
Phase de découverte
Situation de départ : Notre classe compte 25 élèves. 9 élèves d’une autre classe
viennent chanter avec nous. Combien d’élèves y aura-t-il en tout ?
Contraintes : trouve le résultat sans poser le calcul, sans calculatrice, et le plus
rapidement possible.
•
•
•
•
•
•
•
Les procédures possibles :
25 + 9 = 34 par sur comptage
25 + 9 = 25 + 5 + 4 = 30 + 4 (décomposition du 9)
25 + 9 = 24 + 1 + 9 (décomposition du nombre initial)
25 + 9 = 20 + 5 + 9 = 20 + 14
25 + 9 = 25 + 10 – 1
25 + 9 =25 – 1 + 10
•
Toutes ces solutions seront notées sur la feuille A3 et affichées dans la classe.
Elles seront également copiées dans le cahier de calcul mental.
Les différentes procédures sont notées dans le
cahier de calcul mental
Ajouter 9
Phase 2 :
Institutionnalisation
souple
Ajouter 9
• Phase 3 – Systématisation : Entraînement avec application de la
procédure privilégiée (15 minutes) – de 1 à 3 séances (selon le niveau
des élèves)
Outils : cahier, ardoise
Séance 1 de la phase de systématisation
La séance commence par un rappel de la ou les procédures privilégiées puis
les élèves travaillent sur l’ardoise.
46 + 9 ; 53 + 9 ; 68 + 9 ; 93 +9, ….
Introduction des cas particuliers pour lesquels la procédure
n’est pas appropriée.
40 + 9 ; 31 + 9 ; 2 + 9
Faire les élèves oraliser sur le fait que la procédure peut ne plus
être pertinente, notamment, dans le cas de la dizaine ronde,
des petits calculs additifs
Ajouter 9
Ajouter 9
Ajouter 9
Phase 3 (suite) :
Séances 2, 3 de la phase de systématisation
Introduction des problèmes, des jeux, des nombres plus grands
•Exemples de petits problèmes
• Lors d'une épreuve de saut , Un participant classé 12ème a sauté à 102 m,
soit 9 m de moins que le premier. Quelle distance a réalisée le gagnant?
• Un téléphone portable qui valait 158 euros a subi une augmentation de 9
euros. Quel est son nouveau prix?
• Lors d'une course, un homme a passé 336 heures en mer avant de franchir
la ligne d'arrivée en tête; le deuxième avait 9 heures de retard sur lui.
Combien de temps le second est-il resté en mer?
Un exemple de séquence – Multiplier
par 11
• Séquence à venir
Evaluer le calcul mental
Evaluer le calcul mental
Evaluation…
 Diagnostique, avant de commencer
l’apprentissage
 Formative, dès la deuxième phase
 Sommative à la fin de la séquence
 Evaluation formative sur l’ardoise ou sur le
cahier de calcul mental, à l’aide de jeux
 Evaluation sommative, sur le cahier de devoirs
 Importance de la variable didactique, temps
Utiliser les grilles de référence
Evaluer le calcul mental – Les grilles de référence – palier 1
Items
Explicitation des items
Indications pour l’évaluation
Diviser par 2 et par 5
dans
le cas où le quotient
exact
est entier
Diviser par 2 ou 5 des nombres
inférieurs à 100 (quotient
exact entier).
L’évaluation est réalisée à l’oral ou à l’écrit :
- par de courts exercices dédiés ;
- dans le cadre de la résolution d’un problème de partage ou de
groupement ;
- dans le cadre du calcul ou de la recherche de la moitié d’un
nombre donné (cas de la division par 2).
Le signe de la division est « : ». La technique opératoire (potence)
n’est pas exigible mais son usage pour
calculer une division, même simple, est accepté.
Restituer et utiliser les
tables d’addition et de
multiplication par 2, 3, 4
et 5
- Produire et reconnaître les
décompositions additives
des nombres inférieurs à 20
(tables d’addition).
- Connaître les doubles et
moitiés de nombres d’usage
courant.
- Mémoriser les tables de
multiplication par 2, 3, 4 et 5.
L’évaluation est réalisée à l’oral ou à l’écrit (dans ce cas, le temps
de réponse est limité). Elle ne se réduit pas à
une récitation des tables.
Cet item peut aussi être évalué à l’occasion d’opérations posées.
Proposer des opérations du type :
- 8 + 7 =… ; 17 = 8 + … ; 14 – 6 =… ;
- de 6 à 10 ? de 43 à la dizaine supérieure ?
- le double de 8, de 20, de 300 ;
- la moitié de 400, de 50, de 18 ;
- 4 fois 8 ? 8 fois 4 ? 3 multiplié par 7 ? 7 multiplié par 3 ?
- en 36 combien de fois 4 ? en 36 combien de fois 9 ?
- 24 c’est ..?
Calculer mentalement en
utilisant des additions,
des
soustractions et des
multiplications simples
Connaître et utiliser des
procédures de calcul mental
pour calculer des sommes, des
différences et des
produits.
L’évaluation est réalisée à l’oral ou à l’écrit (dans ce cas l’élève ne
doit ni poser l’opération, ni écrire de calculs
intermédiaires). Le temps de réponse est limité. L’énoncé peut
être écrit au tableau ou donné oralement.
Proposer :
- des tâches du type « calcule mentalement le résultat de 27+15 …
»;
- des problèmes à données numériques très simples.
Evaluer le calcul mental – Les grilles de référence – palier 2
Item
Explicitation des items
Indications pour l’évaluation
Restituer les tables
d’addition et de
multiplication de 2
à9
Mémoriser et mobiliser les résultats des
tables d’addition
et de multiplication.
L’évaluation est réalisée à l’oral ou à l’écrit (dans ce cas, le temps de
réponse est limité). Elle ne se réduit pas à une récitation des tables.
Cet item peut aussi être évalué à l’occasion d’opérations posées.
Proposer des opérations du type :
- 8 + 7 =… ; 17 = 8 + … ; 14 - 6 = … ;
- quel est l’écart entre 6 et 10 ? quel est l’écart entre 43 et la dizaine
supérieure ?
- quel est le double de 8, de 20, de 300 ? quelle est la moitié de 400,
de 50, de 18 ?
- combien font 4 fois 8 , 8 fois 4, combien font 3 multiplié par 7, 7
multiplié par 3 ?
- en 36 combien y a-t-il de fois 4 ? en 36 combien y a-t-il de fois 9 ?
- 24 c’est …
Calculer
mentalement en
utilisant les quatre
opérations
-
- Consolider les connaissances et capacités en
calcul mental sur les nombres entiers et
décimaux.
- Connaître et utiliser des expressions telles
que :
double, moitié ou demi, triple et tiers,
quadruple et
quart d’un nombre entier.
- Notion de multiple : reconnaître les multiples
des nombres d’usage courant : 5, 10, 15, 20,
25, 50.
- Calculer mentalement des sommes, des
différences et des produits.
- Multiplier et diviser mentalement un nombre
entier ou
décimal par 10, 100, 1000.
L’évaluation est réalisée à l’oral ou à l’écrit : dans ce cas l’élève ne doit
pas poser l’opération ni écrire de calculs
intermédiaires. Le temps est limité. L’énoncé peut être écrit au
tableau ou donné oralement.
Proposer des situations d’évaluation variées, qui amènent à mobiliser
:
- la connaissance des nombres et les principes de la numération
décimale de position ;
- les tables d’addition et de multiplication.
Les situations d’évaluation mobilisent aussi les principales propriétés
des opérations :
- la commutativité ;
- l’associativité ;
- la distributivité de la multiplication sur l’addition.
Ces termes n’ont pas à être connus des élèves.
L’évaluation peut consister en :
- des tâches du type « calcule mentalement …» ;
- des problèmes à données numériques très simples.
La table de Pythagore – un outil à
exploiter
BIBLIOGRAPHIE
Bibliographie
• Tout pour la calcul mental, CE2, CM1, CM2
Magnard
• Le calcul mental au quotidien, cycle 2, cycle 3,
CRDP de bourgogne
• CLR 1000 exercices de calcul mental CE2/CM Livre de l'élève - Ed.2011 Hachette éducation
Pour finir…
• A retenir : le calcul mental doit faire l’objet
d’une pratique quotidienne, selon un
apprentissage structuré !
• Ce diaporama est en cours d’élaboration. Il
sera complété prochainement. N’hésitez à la
consulter régulièrement !