Transcript La razón áurea El número de oro Por :Vicente Baranda Cantalapiedra Nivel: 3º de E.S.O. En ésta presentación podrás ver: El rectángulo áureo El número de.

La razón áurea
El número de oro
Por :Vicente Baranda Cantalapiedra
Nivel: 3º de E.S.O.
En ésta presentación podrás ver:
El rectángulo áureo
El número de oro
Cómo construir un rectángulo áureo
Cómo obtener el número de oro
La espiral de Durero
Cómo construir la espiral de Durero
El número áureo en el pentáculo
El número de oro en el arte, la arquitectura, la
naturaleza…
Test de autoevaluación
Practica lo aprendido
Una de las figuras geométricas más presentes en
nuestra vida son los rectángulos
•
La pizarra de tu aula es rectangular
•
La puerta de tu habitación es rectangular
•
La pantalla del televisor es rectangular
Pero resulta que hay algunos rectángulos
que tienen una curiosa propiedad.
Veamos cuál es
El rectángulo áureo
Un rectángulo áureo tiene la siguiente propiedad: Si se dibuja en él,
el mayor cuadrado posible y se recorta el rectángulo obtenido, el
primer rectángulo y el segundo tiene los lados proporcionales , es
decir ,tienen la misma forma. OBSERVA LA SIGUIENTE ANIMACIÓN
a
b
Estos dos rectángulos tienen
los lados proporcionales
d
c
a b

d c
Repetir animación
El rectángulo áureo
Un rectángulo áureo tiene la siguiente propiedad: Si se dibuja en
él, el mayor cuadrado posible y se recorta el rectángulo obtenido,
el primer rectángulo y el segundo tiene los lados proporcionales ,
es decir ,tienen la misma forma.
a
b
Estos dos rectángulos tienen
los lados proporcionales
d
c
a b

d c
Veamos que ésto no ocurre con cualquier rectángulo
Estos dos rectángulos tiene
la misma altura pero
distinta base, por tanto no
son proporcionales
El número de oro
• Si en un rectángulo áureo dividimos la
longitud del lado largo entre la longitud
del lado corto nos da el número de oro
a
b
a
   1,6180339 ...
b
Como construir un rectángulo áureo
D
M
Dibuja un cuadrado y desde el
punto medio de la base traza un
segmento hasta el vértice D
Con centro en M, traza un arco de circunferencia
y prolonga la base del cuadrado. La altura del
rectángulo es la misma que la del cuadrado
Aquí tienes tu
rectángulo
áureo
El número de oro se obtiene de una manera sencilla partiendo de
un cuadrado de lado 2 u.m. y construyendo el rectángulo áureo
D
Partimos de un cuadrado de lado 2 u.m., con lo
que el segmento desde el punto medio de la base 5
hasta D mide , aplicando el teorema de Pitágoras
en el triángulo rectángulo
5
2
1
1
M
La base del rectángulo es por tanto51+
y la altura 2
2
5
1+ 5
Si en el un rectángulo áureo dividimos
la longitud del lado largo entre la
longitud del lado corto nos da el
1 5

2
  1,6180339...
número de oro
Comprueba que si partes de un cuadrado de lado 1 u.m., la
base del rectángulo mide exactamente
u.m.

La espiral de Durero
En 1525, tres años antes de morir, el genial pintor renacentista y gran enamorado de
las Matemáticas, Alberto Durero (1471-1528) publica una obra titulada Instrucción
sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas. Es un precioso libro
en el que pretende enseñar a los artistas, pintores y matemáticos de la época
diversos métodos para trazar diversas figuras geométricas.
En esta obra Durero muestra cómo trazar con regla y compás algunas espirales y
entre ellas una que pasará a la historia con su nombre: la Espiral de Durero.
En la siguiente diapositiva aprenderemos a trazar ésta espiral
Cómo construir la espiral de Durero
Simplemente se trata de construir una sucesión de rectángulos áureos y unir los
vértices diagonalmente opuestos de los cuadrados
Repetir animación
Cómo construir la espiral de Durero
El número áureo en el pentáculo
Existe la relación del número
áureo también en el pentáculo, un
símbolo pagano,que adoptaron los
Pitagóricos, más tarde acogido por
la iglesia católica para representar
a la Virgen María, y también por
Leonardo da Vinci para asentar en él
al Hombre de Vitruvio.(Aparece en
la portada)
Gráficamente el número áureo es la
relación entre el lado del pentágono
regular y la recta que une dos
vértices no consecutivos de éste. Si

1
se toma como unidad un lado del
pentágono cuyas diagonales
forman la estrella, cualquier
línea que marca los brazos de la
estrella mide Φ.
El número de oro en el arte, la arquitectura, la
naturaleza…
El número de oro aparece, en las
proporciones que guardan
edificios, esculturas, objetos,
partes de nuestro cuerpo, etc..
Un ejemplo de rectángulo áureo
en el arte es el alzado del
Partenón griego.
En la Gran Pirámide de Keops,
aparece varias veces el número
áureo, una de ellas es que el
cociente entre la altura de uno de
los tres triángulos que forman la
pirámide y el lado es igual a 2
veces el número de oro
Unas proporciones armoniosas
para el cuerpo, que estudiaron
antes los griegos y romanos, las
plasmó en este dibujo Leonardo da
Vinci. Sirvió para ilustrar el libro
La Divina Proporción de Luca
Pacioli editado en 1509.
Pacioli propone un hombre
perfecto en el que las relaciones
entre las distintas partes de su
cuerpo sean proporciones áureas.
Estirando manos y pies y haciendo
centro en el ombligo se dibuja la
circunferencia.. Resulta que el
cociente entre la altura del hombre
(lado del cuadrado) y la distancia
del ombligo a la punta de la mano
(radio de la circunferencia) es el
número áureo.
En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento de
las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, dimensiones
de insectos y pájaros y la formación de caracolas.
Aquí tienes la espiral de Durero
En varias sonatas para piano de Mozart, la proporción entre
el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana
posible a la razón áurea. ¿Intuición?
Tampoco se sabe si fue consciente de ello, pero en su Quinta
Sinfonía Beethoven distribuye el famoso tema siguiendo la
sección áurea .
Y tú llevas un
rectángulo
áureo en tu
cartera
Test de autoevaluación
1) El número áureo es un número:
a) Natural
b) Decimal periódico
c) Irracional
2)
Si construimos una sucesión de rectángulos áureos podemos
trazar
a) La espiral de Durero
b) La estrella pitagórica
3) ¿En qué importante edificio que sale en esta presentación aparece
el rectángulo áureo?
a) El partenón
b) La pirámide de Keops
Test de autoevaluación
4)
En las proporciones armoniosas del cuerpo humano que plasmó
Leonardo Da Vinci se cumple:
a) La razón entre la altura del hombre y la distancia de la
base al ombligo es el número de oro
b) La razón entre el radio de la circunferencia y la
distancia de la base al ombligo es el número de oro
5) En esta presentación se ponen dos ejemplos de compositores que
utilizaron la razón áurea en sus composiciones:
a) Mozart y Verdi
b) Bethoven y Vivaldi
c) Mozart y Bethoven
Practica lo aprendido
Realiza los siguiente ejercicos en tu cuaderno de trabajo.
1. Dibuja un cuadrado de 1 dm de longitud y a partir del
mismo construye un rectángulo áureo.
2. En el rectángulo anterior demuestra que la base del
mismo es exactamente el número áureo
3. Traza una sucesión de rectángulos áureos y la espiral de
Durero
4. Dibuja un pentágono regular de lado 1 dm. ¿Qué segmento
mide Φ dm.?. Traza una sucesión de pentáculos a partir de
los sucesivos pentágonos?
5.Comprueba que tú D.N.I. es un rectángulo áureo