Transcript Indeksy statystyczne Janusz Górczyński Rodzaje danych liczbowych Absolutne (mianowane), np. wynagrodzenie pracowników w złotych, wydajność pracy mierzona w sztukach danego produktu na godzinę.

Indeksy statystyczne
Janusz Górczyński
Rodzaje danych liczbowych
Absolutne (mianowane), np. wynagrodzenie pracowników w złotych,
wydajność pracy mierzona w sztukach danego produktu na godzinę pracy,
zużycie paliwa w litrach na 100 km itd .
Jak pamiętamy ze statystyki takie miary położenia jak średnia,
mediana czy kwartyle są liczbami mianowanymi. Podobnie takie miary
rozrzutu jak wariancja czy odchylenie standardowe również są liczbami
mianowanymi
Względnymi (niemianowanymi), które powstają poprzez porównanie
dwóch liczb mianowanych. Również ze statystyki pamiętamy takie miary
względne jak choćby współczynnik zmienności, czy współczynnik
korelacji lub determinacji. Miary tego typu pozwalają na porównywanie
zmienności różnych cech (o różnych miarach) lub siły związku różnych
par zmiennych.
2
Rodzaje danych liczbowych (c.d)
Liczby względne odgrywają szczególnie ważną rolę w analizie
rozwoju zjawisk w czasie, pozwalają bowiem na porównanie właśnie cech
(zjawisk) bezpośrednio nieporównywalnych.
Przykładowo, jeżeli w pewnym zakładzie w badanym okresie czasu
wartość produkcji wzrosła ze 150 mln zł do 180 mln zł, a wielkość
zatrudnienia w tym samym okresie wzrosła z 1000 osób do 1100 osób, to
bezpośrednie porównanie tych dwóch zjawisk jest niemożliwe (różne
jednostki). Jeżeli jednak przejdziemy na wartości procentowe dla obu
zjawisk, to ich porównanie jest już możliwe. Widzimy bowiem, że
wartość produkcji wzrosła w badanym okresie o 20 %, a wielkość
zatrudnienia o 10 %, tym samym rosła wydajność pracy (ze 150 tys. zł na
1 zatrudnionego w pierwszym okresie do 163,6 tys. zł w drugim okresie).
3
Podstawowe mierniki dynamiki
Niech
y t ( t  0 , 1, 2 , ..., n  1)
oznacza wartość danego zjawiska w chwili t. Podstawowymi
miernikami dynamiki są:
Absolutne przyrosty wartości yt w okresie czasu t-1, t:
 t  yt  yt 1 (t  1, 2, ..., n  1)
Względne przyrosty wartości yt w okresie czasu t-1, t:
t
t 
(t  1, 2, ...,n  1)
yt *
gdzie yt* oznacza wartość danego zjawiska w dowolnie
wybranej chwili t*
4
Podstawowe mierniki dynamiki (c.d)
Wskaźniki (indeksy) dynamiki wartości yt:
it t*
yt

yt *
(t  0,1, 2, ...,n  1)
gdzie yt* oznacza wartość danego zjawiska w dowolnie
wybranej chwili t*
5
Podstawowe mierniki dynamiki (c.d)
W przypadku gdy punktem odniesienia w każdym momencie
czasowym jest wartość zjawiska w poprzednim okresie, to takie
przyrosty względne nazywamy łańcuchowymi:
t
t 
(t  1, 2, ...,n  1)
yt 1
Jeśli zaś punkt odniesienia jest stały dla wszystkich
momentów czasowych, to takie przyrosty względne nazywamy
jednopodstawowymi .
6
Podstawowe mierniki dynamiki (c.d)
Analogiczne uwagi można sformułować także w odniesieniu
do indeksów.
W przypadku, gdy punktem odniesienia jest wartość
zjawiska w poprzednim okresie, to mówimy o indeksach
łańcuchowych.
W tych zaś przypadkach, gdy punktem odniesienia jest
wartość zjawiska w jakimś ustalonym momencie czasowym, to
mówimy o indeksach jednopodstawowych .
7
Wybór podstawy
Wybór stałej podstawy (w indeksach i względnych przyrostach) zależy od celu badań.
Może to być wartość pierwszego okresu lub dowolnego
innego, ale w każdym przypadku wybór podstawy musi być
uzasadniony przesłankami ekonomicznymi. Powinien to być
taki moment czasowy, który jest charakterystyczny dla
badanego zjawiska. Porównanie innych wartości badanego
zjawiska w odniesieniu do poprawnie wybranego okresu
podstawowego daje szansę na poznanie istoty zachodzących
zmian.
Z kolei wybór jako stałej podstawy takiej wartości danego
zjawiska, która jest wyjątkowo unikalna nie daje takiej szansy,
a wręcz prowadzi do fałszywych wniosków.
8
Interpretacja przyrostów i indeksów
Przyrosty absolutne t są miarą bezwzględnych zmian
w poziomie analizowanego zjawiska w czasie.
Przyrosty względne t są miarą tempa zmian.
Wskaźniki łańcuchowe (przyrosty względne i indeksy)
dają możliwość uchwycenia okresów o szczególnie dużym
lub szczególnie małym przyroście poziomu danego zjawiska
9
Przykład liczbowy 1
Wyznaczmy przyrosty absolutne i względne oraz indeksy
dynamiki liczby ciągników w rolnictwie w latach 19681983 na podstawie poniższych danych GUS.
Czas
Rok
0
1
2
3
4
5
6
7
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
Liczba
ciągników
180 500
202 700
224 531
248 400
278 800
319 200
364 800
401 200
Czas
Rok
8
9
10
11
12
13
14
15
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
Liczba
ciągników
434 000
472 600
514 460
573 100
619 353
669 671
710 199
757 283
10
Przykład 1, rozwiązanie
1
Czas
2
Rok
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
3
Liczba
ciągników
180 500
202 700
224 531
248 400
278 800
319 200
364 800
401 200
434 000
472 600
514 460
573 100
619 353
669 671
710 199
757 283
t
4
22 200
21 831
23 869
30 400
40 400
45 600
36 400
32 800
38 600
41 860
58 640
46 253
50 318
40 528
47 084
5
 t  t y 
t 1
12,30%
10,77%
10,63%
12,24%
14,49%
14,29%
9,98%
8,18%
8,89%
8,86%
11,40%
8,07%
8,12%
6,05%
6,63%
6
t
 
7
t
12,30%
12,09%
13,22%
16,84%
22,38%
25,26%
20,17%
18,17%
21,39%
23,19%
32,49%
25,62%
27,88%
22,45%
26,09%
y0
it t 1 i
1,12
1,11
1,11
1,12
1,14
1,14
1,10
1,08
1,09
1,09
1,11
1,08
1,08
1,06
1,07
8
t
0
1,00
1,12
1,24
1,38
1,54
1,77
2,02
2,22
2,40
2,62
2,85
3,18
3,43
3,71
3,93
4,20
11
Przykład liczbowy, opis
Oryginalne dane są podane w kolumnie drugiej i trzeciej, w
kolumnie pierwszej podano (pomocniczo) wartości zmiennej
czasowej.
W kolumnie czwartej wyznaczono absolutne przyrosty
liczby ciągników, z danych tych wynika, że największy przyrost
ciągników był w 1979 roku, a najmniejszy w 1970.
W kolumnie piątej wyznaczono względne przyrosty
łańcuchowe, z ich analizy wynika, że okresami o szczególnie
dużym tempie przyrostu liczby ciągników były lata 1972-74 oraz
rok 1979. Z kolei w latach 1982-83 obserwujemy szczególnie
małe tempo przyrostu ciągników.
12
Przykład liczbowy, opis (c.d)
W kolumnie szóstej wyznaczono względne przyrosty jednopodstawowe przyjmując jako podstawę liczbę ciągników w 1968
roku. Z analizy tego wskaźnika wynika, że w 1979 roku
rolnictwo zostało zasilone liczbą ciągników rzędu 1/3 ich stanu z
roku 1968. przyrost liczby ciągników w 1979 roku był
największy
W kolumnie siódmej zamieszczono indeksy łańcuchowe, ich
analiza potwierdza nasze wcześniejsze wnioski: lata 1972-74 i
rok 1979 to te, w których obserwowaliśmy największe zmiany w
liczbie ciągników w rolnictwie. Podobnie lata 1982-83 to te, w
których obserwujemy szczególnie mały przyrost liczby
ciągników.
13
Przykład liczbowy, opis (c.d)
Kolumna ostatnia zawiera indeksy o stałej podstawie (rok
1968).
Z ich analizy wynika, że w 1979 roku w rolnictwie było
ponad trzykrotnie więcej ciągników niż w roku
podstawowym, a w 1983 liczba ciągników była 4,2 raza
większa niż w okresie podstawowym.
14
Przeliczanie indeksów
15
Zmiana podstawy indeksu
Z definicji indeksów wynika, że mając indeks jednopodstawowy możemy w łatwy sposób zmienić podstawę indeksu:
yt
yt yt '
it t ' 

:
 it t* : it ' t*
yt ' yt* yt*
gdzie t’ jest czasem nowej podstawy.
Z powyższego wzoru wynika, że w celu zmiany podstawy
indeksu z czasu t* na czas t’ musimy każdy dotychczasowy
indeks podzielić przez indeks wyliczony dla czasu t’.
16
Przykład liczbowy 2, przeliczanie indeksów
jednopodstawowych
W przykładzie 1 wyznaczyliśmy indeksy przy podstawie
t*=0 (rok 1968). Chcemy zmienić podstawę indeksu na rok
1979, czyli t’=11.
i0 11  i0 0 : i11 0  1,00 : 3,18  0,31
i1 11  i1 0 : i11 0  1,12 : 3,18  0,35
...................................................
i11 11  i11 0 : i11 0  3,18 : 3,18  1,00
....................................................
i15 11  i15 0 : i11 0  4,20 : 3,18  1,32
17
Przeliczanie indeksów (c.d)
Mając wyznaczone indeksy jednopodstawowe przy
dowolnej podstawie t* możemy, korzystając z ogólnej
definicji indeksów, przejść do indeksów łańcuchowych:
it t 1
yt yt 1

:
 it t* : it 1 t*
yt * yt *
Zgodnie z powyższym wzorem indeksy łańcuchowe
otrzymamy, jeżeli indeksy jednopodstawowe dla chwili t
podzielimy przez indeksy dla chwili t-1.
18
Przykład liczbowy 3, przeliczanie indeksów
Przykładowo, na podstawie danych z przykładu 1 prześledzimy przeliczanie indeksów jednopodstawowych na
indeksy łańcuchowe.
i1 0  i1 0 : i0 0  1,12 : 1,00  1,12
i2 1  i2 0 : i1 0  1,24 : 1,12  1,11
.....................................................
i15 14  i15 0 : i14 0  4,20 : 3,93  1,07
19
Przeliczanie indeksów (c.d)
Problem przeliczania indeksów zakończymy przeliczeniem
indeksów łańcuchowych na indeksy jednopodstawowe
przyjmując jako podstawę wartość zjawiska w chwili t*.
Zgodnie z ogólną definicją indeksów mamy:
it t*
 1
 t*
  ii i 1
 i  t 1
 1
 t
  ii i 1
i  t*1

dla t  t *
dla t  t *
dla t  t *
20
Przykład liczbowy 4, przeliczanie indeksów
Ponownie skorzystajmy z danych zamieszczonych
przykładzie 1. W kolumnie 7 mamy zamieszczone indeksy
łańcuchowe, przeliczymy je na indeksy jednopodstawowe
przyjmując za podstawę rok 1979 (t*=11). Zgodnie z wzorem
(slajd 20) mamy kolejno:
i1 11
i2 11
dla t = 1 (rok 1969):
1
1


 0,35
i2 1  i3 2  i4 3    i11 10 1,11 1,11 1,12    1,11
dla t = 2 (rok 1970):
1
1


 0,39
i3 2  i4 3  i5 4    i11 10 1,11  1,12  1,14    1,11
21
Przykład liczbowy 4 (c.d)
dla t = 10 (rok 1978):
dla t = 12 (rok 1980):
dla t = 13 (rok 1981):
i10 11 
1
i11 10
1

 0,90
1,11
i12 11  i12 11  1,08
i13 11  i12 11  i13 12  1,08  1,08  1,17
dla t = 15 (rok 1983):
i15 11  i12 11  i13 12  i14 13  i15 14  1,08  1,08  1,06  1,07  1,32
22
Inne wskaźniki dynamiki
Poza omówionymi wcześniej wskaźnikami opisującymi
dynamikę badanego zjawiska w analizie szeregów czasowych
wykorzystuje się jeszcze dwa wskaźniki opisujące:
 średni poziom zjawiska,
 średnie tempo zmian zjawiska.
Kolejno zajmiemy się tymi dwoma wskaźnikami.
23
Przeciętny poziom zjawiska
Przeciętny poziom zjawiska może być określany
dwojako, zależnie od charakteru zjawiska. Jeśli szereg
czasowy jest szeregiem okresów, czyli wartości zjawiska
mają charakter strumieni i tym samym są sumowalne, to
miarą przeciętnego poziomu zjawiska jest zwykła średnia
arytmetyczna:
n 1
y
y
t 0
t
n
24
Przeciętny poziom zjawiska (c.d)
W sytuacji, gdy szereg czasowy jest szeregiem
momentów, czyli wartości zasobów w ustalonych
momentach czasowych, to miarą przeciętnego poziomu
zjawiska jest tzw. średnia chronologiczna:
n2
y
0,5  ( y0  y n1 )   yt
t 1
n 1
25
Przykład liczbowy 5
W przykładzie 1 rozpatrywaliśmy szereg czasowy
liczby ciągników w rolnictwie w latach 1968-83. Szereg
ten ma charakter szeregu momentów (łączna suma
ciągników w badanych latach nie ma interpretacji), tym
samym miarą przeciętnego stanu ciągników w tym okresie
będzie średnia chronologiczna wyznaczona zgodnie z
wzorem podanym na slajdzie 25:
0,5  (180500  757283)  (202700      710199)
y
 433460,4
15
26
Przykład liczbowy 6
W kolumnie czwartej w tym samym przykładzie
wyliczono przyrosty absolutne liczby ciągników w latach
1969-83, dane te maja charakter szeregu okresów (ich suma
ma logiczną interpretację), tym samym miarą przeciętnej
liczby ciągników zasilających rolnictwo w badanych latach
będzie zwykła średnia arytmetyczna:
y
22200  21831     47084
 38452,2
15
27
Inne przykłady
Inne
przykłady
szeregu
okresów
to:
liczba
wyprodukowanych samochodów, ilość wydobytego węgla,
ilość zebranych owoców, wyprodukowanych zbóż, liczba
absolwentów szkół średnich itd.
Przykładami szeregu momentów (zasobów) może być np.
liczba ludności na określony dzień roku, areał uprawy
pszenicy itd.
28
Tempo (stopa wzrostu)
Przez tempo lub inaczej stopę wzrostu rozumie się
względny przyrost wartości zjawiska w danym momencie
czasowym do jego wartości w poprzednim okresie.
Tempo jest wyrażane przez różnicę miedzy indeksem
łańcuchowym a jednością:
rt ; t 1  it t 1  1
29
Średnie tempo
Miarą średniego tempa (średniej stopy wzrostu) w
badanym okresie
(t0, t1) będzie różnica miedzy średnim
indeksem łańcuchowym z tego okresu a jednością:
rt0 ; t1  t1 t0
t1
i
i i 1
i t0 1
 1  t1 t0
yt1
yt0
1
30
Przykład liczbowy 7
Na podstawie danych z przykładu 1 wyznaczmy
średnioroczne tempo przyrostu liczby ciągników w latach
1968-75, 1975-83 oraz 1968-83 .
Na podstawie danych z kolumny trzeciej mamy:
Dla okresu 1968-75
r0; 7
401200

 1  7 2,222715  1  1,1209  1  0,1209  12,09%
180500
7
31
Przykład liczbowy 7 (c.d)
Dla okresu 1975-83 mamy:
r7; 15 
8
757283
 1  8 1,887545  1  1,0826  1  0,0826  8,26%
401200
Dla okresu 1968-83 średnioroczne tempo wynosi:
r0;15  15
757283
 1  15 4,195474  1  1,1003  1  0,1003  10 ,03 %
180500
32
Przykład liczbowy 7, interpretacja
W latach 1968-75 średnioroczny przyrost liczby
ciągników wynosił 12,09%, a w latach 1975-83
odpowiednio 8,26%.
W całym badanym okresie lat 1968-83 średnioroczne
tempo przyrostu liczby ciągników było równe 10,03%.
Widzimy z powyższego, że w okresie pierwszych
siedmiu lat przyrost liczby ciągników był zdecydowanie
szybszy niż w drugiej części tego okresu.
33
Dziękuję za uwagę
34