Transcript Szeregi czasowe okresów

analiza dynamiki zjawisk
Szeregi czasowe
• Szeregiem czasowym
(chronologicznym, dynamicznym)
nazywa się uporządkowany (wg czasu)
zbiór obserwacji statystycznych
charakteryzujących zmiany zjawiska w
czasie
• Wyróżnia się dwa podstawowe
rodzaje szeregów czasowych, a
mianowicie szeregi czasowe
momentów i okresów.
Szeregi czasowe momentów zawierają
informacje o poziomie zjawiska
w określonych momentach czasu.
Przykład 7.1 Stan ludności w wieku produkcyjnym, mierzony ostatniego
dnia w roku, w latach 1990 - 1995 kształtował się następująco:
Tablica 7.1 Ludność w wieku produkcyjnym, stan w dniu 31 grudnia
w latach 1990 –1995.
Lata
Liczba ludności w wieku produkcyjnym w mln
(stan w dn. 31.12)
1990
21,9
1991
21,5
1992
21,9
1993
22,0
1994
22,0
1995
22,2
Źródło: Rocznik statystyczny 1997 str. LXX .tab. I
Szeregi czasowe okresów podają
rozmiary danego zjawiska w kolejnych
okresach czasu.
Przykład 7.2 Wielkość rocznej produkcji węgla w Polsce w
latach 1990-1995 przedstawiono w tablicy 7.2.
Tablica 7.2 Roczne wydobycie węgla w Polsce w latach 1990-1995.
Lata
Wielkość produkcji w mln ton
1990
193
1991
193
1992
178
1993
148
1994
140
1995
190
Źródło: Rocznik statystyczny 1997 str. LXIX. tab. I
W analizie szeregów czasowych interesują nas zmiany, jakim
podlega badane przez nas zjawisko w kolejnych momentach lub
okresach czasu.
Najprostszymi miarami są przyrosty absolutne i stosunkowe.
Przyrost absolutny (bezwzględny) to różnica w poziomie zjawiska
mierzonego (obserwowanego) w dwóch różnych momentach lub
okresach czasu, czyli:
dt / t   yt  yt 
(t / t  )
( 7.1)
gdzie:
dt/t- (t/t- ) - przyrost absolutny zjawiska mierzonego w okresie
(momencie) t,
yt -poziom zjawiska y w okresie (momencie) t,
yt- poziom zjawiska y w okresie (momencie) poprzedzającym
okres t o  okresów.
Przyrost względny (stosunkowy) definiuje się jako stosunek
przyrostu absolutnego do poziomu zjawiska w okresie bazowym,
czyli:
yt  yt 
yt / t  
( 7.2)
yt 
lub
yt / 0
yt  y 0

y0 ,
( 7.3)
W przypadku szeregów czasowych okresów, podobnie jak dla
pozostałych szeregów statystycznych, wyznacza się miary średnie i
dyspersji.
W przypadku szeregu czasowego okresów wyznaczmy średnią
arytmetyczną:
T

1
y
yt
T  1 t 0
( 7.4)
gdzie: yt- poziom zjawiska y w okresie t, T - liczba okresów, w
których dokonywano pomiaru zjawiska.
Dysponując szeregami momentów przeciętny poziom zjawiska
wyznacza się za pomocą średniej chronologicznej.
Średnia chronologiczna dla szeregów momentów:
y 0  y1 y1  y 2 y 2  y 3
yT 1  yT


 ... 
2
2
2
2
y ch 

T
1
1
y 0  y1  y 2  ...  yT 1  yT
2
 2
T
( 7.5)
• Porównania poziomów zjawiska w dwóch
momentach lub okresach czasu dokonuje
się najczęściej za pomocą wskaźników
dynamiki zwanych indeksami.
Indeks jest stosunkiem wielkości zjawiska
w okresie badanym do wielkości tego
zjawiska w okresie przyjętym za
podstawę.
Indeksy można wyznaczać wylącznie
dla wielkości dodatnich!
Indeksy indywidualne stosuje się w przypadku zjawisk
jednorodnych i bezpośrednio sumowalnych. Ze względu na przyjętą
podstawę porównań dzieli się je na:


indeksy jednopodstawowe, czyli o stałej podstawie:
yt
poziomzjawiska w okresiebadanym
it / 0 

y0 poziomzjawiska w okresiepodstawowym ,
( 7.6)
indeksy łańcuchowe, czyli o zmiennej podstawie:
yt
it / t 1 
yt 1 .
( 7.7)
Przykład 7.5
Wyznaczmy przeciętny stan ludności Polski w wieku produkcyjnym w
latach 1991 - 1995 na podstawie danych zawartych w tablica 7.4.
.
Tablica 7.4
Lata
1990
1991
1992
1993
1994
1995
Liczba ludności w wieku
produkcyjnym w mln
(stan w dn. 31.12)
Yt
21,9
21,5
21,9
22
22
22,2
Indeksy
Indeksy
jednopod łańcuchowe
stawowe
it/0
1,00
0,982
1,000
1,005
1,005
1,014
it/t-1
0,982
1,019
1,004
1,000
1,009
%zmiana=(i-1)·100%
lub
%zmiana=i-100%
jeśli indeks jest podany w %
% zmiana dodatnia oznacza wzrost
zjawiska (lub jego większą wartość)
% zmiana ujemna oznacza spadek
zjawiska (lub jego mniejszą wartość)
indeks jednopodstawowy za pomocą prostych przekształceń, a
mianowicie:
it / 0  it / t 1  it 1/ t 2  ... i2 /1  i1/ 0
yt yt 1 y2 y1 yt

...

yt 1 yt 2 y1 y0 y0
( 7.8)
Również
w
drugą
stronę,
dysponując
indeksami
jednopodstawowymi można wyznaczyć indeksy łańcuchowe jako:
it / 0
it / t 1 
it 1/ 0
Ogólnie zachodzą związki między indeksami indywidualnymi
it / k  it /*  i*/ k
* oznacza dowolny ale ten sam okres lub rok
Przeciętne tempo zmian w całym przedziale czasowym
wyznacza się na podstawie średniej geometrycznej z indeksów
łańcuchowych:
G  ig  1
lub G  (ig
1) *100%
( 7.9)
gdzie
y1 y2 yT 1 yT
y
...
 T T  T iT / 0
y0 y1 yT 2 yT 1
y0
Obliczona wartość G informuje o przeciętnym wzroście (G>0)
lub spadku (G<0) zjawiska z okresu na okres. Jest ona zwykle
wyrażana w procentach.
ig  T i1/ 0  i2 /1  ... iT 1/ T 2  iT / T 1  T
Średnia geometryczna i g spełnia warunek:
imin  ig  imax
Wśród indywidualnych indeksów dynamiki na szczególną uwagę w
badaniach ekonomicznych zasługują indywidualne indeksy cen,
ilości i wartości.
Indeksy takie wyznaczamy, biorąc pod uwagę dwa okresy:
- okres bazowy oznaczany np. „0”
- okres badany oznaczany „n” „t” lub „1”
Oznaczmy odpowiednio dla badanego produktu w okresie bazowym i
badanym:
- ceny (price)
p0 i pn,
- ilości (quantity) q0 i qn,
- wartości w0 i wn. (wiemy, że w0 = p0 q0 i wn = pn qn )
Indywidualne indeksy cen, ilości i wartości oznaczamy odpowiednio:
ip 
pn
p0
iq 
qn
q0
iw 
wn
w0
,
Indeksy te spełniają warunek: iw  i p  iq
Wśród indywidualnych indeksów dynamiki na szczególną
uwagę
w
badaniach
ekonomicznych
zasługują
indywidualne indeksy cen, ilości i wartości.
Indeksy takie wyznaczamy, biorąc pod uwagę dwa okresy:
- okres bazowy oznaczany np. „0”
- okres badany oznaczany „n” lub „1”
Oznaczmy odpowiednio dla badanego produktu w okresie
bazowym i badanym:
- ceny
p0 i pn,
- ilości
q0 i qn,
- wartości w0 i wn. (wiemy, że w0 = p0 q0 i wn = pn qn )
Indywidualne indeksy cen, ilości i wartości oznaczamy
odpowiednio:
ip 
pn
p0
,
iq 
qn
q0
iw 
wn
w0
Przykład.Sprzedaż jogurtów truskawkowych w stoisku z
nabiałem w styczniu i czerwcu 2001 kształtowała się
następująco:
Miesiąc
Cena 1 kubka
Liczba kubków
Wartość (w zł)
Styczeń
0,95 zł
60
57,00
Czerwiec
0,85 zł
76
64,60
Obliczając indeksy otrzymujemy:
ip 
0,85
 0,8947 iq  76  1,2667
,
0,95
60
64,60
iw 
 1,1333
.
57
Wynika stąd, że
- cena kubka jogurtu w czerwcu stanowiła 89,47% ceny ze
stycznia, była więc o 10,53% niższa
- w czerwcu sprzedano o 26,67% więcej opakowań jogurtu niż w
styczniu,
- wartość sprzedaży jogurtu w czerwcu była o 13,33% wyższa niż
w styczniu, na co złożył się wzrost liczby sprzedanych kubków o
około 27% oraz spadek ich ceny o około 11%.
Zauważmy, że indeks wartości mogliśmy obliczyć stosując
równość indeksową: iw  i p  iq  0,89471,2667 1,1333.
Wśród indywidualnych indeksów dynamiki na szczególną uwagę w
badaniach ekonomicznych zasługują indywidualne indeksy cen,
ilości i wartości.
Indeksy takie wyznaczamy, biorąc pod uwagę dwa okresy:
- okres bazowy oznaczany np. „0”
- okres badany oznaczany „n” lub „1”
Oznaczmy odpowiednio dla badanego produktu w okresie bazowym
i badanym:
- ceny
p0 i pn,
- ilości
q0 i qn,
- wartości w0 i wn. (wiemy, że w0 = p0 q0 i wn = pn qn )
Indywidualne
odpowiednio:
ip 
pn
p0
,
iq 
qn
q0
indeksy
iw 
wn
w0
cen,
ilości
i
wartości
oznaczamy
Indeksy agregatowe (zespołowe)
• Indeksy agregatowe (zespołowe) są
wskaźnikami zmian dla wielkości
zagregowanych, czyli będących zespołami
(sumą) wielu składników. Szczególnie uważnie
należy wyznaczać wartości indeksów dla zjawisk
niejednorodnych, w których tworzące je
elementy nie mogą być bezpośrednio sumowane,
np. indeks cen dla grupy towarów o różnym
charakterze. W przypadku takich zjawisk, w celu
doprowadzenia ich do sumowalności, wprowadza
się określone współczynniki przeliczeniowe,
spełniające role wag, takie jak np.: ilość, cena,
liczba zatrudnionych, czas pracy.
Indeksy agregatowe (zespołowe)
W zależności od rodzaju badanych
zjawisk wyróżnia się indeksy
zespołowe zwane agregatowymi:
• dla wielkości absolutnych, do
których należą m.in indeks wartości i
indeks ceny,
• dla wielkości stosunkowych, którym
jest np. indeks wydajności pracy.
Indeks wartości wyraża się wzorem:
k
Iw 
p
tj
j 1
k

j 1
k
qtj
p0 j q0 j

w
j 1
k
tj
 w0 j
,
( 7.10)
j 1
gdzie dla okresu badanego (t) oraz podstawowego (0):
ptj , p0 j - cena j-tego artykułu,
qtj , q0 j - ilość j-tego artykułu,
wartość j-tego artykułu,
k- liczba wyróżnionych artykułów.
Obliczony indeks informuje jak łacznie zmieniła się
wartość artykułów w okresie badanym w porównaniu
z okresem podstawowym.
ptj qtj , p0 j q0 j -
Na poziom tego indeksu mają wpływ dwa czynniki:
ilość i cena. W celu wyodrębnienia ich działania na
dynamikę zjawiska, stosuje się standaryzowane wskaźniki
ilości i ceny.
Indeks ilości wyznaczamy według formuły:
 Laspeyresa - ceny ustalone na poziomie okresu
podstawowego:
k
 p0 j qtj
L Iq 
j 1
k
 p0 j qoj
.
( 7.11)
j 1
Obliczony indeks wskazuje, jak przeciętnie zmieni się
wartość wszystkich rozważanych artykułów na skutek
zmian w ilości oraz przy ustalonym poziomie cen
w okresie podstawowym.
 Paaschego - ceny ustalone na poziomie okresu badanego:
k
 ptj qtj
P
I q
j 1
k
 ptj q 0 j .
(7.12)
j 1
Obliczony indeks wskazuje, jak przeciętnie zmieni się
wartość wszystkich rozważanych artykułów na skutek
zmian w ilości przy ustalonym poziomie cen w okresie
badanym.
Indeks cen wyznaczamy według formuły:
 Laspeyresa - ilości ustalone na poziomie okresu
podstawowego:
k
 p tj q 0 j
L
Ip 
j 1
k
 p0 j q0 j
.
( 7.13)
j 1
 Paaschego - ilości ustalone na poziomie okresu
badanego:
k
 p tj q tj
P
I p
j 1
k
 p 0 j q tj .
j 1
( 7.14)
Między powyższymi indeksami zachodzi związek:
lub
Iw L Iq P I p  P Iq L I p
( 7.15)
Ze względu na powyższą zależność, jeżeli do oceny
zmiany cen stosuje się indeks wg formuły Laspeyresa, to
zmiany w ilościach powinno się oceniać na podstawie
indeksu wyznaczonego wg formuły Paaschego –
i odwrotnie.
Dla
niezbyt
odległych
okresów
porównawczych czasami stosowane są wskaźniki ilości
i cen według formuły Fishera:
F
Iq 
F Ip 
L
Iq P Iq
LIp PIp
( 7.16)
Przykład 7.9 Ilość i cenę trzech gatunków ziemniaków
jakie zakupiono w Jędrzejowie w 1995 i 1998 roku
przedstawiono w poniższej tablicy:
Ceny i ilości ziemniaków
Gatunek
Cena
w [zł/kg]
1995 1998
bryzy
0,20 0,25
maje
0,15 0,20
irysy
0,25 0,25
Ilość w tonach
1995
12
14
10
1998
14
16
20
Źródło: Dane umowne
Wykorzystując
podane
dynamikę wartości, ilości
informacje
ustalić
i cen wydatków na
Gatunek
Cena
w tys zł/t
1
3
4
p0 pt
bryzy 0,20 0,25
maje 0,15 0,20
irysy 0,25 0,25
Ogółem X
X
Źródło: Obliczenia własne
Ilość w
tonach
Wartość
produkcji
5
q0
12
14
10
36
7
8
9
p0 q0 pt qt p0 qt
2,4 3,5 2,8
2,1 3,2 2,4
2,5
5
5
7 11,7 10,2
6
qt
14
16
20
50
10
pt q0
3
2,8
2,5
8,3
Przyjmując rok 1995 za bazowy liczymy poszczególne
indeksy. Indeks wartości obliczony na podstawie wzoru
(7.10) wynosi:
k
Iw 
p
j 1
k
tj
p
j 1
0j
qtj

q0 j
11,7
 1,671 167,1%
.
7
Oznacza to, że wartość wydatków tego gospodarstwa
w roku 1998 wzrosła o 67,1% w stosunku do roku 1995.
Wyznaczamy indeksy ilości na podstawie relacji (7.11) i (7.12):
p 0qt 10,2

 1,457  145,7% .
L Iq 
p 0q 0
7
Można zatem powiedzieć, że wartość wydatków
badanego gospodarstwa w roku 1998 wzroslaby o 45,7% w
porównaniu do roku 1995 na skutek wzrostu wielkości
zakupów przy założeniu stałych cen z roku 1995 (okresu
podstawowego).
ptqt 11,7

 1,41  141%
P Iq 
ptq 0 8,3
Wartość wydatków badanego gospodarstwa w roku 1998
wzroslaby o 41% w porównaniu do roku 1995 na skutek
wzrostu wielkości zakupów przy założeniu stałych cen
z roku 1998 (okresu badanego).
Wyznaczamy indeksy cen na podstawie relacji (7.13) i (7.14):
8,3
 1,186  118 ,6% .
LIp 
7
Można zatem powiedzieć, że wartość wydatków
badanego gospodarstwa w roku 1998 wzroslaby o 18,6% w
porównaniu do roku 1995 na skutek wzrostu cen przy
założeniu stałych wielkości zakupów z roku 1995 (okresu
podstawowego).
11,7
 1,147  114,7%
PIp 
10,2
Wartość wydatków badanego gospodarstwa w roku 1998
wzroslaby o 14,7% w porównaniu do roku 1995 na skutek
wzrostu cen przy założeniu stałych wielkości zakupów
z roku 1998 (okresu badanego).