• Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу , то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

H r M O

Касательная к окружности

• Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. А  точка касания.

о A p

• • •

Касательная к окружности.

Теорема: касательная окружности перпендикулярна к радиусу,проведенному в точку касания.

Доказательство: пусть p касательная к окружности с центром O,А точка касания.Докажем,что касательная p перпендикулярна к радиусу ОА.

Предположим,что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой p .

Так как перпендикуляр, проведенный из точки O к прямой p , меньше наклонной OA, то расстояние от центра О окружности до прямой p меньше радиуса. Следовательно, прямая p и окружность имеют две общие точки.Но это противоречит условию: прямая p касательная.Таким образом,прямая p перпендикулярна к радиусу OA. Теорема доказана. A O P

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

• По теореме о свойстве касательной  1 и  2 прямые, поэтому  АВО и АС и   АСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу АО и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ = 3 =  4, что и требовалось доказать. A B

3 4 2 1

O C

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной • Из условия теоремы следует, что радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и следовательно, прямая и окружность имеет только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности.

• Угол с вершиной в центре окружности называется ее

центральным углом

. Пусть стороны центрального угла окружности с центром О пересекают ее в точках А и В. Центральному  АОВ соответствуют две дуги с концами А и В.

• Если  АОВ развернутый, то ему соответствуют две полуокружности.

 ALB = 180º O A B L

• Если  АОВ (центральный) неразвернутый, то говорят, что АВ, расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности. Про дугу с концами А и В говорят, что она больше полуокружности.  L O A B

• Дугу окружности можно измерять в градусах. Если считается равной градусной мере центрального   АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера АОВ. L A O B O A B L

• • Если же  АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360 º  АОВ ( центральный).

 ALB = 360 º  АОВ.

L O A B

• Угол вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный  АВС опирается на  АМС. B A O M C

Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается • Пусть  АВС – вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на  АС. Докажем, что  АВС = половине  (на которую он опирается). Существует 3 возможных случая расположения луча ВО относительно  АС АВС. Рассмотрим их.

Рассмотрим 1 случай расположения луча ВО относительно  АВС.

• Например луч совпадает со стороной ВС в этом случае меньше полуокружности, поэтому  основании равнобедренного треугольника равны, то  внешний угол равнобедренного 1+  1 = 1/2 2 = 2   АС. 1. Отсюда следует, что 2 B   АОС=  АВО, а   1 = АС. Так как 1 и  2 при   АС или    АС АОС АОС = АВС =  1 2 O A C

Рассмотрим 2 случай, когда луч ВО делит  угла.

АВС на два • В этом случае луч ВО пересекает  Точка D разделяет п.1  1/2   АВD = 1/2  AD DC , или  АС в некоторой точке D. АС на две дуги: АD и DC. По доказанному в и  DBC= 1/2  равенства попарно, получаем: АВС= 1/2   АС. ABD + B DC  . Складывая эти DBC = 1/2  АD + A D C

Рассмотрим 3 случай расположения луча ВО относительно  АВС •  АВD  равнобедренный, равнобедр. То  следовательно  1 =   2 =>  ABD = 1/2  AOD AOD = AD.

внешний, т.к.  1 +   ABD 2 = 2  1 =  AD, • Аналогично:  ВСО равнобедр.  следовательно  СВD= 1/2  CD.

• Следовательно,  АВС=1/2  АС COD внешний, B O A C D

РАССМОТРИМ 1 СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ  Вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Рассмотрим 2 следствие из теоремы • Вписанный угол, опирающийся на полуокружность  прямой.