حالت دائمی سینوسی
Download
Report
Transcript حالت دائمی سینوسی
آنالیز حالت دائمی
سینوس ی
اعضای گروه:
علریضا ممتازاین
عیل شهریک لکهر
غالمرضا سعیدی
محمد علزیاده
محیدرضا ابیق
معنی قدردان
آنچه در این فصل با آن روبرو میشویم
فهرست مطالب
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
مرور اعداد مختلط
آنالیز حالت دایمی سینوس ی
امپدانس و ادمیتانس
تجزیه و تحلیل حالت دایمی سینوس ی
تشدید
مکان امپدانس و مکان ادمیتانس
توان
قضیه انتقال توان ماکسیمم یا مچینگ
-1مرور اعداد مختلط :
• توصیف اعداد مختلط :
فرض کنید zیک عدد مختلط و xو yبه ترتیب جزء حقیقی و جزء انگاری
آن باشند .در این صورت :
z = x + jy
که در آن . j= −1همچنین می توان نوشت:
نمایش قطبی عدد مختلط zچنین است:
𝜃𝑗 𝑒 𝑧 = z
, Im(z)= y
Re(z)= x
که در آن 𝑧 اندازه یا دامنه ی zنامیده می شود و برابر است با:
𝑥2 + 𝑦2
و 𝜃 زاویه یا فاز zنامیده میشود و برابر است با:
گاهی 𝜃 را به صورت ∡zنیز نمایش می دهند.
y
𝜃 𝑧 sin
𝑧
x
𝜃
𝜃 𝑧 cos
𝑦
𝑥
= 𝑧
tan−1
=𝜃
.ضرب و تقسیم اعداد مختلط :
اگر 𝑧1و 𝑧2دو عدد مختلط به صورت زیر باشند :
𝑧1 = 𝑥1 + j𝑦1 = 𝑧1 𝑒 𝑗𝜃1
𝑧2 = 𝑥2 + j𝑦2 = 𝑧2 𝑒 𝑗𝜃2
آن گاه:
) * 𝑧1 𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 𝑒 𝑗(𝜃1+𝜃2
) 𝑒 𝑗(𝜃1 −𝜃2
𝑧1
𝑧2
=
𝑧1
𝑧2
*
.مزدوج مختلط :
هرگاه عدد مختلط z = x + jyرا داشته باشیم ،گوییم عدد مختلط x – jyکه
با 𝑧 نشان داده می شود ،مزدوج مختلط zاست .در نمایش قطبی داریم:
𝜃𝑗𝑧 = 𝑧 𝑒 −
نکته:
z𝑧 = 𝑧 2 = 𝑥 2 + y 2
-2آنالیز حالت دایمی سینوس ی :
• در ابتدا قضیه ای را بیان می کنیم :
قضیه :مجموع هر تعداد سیگنال سینوس ی هم فرکانس و مشتقات آن ها ،یک
سیگنال سینوس ی با همان فرکانس است .
می دانیم که معادله ی دیفرانسیل یک مدار خطی با ورودی سینوس ی به صورت
زیر است:
𝑦 𝑛𝑑
𝑦 𝑑 𝑛−1
)𝜑 + 𝑎𝑛−1 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 𝑦 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑖𝑛 𝑡 +
𝑛
𝑡𝑑
𝑡𝑑
در صورتیکه تمام فرکانس های طبیعی مدار متمایز باشند (یعنی معادله ی
مشخصه ریشه های مکرر نداشته باشد) ،فرم کلی پاسخ آن برابر است با :
) 𝑘𝑖 𝑒 𝑠𝑖 𝑡 + B cos (𝜔𝑖𝑛 t + θ
𝑛
𝑖=1
= )y(t
که 𝑖𝑠 ها فرکانس های طبیعی و 𝑖𝑘 ها ثابت های دلخواه می باشند.
بخش اول این پاسخ را پاسخ همگن یا ورودی صفر و بخش دوم آن را پاسخ
خصوص ی یا حالت صفر می گوییم .در درس آنالیز حالت دایمی سینوس ی ،ما با
بخش دوم این پاسخ کار داریم .ای پاسخ فقط در اثر ورودی سینوس ی است و به
شرایط اولیه و ورودی DCبستگی ندارد .
-3امپدانس و ادمیتانس :
• امپدانس : Zبرابر است با فازور ولتاژ دو سر عنصر تقسیم بر فازور جریان
آن ،یعنی :
𝑉
𝐼 =Z
• ادمیتانس : Yبرابر است با فازورجریان عبوری از عنصر تقسیم بر فازور ولتاژ
آن ،یعنی :
𝐼
𝑉=Y
با تعاریف گفته شده ،امپدانس ها و ادمیتانس های مقاومت ،سلف و خازن
عبارتند از :
فرکانس زاویه ای 𝝎
) Zامپدانس)
مقاومت R
R
خازن با ظرفیت C
سلف با اندوکتانس L
) Yادمیتانس)
1
𝑅
1
𝐶𝜔𝑗
𝐶𝜔j
1
𝐿𝜔𝑗
𝐿𝜔j
باید توجه داشت که در حل مسایل ،منابع سینوس ی را هم با فازور آنها جایگزین
کرد :
+
+
∡𝜃
𝐴
)𝜃 A 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 +
با این توصیفات تمام روابط مانند قبل است ،با این تفاوت که دیگر با فازور
ولتاژ و فازور جریان سر و کار داریم .به عنوان مثال:
𝑉 = 𝑍 𝐼 , ∡V = ∡Z + ∡I
, ∡I = ∡Z + ∡V
, ∡Y = -∡Z
𝑉 𝑌 = 𝐼
1
𝑍
= 𝑌
𝐼×V=Z
𝑉×I=Y
1
𝑍=Y
اکنون روابط ولتاژ و جریان را در تک تک عناصر مورد بررس ی قرار می دهیم .
-1مقاومت:
∡V = ∡I
,
𝐼 𝑉 =R
V=R×I
Im
𝑅𝑉
t
𝑅𝑉
𝑅𝐼
𝑅𝐼
Re
ولتاژ و جریان مقاومت در حوزه ی زمان
دیاگرام فازوری ولتاژ و جریان مقاومت
-2سلف :
̊ , ∡V = ∡I + 90
V = j𝜔L × I
𝐼 𝑉 = 𝜔L
یعنی ولتاژ از جریان90 ،درجه جلوتر است.
𝐿𝐼
𝐿𝑉
t
𝐿𝑉
ولتاژ و جریان سلف در حوزه ی زمان
𝐿𝐼
دیاگرام فازوری ولتاژ و جریان سلف
-2خازن :
̊ 𝐼 , ∡V = ∡I - 90
1
𝐶𝜔
𝐼×
= 𝑉
یعنی ولتاژ از جریان90 ،درجه عقب تر است.
𝐿𝑉
1
= -j
𝐶𝜔
𝐶𝐼
t
𝐿𝐼
ولتاژ و جریان خازن در حوزه ی زمان
𝐶𝑉
دیاگرام فازوری ولتاژ و جریان خازن
V
.حالت های مختلف برای امپدانس یک مدار:
اگر زاویه ی امپدانس را با 𝜑 نشان دهیم ،آن گاه :
.1اگر Z = rیا Y = g
.2اگر Z = jXیا
1
𝑋
Y = -j
1
.3اگر Z = -jXیا 𝑋 Y = j
خالص
.4اگر Z = r + jXیا Y = G – jB
: 𝜑 = 0مدار مقاومتی خالص
̊ : 𝜑 = 90مدار سلفی خالص
̊ : 𝜑 = −90مدار خازنی
̊ : 0 < 𝜑 < 90مدار
مقاومتی سلفی
.5اگر Z = r – jXیا Y = G + jB
خازنی
̊ : 0 < 𝜑 < 90مدار مقاومتی
.به هم بستن عناصر :
به هم بستن سری :
.1
𝑛𝑍
𝑍2
)𝜔 𝑗 ( 𝑖𝑍
I
𝑍1
= )𝜔𝑗 ( 𝒒𝒆𝒁
𝑖
+
V
-
.2به هم بستن موازی :
)𝜔𝑗 ( 𝑖𝑌
I
+
𝑛𝑌
𝑌2
𝑌1
V
-
= )𝜔𝑗 ( 𝒒𝒆𝒀
𝑖
-4تجزیه و تحلیل حالت دایمی سینوس ی :
• اگر برای یک مدار با ورودی سینوس ی ،تنها پاسخ حالت دایمی مورد نظر باشد،
میتوان به جای این که معادالت را بر حسب خود سینوس ی ها بنویسیم ،آن
ها را بر حسب فازورها بیان کنیم .به عبارت دیگر برای فازور ولتاژ و فازور
جریان KVLو KCLبزنیم.
مثال :امپدانس ورودی شبکه های زیر را بیابید.
𝑍1
𝑍2
𝑍3
A
A
𝑌6
𝑌5
1
1
𝑌4
1
B
1
B
(الف)
(ب)
حل :برای شکل (الف) داریم:
1
1
1
1
𝑌 𝑍3 +
6
1
𝑌5 +
𝑍2 +
𝑌4 +
𝑍𝑒𝑞 = 𝑍1 +
و برای شکل (ب) :
2
1
A
1
𝑍1
=1
1
𝜔𝑗
𝜔𝑗
𝜔𝑗1+
+
1
=
𝜔𝑗1+
1
+
𝑍2
1
= 𝑞𝑒𝑌
𝑍1
𝜔= 1 + j
1
𝜔𝑗1+
𝜔𝑍2 = j
𝜔𝑗
B
به این گونه مدارها که امپدانس یا ادمیتانس ورودی آن ها فاقد𝜔 می باشد،
مدارهای ((مستقل از فرکانس)) می گویند.
.مدار معادل تونن و نورتن در حالت دایمی سینوس ی :
I
A
𝑞𝑒𝑍
V
𝐶𝑂𝐸
B
A
𝐶𝑆𝐼
𝑞𝑒𝑍
مدار خطی با هر
تعداد مقاومت و
سلف و خازن و
منبع وابسته و هر
تعداد منبع
مستقل سینوس ی با
فرکانس یکسان
𝜔
I
مدار در حالت دایمی سینوسی
B
A
V
-5تشدید :
فرکانس تشدید ،فرکانس ی است که در آن امپدانس یا ادمیتانس ،حقیقی خالص
باشد .یعنی :
Im(Y) = 0یا
Im(Z) = 0
به عبارت دیگر راکتانس صفر باشد یا سوسپیتانس صفر باشد .
نکته :
راکتانس X :
سوسپیتانس B :
,
رزیستانس R :
,کندوکتانس G :
Z = R + jX
Y = G + jB
.فرکانس تشدید مدارهای ساده :
الف) RLCسری :
1
Z = R + j(𝜔L)
𝜔c
1
𝐶𝐿
Im(z) = 0
= 𝜔0
)𝜔∡Z(j
)𝜔𝑗(𝑍
𝜋
2
𝜔
𝜔0
R
-
𝜋
2
𝜔
𝜔0
: موازیRLC )ب
Y = G + j(𝜔𝐶 Im(Y) = 0
1
)
𝜔𝐿
𝜔0 =
1
𝐿𝐶
∡Y(j𝜔)
𝜋
2
𝑌(𝑗𝜔)
𝜔0
G
𝜔0
𝜔
𝜋
2
-
𝜔
نکته :
در فرکانس تشدید
C
O.C.
S.C.
L
در فرکانس تشدید
C
L
مثال :فرکانس تشدید مدار زیر را بیابید.
A
𝑟2
𝑟1
C
L
B
حل:
𝐶𝜔𝑗
+
1+𝑗𝜔𝐶𝑟2
1
1
=
𝐿𝜔𝑗𝑍2 𝑟1 +
+
1
= 𝑞𝑒𝑌
𝑍1
𝐿𝜔−
𝐶𝜔
Im(𝑌𝑒𝑞 ) = 2 2 2 +
=0
𝑟1 + 𝜔 𝐿 1+ 𝜔2 𝑟2 2 𝐶 2
𝐿 − 𝐶𝑟1 2
𝐿𝐶 𝐿 − 𝐶𝑟2 2
1
=𝜔
نکته :مقاومت های سری یا موازی با کل مدار ،تاثیری در فرکانس تشدید ندارند.
r
N
r
N
مقاومت های بی تاثیر در فرکانس تشدید
-5مکان امپدانس و مکان ادمیتانس :
• تعریف :به محل تغییرات نقطه ی انتهایی بردار امپدانس یا ادمیتانس در
صفحه مختلط ،مکان امپدانس یا مکان ادمیتانس گفته می شود.
برای تعیین مکان امپدانس ،باید اثر 𝜔 را حذف و رابطه ای بین )R = Re(Z
و ) X = Im(Zپیدا کرد و آن را رسم کرد( .برای مکان ادمیتانس نیز به همین
شکل)
مثال :در مدار RLCسری داریم :
مکان
امپدانس
)Re(Z
R
Z
)Im(Z
)R = Re(Z
1
𝐿𝜔 = )X = Im(Z𝐶𝜔
-7توان
یک نگاه کلی به توان
توان لحظه ای برابر است با:
)P(t) = V(t) . i(t
در حالت دائمی سینوس ی اگر فرض کنیم:
)V(t) = Vm Cos(ωt + φ
)i(t) = Im Cos(ωt
آنگاه توان برابر است با:
) P(t) = ½ Vm . Im ( Cos(2ωt - φ ) + Cos φ
از رابطه قبل 2تا نتیجه میگیریم:
.1فرکانس توان لحظه ای 2 ،برابر فرکانس ولتاژ یا جریان است.
.2توان لحظه ای می تواند مثبت یا منفی یا صفر باشد.
P(t) = ½ Vm . Im . Cos(2ωt - φ ) + ½ Vm . Im . Cos φ
مقدار متوسط ( (DC
فرکانس 2ω
مقدار متناوب ((AC
½ Vm Im Cos φ
با توجه به شکل زیر:
φ=0
Cos φ = 1
φ=+90
Cos φ = 0
φ=-90
Cos φ = 0
0<φ<90
1< Cos φ <1
-90<φ<0
0< Cos φ < 1
البته روابط باال برای عناصر پسیو است
0< Cos φ ≤1
-90<φ<90
مدار مقاومتی خالص یا تشدید
مدار سلفی خلص
مدار خازنی خلص
مدار مقاومتی سلفی
مدار مقاومتی خازنی
•
•
•
•
•
هر مدار شامل عناصر پسیو
→ Re[Z] > 0
Passive
Re[Z] < 0 → Active
سلفی
خالص
تشدید – مقاومتی خالص
خازنی خالص
مقاومتی اکتیو
در آنالیز حالت دائمی سینوس ی همه چیز به صورت مختلط است از جمله توان
1
∗S = Vm Im
2
منظور از * Imهمان مزدوج جریان Imاست
1
=S
Vm Im ∗ φ
2
یعنی توان مختلط یک بردار است با اندازه ½ Vm Imو فاز φ
از این رابطه نتیجه میگیریم که فازور
امپدانس Zو فازور توان مختلط Sبا
یکدیگر هم فاز هستند
1
2
ضریب برای این است که از مقادیر ماکسیمم استفاده کردیم
1
2
اگر از مقادیر موثر (یعنی ) Ve , Ieاستفاده کنیم دیگر ظاهر نمیشود
بد نیست این چند تا فرمول را ببینید که بهتر متوجه شوید ضریب
آمده است
*S = Ve Ie
1
از کجا
2
Q= ½ Vm . Im. sin
φ
)Im(S
Pرا توان متوسط ،حقیقی ،اکتیو ،مصرفی ،واته ... ،می گوییم و برحسب وات
) (Wاست
Qرا توان مجازی ،راکتیو ،دواته ... ،می گوییم و برحسب ولت آمپر راکتیو
) (VARاست
و اندازه توان مختلط Sرا توان ظاهری می گوییم
SVA = PW + jQVAR
)S = ½ Vm Im cos(φ) + j ½ Vm Im sin(φ
|S| = ½ Vm Im
ضریب توان شبکه = φcos
φ
)Re(S
P= ½ Vm . Im. cos φ
+
V
_
r
g
x
b
p
Q
φ
+
+
0
0
+
0
0
0
0
-
+
0
-
-π/2
0
0
+
-
0
+
+π/2
Z=r+jx
Y=g+jb
P = ½ r|Im |2
Q= ½ x|Im |2
P = ½ g|Vm |2
Q= ½ b|Vm |2
مثال :در شکل زیر توان مختلطی که منبع به مدار میدهد را محاسبه کنید.
i
i-ij/4
½i
2
j/4
-j
0.1
4
)cos(10t
)66 cos(10t
𝑖
𝑖
𝑗 − − 𝑖𝑗 = 0
2
2
𝐾𝑉𝐿: −6 + 2𝑖 −
4
)𝑗 = 2(1 +
𝑗1−
1
5
3
𝑗1− 𝑗 = +
4
2
2
𝑗𝑆 = 7.5 − 4.5
=𝑖
𝑗
𝑖 1−
𝑗=2 1+
4
1
1 5
3
= ∗
𝑚𝐼 𝑚𝑉
𝑗−
×6
2
2 2
2
=𝑆
در اینجا میخواهیم با استفاده از یک مدار ساده توان الکتریکی را کنترل
کنیم
فرض کنید که یک تابع سینوس ی به شکل زیر کل ولتاژ منبع ولتاژ را عینا به بار
وصل کنیم؛ در این صورت المپ با توان نامی نور تولید خواهد کرد اما اگر با
استفاده از کلیدی که قابلیت رزشن و خاموش شدن سریع را داشته باشد به
جای هر دو نیم سیکل ولتاژ سینوس ی فقط 180درجه یا یک نیم سیکل آن را
به المپ بدهیم مشاهده خواهیم کرد که نور المپ کمتر شده و تقریبا به
نصف میرسد
اما اگر باز هم کنترل خود را روی نور المپ بیشتر کنیم به طوری که رسیدن از
حالت بی نور تا حالت نور کامل با یک مقاومت متغیر قابل تنظیم باشد باید
به جای حذف 180درجه از ولتاژ در هر نیم سیکل در زوایای صفر تا 190
عمل قطع را انجام دهیم .مثال در 30درجه
در این صورت ولتاژ اعمالی به بار به شکل زیر در می آید.
ترایاک قطعه ای است که ما میتوانیم از آن به عنوان
کلید سریع ذکر شده استفاده کنیم
برای مشاهده فیلم مدار به فایل
ضمیمه مراجعه کنید
-8قضیه انتقال توان ماکسیمم یا مچینگ :
حالت کلی
* Z L = ZS
هر دو اهمی
RL = RS
بار اهمی منبع
|RL = |ZS
مختلط
بار موهومی منبع |XL = |ZS
مختلط
+
برای اینکه بیشترین توان از منبع به بار برسد
در حالت کلی باید
*ZL = ZS
-
مثال :در شکل زیر حداکثر توانی که منبع به 𝐿𝑅 میدهد را محاسبه کنید.
𝑆𝐸
=𝐼
𝐿𝑅 𝑅𝑆 +
𝑆𝑅
𝐿𝑅
2
𝑅𝐿 𝐸 2
=𝑃
(𝑅𝑆 + 𝑅𝐿 )2
𝑆𝐸
(𝑅𝑆 − 𝑅𝐿 ) 𝐸 2
=
𝑅𝑆 + 𝑅𝐿 3
𝑆𝑅 = 𝐿𝑅
𝐼 𝐿𝑅 = 𝑃
3
𝑃𝜕
𝐸2
2 𝑅𝐿 𝐸 2
=
−
2
) 𝐿𝑅 𝜕𝑅𝐿 (𝑅𝑆 +
𝐿𝑅 𝑅𝑆 +
𝑃𝜕
=0
𝐿𝑅𝜕
شبیه سازی مدار صفحه قبل با
Matlab
این هم فیلم واقعی این مدار