Transcript مثال - دانشکده مهندسی برق

‫دانشکده مهندس ی برق‬
‫درس مدارهای الکتریکی ‪2‬‬
‫مرور نمایش فازوری‬
‫استاد ‪:‬‬
‫دکتر علیرضا فریدونیان‬
‫اسفند ‪1391‬‬
‫مروری بر اعداد مختلط‬
‫نمایش در مختصات قائم‬
Z  x  jy
;
j  1
, Re(Z )  x , Im(Z )  y
‫نمایش در مختصات قطبی‬
Z  Z e j
;
Z  x 2  y 2 ,   tan 1 y
x

 x  Z cos 
,

 y  Z sin 
‫فازورها و معادالت دیفرانسیل معمولی‬
x(t)  Am cos   t  
،‫ مجموع جبری هر تعداد از سینوس ی ها با فرکانس زاویه ای یکسان و هر تعداد از مشتق های آنها از هر مرتبه‬:‫قضیه‬
.‫خود یک سینوس ی با همان فرکانس زاویه ای می باشد‬
f (t )  2 cos(2t  60 )  4sin 2t 
d
2sin 2t
dt
:‫مثال‬
f (t )  2 cos 2t cos 60  2sin 2t sin 60  4sin 2t  4 cos 2t
 cos 2t  3 sin 2t  4sin 2t  4 cos 2t
 5cos 2t  (4  3)sin 2t
 52  (4  3) 2 cos(2t  tan 1
4 3
)
5
 7.6 cos(2t  48.8 )

B 
Am cos t  Bm sin t  Am 2  Bm 2 cos  t  tan 1 m 
Am 

‫نمایش یک سینوس ی بوسیله فازور‬
A Am e j or A  Am
x(t)  Am cos   t  
x(t)  Re(Ae jt )  Re(Am e j(t ) )  Am cos   t  
A Am e j , 


v(t)  110 2 cos 120t  
3

V  110 2 e
j

3
:‫مثال‬
 110 2 

3
v(t)  Re(Ve j120t )
:‫اگر موج سینوس ی به جای تابع کسینوس با تابع سینوس مشخص شده باشد‬

y(t)  A m sin   t     A m cos  t    90

A Am e j  Am
y(t)  Im(Ae jt )
:‫مثال‬
V  115   45  115cos(t  45 )  115sin(t  45 )
‫رسم تابع مختلط‬
‫‪j t‬‬
‫‪Ae‬در صفحه مختلط‬
‫) ‪y(t)  Im(Ae jt‬‬
‫) ‪x(t)  Re(Ae jt‬‬
‫ادیان بر ثانیه روی دایره ای به شعاع‬
‫)‪ x(t‬تصویر نقطه ‪Ae jt‬روی محور ‪ x‬است که با سرعت زاویه ای ر‪‬‬
‫‪j t‬‬
‫‪ y(t) ،Ae‬را خواهد داد‪.‬‬
‫محور ‪y‬‬
‫روی‬
‫جهت عقربه های ساعت دوران می کند‪ .‬به همین ترتیب‪ ،‬تصویر نقطه‬
‫در‪Am‬‬
‫خالف‬
‫نکته ‪ :1‬جمع پذیری و همگن بودن ]…[‪Re‬‬
‫‪Re1Z1 (t )  2 Z2 (t )  1 Re  Z1 (t )  2 Re  Z2 (t )‬‬
‫نکته ‪ :2‬اگر ‪ A‬عددی مختلط با نمایش قطبی‬
‫باشد‪ ،‬آنگاه‪:‬‬
‫‪Ae jt‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪Re( Ae jt )  Re  Ae jt   Re  j Ae jt ‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬عملیات گرفتن جز حقیقی و مشتق گیری جابجایی پذیرند‪.‬‬
‫‪d‬‬
‫‪j t‬‬
‫‪ Ae‬باشد‪.‬‬
‫در ‪ jt‬می‬
‫‪ ‬اعمال به ‪Ae‬به منزله ضرب ‪j‬‬
‫‪dt‬‬
‫یک فرکانس زاویه ای باشد‪:‬‬
‫نکته ‪ :3‬اگر ‪ A‬و ‪ B‬اعداد مختلط و ‪‬‬
‫‪Re( Ae jt )  Re( Be jt )  A  B‬‬
‫کاربرد نمایش فازوری‬
‫ در حالتی‬،‫کاربرد عمده نمایش فازوری در محاسبه جواب خاص معادالت دیفرانسیل خطی با ضرایب حقیقی ثابت‬
.‫ می باشد‬،‫که تابع تحریک یک سینوس ی است‬
n
n 1
d x
d x
dx
a0 n  a1 n 1  ...  an1  an x  Am cos(t   )
dt
dt
dt
A Ame j
,
X
:‫با به کاربردن فازورها داریم‬
X me j 
dn
a0 n Re( Xe jt )  ...  an Re( Xe jt )  Re( Ae jt )
dt
dn
jt
jt
jt
Re(
a
Xe
)

...

Re(
a
Xe
)

Re(
Ae
)
0
n
n
dt
Re(a0 ( j ) n Xe jt )  ...  Re( an Xe jt )  Re( Ae jt )


Re  a0 ( j ) n  a1 ( j ) n 1  ...  an 1 ( j )  an  Xe jt  Re( Ae jt )
 a0 ( j ) n  a1 ( j ) n 1  ...  an 1 ( j )  an  X  A
A
X
 a0 ( j ) n  a1 ( j ) n 1  ...  an 1 ( j )  an 
Xm 
‫کاربرد نمایش فازوری‬
Am
(an  an2  ...)  (an1  an3  ...) 
3
1  an 1  an 3  ... 
    tan 

2
a

a



...
n
n

2


2
2
3
2
1
2
‫ چنانکه توسط‬y ‫ و یک خروجی‬w ‫می توان مطالب قبل را در مورد یک مدار خطی تغییرناپذیر با زمان با یک ورودی‬
‫ تعمیم داد‬،‫معادله دیفرانسیل زیر توصیف می شود‬
dny
d n 1 y
dy
d mw
d m 1w
 a1 n 1  ...  an 1  an y  b0 m  b1 m 1  ...  bm w
n
dt
dt
dt
dt
dt
w(t )  Re( Ae jt )  A cos(t   ) ;
A A e j
y (t )  Re( Be jt )  B cos(t   )
;
B
B e j
‫) را می توان از معادله زیر بدست آورد‬B ‫) و قسمتی از خروجی (فازور‬A ‫ارتباط میان ورودی (فازور‬
( j ) n  a1 ( j ) n 1  ...  an  B  b0 ( j ) m  b1 ( j ) m 1  ...  bm  A
‫کاربرد نمایش فازوری‬
.‫ ولتاژ خروجی را ولتاژ دو سر خازن درنظر بگیرید‬،‫ سری خطی تغییر ناپذیر با زمان زیر‬RLC ‫ در مدار‬:‫مثال‬
d 2vC (t )
dvC (t )
LC

RC
 vC (t )  eS (t )
dt 2
dt
vC (t )  Re(VC e jt )  VC cos(t   )
E
 LC ( j )2  RC ( j )  1 VC  E  VC 
1  LC 2  j RC
vC (t )  VC cos(t  )
VC 
E
(1  LC 2 ) 2  ( RC ) 2
:‫برابر است با‬VC ‫بنابراین اندازه و فاز‬
,
 RC 
    tan 1 
2 
 1  LC 
‫کاربرد نمایش فازوری‬
‫ برای هر مدار خطی تغییر ناپذیر با زمان‬:‫جمع آثار‬
LC
LC
d 2v p1 (t )
2
dt
d 2v p2 (t )
dt 2
 RC
 RC
dv p1 (t )
dt
dv p2 (t )
dt
 v p1 (t )  A1m cos(1t  1 )
 v p2 (t )  A2 m cos(2t  2 )
vp (t )  v1m cos(1t  1  1 )  v2m cos(2t  2  2 )
‫روابط فازور برای اجزای مدار‬
‫فرض می کنیم که جز مورد بررس ی به یک مدار خطی تغییرناپذیر با زمان متصل باشد و مدار در حالت دائمی سینوس ی‬
‫باشد‪ .‬فرض کنید ولتاژو جریان شاخه جز مورد نظر در حالت دائمی سینوس ی چنین‬
‫با فرکانس زاویه ای قرار گرفته‪‬‬
‫باشد‬
‫) ‪v(t )  Re(Ve jt )  V cos(t  V‬‬
‫) ‪i (t )  Re( Ie jt )  I cos(t   I‬‬
‫روابط فازور برای اجزای مدار‬
‫مقاومت‬
‫‪1‬‬
‫‪R‬‬
‫‪G‬‬
‫;‬
‫) ‪i (t )  Gv(t‬‬
‫‪or‬‬
‫) ‪v(t )  Ri (t‬‬
‫‪I  GV‬‬
‫‪or‬‬
‫‪V  RI‬‬
dv
iC
dt

 I  jCV


or


1
V 
I
j

C


‫روابط فازور برای اجزای مدار‬
‫خازن‬
vL
di
dt

 V  j LI


or


1
I 
V
j

L


‫روابط فازور برای اجزای مدار‬
‫سلف‬