Transcript Clase 8: Señales Limitadas por Banda y Teorema de Muestreo

Señales Limitadas por Banda y Teorema de Muestreo
Formas de onda limitadas por banda
Teorema de muestreo
SeñalesLimitadasporBanda y Teoremade Muestreo
Una forma de onda limitada en banda tiene espectros diferentes de cero sólo dentro de una cierta banda
de frecuencias. En este caso se aplican importantes teoremas, en particular el de muestreo, para procesar la
forma de onda. Esto es muy importante y aplicable a problemas de comunicación digital.
Formas de Onda limitadas por banda
Definición: Una forma de onda w(t) es (absolutamente) limitada en banda a B hertz si
Definición: Una forma de onda w(t) es (absolutamente) limitada en tiempo si
Teorema: Una forma de onda absolutamente limitada en banda no puede ser absolutamente limitada por
tiempo y viceversa.
De este teorema surge una paradoja. Se sabe que una forma de onda limitada en banda no puede ser
limitada en tiempo. Sin embargo, se cree que una forma de onda física está limitada en tiempo debido a que
el dispositivo que genera la forma de onda se construyó en algún tiempo finito en el pasado y el dispositivo
decaerá en algún tiempo futuro produciendo, por lo tanto, una forma de onda limitada por tiempo. Esta
paradoja se resuelve observando que se está modelando un proceso físico con un modelo matemático y tal
vez las suposiciones no están satisfechas, aunque se considere lo contrario.
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Otro teorema de interés establece que si w(t) es absolutamente limitada por banda, entonces es una
función analítica. Una función analítica es aquella que posee derivadas con valores finitos cuando se
evalúan para cualquier valor finito de t.
Teorema de Muestreo
El teorema de muestreo es uno de los de mayor utilidad porque se aplica a los sistemas digitales de
comunicación, y es otra aplicación de una expansión de series ortogonales.
Teorema de Muestreo: Cualquier forma de onda física puede representarse sobre el intervalo - ∞ < t < ∞
mediante
y fs es un parámetro al cual se le asigna algún valor conveniente mayor a cero. Aún más, si w(t) está limitada
en banda a B hertz y fs ≥ 2B, entonces la ecuación (2-158) se convierte en la representación de la función de
muestreo, donde
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Esto es que, para fs ≥ 2B, los coeficientes de la serie ortogonal son simplemente los valores de la forma de
onda generados cuando se obtiene una muestra cada 1/fs segundos.
Demostración: Debe saberse que
a partir de un conjunto de funciones ortogonales. Por lo tanto, la ecuación (2-161) satisface que
Empleando el teorema de Parseval, en la ecuación (2-40) se ve que el lado izquierdo se convierte en
Ver tabla 2-2, Funcion Sinc
Ver tabla 2-1, retraso de tiempo
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Por lo tanto, los términos de ϕn(t), como resultan de la ecuación (2-161), son funciones ortogonales con Kn =
1/ fs . Utilizando la ecuación (2-84) se observa que la ecuación (2-159) sigue de ella. Más aún, se demostrará
que la ecuación (2-160) sigue para el caso donde w(t) está absolutamente limitada en banda a B hertz con fs
≥ 2B. Empleando la ecuación (2-84) y el teorema de Parseval, en la ecuación (2-40), se tiene que
Sustituyendo (2-164) resulta en
Pero debido a que W(f) es cero para |f| > B, donde B ≤ fs /2, los límites de la integral pueden extenderse a
(-∞, ∞) sin cambiar el valor de la integral. Esta integral con límites infinitos es sólo la transformada inversa
de Fourier de W(f) evaluada a t = n/fs. Por consecuencia, an = w(n/fs), que es igual a la ecuación (2-160).
De la ecuación (2-167) resulta obvio que la mínima velocidad de muestreo permitida para la reconstrucción
de una forma de onda limitada por banda sin errores está dada por
Esto se conoce como la frecuencia de Nyquist.
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Ahora se examina el problema de la reproducción de una forma de onda de banda limitada utilizando N
valores de muestra. Suponga que sólo está interesado en reproducir la forma de onda sobre un intervalo de
T0 segundos, como lo muestra la figura 2-17a. Entonces puede truncar la serie de funciones de muestreo de
la ecuación (2-158), de forma tal que se incluyan sólo N funciones ϕ(t) cuyos picos están dentro del intervalo
T0 de interés. Es decir, la forma de onda puede reconstruirse aproximadamente utilizando N muestras. La
ecuación es
donde el conjunto {ϕn (t)} está descrito por la ecuación (2-161). La figura 2-17b muestra la forma de onda
reconstruida (línea sólida), la cual se obtiene mediante la suma ponderada de formas de onda retrasadas por
tiempo de tipo (sen x)/x (líneas rayadas), donde las ponderaciones son los valores de muestra an = w(n fs)
denotados por los puntos. La forma de onda está limitada en banda a B hertz con la frecuencia de muestreo
de fs ≥ 2B. Los valores de muestra pueden almacenarse, por ejemplo, en la memoria de una computadora
digital, de tal manera que la forma de onda puede reconstruirse en un futuro o los valores pueden
transmitirse sobre un sistema de comunicación en donde se lleva a cabo la reconstrucción de la forma de
onda en el lado receptor. En cualquiera de estos casos, la forma de onda puede reconstruirse a partir de los
valores de muestra mediante la ecuación (2-169). Es decir, cada valor de muestra se multiplica por la función
(sen x/x) adecuada y estas funciones (sen x/x) ponderadas se suman para generar la forma de onda original.
La figura 2-17b ilustra este procedimiento. El mínimo número de valores de muestra necesarios para la
reconstrucción de la forma de onda es
y existen N funciones ortogonales en el algoritmo de reconstrucción. Se puede decir que N es el número de
dimensiones requeridas para la reconstrucción de la aproximación a T0 segundos de la forma de onda.
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Referencias
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