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Ondas de Materia
Ecuación de Schrödinger
Física 3 -2011
Facultad de Ingeniería UNMDP
Problemas abiertos de la física clásica a fines del siglo XIX
Antecedentes de la mecánica cuántica
Radiación de cuerpo negro
•Todo cuerpo a temperatura
mayor a 0K emite radiación en
todo el espectro de frecuencias.
•El espectro de emisión depende
tanto de la frecuencia como de la
temperatura.
• Un cuerpo negro modela un
cuerpo que es capaz de absorber
toda la radiación que incide
sobre él.
Efecto fotoeléctrico
•Luz incidente sobre un metal
con una frecuencia mayor a
cierto umbral produce una
corriente.
•La corriente aparece en forma
casi instantánea, aun para luz de
muy baja intensidad.
•La corriente es proporcional a
la intensidad que llega a la
superficie del metal.
Radiación de cuerpo negro
Observaciones experimentales
Observaciones experimentales
Termografía
Todo cuerpo con temperatura
T >0K emite radiación.
Conforme la temperatura aumenta crece la
potencia emitida y el pico de la distribución se
corre hacia longitudes de onda mas cortas, del
infrarrojo al ultravioleta.
Radiación de cuerpo negro
Predicciones de la teoría clásica y la solución de Planck
Predicción de la teoría clásica
Teoría de Planck (1900)
Solución
Un cuerpo negro puede emitir radiación en
paquetes discretos o cuantos, con
energías,que son múltiplos de la energía
E = hf
donde h es una constante y f es la
frequencia de la radiación.
La teoría del electromagnetismo clásico, predice
que un cuerpo negro ideal en equilibrio térmico
debe emitir energía en todos los rangos de
frecuencia; de manera que a mayor frecuencia,
mayor energía. Esto da a lugar al fenómeno
h = 6.62 x 10-34 Joule sec
conocido como catástrofe del ultravioleta.
Surge así una nueva constante fundamental de
la naturaleza, que determina dónde cobran
relevancia los fenómenos a escala
microscópica.
Efecto fotoeléctrico
Ratifica el concepto de “cuanto” que surge en la teoría de Planck
Predicción de la teoría clásica
Teoría de Einstein (1905)
•La luz está compuesta por partículas llamadas
fotones
Solución •Así un fotón al interactuar con el electrón tiene
una Energía E=hf . Producto de esta interacción la
energía final del electrón será
Ek = hf – f, donde f es la función trabajo del
metal. Dado que el evento es una colisión, la
emisión es instantanea y la generación de
fotoelectrones es uno a uno con respecto a los
fotones incidentes.
Con el electromagnetísmo clásico no era
posible explicar la existencia de una
frecuencia umbral ni la emisión cuasiinstantánea de los fotoelectrones.
Otras evidencias de los fotones
La prolongada exposición a rayos UV generan
cáncer de piel (MELANOMA) dado que la energía
de los fotones UV (~ 1eV) está en el orden de la
uniones química en las moléculas de nuestro ADN;
no así la de su celular RF (~ 0.06meV)
Nuestro ojo detecta colores gracias a que fotones
de distintas energías disparan reacciones químicas
diferentes en las células de nuestra retina.
La luz es una ONDÍCULA
Curiosidades acerca de la dualidad de la luz
Evolución de nuestro conocimiento acerca de la naturaleza de la luz
Teoría ondulatoria
Huygens,Young, Fresnel,
Arago (1790)
Teoría de EF (Fotón)
Einstein (1905)
ONDÍCULA
Teoría corpuscular
de Newton (1704)
Modelo corpuscular
Fenómenos de Interferencia y
difracción de Luz no podían ser
explicados por el modelo
corpuscular.
¿Serán ONDÍCULAS las partículas de materia?
Hipótesis de de Broglie
Louis V. de Broglie presenta su tesis
doctoral en 1923, en la que sugiere que las
partículas con masa deberían tener
propiedades ondulatorias similares a la luz.
Longitud de onda
piloto de de Broglie
h
B 
p
Si la luz puede actuar como una
partícula (Fotón) . ¿Por qué no
podrán las partículas de
materia comportarse también
como ondas?
Constante
de Planck
Momento de la
partícula
La longitud de onda para las ondas de materia se
conoce como longitud de onda piloto de de Broglie
Sobre las ondas y las partículas
Conceptos y paquete de onda
Partícula
Onda
Nuestro conocimiento tradicional
de partícula referencia a algo que
está “LOCALIZADO”- confinado
en el espacio con una posición y
un momento definido.
Nuestro conocimiento tradicional
de una onda está relacionado con
algo “DE-LOCALIZADO”- disperso
en el espacio y el tiempo
¿Cómo podríamos representar tanto a una onda
como a una partícula?
Paquete de onda
Paquetes de onda
Velocidad de fase y grupo
Las velocidades de las ondas individuales que se superponen para formar el
paquete de ondas son diferentes de modo que el paquete, como un todo, tiene una
velocidad diferente a la de sus componentes.
•Velocidad de fase (Vf): La velocidad a la que la fase de la onda se propaga en el
espacio.
•Velocidad de grupo (Vg): La velocidad a la que la envolvente del paquete de
ondas se propaga.

h
E
Vf 



k
hk
P
P2
2m  P  Vp
P
2m
2
d
d ( )
dE
d  P2 
P


Vg 




 Vp


dk
d (k )
dP
dP  2m 
m
Desigualdades de Heisenberg
Velocidad de fase y grupo
Las desigualdades de Heisenberg son una consecuencia importante de la
dualidad onda-partícula de la materia y la radiación y es inherente a su
naturaleza cuántica.
 Una de las desigualdades postula, que la posición y el momento de un objeto
no están definidos con exactitud simultáneamente.
•
h
 x p x 
2
Posición / momento
h
Et 
2
Energía / tiempo
Posición / momento y Energía /tiempo se conocen con el
nombre de variables conjugadas
Dos consecuencias importantes de las desigualdades de Heisenberg son:
•La trayectoria de una particula no está bien definida en el dominio cuántico
•La incerteza es inherente al dominio cuántico y nada tiene que ver con la
interacción con los instrumentos de medición o la intervención del observador
Interferencia de doble rendija
Trabajando con partículas y ondas
Partículas
Ondas
Esperamos que las partículas pasen por la rendija (1)
ó (2). Observamos asi un patrón que se correponde
con la suma de las figuras de difracción
Patrón de Interferencia de electrones
Si se mide la distribución de eletrones sobre una
superficie detectora conforme pasa el tiempo,
se observa un patrón de interferencia. Esto indica que
los electrones no pudieron haber pasado por (1) o por
(2) tal lo suponemos para una partícula sino que
debieron pasar por (1) y (2).
La hipótesis de de Broglie se cumple.
¡¡Los electrones son
ondículas!!
Esto fué verificado por Davidsson & Germer de los Bell Labs (1926)
Debemos buscar una ecuación para
modelar la dinámica de las ondículas
como consecuencia de las desigualdades de Heisenberg
F=ma
•La trayectoria de una particula no está bien definida en
el dominio cuántico
 2 E ( x, t )
 2 E ( x, t )
  o o
2
x
t 2
Pues
Vf 
¿Entonces?

k

Vp
2
Ecuación de onda clásica
Ecuación de Onda
Simetrías
Inversión espacial (reflexión)
 E ( x, t )
 E ( x, t )
  o o
2
2
x
t
2
2
Soluciones
E ( x, t )  Sen(kx  t )
E ( x, t )  Cos(kx  t )
E ( x, t )  ei ( kxt )
x
-x
    2


x 2
( x)  ( x) 
Inversión temporal
t
-t
    2


t 2
(t )  (t ) 
Relacion de dispersión
 (k )  kc
En busca de una ecuación que describa la
dinámica de las ondículas
ph

 k
De Broglie
E  
Energía de una partícula en 1D
2
P
E
 V ( x)
2m
 2k 2
 
 V ( x)
2m
Solución
Planck
 ( x, t )  expi(kx  t )
i 
t
Ecuación de Schrödinger en 1D


i
 

 V ( x)
2
t
2m x
 ( x, t )
2
2
Función compleja de variable real que
representa el estado de la ondícula
2

 
2
x 2
La ecuación de Schrödinger dependiente de t
Algunos comentarios
• La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo describe la
dinámica de una ondícula, no relativista (esto es con masa en reposo
no nula y velocidad mucho menor que c)
• La ec. de Schrödinger dependiente del tiempo es una ecuación
diferencial a derivadas parciales en x y t . A diferencia de la ecuación de
onda clásica, es de primer orden en el tiempo. En este sentido se
corresponde con la forma de una ecuación del tipo de difusión que
modela un proceso irreversible.
• Sus soluciones son funciones complejas de variable real a diferencia de
las correspondientes a la ecuación de onda clásica donde la parte real e
imaginaria son soluciones.
Ahora conocemos la ecuación que describe la dinámica de una partícula
en 1D pero el precio que debemos pagar es que sus soluciones (estado
de la ondícula) son funciones complejas de variable real (no las
podemos medir directamente).
Solución
Interpretación de la función de onda
Interpretación de Born
Dado que Ψ(x,t) es una función compleja de variable real. Cómo
se corresponde con una medida fisica sobre el sistema?
Recordemos que en las OEM: el número de fotones por unidad de volumen es
proporcional a la energía electromagnética por unidad de volúmen, por lo
tanto, a cuadrado de la intensidad del campo electromagnético.
Postulado (Interpretación de Born): La densidad de probabilidad de
encontar una partícula en un pequeño intervalo de longitud δx entorno del
un punto x en un tiempo t es igual a (x,t) 2  x  2  *
Así la probabilidad total de encontrar a la
partícula entre dos posiciones a y b es
b

Max Born
xa
b
δx
|Ψ|2
(x,t)  x 
  (x,t) d x
x0
2
2
x
a
a
b
Conservación del flujo de probabilidad
Otras propiedades interesantes
La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo admite, por ser de
segundo orden, dos soluciones linealmente independientes. Dado que
éstas son complejas entonces:
Si
 ( x, t ) es solución,  * ( x, t )
i 
, su conjugada compleja, también lo es.
  2  2

 V ( x) (1)
t 2m x 2
*


 i
  2  2 *
*
(2)


V
(
x
)

t 2m x 2
Notemos que es posible a partir de (1) y (2) construir una ecuación para el |(x,t)|2,
simplemente multiplicando miembro a miembro (1) por * y (2) por .


 J  
 | ( x, t ) |
2
t
i  * 
 * 


J 

2m 
x
x 
Reintrerpretando la interferencia de
doble rendija
1
y
2
θ
d sin 
Flujo incidente de
partículas
coherentes, o luz
Pantalla
detectora
D
  1   2
2
2
2
  1   2  *  2  1*
1
Término correspondiente
a las “partículas” usuales
2
Término de
interferencia