Transcript vy_32_inovace_m09x - Střední škola, Havířov

Délka kružnice
a kruhového oblouku
Mgr. Dalibor Kudela
Střední škola, Havířov-Šumbark, Sýkorova 1/613, příspěvková organizace
Tento výukový materiál byl zpracován v rámci akce EU peníze středním školám - OP VK 1.5.
Výuková sada – Matematika, DUM č.09
Ludolfovo číslo
Ludolfovo číslo, častěji označováno jako číslo  (pí) je
iracionální číslo, které udává poměr obvodu kruhu k jeho
průměru.
Číslo  je matematická konstanta, která se používá
při výpočtech kruhu a jeho částí, délky kružnice
a kruhového oblouku.
Nejčastěji se při výpočtech používá hodnota zaokrouhlena
na dvě desetinná místa: 3,14.
Zajímavost: dnes (v éře počítačů) je toto číslo vypočteno
s přesností na více než 5 biliónů desetinných míst.
Délka kružnice
Kružnice k se středem S a poloměrem r je množina
všech bodů roviny, které mají od středu S vzdálenost r.
S – střed kružnice
r – poloměr kružnice
d – průměr kružnice
r
d
d  2r
S
Délka kružnice
k
(obvod kruhu)
o  2 r
o d
Délka kruhového oblouku
Je dána kružnice k se
středem S
Sestrojíme
ASB , kde AS = BS = r
ASB = 
 – středový úhel
B
l
r
S 
l
– délka kruhového
oblouku
Vzorec pro výpočet délky
kruhového oblouku
A
k
l
r
180

Vzorový řešený příklad
Vypočtěte délku kruhového oblouku l, který vznikne z kružnice
o poloměru r = 8,2 cm a středového úhlu  = 54°.
Jedná se pouze o dosazení do vzorce
l
r
S 
l
l
r
180

  8, 2
180
 54  7, 73 cm
Navrhněte řešení
l  7, 73 cm
Vzorový řešený příklad
Středový úhel   4236 vytíná na kružnici oblouk o délce
l = 38,5 cm. Vypočtěte poloměr r této kružnice.
r
l


Ze základního vzorce:
180
vyjádříme poloměr r
r

S
l
180  l 180  38,5
r

 51, 78 cm
     42
36
Navrhněte
řešení
r  51, 78 cm
Vzorový řešený příklad
Vypočtěte středový úhel  , který vytíná na kružnici o poloměru
r = 18,5 m oblouk o délce l = 42,8 m.
r
l


Ze základního vzorce:
180
vyjádříme úhel 
r

S
l

180  l 180  42,8

 13233
 r
 18,5
Navrhněte řešení
  13233
Příklady k procvičení
Je dána kružnice k o poloměru r, středovém úhlu  , délce
kruhového oblouku l a obvodu o. Vypočtěte chybějící údaje.
1) r  6,5 cm,   12536 l  ?
2) l  23,8 cm,   6312 r  ?
3) r  3, 2 m, l  46 dm   ?
4) d  22,8 cm,   8244 l  ?
5) o  46,8 cm, l  18,9 cm   ?
Řešení
1) l  14, 25 cm
2) r  21,58 cm
3)   8222
4) l  16, 46 cm
5)   14521
Slovní úlohy
1. Vypočítejte poloměr atletické dráhy tvaru kružnice, kterou
atlet musí oběhnout třikrát, aby uběhl 5 km.
2. Průměrný poloměr Země je 6 378 km. Vypočítejte délku
rovnoběžky o zeměpisné šířce 40°.
3. Jakou dráhu urazí konec sekundové ručičky dlouhé 12 cm za
24 hodin?
4. Jakou část kruhového oblouku vytínají hodinové ručičky na
ciferníku o průměru 20 cm v sedm hodin?
(mezi sedmičkou a dvanáctkou)
5. Hmotný bod se pohybuje po kružnici se středem S
a poloměrem r = 12,7 cm. Z bodu A se přemístil do bodu B
a urazil 48,5 cm. Vypočítejte velikost úhlu ASB.
Řešení
1) Poloměr atletické dráhy je 265,3 m.
2) Délka rovnoběžky je 30 698, 6 km.
3) Celková dráha je 1085, 7 m.
4) Délka oblouku je 26, 2 cm.
5) Úhel ASB má velikost 21848 .