Transcript Výpočet délky rovnoběžky

©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
Matematika
a její využití v geografii
Z e m ě
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem
a státním rozpočtem České republiky
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
Obsah
• Vybrané
rovnoběžky
• Zeměpisné
souřadnice
• Výpočet délky
rovnoběžky
• Plocha pásů
• Obvodová rychlost
• Vzdálenosti ve
vesmíru
• Měsíc
• Pro přemýšlivé
2
Vybrané rovnoběžky
zeměpisné souřadnice
23°27′ s. š.
obratník Raka
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
Napište k daným rovnoběžkám
severní polární kruh
66°33′ s. š.
rovník
0°
obratník Kozoroha
23°27′ j. š.
jižní polární kruh
66°33′ j. š.
3
Zeměpisné souřadnice
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
Vytvořte správné dvojice (např. 1A, 2B …)
1) 23o s.š. 90o z.d
A) Korálové moře
2) 15o j.š. 150o v.d
B) Weddellovo moře
3) 55o s.š. 170o v.d.
C) Mosambický průliv
4) 70o j.š. 40o z.d.
D) Mexický záliv
5) 20o j.š. 40o v.d.
E) Beringovo moře
Správná odpověď: 1D, 2A, 3E, 4B, 5C
4
Výpočet délky rovnoběžky
Odvoďte vzorec pro výpočet délky libovolné rovnoběžky
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
Délka kružnice: l = 2πr
cos 
r
R
trojúhelník SAÁ
R…poloměr Země
r…poloměr libovolné rovnoběžky
r = R.cosφ
l φ= 2πR.cosφ
5
Výpočet délky rovnoběžky
Určete přibližnou délku
b) severního polárního kruhu
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
a) obratníku Raka
l φ= 2πR.cosφ
obratník Raka:
lR= 2.π.R.cos 23°27′ = 36 745 km
severní polární kruh:
lspk = 2.π.R.cos 66°33′ = 15 939 km
6
Výpočet délky rovnoběžky
Která rovnoběžka má velikost odpovídající ½ délky rovníku?
rovnoběžka
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
Výsledek porovnejte s mapou v Atlase světa strana 38.
Zdůvodněte.
rovník
2. 2πR.cosφ = 2πR.cos0o
vydělíme rovnici výrazem 2πR
2 .cosφ = 1
cos φ = ½
φ = 60o
Rovnoběžky: 60o s.š. a 60o j.š.
7
Kolik procent zemského povrchu leží v oblasti
pásma tropického, mírného a polárního?
Jednotlivé pásy jsou ohraničeny obratníky a
polárními kruhy.
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
Výpočet plochy pásů
Vzorec pro výpočet kulového pásu nebo kulového vrchlíku:
S = 2πRv
v… výška pásu nebo vrchlíku
8
Tropický pás - řešení
Tropický pás: ST = 2S1
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
S1 = 2π.R.v1
trojúhelník SAÁ
v1 = R.sin 23o 27´
S1 = 2π.R. R.sin 23o 27´ =
v1
2π.63782.0,3979 = 101 713 000
ST = 2S1 = 2. 101 713 000 =
= 203 426 000 km2
Plocha tropického pásu činí přibližně
40% povrchu zeměkoule.
S1
9
Mírný pás - řešení
Mírný pás: SM = 2S2
v2 = R.(sin 66o 33´ - sin 23o 27´)
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
S2 = 2π.R.v2
S2 = 2π.R. R.(sin 66o 33´ - sin 23o 27´) =
= 2π.63782.0.5194 = 132 770 084
SM = 2S2 = 2. 132 770 084 =
= 265 540 168 km2
S2
Plocha mírného pásu činí přibližně
52 % povrchu zeměkoule.
10
Polární pás - řešení
Polární pás: SP = 2S3
v3 = R. (sin 90o ´ - sin 66o 33´)
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
S3 = 2π.R.v3
S3 = 2π.R. R. (1 - sin 66o 33´) =
= 2π.63782 . 0,0825 = 21 086 420
Sp = 2S3= 21 086 420 = 42 172 840 km2
S3
Plocha tropického pásu činí přibližně
8 % povrchu zeměkoule.
11
Obvodová rychlost je pro různá místa na Zemi rozdílná a je
závislá na zeměpisné šířce. Klesá od rovníku k pólům, to
znamená, nejvyšší je na rovníku a nejnižší na pólech.
Pro výpočet stačí znát délku libovolné rovnoběžky (viz dříve).
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
Obvodová rychlost
2 πRcos 
v
24
Vypočítejte obvodovou rychlost bodu ležícího na
rovníku.
Rovník:
2Rcos0o
vR 
 1 669 km.h 1
24
12
Obvodová rychlost
obratník Raka:
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
Vypočítejte obvodovou rychlost bodu nacházejícího se na
obratníku Raka, 50o s.š. a na pólu.
50o s.š.:
severní pól:
2 πRcos(23o 27´ )
1
vO R 
 1 531 km . h
24
2 πRcos 50o
v 50 
 1 279 km . h 1
24
2 πRcos 90o
v 90 
0
24
13
Obvodová rychlost
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
Které místa na Zemi mají obvodovou rychlost
rovnající se polovině obvodové rychlosti na
rovníku?
2 πRcos 0
vR 
24
o
v 0,5
2 πRcos 
 2.
24
místa ležící
2Rcos0o
2R cos  Všechna
na 60o s.š. a 60o j.š.
 2.
24
24
mají obvodovou
1 = 2.cosφ
0,5 = cosφ
60o = φ
rychlost rovnající se
polovině obvodové
rychlosti na rovníku.
14
Vzdálenosti ve vesmíru
Astronomická jednotka (AU) – 149,5 mil. km
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
1 km – příliš malá jednotka ve vesmíru
(střední vzdálenost Země Slunce)
Světelný rok (ly) – 63 241 AU = 9,5 biliónů km = 9,5 x
1012 (vzdálenost, kterou urazí světlo ve vakuu za jeden rok)
Parsek (pc) – 3,26 světelného roku = 3,26 ly = 30 biliónů
km (vzdálenost, v níž se jeví spojnice Země Slunce pod
úhlem jedné vteřiny)
15
Vzdálenosti ve vesmíru
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
Za jak dlouho k nám dorazí světlo
ze Slunce?
300 000 (km)
149 000 000 (km)
1 (s)
x (s)
x = 149 000 000 : 300 000 = 496 (s) =
= 8,2 minuty
Světlo ze Slunce k nám dorazí
přibližně za 8 minut.
16
Měsíc
Proč vidíme Měsíc v různých tvarech (úplněk, 1. čtvrť,
3. čtvrť atd.)?
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
Obíhá Měsíc kolem Země od východu na západ nebo od
západu na východ?
Za jak dlouho se opakuje úplněk?
Proč východ Měsíce není pořád na stejném místě.
Jaká je vzdálenost Země Měsíc?
Proč vidíme Měsíc přibližně stejně velký jako Slunce?
17
Měsíc
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
Východ Měsíce se každý den zpožďuje o 48 minut
oproti východu Slunce, proto Měsíc nevidíme
vycházet každý den stejně na stejném místě.
Vzdálenost Měsíc Země není stejná, Měsíc obíhá
po eliptické dráze, v nejbližším místě (přízemí perigeu) je vzdálen 363 000 km, v
nejvzdálenějším místě (odzemí – apogeu) 406 000
km. Průměrná vzdálenost činí 384 000 km.
Průměr Měsíce činí přibližně 3 476 km, průměr
Slunce 1 384 000 km . Obě tělesa vidíme na
obloze o velikosti 0,5o.
18
Měsíc
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
Měsíc obíhá kolem Země od západu na
východ stejně jako Slunce (proti směru
pohybu hvězdné sféry)
Siderický měsíc – 27,3 dne – doba, za
kterou se Měsíc při svém oběhu kolem
Země vrátí na stejnou polohu vůči
dané hvězdě. (Z bodu M1 do bodu M1.)
Za 1 den se jedná o dráhu asi 13o.
Oběh kolem Země vykoná za 360 : 13 =
27,3 dne.
Synodický měsíc – 29,5 dne – doba, za
kterou se Měsíc vrátí do stejné polohy
vůči Slunci (doba mezi dvěma po sobě
jdoucími novy).
19
Pro přemýšlivé
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
Příklad
Kolem rovníku (pro zjednodušení uvažujme
kružnici se středem ve středu Země) je natažen
drát. Prodlužme tento drát o 10 m a opět
natáhneme tento drát jako soustřednou
kružnici.Vznikne mezera mezi Zemí a drátem.
Projde vzpřímeně touto mezerou osoba vysoká
158 cm?
20
Pro přemýšlivé - řešení
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
Řešení je elegantní a není tak složité, jak na první pohled vypadá.
obvod Země
O = 2πR
zvětšený poloměr drátu
R+x
obvod Země se zvětšeným pol. drátu O = 2.π(R + x)
zvětšený obvod Země o 10 m O = 2πR + 10
2.πR + 10 = 2.π(R + x)
2.πR + 10 = 2.πR + 2.πx
10 = 2.πx
1,59 = x
Osoba měřící 158 cm pod drátem projde
(jen nesmí mít vysoké
nebo
).
21
Zdroje
©Gymnázium Hranice, Zborovská 293
Přírodní vědy moderně a interaktivně
Obrázky: vlastní zpracování
Text: vlastní zpracování
Použitá literatura:
LUHR, James F.. Země. Banská Bystrica: Euromedia Group, 2003, ISBN 80-242-1225-0.
22