Transcript 0……o.…..
1
2
PROPOSICION
Enunciado al que se lo puede calificar o
bien como Verdadero o bien como Falso.
NOTACIÓN:
Primeras letras del abecedario en minúscula
Ejemplos:
a: "Hoy es Lunes"
b: "Estoy en la clase de Física"
3
• NO PROPOSICIONES
¡Ojala deje de llover!
¿Hiciste el deber de Matemáticas?
Siéntate y quédate quieto.
VALOR DE VERDAD
Cualidad de una proposición de ser verdadera o
de ser falsa.
Verdadero: 1
Falso:
0
4
OPERADORES (CONECTORES) LÓGICOS
NEGACIÓN Lenguaje
Relacionado
Símbolo :
No
No es verdad que
No es cierto que
Tabla de verdad
Ejemplos
a : "Hoy no es Lunes "
a
a
b :“ No Estoy en la clase de Física"
1
0
0
1
5
OPERADORES LÓGICOS
CONJUNCIÓN
Lenguaje
Relacionado
“y”
“pero”
Símbolo:
Ejemplo
Tabla de verdad
a : "Tengo un lápiz"
a
b
ab
b : "Tengo un cuaderno"
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
a b : "Tengo un lápiz y un cuaderno "
OPERADORES LÓGICOS
DISYUNCION INCLUSIVA
Lenguaje
Relacionado
Símbolo:
Ejemplo
a : "Tengo un lápiz"
b : "Tengo un cuaderno "
a b : "Tengo un lápiz o un cuaderno "
“O”
Tabla de verdad
a
1
1
0
0
b
ab
1
0
1
0
1
1
1
0
6
OPERADORES LÓGICOS
DISYUNCION EXCLUSIVA
b
a
“0……o.…..”
Lenguaje
b
a
Relacionado “o bien……o
bien…..”
Símbolo:
Significa: a b a b
Ejemplo
a : “Daniel está en España "
b : “Daniel está en Italia"
a b : “Daniel está en España o en Italia"
Tabla de verdad
a
b
a b
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
7
OPERADORES LÓGICOS
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)
Lenguaje
a
“Si…..entonces.….”
b
Relacionado
Ejemplo
Símbolo: a b
a : “Apruebas el preuniversitario"
b : “Te regalaré un carro"
a b : “Si apruebas el preuniversitario entonces te regalaré un carro"
Tabla de verdad
a
1
1
0
0
b
ab
1
0
1
0
1
0
1
1
8
OPERADORES LÓGICOS
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)
ab
Antecedente
Hipótesis
Consecuente
Tesis
Premisa
Conclusión.
OTROS LENGUAJES RELACIONADOS:
a implica b
b cada vez que a
Basta a para b
b siempre que a
a sólo si b
b puesto que a
a solamente si b
b porque a
b si a
b con la condición de que a9
OPERADORES LÓGICOS
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)
Condición Necesaria y
a b verdadera
Condición Suficiente
“a es condición suficiente para b”
“b es condición necesaria para a”
Ejemplo:
"Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2"
1. “La divisibilidad para 4 es condición suficiente para la divisibilidad para 2"
“Es suficiente que un número sea divisible para 4 para que se divisible para 2"
2. “La divisibilidad para 2 es condición necesaria para la divisibilidad para 4"
“Es necesario que un número sea divisible para 2 para que se divisible para 4"
10
OPERADORES LÓGICOS
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)
VARIACIONES
ab
ba
LA RECÍPROCA:
a b
LA INVERSA:
LA CONTRARRECÍPROCA:
b a
Ejemplo: “Iré a trabajar si me pagan”
Si me pagan entonces iré a trabajar
LA RECÍPROCA: Si voy a trabajar entonces me pagan
LA INVERSA:
Si no me pagan entonces no iré a trabajar
LA CONTRARRECÍPROCA:
Si no voy a trabajar entonces no me pagan
11
OPERADORES LÓGICOS
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)
VARIACIONES
Importante
ab
Condicional:
"Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2"
RECÍPROCA:
"Si un número es divisible para 2 entonces es divisible para 4"
Falso
Contraejemplo:
“6 es divisible para 2, pero no es divisible para 4"
12
BICONDICIONAL
OPERADORES LÓGICOS
a y sólo si.….”
Lenguaje Relacionado “…..si
b
Símbolo:
a b
TABLA
DE
VERDAD
Ejemplo:
a : “Un triángulo es equilátero”
Significa: a b b a
a
0
0
1
1
b a b
0
1
0
1
1
0
0
1
b : “Un triángulo tiene sus ángulo de igual medida”
a b : “Un triángulo es equilátero si y sólo si tiene sus ángulos de
igual medida”
13
PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Simples:
No poseen operador lógico
Compuestas: Formadas por varias proposiciones
y operadores lógicos
Ejemplo: a b c a b
Suponga que: a 1 b 0 c 1
1 0 1
1 0 1
1 0 1
0
1
0
1
0
El valor de verdad de
una proposición
compuesta depende del
valor de verdad de sus
proposiciones simples.
1 0
1 0
1 0 0
0
1
14
PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Ejemplo:
Determine el valor de verdad de las proposiciones
simples sabiendo que el valor de verdad de la
proposición compuesta es VERDADERO.
a b c d a c d
1
1
1
0
1
1
1
0
a 1
0
c0
1
1
d 1
b0
1
15
FORMAS PROPOSICIONALES
Expresión constituida por símbolos que
representan o conectores lógicos o variables
proposicionales.
p q r p q
Ejemplo
p q r
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
p q r
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
T otal = 2
núm . var. prop.
p q r
pq
p q r p q
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
16
FORMAS PROPOSICIONALES
TAUTOLOGÍA
Si se obtienen sólo proposiciones verdaderas para todos los valores
de verdad de las variables proposicionales
Ejemplo
p
q
1
1
0
0
1
0
1
0
p q p q
pq
p
p q
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
CONTRADICCION:
CONTINGENCIA:
p q
p q
1
1
1
1
Si se obtienen sólo proposiciones falsas
Si se obtienen proposiciones verdaderas y
otras falsas.
17
IMPLICACIONES LÓGICAS
Sean A y B dos formas proposicionales, se
dice que A implica lógicamente a B si y sólo
si A B es una tautología.
En este caso se escribe:
A B
Ejemplo
p q p q
18
IMPLICACIONES LÓGICAS
Algunas implicaciones lógicas típicas son:
p p q
Adición
p q
Simplificación
p
p
p q q
p q
p q
q p
Modus Ponens
Modus Tollens
p q
Silogismo Disyuntivo
p q q r p r
Silogismo Hipotético
19
EQUIVALENCIAS LÓGICAS
Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice
que A es lógicamente equivalente a B si y sólo si
A B es una tautología.
En este caso se escribe:
A B
También:
Ejemplo
p
q
1
1
0
0
1
0
1
0
A B
p q
p q
pq
p
p q
p q p q
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
20
ALGEBRA DE PROPOSICIONES
CONJUNCIÓN
p q q p
p q r
p q r
p p
p 1
p
p 0
0
p
DISYUNCIÓN
Conmutativa
Asociativa
Idempotencia
Identidad
Absorción
p q q p
p q r
p q r
p p
p 0
p
p
p 1 1
21
ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Otras:
p q r p q p r
p q r p q p r
p p
Leyes distributivas
Doble negación
p q p q
p q p q
p
q q p
p q p q
Leyes de De Morgan
Contrarrecíproca
Implicación
22
ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Otras:
p p 1
Ley del tercer excluido
p p 0
Ley de la contradicción
p q r p q r
p q p q
0
Ley de exportación
Reducción al absurdo
23
E
J
E
M
P
L
O
Demostrar:
p
p q
p
Solución:
p
p q
p 0
p q
p q q
p q
p q
p q q
p
p q Contradicción
p q p q Distributivas
p q
p 0
Identidad
Idempotencia
Distributivas
Contradicción
Identidad
24
Sea la proposición:
E
J
E
M
P
L
O
“Si tú eres inteligente y no resuelves el problema
entonces desconoces la materia ”
Siendo:
m: Tú eres inteligente
n: Tú resuelves el problema
p: Tú desconoces la materia
Indique a que opción corresponde la TRADUCCIÓN:
a) m n p
b) p m n
c) m n p
d) m p
e)
n
m n p
Solución:
Primero:
Segundo:
Traducción: m n p
Transformamos empleando el álgebra de
proposiciones:
m n p
Implicación
m n p
Ley de De Morgan
m n p Asociativa de la disyunción
m n p
Implicación
25
E
J
E
M
P
L
O
Sea la proposición:
“Hoy es jueves y tengo que dar un examen, pero si
hay huelga, entonces no voy a la Universidad”
a: Hoy es jueves
Siendo:
b: Tengo que dar un examen
c: Hay huelga
d: Me voy a la Universidad
Indique a que opción corresponde la TRADUCCIÓN:
a) a b c d
b) a b c d
c) d c a b
d) a b c
e) c
d
d a b
Solución:
Primero:
Segundo:
Traducción: a b c d
Transformamos :
a b d
a b d
d
c
c
c a b
Contrarrecíproca
Doble Negación
Conmutativa
26
RAZONAMIENTOS
PREMISAS
O
HIPOTESIS
H 1 H 2 H 3 H n
C
CONCLUSIÓN
OPERADOR
PRINCIPAL
VALIDEZ
Un razonamiento es VÁLIDO cuando la forma
proposicional que se obtiene de la proposición
compuesta que lo define, es tautológica.
27
28
RAZONAMIENTOS
E
J
E
M
P
L
O
"Si aumenta la producción, aumentan los ingresos; si
aumentan los ingresos, se recupera la inversión. Por lo
tanto, si aumenta la producción ,se recupera la inversión"
SOLUCIÓN:
1
a: Aumenta la producción
b: Aumentan los ingresos
c: Se recupera la inversión
Traducción:
a b b c a c
Forma proposicional:
p q q r p r
29
E
J
E
M
P
L
O
1
RAZONAMIENTOS
p q q r p r
PRIMER MÉTODO: Aplicando leyes de Equivalencias
p q q r p r
Implicación
p q q r p r
De Morgan
p
q q r p r
De Morgan
p q p q r r
Asociativa
p p q p q r r r
1 q p q r 1
q p q r
q q p r
1 p r
1
Distributiva
Del Tercero excluido
Identidad para la conjunción
Asociativa
Del Tercero excluido
Absorción para la disyunción
30
E
J
E
M
P
L
O
1
RAZONAMIENTOS
Segundo Método:
Reducción al Absurdo
p q q r p r
1
1
1
0
1 (0)
1
0
1
0
1 (0)
0 (1)
VALIDO
p 1
r 0
E
J
E
M
P
L
O
2
RAZONAMIENTOS
"Si soy estudioso , aprobaré el curso ; si soy fiestero, no
aprobaré el curso. Por lo tanto, no puedo ser estudioso
y fiestero al mismo tiempo"
Solución: a: Soy estudioso
b: Aprobaré el curso
c: Soy fiestero
Traducción:
a b c b a c
Forma proposicional:
p q r
q p r
31
RAZONAMIENTOS
PRIMER MÉTODO: Aplicando leyes de Equivalencias
p q r q p r
E
J
E
M
P
L
O
2
Implicación
p q r q p r
De Morgan
p q r q p r De Morgan
p q
r
q p r
Doble negación
p q p r q r
Asociativa
p p q p r r q r
1 q p 1 q r
q
p q r
q q p r
1 p r
1
Distributiva
Del tercero excluido
Identidad para la conjunción
Asociativa
Del tercero excluido
Absorción para la disyunción
32
RAZONAMIENTOS
Segundo Método:
E
J
E
M
P
L
O
2
Reducción al Absurdo
p q r
1
1
q p r
p 1
0
1
1
1
1 (0 )
1 (0 )
1
1
r 1
0
0 (1)
VALIDO
33
34
RAZONAMIENTOS
E
J La Lógica es difícil o no
E estudiantes. Si la Matemática
M
P Lógica no es difícil. Por lo tanto,
L Solución:
a: La lógica es difícil
O
3
les gusta a muchos
es fácil, entonces la
la Lógica es difícil.
b: La lógica les gusta a muchos estudiantes
c: La Matemática es fácil.
a b c a a
p q r p
0
0
0
1
r 1
1
0
1
0
p 0
q0
1
1
1
p
r 0
NO VALIDO