Transcript 0……o.…..

1
2
PROPOSICION
Enunciado al que se lo puede calificar o
bien como Verdadero o bien como Falso.
NOTACIÓN:
Primeras letras del abecedario en minúscula
Ejemplos:
a: "Hoy es Lunes"
b: "Estoy en la clase de Física"
3
• NO PROPOSICIONES
 ¡Ojala deje de llover!
 ¿Hiciste el deber de Matemáticas?
 Siéntate y quédate quieto.
VALOR DE VERDAD
Cualidad de una proposición de ser verdadera o
de ser falsa.
Verdadero: 1
Falso:
0
4
OPERADORES (CONECTORES) LÓGICOS
NEGACIÓN Lenguaje
Relacionado
Símbolo :
No
No es verdad que
No es cierto que

Tabla de verdad
Ejemplos
 a : "Hoy no es Lunes "
a
a
 b :“ No Estoy en la clase de Física"
1
0
0
1
5
OPERADORES LÓGICOS
CONJUNCIÓN
Lenguaje
Relacionado
“y”
“pero”
Símbolo: 
Ejemplo
Tabla de verdad
a : "Tengo un lápiz"
a
b
ab
b : "Tengo un cuaderno"
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
a  b : "Tengo un lápiz y un cuaderno "
OPERADORES LÓGICOS
DISYUNCION INCLUSIVA
Lenguaje
Relacionado
Símbolo:
Ejemplo
a : "Tengo un lápiz"
b : "Tengo un cuaderno "
a  b : "Tengo un lápiz o un cuaderno "
“O”

Tabla de verdad
a
1
1
0
0
b
ab
1
0
1
0
1
1
1
0
6
OPERADORES LÓGICOS
DISYUNCION EXCLUSIVA
b
a
“0……o.…..”
Lenguaje
b
a
Relacionado “o bien……o
bien…..”
Símbolo: 
Significa: a  b    a  b 
Ejemplo
a : “Daniel está en España "
b : “Daniel está en Italia"
a  b : “Daniel está en España o en Italia"
Tabla de verdad
a
b
a b
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
7
OPERADORES LÓGICOS
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)
Lenguaje
a
“Si…..entonces.….”
b
Relacionado
Ejemplo
Símbolo: a  b
a : “Apruebas el preuniversitario"
b : “Te regalaré un carro"
a  b : “Si apruebas el preuniversitario entonces te regalaré un carro"
Tabla de verdad
a
1
1
0
0
b
ab
1
0
1
0
1
0
1
1
8
OPERADORES LÓGICOS
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)
ab
Antecedente
Hipótesis
Consecuente
Tesis
Premisa
Conclusión.
OTROS LENGUAJES RELACIONADOS:
a implica b
b cada vez que a
Basta a para b
b siempre que a
a sólo si b
b puesto que a
a solamente si b
b porque a
b si a
b con la condición de que a9
OPERADORES LÓGICOS
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)
Condición Necesaria y
a  b verdadera
Condición Suficiente
“a es condición suficiente para b”
“b es condición necesaria para a”
Ejemplo:
"Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2"
1. “La divisibilidad para 4 es condición suficiente para la divisibilidad para 2"
“Es suficiente que un número sea divisible para 4 para que se divisible para 2"
2. “La divisibilidad para 2 es condición necesaria para la divisibilidad para 4"
“Es necesario que un número sea divisible para 2 para que se divisible para 4"
10
OPERADORES LÓGICOS
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)
VARIACIONES
ab
ba
LA RECÍPROCA:
a  b
LA INVERSA:
LA CONTRARRECÍPROCA:
b  a
Ejemplo: “Iré a trabajar si me pagan”
Si me pagan entonces iré a trabajar
LA RECÍPROCA: Si voy a trabajar entonces me pagan
LA INVERSA:
Si no me pagan entonces no iré a trabajar
LA CONTRARRECÍPROCA:
Si no voy a trabajar entonces no me pagan
11
OPERADORES LÓGICOS
ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL)
VARIACIONES
Importante
ab
Condicional:
"Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2"
RECÍPROCA:
"Si un número es divisible para 2 entonces es divisible para 4"
Falso
Contraejemplo:
“6 es divisible para 2, pero no es divisible para 4"
12
BICONDICIONAL
OPERADORES LÓGICOS
a y sólo si.….”
Lenguaje Relacionado “…..si
b
Símbolo:
a b
TABLA
DE
VERDAD
Ejemplo:
a : “Un triángulo es equilátero”
Significa:  a  b   b  a 
a
0
0
1
1
b a b
0
1
0
1
1
0
0
1
b : “Un triángulo tiene sus ángulo de igual medida”
a  b : “Un triángulo es equilátero si y sólo si tiene sus ángulos de
igual medida”
13
PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Simples:
No poseen operador lógico
Compuestas: Formadas por varias proposiciones
y operadores lógicos
Ejemplo:   a  b    c    a  b 
Suponga que: a  1 b  0 c  1


 1  0    1  
1 0   1 
 1  0    1   
0

1

0
1


0


El valor de verdad de
una proposición
compuesta depende del
valor de verdad de sus
proposiciones simples.
1  0 
 1  0 
 1 0 0 
 0 
1
14
PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Ejemplo:
Determine el valor de verdad de las proposiciones
simples sabiendo que el valor de verdad de la
proposición compuesta es VERDADERO.
   a   b    c   d     a    c  d  
1
1
1
0
1
1
1
0
a 1
0
c0
1
1
d 1
b0
1
15
FORMAS PROPOSICIONALES
Expresión constituida por símbolos que
representan o conectores lógicos o variables
proposicionales.
 p  q   r    p  q 
Ejemplo
p q r
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
p  q r
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
T otal = 2
núm . var. prop.
 p  q  r
pq
 p  q   r    p  q 
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
16
FORMAS PROPOSICIONALES
TAUTOLOGÍA
Si se obtienen sólo proposiciones verdaderas para todos los valores
de verdad de las variables proposicionales
Ejemplo
p
q
1
1
0
0
1
0
1
0
 p  q   p  q 
pq
p
p  q
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
CONTRADICCION:
CONTINGENCIA:
 p  q  
p  q
1
1
1
1
Si se obtienen sólo proposiciones falsas
Si se obtienen proposiciones verdaderas y
otras falsas.
17
IMPLICACIONES LÓGICAS
Sean A y B dos formas proposicionales, se
dice que A implica lógicamente a B si y sólo
si A  B es una tautología.
En este caso se escribe:
A  B
Ejemplo
 p  q   p  q 
18
IMPLICACIONES LÓGICAS
Algunas implicaciones lógicas típicas son:
p  p  q
Adición
p  q
Simplificación
p
p
  p  q   q
 p  q  
 p  q  
q p
Modus Ponens
Modus Tollens
p q
Silogismo Disyuntivo
 p  q    q  r    p  r 
Silogismo Hipotético
19
EQUIVALENCIAS LÓGICAS
Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice
que A es lógicamente equivalente a B si y sólo si
A  B es una tautología.
En este caso se escribe:
A B
También:
Ejemplo
p
q
1
1
0
0
1
0
1
0
A B
p  q 


 p  q
pq
p
p  q
 p  q    p  q 
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
20
ALGEBRA DE PROPOSICIONES
CONJUNCIÓN
 p  q   q  p 
p  q r
 p  q  r 
p  p 
 p  1 
p
 p  0 
0
p
DISYUNCIÓN
Conmutativa
Asociativa
Idempotencia
Identidad
Absorción
 p  q   q  p 
p  q r
 p  q  r 
p  p 
 p  0 
p
p
 p  1  1
21
ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Otras:
p  q  r    p  q    p  r 
p  q  r    p  q    p  r 
  p   p
Leyes distributivas
Doble negación
  p  q  p  q
  p  q  p  q
p
 q    q   p 
 p  q    p  q 
Leyes de De Morgan
Contrarrecíproca
Implicación
22
ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Otras:
 p   p  1
Ley del tercer excluido
 p   p  0
Ley de la contradicción
  p  q   r    p   q  r  
 p  q     p   q  
0 
Ley de exportación
Reducción al absurdo
23
E
J
E
M
P
L
O
Demostrar:
 p 
 p  q  
 p
Solución:
 p 
 p  q  
   p  0  
 p  q  
   p   q   q   
    p  q  
 p  q  
  p    q  q  

 p
 p  q   Contradicción
 p   q     p  q   Distributivas
   p   q  
  p   0  
Identidad
Idempotencia
Distributivas
Contradicción
Identidad
24
Sea la proposición:
E
J
E
M
P
L
O
“Si tú eres inteligente y no resuelves el problema
entonces desconoces la materia ”
Siendo:
m: Tú eres inteligente
n: Tú resuelves el problema
p: Tú desconoces la materia
Indique a que opción corresponde la TRADUCCIÓN:
a) m   n  p 
b) p   m   n 
c) m   n  p 
d)  m   p  
e)
n
m  n  p
Solución:
Primero:
Segundo:
Traducción:  m   n   p
Transformamos empleando el álgebra de
proposiciones:
 m  n  p
Implicación
m  n  p
Ley de De Morgan
 m   n  p  Asociativa de la disyunción
m  n  p
Implicación
25
E
J
E
M
P
L
O
Sea la proposición:
“Hoy es jueves y tengo que dar un examen, pero si
hay huelga, entonces no voy a la Universidad”
a: Hoy es jueves
Siendo:
b: Tengo que dar un examen
c: Hay huelga
d: Me voy a la Universidad
Indique a que opción corresponde la TRADUCCIÓN:
a)  a  b  c   d
b)  a  b    c   d 
c)  d   c    a  b 
d)  a  b     c 
e)  c 
d
d   a  b
Solución:
Primero:
Segundo:
Traducción:  a  b    c   d 
Transformamos :
a  b   d  
a  b  d
d
c
 c
 c  a  b
Contrarrecíproca
Doble Negación
Conmutativa
26
RAZONAMIENTOS
PREMISAS
O
HIPOTESIS
       

H 1  H 2  H 3   H n 

C
CONCLUSIÓN


 

OPERADOR
PRINCIPAL
VALIDEZ
Un razonamiento es VÁLIDO cuando la forma
proposicional que se obtiene de la proposición
compuesta que lo define, es tautológica.
27
28
RAZONAMIENTOS
E
J
E
M
P
L
O
"Si aumenta la producción, aumentan los ingresos; si
aumentan los ingresos, se recupera la inversión. Por lo
tanto, si aumenta la producción ,se recupera la inversión"
SOLUCIÓN:
1
a: Aumenta la producción
b: Aumentan los ingresos
c: Se recupera la inversión
Traducción:
a  b   b  c   a  c 
Forma proposicional:
 p  q   q  r    p  r 
29
E
J
E
M
P
L
O
1
RAZONAMIENTOS
 p  q   q  r    p  r 
PRIMER MÉTODO: Aplicando leyes de Equivalencias
    p  q     q  r      p  r 
Implicación
    p  q      q  r      p  r 
De Morgan
p
q   q  r   p  r
De Morgan
  p   q    p     q   r   r 
Asociativa
  p   p     q   p      q  r     r  r  
1    q   p      q  r   1 
q  p   q  r 
q  q  p  r 
1  p  r 
1
Distributiva
Del Tercero excluido
Identidad para la conjunción
Asociativa
Del Tercero excluido
Absorción para la disyunción
30
E
J
E
M
P
L
O
1
RAZONAMIENTOS
Segundo Método:
Reducción al Absurdo
 p  q   q  r    p  r 
1
1
1
0
1 (0)
1
0
1
0
1 (0)
0 (1)
VALIDO
p 1
r 0
E
J
E
M
P
L
O
2
RAZONAMIENTOS
"Si soy estudioso , aprobaré el curso ; si soy fiestero, no
aprobaré el curso. Por lo tanto, no puedo ser estudioso
y fiestero al mismo tiempo"
Solución: a: Soy estudioso
b: Aprobaré el curso
c: Soy fiestero
Traducción:
a  b   c   b    a  c 
Forma proposicional:
 p  q   r 
 q     p  r 
31
RAZONAMIENTOS
PRIMER MÉTODO: Aplicando leyes de Equivalencias
    p  q     r   q      p  r 
E
J
E
M
P
L
O
2
Implicación
    p  q      r   q     p   r
De Morgan
     p    q       r      q      p   r De Morgan


  p   q  
r
 q     p   r
Doble negación
  p   q    p     r  q    r 
Asociativa
  p   p     q   p      r   r    q   r  
1    q   p    1   q   r  
q 
p    q  r 
q  q   p  r 
1  p  r 
1
Distributiva
Del tercero excluido
Identidad para la conjunción
Asociativa
Del tercero excluido
Absorción para la disyunción
32
RAZONAMIENTOS
Segundo Método:
E
J
E
M
P
L
O
2
Reducción al Absurdo
 p  q   r 
1
1
 q     p  r 
p 1
0
1
1
1
1 (0 )
1 (0 )
 1
1
r 1
0
0 (1)
VALIDO
33
34
RAZONAMIENTOS
E
J La Lógica es difícil o no
E estudiantes. Si la Matemática
M
P Lógica no es difícil. Por lo tanto,
L Solución:
a: La lógica es difícil
O
3
les gusta a muchos
es fácil, entonces la
la Lógica es difícil.
b: La lógica les gusta a muchos estudiantes
c: La Matemática es fácil.
a   b   c   a   a
 p   q   r   p  
0
0
0
1
r 1 
1
0
1
0
p  0
q0
1
1
1
p
r  0
NO VALIDO