Transcript ARVU LOGARITM - We Love Math

Arvu logaritm
Heldena Taperson
www.welovemath.ee
Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse arvu c, millega
alust a astendades saadakse arv b.
b on logaritmitav
b >0
c on arvu b logaritm
alusel a
logab = c  ac = b
a on logaritmi alus
a > 0 ja a  1
logab = c  ac = b
Näiteks
81  4 , sest 3  81
3
4
log
log
100  2 , sest 10
10
2   1, sest 0 , 5
0 ,5
log
a
log a b
Näiteks 2
b
log 2 8
10
2
8
log 10 100
 100
 100
1
 2
• Logos (kreeka k.) – suhe,
arithmos (kreeka k.) - arv
• Logaritmi mõisteni jõudis 1594.a.
esimesena J. Napier, kes võttis
logaritmide aluseks arvu 1/e lähendi.
John Napier'i portree aastast 1616
Kui logaritmi alus a = 10, siis see
jäetakse kokkuleppeliselt kirjutamata ja
logaritmi nimetatakse nüüd
kümnendlogaritmiks.
log 1000  3
log 0 ,1   1
Kui logaritmi alus a = e , siis see jäetakse
kokkuleppeliselt kirjutamata ja logaritmi
nimetatakse nüüd naturaallogaritmiks ning
seda tähistatakse sümboliga ln
kui ln x  2 , siis
x  e  7 ,39
2
Pea meeles!
 loga1 =0, sest a0 = 1.
 loga a = 1, sest a1 = a
LOGARITMIDE PÕHIOMADUSED
Logaritmide põhiomaduste abil on
võimalik väljendada avaldise logaritm
avaldisse kuuluvate suuruste logaritmide
kaudu. Niisugust operatsiooni
nimetatakse avaldise logaritmimiseks.
Kui meil on aga teada avaldise logaritm
ja me leiame avaldist ennast, siis sellist
tehet nimetatakse avaldise
potentseerimiseks.
Omadus 1.
Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga
loga (b·c) = logab + logac
Omadus 2.
Jagatise logaritm võrdub jagatava ja jagaja logaritmide vahega
loga (b : c) = logab - logac,
c 0
Omadus 3.
Astme logaritm võrdub astendava logaritmi ja astendaja
korrutisega
loga b n = n · loga b
Kui b < 0, siis loga bn = n loga|b| ja n on paarisarv.
Omadus 4.
Juure logaritm võrdub juuritava logaritmi ja juurija jagatisega
n
loga b =
log
a
n
b

1
n

logab, b > 0
ÜLEMINEK LOGARITMI ÜHELT
ALUSELT TEISELE
Arvu logaritm uuel alusel võrdub logaritmiga
vanal alusel, mis on jagatud uue aluse
logaritmiga vanal alusel.
log
a
x 
log b x
log
b
a
Näide.
log 2 1000 
log 1000
log 2

3
0 ,301
 9 ,97
log
log
log
a
a
n
a
b
c
b
x 
x 
 log
log
a
c
a
x
log
a
a
log
x
x
log
x
a
n


1
 log
n
1
log
x
a
a
x