Transcript презентация Power Point 2007/2010

Статистический анализ
внутригруппового плана
Лекция №4
1. Статистические основы внутригруппового
эксперимента. Однофакторный дисперсионный
анализ с повторным измерением.
2. Структурные модели однофакторного
дисперсионного анализа с повторным измерением.
Вопросы для
обсуждения
ВОПРОС №1
Внутригрупповой эксперимент…
• В отличие от межгруппового плана внутригрупповой
экспериментальных план предполагает использование
всего одной группы испытуемых
• Внутригрупповым называют экспериментальный
план, в котором каждому испытуемому предъявляют
все уровни независимой переменной
• Эксперимент, реализующий такую схему, принято
называть экспериментом с повторным измерением,
т.к. в ходе эксперимента измерение зависимой
переменной у одно и того же испытуемого
осуществляется более одного раза
Внутригрупповой план
Испытуемый Условие 1
1
𝑥11
...
Условие j
...
Условие k
Сумма
...
𝑥1𝑗
...
𝑥1𝑘
P1
...
i
...
𝑥𝑖1
...
𝑥𝑖𝑗
...
𝑥𝑖𝑘
...
Pi
...
𝑥𝑛1
...
𝑥𝑛𝑗
...
𝑥𝑛𝑘
Pk
Сумма
T1
...
Tj
...
Tk
G
Среднее
𝑇1
...
𝑇𝑗
...
𝑇𝑘
𝐺
n
Повторные измерения
Общая дисперсия
Дисперсия внутри испытуемых (within
subjects)
Дисперсия
экспериментального
воздействия
(treatments)
Дисперсия между
испытуемыми
(between subjects)
Остаточная дисперсия
(residual)
Анализ дисперсии
Суммарный квадрат (SS)
SS
between _ subjects
 k
P G
2
i
Степени свободы (df)
𝑛−1
Между испытуемыми
Суммарный квадрат (SS)

SS within _ subject   xij  P
i
j

2
Степени свободы (df)
𝑛(𝑘 − 1)
SS within _ subject  SStreatment  SS residual
Внутри испытуемых
Суммарный квадрат (SS)
SS
treatment

 n T j  G

Степени свободы (df)
2
𝑘−1
Экспериментальное
воздействие
Суммарный квадрат (SS)
SS
residual
 

   xij  Pi  G
Остаток
2
Степени свободы (df)
(𝑛 − 1)(𝑘 − 1)
Суммарный квадрат (SS)
SStotal  
 X
ij
G

2
Степени свободы (df)
𝑘𝑛 − 1
𝑆𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑆𝑆𝑏𝑒𝑡𝑤𝑒𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡𝑠 + 𝑆𝑆𝑤𝑖𝑡ℎ𝑖𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡𝑠 =
𝑆𝑆𝑏𝑒𝑡𝑤𝑒𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡𝑠 +𝑆𝑆𝑡𝑟𝑒𝑎𝑡𝑚𝑒𝑛𝑡 + 𝑆𝑆𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑎𝑙
Всего
Источник дисперсии
Суммарный квадрат (SS)

Степени свободы (df)

2
Между испытуемыми
k P G
Внутри испытуемых
  X  P 
(n-1)
2
n(k-1)
Экспериментальное
воздействие
n T  G
Ошибка (остаток)
 X  P  G
Общий
   X  G


2
(k-1)
2
2
Оценка дисперсии
(n-1)(k-1)
kn-1
𝑀𝑆𝑡𝑟𝑒𝑎𝑡𝑚𝑒𝑛𝑡
𝐹 𝑘 − 1, (𝑘 − 1)(𝑛 − 1) =
𝑀𝑆𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑎𝑙
F-отношение
ВОПРОС №2
Структурная модель однофакторного
дисперсионного анализа с повторным измерением
• Будем предполагать, что результат измерения зависимой
переменной может быть представлен через популяционную
постоянную μ, эффект независимой переменной τj,
специфичный и постоянный для каждого ее уровня,
индивидуальную константу πi, выражающую эффект отдельного
испытуемого (предполагается, что ее популяционное значение
равно 0) и неконтролируемую экспериментальную ошибку εij
• Т.е.: 𝑥𝑖𝑗 = 𝜇 + π𝑖 + 𝜏𝑗 + ε𝑖𝑗 + πτ𝑖𝑗
Структурная модель
• Экспериментальная ошибка представляет собой
случайную величину, распределенную в соответствии с
нормальным законом с математическим ожиданием
равным нулю.
• Индивидуальная константа представляет собой также
случайную величину, распределенную в популяции
рассматриваемых данных в соответствии с нормальным
законом с математическим ожиданием равным нулю.
• Эффект экспериментального воздействия представляет
собой случайную величину, распределенную в
соответствии с нормальным законом с заранее
неизвестными параметрами
Допущения
• Будем предполагать, что эффект независимой
переменной не взаимодействует с эффектом
испытуемого
• Тогда: 𝑥𝑖𝑗 = 𝜇 + π𝑖 + 𝜏𝑗 + ε𝑖𝑗
Модель I
Испытуемый
Уровень 1 (T1)
Уровень 2 (T2)
Среднее
1
𝜇 + π1 + 𝜏1 + ε11
𝜇 + π1 + 𝜏2 + ε12
𝜇 + π1 + ε1.
...
...
...
...
i
𝜇 + π𝑖 + 𝜏1 + ε𝑖1
𝜇 + π𝑖 + 𝜏2 + ε𝑖2
𝜇 + π1 + ε𝑖 .
...
...
...
...
n
𝜇 + π𝑛 + 𝜏1 + ε𝑛1
𝜇 + π𝑛 + 𝜏2 + ε𝑛2
𝜇 + π𝑛 + ε𝑛
Среднее
𝜇 + 𝜏1 + ε.1
𝜇 + 𝜏2 + ε.2
𝜇 + ε..
Двухуровневый план
• Поскольку величины μ, τ1 и τ2 постоянны, дисперсия
внутри экспериментального условия определяется
дисперсией экспериментальной ошибки σ2ε и
дисперсией индивидуального эффекта σ2π. Таким
образом, справедливы следующие соотношения:
 12   2   2
 22   2   2
Дисперсия ЗП для
каждого уровня НП
• Величины σ2ε являются статистически независимыми
друг от друга в двух экспериментальных условиях,
чего нельзя сказать о величинах σ2π. По сути дела
величина σ2π определяет статистическую связь двух
экспериментальных условий — T1 и T2. Иными
словами,
• σ 212= σ2π, где σ 212 — ковариация T1 и T2, cov(T1, T2)
Тогда…
E M S residual  
 12   22
2
E MStreatment   n
  12   2
2
T 1 T 2
 n  n    
2
T
 2  n 2
E F  
2

Следовательно…
2
2
Нулевая - H0
Альтернативная – H1
• τ1 = τ2
• τ1 ≠ τ2
• στ = 0
• στ > 0
 2  n 2
E(F ) 
1
2

 2  n 2
E(F ) 
1
2

Модель I: гипотезы
• Будем предполагать, что эффект независимой
переменной взаимодействует с эффектом
испытуемого
• Т.е. вернемся к начальному предположению, что
𝑥𝑖𝑗 = 𝜇 + π𝑖 + 𝜏𝑗 + ε𝑖𝑗 + πτ𝑖𝑗
Модель II
E ( MStreatment )     n   n 
2
2
E ( MS residual )     n 
2
Тогда…
2
2
Нулевая - H0
Альтернативная – H1
• τ1 = τ2
• τ1 ≠ τ2
• στ = 0
• στ > 0
 2  n 2  n 2  2  n 2
E(F ) 
 2
1
2
2
2
   n 
   n 
 2  n 2  n 2
E(F ) 
1
 2  n 2
Модель II: гипотезы
 x2 
2
(
x


)
 ij j
n 1
j
где μj – математическое ожидание значения
зависимой переменной на уровне j
Тогда ковариация значений зависимой переменной на уровнях j и j’
независимой переменной может быть найдена по формуле:
x x
j
(x


ij
j'
  j )( xij '   j ' )
n 1
  x j x j ' x j  x j '
Где ρ – корреляция значений зависимой переменной на уровнях j и j’
Многоуровневый план
 2
1
Поскольку, согласно
предположению модели,
эффект испытуемого не
взаимодействует с
эффектами независимой
переменной, матрица
ковариаций должна быть
однородной, т.е.
...  x1x j


 2
j
...  x1xk

...  x j xk


 2
k
 2   x x
j j'
Однородность матрицы
ковариаций
 2   2x   2   2x   jj'
2
x
s
x T 



2
n 1
Оценка дисперсии для одного экспериментального
условия

 s12  ...  sk2 
   x2
E s  E 
k


2
x
2
x
Е ( s  cov)   
Тогда…
2
E MS residual    
2

n
  T j  T j'
E  MStreatment   E 
k 1


Наконец…

2


2
2



n






Нулевая - H0
Альтернативная – H1
• τ1 = τ2 = … = τj = .. = τk
• τ1 ≠ τ2 ≠ … ≠ τj ≠ .. ≠ τk
• στ = 0
• E(F) = 1
• στ > 0
• E(F) > 1
Гипотезы
• Для оценки однородности ковариационной матрицы
используют тест сферичности Моучли (Mauchly).
• Если этот тест свидетельствует о значительной
гетерогенности ковариационной матрицы,
рекомендуется при статистической надежности
анализе F-отношения, вычисленного по результатам
эксперимента, уменьшить число степеней свободы
• Это обеспечивает большую степень консервативности
при принятии решения о статистически надежных
эффектах независимой переменной.
Оценка однородности
ковариаций
• Уменьшить число степеней свободы можно, исходя из
следующего правила:
• 𝑑𝑓 = (𝑘 − 1)𝜃 для числителя
• 𝑑𝑓 = (𝑘 − 1)(𝑛 − 1)𝜃 для знаменателя
• Где θ принимается равной 1 в случае полной
гомогенности ковариационной матрицы и 1 (𝑘−1) ˗ в
случае наименьшей гомогенности.
Уменьшение df
www.ebbinghaus.ru