Transcript функция

Функция. Основные понятия.
Понятие функции
Основные характеристики функции
Основные элементарные функции
Сложная функция
Элементарные функции
Алгебраические и трансцендентные функции
Предел переменной величины
Понятие функции
При изучении различных явлений природы и решении технических
задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать
изменение одной величины в зависимости от изменения другой.
Так, например, известно, что площадь круга выражается через
радиус формулой S = πr2.
Если радиус r принимает различные числовые значения, то
площадь S также принимает различные числовые значения, т.е.
изменение одной переменной влечет изменение другой.
Если каждому значению переменной x, принадлежащему
некоторой области, соответствует одно определенное значение
другой переменной y, то y есть функция от х.
y = f(x)
зависимая переменная
или функция
независимая переменная
или аргумент
Понятие функции
Совокупность значений x, для которых определяются значения
y в силу правила f(x) называется областью определения
(областью существования) функции: D(f)
Совокупность значений y называется множеством значений
функции: Е(f)
Способы задания функции:
1) Табличный.
При этом способе выписываются в определенном
порядке значения аргумента и соответствующие
им значения функции.
x
x1
x2
…
xn
у
y1
y2
…
yn
Понятие функции
2) Графический.
y
y
0
М (х; у )
х
х
Совокупность точек
плоскости XOY,
абсциссы которых
являются значениями
независимой
переменной, а ординаты
– соответствующими
значениями функции,
называется графиком
функции
y = f(x).
3) Аналитический:
Функция y = f(x) задана аналитически , если f - обозначает
действия, выполняемые над переменной, например:
y  x 5
2
Основные характеристики функции
Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется
четной, если для любого x, принадлежащего D выполняются
условия: -x также принадлежит D и f(-x ) = f(x).
  xD
x  D : 
f (  x )  f ( x )
Функция y = f(x) определенная на

множестве D, называется нечетной, если:  x  D : 
 xD
f (  x )   f ( x )
График четной функции симметричен относительно оси OY
График нечетной функции симметричен относительно точки O(0; 0)
y
y
3
2
y

x
y  x
0
0
х
х
Основные характеристики функции
Пусть функция y = f(x) определена на множестве D и пусть
D 1  D (множество D1 является подмножеством множества D)
Если  x 1 , x 2  D 1 ; x 1  x 2  f ( x 1 )  f ( x 2 )
y
то функция называется возрастающей.
Если  x 1 , x 2  D 1 ; x 1  x 2  f ( x 1 )  f ( x 2 ) f(x12 )
f(x 12 )
то функция называется убывающей. Из неравенства
x1 < x2
Если  x 1 , x 2  D 1 ; x 1  x 2  f ( x 1 ) следует
f ( x 2 ) неравенство
x1 xx22
f(x1) <0f(x2)
то функция называется неубывающей.
х
Если  x 1 , x 2  D 1 ; x 1  x 2  f ( x 1 )  f ( x 2 )
то функция называется невозрастающей.
Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие
функции называются монотонными на множестве D1, интервал, на
котором функция монотонна называется интервалом
монотонности.
Основные характеристики функции
Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется
ограниченной, если
M  0 : x  D  f ( x )  M
Существует такое число М
График ограниченной функции лежит между прямыми:
y = - M и y = M.
y
М
0
-М
х
Основные характеристики функции
Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется
периодической, если
 x T D
T  0 : x  D  
f ( x  T )  f ( x )
Т
y
Число Т называется периодом
функции.
Если Т – период функции, то ее
периодами будут также числа
2Т, 3Т и так далее.
Наименьшее положительное число Т,
удовлетворяющее условию:
f(x +T) = f(x), называется основным
периодом
х
0
2Т
Основные элементарные функции
1) Линейная функция: y  kx  b
y
2) Степенная функция:
y  x

n
0  a 1
3) Показательная функция:
y a
x
a  0; a  1
4) Логарифмическая функция:
y  log a x
a  0; a  1; x  0
 

1
21 12
2
2
aa11
n  нечетное

1 
-1 0 1
  -1
1

b 2222
-1 -1

5) Тригонометрические функции: y  sin x
y  tg x
n  четное
k  tg 
2
0  a 1
y  cos x
y  ctg x
6) Обратные тригонометрические функции:
y  arcsin x
y  arccos x
y  arctg x
y  arcctg x
х
Сложная функция
Если y является функцией от u, а u в свою очередь зависит от
переменной x, то y также зависит от x.
)( x )  u   ( x )
y  F (u
Сложная функция
Пример:
y  cos u
u 
x

  y  cos

x
Областью определения функции y  F  ( x )  является или вся
область определения функции u(x) или та ее часть, в которой
определяются значения u, не выходящие из области определения
функции F(u).
Пример: y 
log 2 x
x  0
x  0

 x 1

x 1
 log 2 x  0
Элементарные функции
Элементарной функцией называется функция, которая может
быть задана одной формулой вида y = f(x), где справа стоящее
выражение составлено из основных элементарных функций и
постоянных при помощи конечного числа операций сложения,
вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
lg x  4  cos x   5
2
Пример:
y 
10  x
x
Алгебраические и трансцендентные
функции
К числу алгебраических функций относятся элементарные
функции следующего вида:
1) Целая рациональная функция или многочлен:
y  a 0 x  a1 x
n
n 1
   an
2) Дробная рациональная функция – отношение многочленов:
n 1
Целое неотрицательное
aКоэффициенты
x  a1 x
   aчисло
0
n
– степень
y  многочлена
m
m– 1
b постоянные
x  b 1 x числа
   b m многочлена
0
3) Иррациональная функция:
n
Если в формуле y = f(x) в правой части производятся операции
сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в
степень с рациональными нецелыми показателями, то функция
y = f(x) называется иррациональной
4
3
y  x 5 x 2
Пример:
Функция, не являющейся алгебраической, называется
трансцендентной: y = cos x; y = ln x и так далее.
Предел переменной величины
Постоянное число а называется пределом переменной величины х,
если    0 можно указать такое значение переменной х, что все
последующие значения переменной будут удовлетворять
неравенству:
x a  
 окрестность точки а
х1
х3
х2
х5 х6 х4
a
а
a
x  a;
lim x  a
Пример: Пусть переменная величина изменяется по закону:
xn  1
x3  1 
1
n
1
3
Тогда:
 1 . 33
x1  1 
x4  1
1
 2
1
1
4
 1 . 25
x2  1
x5  1 
1
2
1
5
 1 .5
 1 .2
Предел переменной величины
Очевидно, что переменная величина имеет предел, равный
единице, то есть а = 1.
1
1
1
xn  1  1
1 

n
n
n
Для любого  все последующие значения переменной, начиная с
номера n, где:
1
1
   n 
попадают в  окрестность точки а.
n

1
 n 5
Пусть, например   0 . 2 n 
0 .2
Таким образом, начиная с х6 все значения переменной
величины находятся в  окрестности точки а.
1,16
0,8
1
1,25
1,2 1,33
1,5
2