Transcript PPS
Fyzika pevných látek Úvodní informace Informace: http://fyzika.feld.cvut.cz/~zacek/ Varianty předmětu: BO2FPL jako 2+2 zk a XP02FPL jako 2+0 Zk. Vyučující: Martin Žáček, [email protected] Oficiální stránka předmětu: http://www.fel.cvut.cz/education/bk/predmety/11/50/p11507504.html Náplň (předběžně, bude během semestru modifikováno některými moderními partiemi): 1. Pojem pevné látky. Klasifikace látek, vazby. Reciproká mřížka 2. Struktura krystalů a jejich klasifikace, základy krystalografie 3. Metody zkoumání struktury látek (RTG, elektronová difrakce) 4. Defekty kryst. mřížky; bodové poruchy, dislokace, povrchy 5. Pásový model pevné látky, efektivní hmotnost, energetické stavy 6. Kmity krystalové mříže; fonony, tepelné vlastnosti 7. Kovy, Fermiho plyn volných elektronů, Fermiho plochy 8. Elektrické vlastnosti dielektrik, uspořádání, feroelektrika 9. Optické vlastnosti iontových krystalů, kvazičástice 10. Polovodiče, jejich vlastnosti, klasifikace, užití 11. Magnetické vlastnosti látek, uspořádání, kvantový model 12. (Posluchačský seminář - referáty o vlastní práci) 13. Nízké teploty, experimentální metody ve fyzice pevných látek Fyzika pevných látek Literatura Základní studijní materiály: Budu dávat sem http://fyzika.feld.cvut.cz/~zacek/ Doplňková literatura: Charles Kittel: Úvod do fyziky pevných látek, Praha, Academia 1985 (5. vydání) Adrianus J. Dekker: Fyzika pevných látek, Praha, Academia 1966 Literaturu a studijní materiály budu průběžně doplňovat, také včetně různých online zdrojů. Fyzika pevných látek Souvislost s ostatními obory Teoretické obory, které fyziku tuhé fáze zakládají Teorie atomového jádra Teorie Elektromagnetického pole Kvantová teorie Statistická fyzika Teorie elektronového obalu Fyzika tuhé fáze Fyzika polovodičů Optika Různé nepevnolátkové struktury Fyzika laserů Materiálové vědy Fyzika povrchů Obory jako aplikace fyziky tuhé fáze Fyzika pevných látek Historicky Mineralogie Anorganická chemie Metalurgie Kvantová chemie QFT Fyzika pevných látek Kapaliny „Soft matter“ Plasma Condensed matter Fyzika pevných látek Historický exkurz - atomová hypotéza - objev elektronu - Maxwell-Boltzmann-Gibbs … statistický přístup - 20. léta … kvantování, zlatý věk FPL umožnilo přejít od Boltzmanovy k F-D statistice, podařilo se vysvětlit téměř vše z PL: 30. léta: - Debyeovo měrné teplo - vysvětlení elektronové vodivosti kovů (Sommerfeld aplikoval Drudeho) - Heisengbergův model, umožnil popsat feromagnetismus po válce: - columbické systémy - teorie supravodivosti (makroskopisky se projevující narušení kalibrační invariance) - Andersonova lokalizace, 1958 (neuspořádaností vyvolaný zánik difúze elektronů v kovech) - kvantový Hallův jev (elektronový, zlomkový, ten již nelze řešit poruchovým počtem, …) - vysokoteplotní supravodivost -… Dnes již není FPL makroskopická teorie (STM, jednoelektronové turnikety, kvantové tečky, iontové pasti, fundamenty QT lze oveřovat v pevné látce) Zobrazení chemické vazby pomocí AFM: http://technet.idnes.cz/zobrazeni-vazeb-mezi-atomy-v-molekule-mikroskop-ibm-afm-pj8-/veda.aspx?c=A120926_172743_veda_pka 1. Pojem tuhé látky, krystalická struktura Co je tuhá látka? Širší pojetí: kondenzovaná fáze (condensed matter), zahrnuje rovněž mnoho „soft“ struktur, typu nabitý prach v plazmatu apod. FPL nepracuje s konečnými systémy (i pokud mám velmi malou věc). I když existují struktury podobající se konečným systémům i pevné látce (kvantové tečky, velmi tenké vrstvy). Krystal – periodické 3-D struktury, strukturní jednotka je někdy jediný atom, jindy složitá molekula třeba z 1000 atomů. Krystalová mříž Krystalová struktura má transformační vlastnost: r ' r ua vb wc; u, v, w (uspořádání v bodě r a r’ vypadá zcela stejně, a, b, c se nazývají (1) elementární translační vektory). Vektory a, b, c nazýváme primitivní, pokud každé 2 body, v nichž vypadá struktura stejně, splňují vztah (1) (neexistují již menší vektory, splňující vztah (1)). Operace mřížkové translace: T ua vb wc; u, v, w . (2) Různé velikosti translačních vektorů a různé úhly mezi nimi definují různé typy krystalových mřížek. Tyto mřížky nazýváme Bravaisovy mřížky. Možných mřížek existuje nekonečně mnoho, vykazuje- li však mřížka nějakou symetrii vzhledem k rotacím nebo zrcadlením, dostaneme omezující podmínky na možné délky translačních vektorů a na úhly mezi nimi. Bodové grupy: soubor operací symetrie (rotace a zrcadlení), které převádějí mřížku samu v sebe. Buňka a báze Elementární buňka: rovnoběžnostěn definovaný translačními vektory. Primitivní buňka: elementární buňka s nejmenším objemem. Objem primitivní buňky: V a b c. Báze: skupina atomů spojená s každým mřížkovým bodem. Poloha atomu v bázi: Přičemž lze dosáhnout toho, že 0 x j , y j , z j 1. Primitivní báze: obsahuje ze všech bází nejméně atomů). Primitivní bázi však můžeme zkonstruovat různými způsoby, napříkad jako Wignerova-Seitzova primitivní buňka. mřížka + báze = krystalová struktura. Krystalová struktura látek Soustavy mřížek a příklady minerálů: 1. Trojklonná (triklinická): modrá skalice, plagioklasy a ≠ b ≠ c, α ≠ 90°, β ≠ 90°, γ ≠ 90° 2. Jednoklonná (monoklinická): sádrovec, augit, muskovit, biotit a ≠ b ≠ c, α = 90°, β = 90°, γ ≠ 90° 3. Kosočtverečná (ortorombická): síra, aragonit, olivín a ≠ b ≠ c, α = 90°, β = 90°, γ = 90° 4. Čtverečná (tetragonální): chalkopyrit, kasiterit a = b ≠ c, α = 90°, β = 90°, γ = 90° 5. Šesterečná (hexagonální): grafit, apatit, kalcit a = b ≠ c, α = 90°, β = 90°, γ = 120° 6. Klencová (trigonální, romboedrická): kalcit, korund, křemen, magnezit a = b = c, α = β = γ ≠ 90° 7. Krychlová (kubická): měď, stříbro, zlato, diamant, granát a = b = c, α = β = γ = 90° Typy mřížek ve třech dimenzích Počet mřížek Soustava Trojklonná (triklinická) Jednoklonná (monoklinická) Kosočtverečná (ortorombická) Čtverečná (tetragonální) Šesterečná (hexagonální) Klencová (trigonální, romboedrická) Krychlová (kubická) Symboly mřížek 1 2 4 2 P P, C P, C, I, F P, I 1 1 3 P (hcp) R P (sc), I (bcc), F (fcc) Celkem 14 typů mřížek, klencová mřížka se někdy řadí mezi šesterečnou. P … prostá C … bazálně centrovaná I … prostorově centrovaná F … plošně centrovaná R … romboedrická mřížka sc … simple cubic bcc … body centered cubic fcc … face centered cubic hcp … hexagonal close packed http://demonstrations.wolfram.com/CubicCrystalLattices/ http://demonstrations.wolfram.com/TheSevenCrystalClasses/ http://cs.wikipedia.org/wiki/Krystalografick%C3%A1_soustava Indexy krystalových rovin Tzv. Millerovy indexy. Potřebujeme jednoznačně popsat směr roviny v krystalu. Udává se pomocí trojice čísel, tzv. indexů, (k l m), které získáme následujícím postupem: 1. Zjistíme průsečíky roviny s osami určenými mřížkovými vektory a, b, c, vyjádříme je v jednotkách mřížkových konstant (například získáme čísla (1 2 3). 2. Vytvoříme převrácené hodnoty, tj. v tomto případě (1 ½ 1/3). 3. Tyto převrácené hodnoty vynásobíme stejným číslem a to nejmenším možným, kterým se podaří odstranit všechny zlomky, tj. nejmenším společným násobkem jmenovatelů, v tomto případě číslem 6, dostaneme (6 3 2). Pokud je průsečík v nekonečnu, je příslušná převrácená hodnota rovna nule. Výsledek zapisujeme v kulatých závorkách. Záporné hodnoty průsečíky vyznačujeme čarou nad číslem, tj. např. 11 2 . Indexy krystalových rovin Ekvivalentní roviny zapisujeme ve složených závorkách, např. {1 0 0}. Ekvivalentní rovina {1 0 0} je například u kubické mříže souhrnné označení pro kteroukoliv ze stěn, tj. (10 0), (0 10), (0 0 1), (1 0 0), (0 1 0), (0 0 1). Směry: [uvw], indexy jsou podobně celočíselné jako u rovin. Směr [1 2 2] je tedy směr totožný se směrem a + 2b + 3c, kde a, b, c jsou elementární mřížkové vektory. Souhrn ekvivalentních směrů: uvw . Například elementární vektory a, b, c mají směry [1 0 0], [0 1 0] a [0 0 1]. Úloha: Nakreslete polohy rovin vzhledem k elementární buňce, dané indexy (10 0), (110), (111), (10 1), (1 0 0), (1 1 1), (2 2 1). Úlohy: 1. Zjistěte, kolik je Bravaisových mřížek v rovině a najděte je. [5, čtvercová, hexagonální, pravoúhlá, centrovaná pravoúhlá se 2 typy buněk] 2. Najděte primitivní buňku k plošně centrované kubické mříži, určete tvar, stranu a úhel mezi stranami, nakreslete obrázek. [romboedr o hraně √2/2 a, úhel 60°] 3. Najděte primitivní buňku k prostorově centrované kubické mříži, určete tvar, stranu a úhel mezi stranami, nakreslete obrázek. [romboedr o hraně √3/2 a, úhel 109° 28’] 4. Nejvíc symetrií vykazuje čtvercová mřížka. U ní lze nalézt osy s dvoučetnou, tříčetnou a šestičetnou symetrií. Najděte je a zjistěte, kolik jich je. Nakreslete obrázek. [šest dvojčetných, čtyři trojčetné a tři čtyřčetné] 5. Najděte primitivní buňku a bázi chloridu sodného (iont Na+ je obklopen 6 ionty Cl−) a chloridu cesného (iont Cs+ je obklopen 8 ionty Cl−). Kolik nalezené báze obsahují atomů? [vždy po jednom atomu od každého druhu] Experimentální analýza krystalů Analýza struktury: 1. přímo (mikroskop) 2. nepřímo (difrakční metody) Difrakční metody: Využívají se tyto druhy záření: 1. fotony 2. neutrony 3. elektrony Fotony: pro srovnatelnou vlnovou délku s mřížkovou konstantou vychází elektromagnetické záření v oboru rentgenových paprsků. Ty vznikají buď bržděním elektronů na kovových terčících (spojité spektrum) nebo excitací a vyzářením atomů v terčíku (čarové spektrum). Neutrony: mají nenulový magnetický moment, hodí se k analýze magnetických materiálů Elektrony: jsou elektricky nabité, proto silně interagují. Vztah mezi vlnovou délkou a energií Vztah mezi celkovou energií částice a úhlovou frekvencí resp. mezi hybností a vlnovým vektorem: Totéž zapsáno pomocí čtyřvektorů (nalevo čtyřvektor energie a hybnosti, popisuje částicové vlastnosti, napravo vlnový čtyřvektor, popisuje vlnové vlastnosti). E p k 1c E, p 1c , k ω a k nejsou nezávislá, splňují disperzní relaci. Ta je pro foton ve vakuu ω = ck, pro částici s nenulovou klidovou hmotností disperzní relaci určíme ze vztahu mezi energií a hybností, nerelativistický vztah je E p2 / 2m , relativistický vztah je E 2 p2c2 m2c4. Pro nerelativistické energie máme E p2 / 2m odtud vyjádřením E jako funkce λ: k / 2m 4 2 2 2 2 / 2 2m , 2 / 2Em Foton má (klidovou) hmotnost m nulovou a pohybuje se rychlostí světla, je tedy nutno použít relativistický vzorec, který má zde tvar E pc , dosazením za p máme E kc 2 c / , odtud 2 c / E . Difrakce na mřížce Laueho difrakční podmínky: α a α0 a s s 0 h b s s0 k a cos a0 cos 0 h a s a0 s0 h c s s0 l rozptýlené paprsky a α α0 Každá rovnice představuje podmínku pro vznik difrakce na linii s periodou a směrem daným vektorem a. dopadající paprsky Difrakce na mřížce Braggova podmínka: 2d sin n dopadající paprsky rozptýlené paprsky Odvození: 2d 2d 1 cos2 l l1 l2 cos 2d 2d sin sin tg sin l α α 2 α d l1 2d tg α d vzdálenost krystalografických rovin Jiné odvození: α α α d sin d sin d Reciproký prostor Pro každou krystalickou mříž reprezentovanou mřížkovými body s polohovými vektory R ua vb wc; u, v, w je definována reciproká mříž jako translačně invariantní soubor mřížkových bodů, jejichž polohové vektory G splňují vztah e jGR 1 Vektory G mohou být vyjádřeny podobně jako R vztahem G ha* kb* lc*; h, k , l kde vektory a*, b* a c* jsou vektory reciproké mřížky. Nacházejí se v reciprokém neboli Fourierově prostoru, oba prostory jsou sdruženy prostřednictvím Fourierovy transformace. Mezi translačními a reciprokými vektory platí vztahy a* 2 Kde V a b c je objem elementární buňky. bc a cyklicky, V Úlohy: 1. Dokažte z Fourierovy transformace mezi translačními vektory v normálním a v reciprokém prostoru platnost vztahů pro reciproké vektory. 2. Dokažte platnost vztahu Vr reciproké elementární buňky. 8 V , kde Vr a* b* c* je objem Typy krystalových vazeb Podle způsobu, jakým jsou v krystalu vázány jednotlivé atomy (hovoří se o krystalové vazbě), se rozlišují následující typy krystalů: • iontové (heteropolární) krystaly - Jedná se např. o sloučeniny elektropozitivních prvků (kovů) s elektronegativními prvky. Součet valenčních elektronů atomů, mezi nimiž se iontová vazba tvoří, je 8 - tedy ideální naplněný stav. Nejčastěji spolu tedy reagují prvky z 1. a 7. skupiny periodické tabulky prvků. • kovalentní (homopolární) krystaly - Vazbu tvoří atomy s velmi podobnou elektronegativitou, které sdílejí pár valenčních elektronů. U organických látek nebo v čistoprvkových molekulách. • kovové krystaly - Kovové krystaly tvoří kovy. Kationty atomů jsou uspořádány do krystalové mřížky, elektrony jsou pro celou mřížku společné - tzv. elektronový plyn. • molekulární (van der Waalsovy) krystaly - Molekulární krystaly tvoří molekuly organických sloučenin a atomy vzácných plynů vázané Van der Waalsovými silami. Mají nízké teploty varu a tání. Krystalové vazby Poznámky: Jde o empirické dělení, podrobnější obrázek o vazbě nám poskytuje kvantová teorie. Existuje také mnoho intermediálních případů, takže při vyhraněném zařazování je třeba jisté opatrnosti. Lennard-Jonesův potenciál Charakterizuje slabé elektrické vazby, způsobené nesymetrickým rozložením elektronů. 12 7 U r 4 r r Termodynamické potenciály Toto je úvod do termodynamicky a sjednocení pojmů, potřebovat budeme hlavně tepelnou kapacitu, abychom mohli ukázat Einsteinovu a Debyeovu teorii tepelných kapacit pevné látky. • První termodynamický zákon: dQ dU dA Q … dodané teplo U … změna vnitřní energie A … vykonaná práce Q … závisí na termodynamickém ději, nejde o stavovou veličinu (nelze vyjádřit jako funkci stavových proměnných) U … vnitřní energie, je stavová veličina A … práce vykonaná termodynamickým systémem Práce je obecně tvaru dA n x dX i 1 i i , kde xi jsou zobecněné síly a Xi jsou zobecněné souřadnice. Příklady práce pro různé systémy: Fdx, pdV , E dD, H dB, dN (lano, plyn, dielektrikum, magnetikum, otevřený systém, μ je tzv. chemický potenciál a N je počet částic). Definujme entropii jako dS 1 dQ T (lze dokázat, že dS je úplný diferenciál, tj. S je stavová veličina). a předpokládejme práci způsobenou objemovými změnami, tj. pdV a 1. termodynamický zákon máme tvaru dU TdS pdV . Úplný diferenciál n Definujme Pfaffovu diferenciální formu dx i 1 i i , kde αi jsou koeficienty a xi jsou proměnné. Věta: Nechť všechny koeficienty αi jsou definovány na jednoduše souvislé oblasti proměnných x1, …, xn. Následující tvrzení, pokud jsou splněny, jsou ekvivalentní: n 1. Křivkový integrál dx i 1 i i nezávisí na tvaru křivky φ. 2. Existuje funkce Φ(x1, …, xn) taková, že kde n dx i 1 i i 2 1 , Φ1 a Φ2 jsou hodnoty funkce Φ v počátečním a koncovém bodě křivky φ. i 1, ..., n . xi i j 4. Platí vztahy mezi koeficienty x j xi 3. Platí vztahy i i, j 1, ..., n. Poznámky: • Z tvrzení 1 plyne, že křivkový integrál po uzavřené křivce téhož integrandu je vždy nulový. • Tvrzení 2 lze chápat jako zobecnění Newtonova vzorce pro výpočet určitého integrálu. • Funkce Φ se nazývá potenciál a diferenciální forma se nazývá úplným diferenciálem Φ. • Jsou-li koeficienty αi složky vektoru, nazývá se tento vektor konzervativní pole (v tomto případě také plyne z tvrzení 4 že rotace tohoto pole je nulová). • V oblasti, která není jednoduše souvislá, nemusí všechny ekvivalence věty platit. Termodynamické potenciály Předchozí věta je známa z mechaniky, kdy integrál z tvrzení 1 představuje práci v konzervativním poli a potenciál je až na záporné znaménko potenciální energie tohoto pole. Vztah v tvrzení 3 věty je pak jen rozepsaný známý vztah mezi sílou a potenciální energií F grad Ep . My tento matematický aparát nyní aplikujeme na 1. termodynamickou větu ve tvaru dU TdS pdV , jak jsme uvedli dříve. Tvrzení 3 a 4 věty nám ihned dá vztahy U , T S V U , p V S T p . V S S V Poznámka: v termodynamice je zvykem vyznačovat proměnné, které držíme konstantní podle definice parciální derivace, jako index k parciální derivaci. Je to proto, že bychom jinak nevěděli, které proměnné volíme jako nezávislé. Všechny proměnné totiž nejsou nezávislé, protože jsou vzájemně svázány stavovou rovnicí. V matematice máme obvykle množinu nezávislých proměnných definovánu předem a není ji tudíž nutno zvlášť značit. Vnitřní energie U je zřejmě z matematického hlediska potenciál proměnných S a V. Je jedním z tzv. termodynamických potenciálů. Veličiny, které lze napsat jako úplný diferenciál, jsou funkcí stavových proměnných a říkáme jim stavové veličiny. Stavovými veličinami jsou U a S a v následujícím odvodíme další. Q a A nejsou stavovými veličinami, neboť jejich hodnoty závisí na tvaru křivky daného děje. Termodynamické potenciály Termodynamických potenciálů existuje mnoho, najděme například termodynamický potenciál proměnných S a p: dU TdS pdV , nahraďme poslední člen ze vztahu d pV pdV Vdp , dU TdS d pV pdV , oba úplné diferenciály sjednoťme do jednoho na levou stranu, d U pV TdS pdV . Vlevo v závorce je veličina, která je rovněž termodynamickým potenciálem, tentokrát jiných proměnných. Zde jde o Entalpii definovanou vztahem H U pV a máme základní vztah dH TdS Vdp (všiměte si „technologie“ změny proměnných: zamění se proměnná s koeficientem u diferenciálu v daném členu, změní se znaménko a součin členů se odečte od původního potenciálu, čímž vznikne nový potenciál). Podobně dF SdT pdV kde F = U − TS je volná energie a dG SdT Vdp kde G = U + pV − TS je Gibbsova energie. Viz také http://www.aldebaran.cz/studium/statistika.pdf . Tepelné kapacity Definujme tepelnou kapacitu za konstantního objemu a tlaku jako Q , CV T V Q . Cp T p Pro výpočty jsou tyto vztahy nevhodné, neboť Q není stavová veličina a neexistuje tudíž obecný vzorec pro Q jako funkce stavových proměnných. Ovšem za konstantního objemu máme z předchozích vztahů dQ = dU a podobně za konstantního tlaku máme dQ = dH a můžeme tudíž psát U , CV T V H , kde pro veličiny U a H již můžeme najít obecné vzorce. Cp T p Příklady 1. Nechť tři proměnné x, y, z jsou spolu svázané nějakým obecným vztahem f(x, y, z) = 0. Dokažte platnost vztahu x y z 1. y z z x x y U U d T p dV . T V V T 2. Dokažte platnost vztahu dQ (návod, uvažujte U jako funkci proměnných T a V a vyjádřete dU jako úplný diferenciál podle tvrzení 3 věty o úplném diferenciálu. V p 3. Dokažte vztah C p CV T . T V p T 2 Tepelná kapacita pevné látky 1. Klasický výpočet 2. Einsteinova tepelná kapacita 3. Debyeova tepelná kapacita Klasický výpočet bere pevnou látku jako množinu 3N nezávislých oscilátorů, Einstein předpokládá totéž ale oscilátory bere jako kvantové a Debye považuje za oscilátor celý krystal. 1. Klasický výpočet: 2 p 1 m 2u 2 , 2m 2 e 0 e kT kT d d U kT , U 3N 3NkT 3sRT , CV 3sR. T V 0 Klasický výpočet vede na konstantní tepelnou kapacitu, což je v souladu s experimentem pouze pro vysoké teploty, pro nízké teploty se vzorec s experimentem rozchází. ε … energie oscilátoru ̅ε … střední energie oscilátoru s … látkové množství k … Boltzmannova konstanta R … molární plynová konstanta Einsteinova tepelná kapacita Einstein tuto teorii vytvořil roku 1906, předpokládal chování krystalu z hlediska energie jako 3N nezávislých kvantových oscilátorů, přičemž pro jeho energii použil vzorec, který použil Max Planck v roce 1900 (chybný, lišící se konstantou, výsledek však vyjde správný). n nh , nh e n 0 e nh kT nh kT , jmenovatel J je je geometrická řada s kvocientem q e h kT n 0 a její součet je J 1 = 1 q 1 1 e v sečteném tvaru a dostaneme h kT , zderivujme jej podle kT, jak v původním tvaru, tak také dJ nh e 1 d kT n 0 nh kT h e 1 e h kT h kT 2 . Ovšem první získaný výraz je až na znaménko čitatel z předchozího výrazu pro střední energii a můžeme proto vyjádřit h e 1 e h kT h kT h = e h kT 1 e h kT h kT e U h C 3 sR . , V 2 h T V kT kT 1 e 1 h , U 3N 3N 2 Einsteinova tepelná kapacita Předchozí získaný výsledek ještě můžeme zapsat v kompaktním tvaru, zavedeme-li Einsteinovu teplotu ze vztahu h k a dostaneme výslednou tepelnou kapacitu jako T e CV 3sR 3 sRF E 2 T T T e 1 2 kde FE je Einsteinova funkce. Poznámka: Správný vzorec pro energii kvantového oscilátoru je ve skutečnosti (½ + n)hν ale tepelná kapacita by vyšla stejná, neboť koeficient ½ se projeví ve výsledné energii konstantou, která derivováním ve vzorci pro tepelnou kapacitu zanikne. ε … energie oscilátoru ̅ε … střední energie oscilátoru s … látkové množství k … Boltzmannova konstanta R … molární plynová konstanta Debyeova tepelná kapacita Debye předpokládal že atomy jako oscilátory nekmitají nezávisle ale tvoří se sousedními atomy soustavu spřažených oscilátorů. Diskrétní řešení by bylo obtížné, Debye proto předpokládá spojité prostředí, ve kterém se šíří vlna a počítá s energií vlny. a) Jednodimenzionální případ: Látkou se šíří vlna splňující vlnovou rovnici 2u x 2 1 2u . CS t 2 x cos 2 nt . L 2L Počet stavů je dn d Z ( )d, kde jsme zavedli hustotu stavů jako Z(ν). CS Řešením je jednodimenzionální stojatá vlna u ( x, t ) A sin n … Po výpočtech vyjde pro 3-d případ výsledná tepelná kapacita jako u … okamžitá výchylka vlny CS … rychlost zvuku ΘD … Debyeova teplota FD … Debyeova funkce D CV 3sR.3 T D 3 T 0 D dx 3sRFD 2 x T e 1 ex x4