Transcript Тема: "Решение рациональных уравнений с помощью замены

Здравствуйте!
На этом уроке мы продолжим изучать
рациональные уравнения.
§ 21. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Цели нашего урока:
•
•
•
повторить алгоритм решения рациональных уравнений;
рассмотреть решение рациональных уравнений различного
уровня сложности, а так же биквадратные уравнения и
уравнения, решаемые с помощью замены переменной;
развивать умение решать рациональные уравнения.
Для лучшего усвоения темы вам
необходимо повторить предыдущий
материал.
I. Самостоятельная работа. (письменно)
Решить уравнения в тетради:
2 3х х 2  2х
2
х
а)

4
3
б) 2  х  х  3
х 2 3 х
Проверь себя:
1)
2)
2х 2 -17х=0,
х 1 =0, х 2 = 8,5
х 2 6
 0, х  0 , х = 
6х
6
Решение рациональных уравнений
методом введения новой переменной.
Метод введения новой переменной
вам знаком, мы не раз им пользовались.
Рассмотрим на примерах, как он применяется при
решении рациональных уравнений.
Пример:
Решить уравнение х4 + х2 - 20 = 0.
Решение:
Введем новую переменную у = х2. Так как х 4=(х2)2 =у2,
то заданное уравнение можно переписать в виде
у2+ у-20 = 0
Мы получили квадратное уравнение, корни которого найдем,
используя известные формулы, получим у1 = 4, у2 = -5.
Так как у = х2, значит, задача свелась к решению двух уравнений:
х2 = 4, х 2 = - 5
Из первого уравнения находим х1,2 = ± 2, второе уравнение не
имеет корней.
Ответ: 2
Определение: (записать в тетрадь)
Уравнение вида ах4 + вх2 + с = 0
называют биквадратным уравнением
(«би» - два, т.е. дважды квадратное уравнение)
Только что решенное уравнение было
именно биквадратным.
Алгоритм решения
биквадратных уравнений
(записать в тетрадь)
Любое биквадратное уравнение решается
так же, как уравнение из примера:
1. вводят новую переменную у = х2;
2. решают полученное квадратное
уравнение относительно переменной у;
3. возвращаются к переменной х.
Пример 1.
Решить уравнение
1
7
х 2 3х 3 х 2 3х 1 5

2

Решение:
Заметим, что здесь дважды встречается одно и то
же выражение х2 + З х.
Значит, имеет смысл ввести новую переменную
у = х2 + З х.
Это позволит переписать уравнение в более
простом и приятном виде (что, собственно говоря, и
составляет цель введения новой переменной — и
запись упрощается, и структура уравнения
становится более ясной):
1
2 7


у 3 у 1 5
А теперь воспользуемся алгоритмом решения
рационального уравнения.
1) Перенесем все члены уравнения в одну часть:
1
2 7

 0
у 3 у 1 5
2)




1
Преобразуем левую часть уравнения
5( у 1)
у 3

2




5( у 3)
у 1

7




( у 3)( у 1)
5

5( у 1) 10( у 3) 7( у 3)( у 1) 7 у 2  29 у  4

.
5( у 3)( у 1)
5( у 3)( у 1)
Итак, мы преобразовали заданное уравнение к виду
7 у 2  29 у  4
 0.
5( у 3)( у 1)
3) Из уравнения - 7у2 + 29у -4=0 находим у1 = 4, у2 = 1
7
(мы с вами уже решили довольно много квадратных
уравнений, так что всегда приводить в учебнике
подробные выкладки, наверное, не стоит).
4) Выполним проверку найденных корней с помощью
условия (у - 3) (у + 1) 0.
Оба корня этому условию удовлетворяют.
Итак, квадратное уравнение относительно новой
переменной у решено: у1 = 4, у2 = 1
7
5) Поскольку у = х2 + Зх, а переменная у, как мы
установили, принимает два значения: 4и 1
7
Нам
еще предстоит решить два уравнения:
х2 + Зх = 4;
х2 + Зх =
Корнями первого уравнения являются числа 1 и -4,
корнями второго уравнения – числа:  21 469
14
Ответ: -4; 1;
 21 469
14
;
1
7
Пример 2.
Решить уравнение х(х-1)(х-2)(х-3) = 24.
Решение:
Имеем х(х-3)=х2-3х
(х-1)(х-2) = х2-3х+2
Значит, заданное уравнение можно переписать
в виде (х2-Зх)(х2-Зх + 2)=24.
Вот теперь новая переменная «проявилась»:
у = х2 - Зх
С её помощью уравнение можно переписать в
виде: у (у + 2) = 24
Далее у2 + 2у - 24 = 0.
Корнями этого уравнения служат числа: 4 и -6.
Возвращаясь к исходной переменной х,
получаем два уравнения:
х2 - З = 4
и х2 - Зх = - 6
Из первого уравнения находим: х1= 4, х2= - 1;
второе уравнение корней не имеет.
Ответ: 4, — 1.
Закрепление нового материала.
1) Решить уравнения в рабочей тетради:
а)
б)
х 2 16
0
5
3х 2 1
1
4
12
х
в)
2х - 5 =
г)
х4 -10х2 + 9 = 0
Проверь себя:
а) х1 = 4, х2 = - 4;
б) х = 1;
в) х  0 , Д=121, х1 = 4, х2 = - 1,5;
г) х2 = t, t0, t 2 -10t +9=0, Д=64, t1 = 9, t2 =1, х1 = 3, х2 = 1;
(-3, -1 – посторонние корни)
1. §21, повторить алгоритм решения
рациональных уравнений.
2. Решить уравнения в рабочей тетради
a) х 4 -13х 2 + 36 = 0
б) х  8  1  0
х  2 4 х 2
х2