Transcript Combinatoria
COMBINATORIA
TÉCNICAS DE RECUENTO
En ocasiones tenemos que estudiar las diferentes formas de contar, ordenar y agrupar, conjuntos finitos numerables, siguiendo unas determinadas reglas o condiciones.
Según las características de las agrupaciones a realizar, y de la naturaleza de los elementos a considerar, podemos utilizar:
VARIACIONES, COMBINACIONES y PERMUTACIONES
.
Cuando empleamos técnicas de recuento en ocasiones solemos utilizar diagramas de árbol para poder interpretar gráficamente el problema planteado.
VARIACIONES CON REPETICIÓN
Sean A un conjunto finito con n elementos (n > 0) y r un número natural. Una
VARIACIÓN CON REPETICIÓN DE ORDEN r de A
, es una lista
ordenada
de r elementos (a 1 , a 2 , ..., a r ) de A (
que pueden ser iguales
).
Ejemplo 1.
Las variaciones con repetición de dos vocales que podemos formar con las cinco vocales V = { a, e, i, o, u} son: {a,a}, {a,e}, {a,i}, {a,o}, {a,u}, {e,a}, {e,e}, {e,i}, {e,o}, {e,u}, {i,a}, {i,e}, {i,i}, {i,o}, {i,u}, {o,a}, {o,e}, {o,i}, {o,o}, {o,u}, {u,a}, {u,e}, {u,i}, {u,o}, {u,u}.
Ver diagrama de árbol
VARIACIONES SIN REPETICIÓN
Sean A un conjunto finito con n elementos (n > 0) y r un número natural (r n ). Una
VARIACIÓN SIN REPETICIÓN DE ORDEN r de A
, es una lista
ordenada
de r elementos (a 1 , a 2 , ..., a r ) de A (
que no pueden ser iguales
) .
Ejemplo 2.
Las variaciones sin repetición de dos vocales que podemos formar con las cinco vocales V = { a, e, i, o, u} son: {a,e}, {a,i}, {a,o}, {a,u}, {e,a}, {e,i}, {e,o}, {e,u}, {i,a}, {i,e}, {i,o}, {i,u}, {o,a}, {o,e}, {o,i}, {o,u}, {u,a}, {u,e}, {u,i}, {u,o}.
Ver diagrama de árbol
CÁLCULO DE VARIACIONES
El número de variaciones con repetición de orden r de un conjunto de n elementos es:
Ejemplo 3.
VR n r
n r
El número de cifras de tres dígitos repetidos o no , que se pueden formar con los dígitos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} es:
3 9 El número de variaciones sin repetición de orden r de un conjunto de n elementos es:
V n r
(
n
—
n
—
n
—
n
—
r
1)
Ejemplo 4.
El número de cifras de tres dígitos sin repetición, que se pueden formar con los dígitos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} es:
9 3
PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN
Sean A un conjunto finito con n elementos (n > 0), una
PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN DE A
, es una variación sin repetición de todos los elementos de A.
El número de permutaciones sin repetición de n elementos es:
P n
V n n
(
n
—
n
—
n
—
n
!
Ejemplo 5. Al abrir el banco, hay 7 personas esperando. Si no se han ordenado previamente, para ser atendidos cuanto colas distintas posibles se pueden generar es:
Como:
P n
P =7!=5040
7
V n r
n
r
!
(
n
—
1) ... (
n
—
r
n
r
!
n
!
Se deduce:
V n r
n
!
(
n
—
r
)!
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
Sea A = { a r , a r , … , a r , a s , a s , … , a s , … , a t , a t , … , a t } un conjunto finito con n elementos (n > 0), en el cual hay r elementos repetidos a r , s elementos repetidos a s , … , t elementos repetidos a t . Una
PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN DE A
, es una variación de todos los elementos de A, incluidos los que se repiten.
El número de permutaciones de n elementos con r repeticiones, s repeticiones, … , t repeticiones es:
P n
, ,...,
t
n
!
Ejemplo 6. ¿Cuántos permutaciones podemos formar con los dígitos Solución: {1, 1, 2, 2, 2, 3, 3} ?
P
7 2,3,2
= 7!
=210
COMBINACIONES SIN REPETICIÓN
Sean A un conjunto finito con n elementos (n > 0) y r un número natural (r n ). Una
COMBINACIÓN SIN REPETICIÓN DE ORDEN r DE A
, es una lista
no necesariamente ordenada
de r elementos (a 1 , a 2 , ..., a r ) de A (
que no pueden ser iguales
) .
Ejemplo 7. Las combinaciones sin repetición de dos vocales que podemos formar con las cinco vocales V = { a, e, i, o, u} son: (a,e), (a,i), (a,o), (a,u), (e,i), (e,o), (e,u), (i,o), (i,u), (ou) Ver diagrama de árbol
El número de combinaciones sin repetición de orden r de un conjunto de n elementos es:
C n r
V n r P r
n
!
( — )!
r
!
r n
!
— )!
Ejemplo 8 .
¿Cuántos parejas de tenis se pueden formar con siete jugadores?.
SOLUCIÓN:
2
C =
7
7!
=21
NÚMEROS COMBINATORIOS.
Para cada par de números naturales r, n (r n ) al número
C n r
se le denomina NÚMERO COMBINATORIO
n
C n r
r n
!
)!
n r
:
Ver propiedades de números combinatorios .
Ver Triángulo de Tartaglia .
Calculo combinatorio con EXCEL .