Transcript permutacion y combinacion

COMBINACIÓN,
PERMUTACIÓN
& VARIACIÓN
Maria Camila Ariza
Karen Ariana Sanjuanelo
Robert Suárez
Andrés Felipe Vargas
AGENDA
 Conceptos claves
 Variación
 Permutación
 Combinación
CONCEPTOS CLAVES
 Factorial de un número natural:
Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1.
El factorial de un número se denota por n!.
𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 𝑛 − 3 … 3.2.1
VARIACIÓN
Variación: cambio que hace que algo o alguien sea diferente en
cierto aspecto de lo que era. «La variación de los precios se debe al
a inflación»
«La variación es sucesiva; la
variedad es simultánea. Hay
variación en las estaciones;
hay variedad en las flores de
un jardín.»
Tomado de: Google imágenes.
VARIACIÓN ESTADISTICA
Calcula el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden
establecer con los "n" elementos de una muestra. Cada subgrupo se diferencia
del resto en los elementos que lo componen o en el orden de dichos
elementos.
Ejemplo
calcular las posibles variaciones de 2 elementos
que se pueden establecer con los número 1, 2
y 3.
Respuesta:
(1,2) (1,3)
(2,1) (2,3)
(3,1) (3,3)
Tomado de: Google imágenes.
COMO CALCULAR LA VARIACIÓN
𝑉𝑚,𝑛
𝑚!
=
𝑚−𝑛 !
Ejemplo
V10,4 son las variaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4
elementos:
𝑉10,4 =
10!
10−4 !
=
10∗9∗8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1
=5,040
6∗5∗4∗3∗2∗1
PERMUTACIÓN
Combinación
"Mi ensalada de frutas es una
combinación de manzanas, uvas
y bananas"
Permutación
"La combinación de la
cerradura es 472"
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones
posibles son:
𝒏 × 𝒏 × … (𝒓 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔) = 𝒏𝒓
12 preguntas
5 opciones de respuesta
𝑃 = 𝟓𝟏𝟐 = 𝟐𝟒𝟒’𝟏𝟒𝟎. 𝟔𝟐𝟓
PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
Elegir 3 de16 bolas de billar
𝟏𝟔 × 𝟏𝟓 × 𝟏𝟒 = 𝟑𝟑𝟔𝟎
𝟏𝟔!
= 𝟏𝟔 × 𝟏𝟓 × 𝟏𝟒 = 𝟑𝟑𝟔𝟎
𝟏𝟑!
COMBINACIÓN
n elementos
r
elementos
COMBINACIÓN
Entran todos los
elementos
Importa el orden
Se repiten los elementos
COMBINACIÓN
COMBINACIÓN
Un campo pequeño cuenta con 87 pozos perforados, de los cuales
62 están en producción. La empresa operadora esta pensando en
realizar labores de estimulación para los pozos no productores,
pero desea hacer las operaciones en grupos de 5 pozos. ¿ cuántos
grupos de pozos distintos están disponibles para la estimulación?
𝐶𝑟𝑛
𝑛!
=
𝑛 − 𝑟 ! ∗ 𝑟!
Rta. = 53130
NOTACIONES
𝑟
𝑟
𝑉 𝑛
𝑛 =𝐶𝑛,𝑟 =𝑛𝐶𝑟 =
𝑃𝑛
COMBINACIONES CON
REPETICIÓN
Entran todos los
elementos
Importa el orden
Se repiten los elementos
COMBINACIONES CON
REPETICIÓN
En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De
cuántas formas se pueden elegir 4 pasteles?.
Rta = 126
NÚMEROS COMBINATORIOS
 Los números combinatorios se utilizan para establecer
agrupaciones en las que no importa el orden y los
elementos no se pueden repetir.
𝑛 se llama también número combinatorio y
 El número 𝐶𝑚
se representa por
𝑚
𝑛
y se lee “m sobre n”.
 Propiedades de los números combinatorios:
1.
2.
3.
𝑚
𝑚
=
=1
0
𝑚
𝑚
𝑚
=
𝑛
𝑚−𝑛
𝑚
𝑚
𝑚+1
+
=
𝑛−1
𝑛
𝑛
NÚMEROS COMBINATORIOS
Ejemplo:
 En la primera ronda de un campeonato de ajedrez cada
participante debe jugar contra todos los demás una sola
partida. Participan 23 jugadores. ¿Cuantas perdidas se
disputarán?
 𝑚 = 23, 𝑛 = 2.

𝑚
𝑛
=
𝑚!
𝑛! 𝑚−𝑛 !

23
2
=
23!
21! 23−2 !
=
23∗22∗21
2∗1∗21
=
506
2
= 253 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠
BINOMIO DE NEWTON
 La fórmula que nos permite hallar las potencias de un
binomio se conoce como binomio de Newton.
 El número de términos es n+1.
 Los
coeficientes son números combinatorios
corresponden a la fila enésima del triángulo de Pascal.
que
TRIANGULO DE PASCAL
 se originó en una discusión
que su creador tuvo con
Fermat, sobre un juego de azar.
 Cada cifra de la fila indica las
probabilidades decrecientes,
en relación al total de la fila de
que se den las distintas
combinaciones.
BINOMIO DE NEWTON
 Ejemplo:
5
0
5
5
𝑥 5 + 51 𝑥 4 . 2𝑦 +
2𝑦 5
5
2
𝑥 2 . 2𝑦
3
5
4
𝑥 + 2𝑦
5
=

𝒙 + 𝟐𝒚
𝟓
= 𝒙𝟓 + 𝟏𝟎𝒙𝟒 𝒚 + 𝟒𝟎𝒙𝟑 𝒚𝟐 + 𝟖𝟎𝒙𝟐 𝒚𝟑 + 𝟖𝟎𝒙𝒚𝟒 + 𝟑𝟐𝒚𝟓
Esta fila, representa
los coeficientes de
𝑥 + 2𝑦 5
𝑥 3 . (2𝑦)2 +
5
3

+
𝑥. 2𝑦
4
+
GRACIAS