Transcript Matematikai érdekességek

Matematika és a művészetek
kapcsolata
(Aranymetszés)
Verebély László Szakközépiskola és Szakiskola csapata
Tagok: Gáll Patrik (12.B)
Grenyó Dávid (12.B)
Nagy Herda Dániel (12.B)
Felkészítő tanár: Nagyné Bodó Beatrix
Budapest, 2011. február 2.
Az aranymetszés
• A matematika, a művészetek
és
egyes
természeti
jelenségek között teremt
igen szoros kapcsolatot az
aranymetszés néven ismert
egyszerű aránypár
• Egy szakasz vagy mennyiség
aranymetszés
szerinti
felosztásakor a keletkező
kisebb darab úgy aránylik a
nagyobbhoz, mint a nagyobb
az egészhez
• Képlettel
felírva: a/b=b/(a+b)
• Igazolható, hogy ez csak
egyetlen felosztás esetén
állhat elő
• a·(a+b)=b·b
• A kifejezést
másodfokú
egyenletté alakítva
kapjuk a következőt:
a2+a·b-b2=0
• Ezt általában Φ-vel
(fi) szokták jelölni
Az aranyszög
• Aranyszögnek
nevezik
azt a szöget, melynek
cosinusza
éppen
az
aranymetszés
hányadosával
egyenlő:
cosα=0,618034. . .
• A
szög
értéke:
51°49’43”
• Az aranyszög körzővel
és
vonalzóval
való
megszerkesztését
visszavezethetjük
az
aranymetszésre
Az aranyszög szimbolikája
• Az aranyszöggel sok
más, jelképet hordozó
relikvián,
emléken
találkozunk
• Aranyszöget zárnak be
az
ismert
Krisztusmonogram X jelének
szárai a P betű szárával,
és szintén aranyszöget
fedezhetünk fel Szent
István királyunk REX
ST (Rex Stephanus)
betűjeleit
tartalmazó
ligatúrás kézjegyén is
• Ugyanez fedezhető fel a
korai keresztény időből
származó
Krisztusmonogrammal egyesített
(az életet jelképező)
ankh-kereszten
• A kereszt rajza az V.
századból
származó
kopt
gnosztikus
papirusz-kódexben
szerepel,
mely
felfedezőjéről, James
Bruce-ról (XVIII. sz.)
Codex Brucianus néven
vált ismertté
Aranymetszés a matematikában
• Az aranymetszéssel szoros
kapcsolatba
hozható
a
püthagoreusok által misztikus
tisztelettel
övezett,
az
univerzum
jelképének
tekintett szabályos ötszög
• Bizonyítható, hogy e síkidom
bármely két metsző átlója az
aranymetszés
szabályának
megfelelően osztja egymást
két-két részre, sőt: az
összes átlót megrajzolva a
keletkező újabb osztópontok
is az eredeti szakaszok Φszeresénél találhatók
• Az átlók a Pithagorasz
csillagot határolják körül
A pentagram
• Az ábrán látható ABCDE
csúcspontú csillagötszöget
(pentagram) úgy kapjuk meg,
hogy a szabályos HIKFG
ötszög
oldalait
a
metszéspontjukig
meghosszabbítjuk
• A püthagoreusok ezt a jelet
használták
egymás
üdvözlésére
és
felismerésére, lerajzolva azt
a homokba
• A
pentagram
szögeinek
összege:
5·36°=180°,
ugyanannyi,
mint
egy
háromszög belső szögeinek
összege
Az aranymetszés szerkesztése
•
•
•
•
Legyen adott az EP=a szakasz, az E
pontban állítsunk merőlegest EP-re,
és mérjük rá az EP szakasz felét,
kapjuk az O pontot, az O pont körül
OE=PE/2=a/2
sugárral
kört
rajzolunk
A szakasz másik (P) pontjából
húzzunk
egy
szelőt
a
kör
középpontján át, ez metszi a kört az
A (közelebbi) és B (távolabbi)
pontokban, és a PA szakaszt P körül
PE-re leforgatva kapjuk az M pontot
PE2=PA·PB (érintőszakasz tételéből)
Bevezetjük
az
ábra
szerinti
jelöléseket: EM=p, MP=q, EP=a
AP=MP=q, AB=a, és PB=a+q
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
A
szelő
tételt
ezekkel
a
2
jelölésekkel átírva: a =q·(a+q)
A jobb oldalon felbontva a
zárójelet: a2=aq+q2
Az aq tagot a bal oldalra átvíve:
a2-aq=q2
Itt a-t kiemelve: a(a-q)=q2
Mivel: a-q=p, ezért: ap=q2
Az a=p+q jelölést is felhasználva:
(p+q)p=q2
Ezt aránypárba átírva: p:q=q:(p+q)
Tehát az M pont valóban az
aranymetszésnek
megfelelő
arányban osztotta fel a PE=a
szakaszt
Aranymetszéssel lehet szabályos
öt és tízszöget szerkeszteni
Az r sugarú körbe írt szabályos 10
szög oldala a kör sugarának
aranymetszéssel kapott hosszabbik
szelete
Szabályos
10
szögből
természetesen könnyű szabályos
ötszöget szerkeszteni
Aranymetszés a művészetekben,
építészetben és a természetben
• Már az ókorban is ismerték az aranymetszést, és
előszeretettel használták
• Rájöttek ugyanis, hogy az aranymetszéssel osztott
távolságok általában kellemes benyomást keltenek a
mű szemlélőjében
• Az ókori Egyiptomban még valószínűleg nem tudatosan
alkalmazták a módszert, bár a gizai piramisokon
felfedezhetők az aranymetszésre jellemző arányok
• Kairótól nem messze, Giza városában található a világ
talán
leghíresebb,
legtöbbet
tanulmányozott
építménye: a Kheopsz-piramis
A Kheopsz piramis
(i.e. 2500)
• Az
ókorban
nem
volt
toronydaru, sőt, Egyiptomban
a vasat sem ismerték
• E
hatalmas
monstrumok
elkészítése
pedig
(egyes
vélemények szerint) még a
mai
technológiával
is
lehetetlen lenne
• A Kheopsz-piramis eredetileg
146 méteres magasságával,
230×230
méteres
alapterületével és 31 millió
tonnás súlyával mindenesetre
kemény kihívást jelentene
bármely mai építésznek is
• A Rhind-papírusz tekercsek betekintést engednek a kor
matematikai eszköztárába
• Az egyiptomiak ismerték a felszín- és térfogatszámítás alapvető
módszereit, igen jó közelítéssel ki tudták számolni adott sugarú
kör területét, használták a törtszámokat, és meg tudtak oldani
egyszerűbb egyenleteket
• Bizonyosan tisztában voltak a Pitagorasz-tétellel, ám a
trigonometrikus függvények közül valószínűleg csak a cotangenst
ismerték (bár egyes vélemények szerint azt sem)
• Mindazonáltal a piramisok elhelyezkedése és méretei
meghökkentően pontos számításokat sejtetnek a háttérben
• A Kheopsz például pontosan a Baktérítőre épült, sarkai pedig
minimális (3 ívperces) eltéréssel a négy égtáj felé mutatnak. A
különbség az építés idején akár nulla is lehetett, mivel a
földrajzi északi pólus – ahol a Föld forgástengelye metszi a
felszínt – néhány évezred alatt akár több fokot is fordulhatott
• További érdekesség, hogy a piramis négy sarkának tengerszint
feletti magassága maximum 1 cm-es eltérést mutat
• Írásos emléket a piramisokról elsőként (a történetírás atyjaként
tisztelt görög utazó) Hérodotosz hagyott ránk
• Lejegyezte az építmények elbűvölő geometriai tulajdonságait,
többek között, hogy a piramis magasságának négyzete
megegyezik az egyes oldallapok területével
• Elképzelése szerint nem rabszolgabrigád, hanem megközelítőleg
100 000, a földeken éppen munkát nem találó paraszt végezte
az építkezés javát
• Egy részük az Arábiai-hegységből követ fejtett és juttatott el
a Nílusig, a többiek pedig a folyótól a Líbiai-hegységig
vonszolták a többtonnás tömböket
• Tíz évig tartott, amíg az építő-anyag szállítására szolgáló út
elkészült, majd az építkezés további húsz évet vett igénybe
• A simára faragott kőtömböket lépcsőzetesen, mérleghintához
hasonló emelők alkalmazásával juttatták a rendeltetési helyükre
• Hérodotosz történetének némiképp ellentmond, hogy a tudomány
mai állása szerint az egyiptomiak sem a csigákat, sem az
emelőket nem ismerték
• Modernebb elméletek szerint
Kheopsz
kezdetben
mindössze
egy
szerény,
csonkagúla-alapú, földszintes
síremléket
(masztabát)
tervezett magának, és csak
később
építtetett
erre
további szinteket
• Észrevehető,
hogy
egy
oldallap magassága (s) és az
alapjának fele (b) között
fennáll
az
s/b=(s+b)/s
összefüggés, ami éppen az
aranymetszés
• Bár szinte biztos, hogy
Egyiptomban
ezt
nem
ismerték
• A piramis magasságának négyzete az oldalak
területével azonos
• Az ábra jelöléseivel: h2=s·b
• A Pitagorasz-tételből következően: h2=s2-b2
• A két egyenletből: s·b=s2-b2
• Némi átrendezés után: s2=b·(s+b), amiből
pedig mindkét oldal s·b-vel való osztása után
megkapjuk az s/b=(s+b)/s összefüggést
• Rejtély persze még így is maradt bőven…
• Többen a Föld alapvető fizikai adatait vélik
felfedezni a piramis paraméterei között,
mások bibliai utalásokat találtak bennük, sőt:
némelyek földönkívüli lények munkáját sejtik a
sokat látott építmények falain
Az athéni Akropolisz
• Főépítésze (Pheidias) a
Tympanon tervezésekor
rengeteg helyen élt az
aranymetszés
lehetőségével
• Már az oszlopcsarnok
homlokzatának alakja is
egy ún. aranytéglalapra
épül
• Ennek az a speciális
tulajdonsága, hogy az
oldalait a-val és b-vel
jelölve teljesül rájuk az
aranymetszés
Egyéb építészeti remekművek az
aranymetszés jegyében
• A római Szent Péter Bazilika,
mely
több
évszázadon
keresztül épült, alaprajzától
a kupola tervezéséig számos
méretviszonyában hordozza
az
aranymetszésnek
megfelelő arányokat
• A Firenzében ma is látható
Santa
Maria
Novella
homlokzata
• A firenzei Strozzi palota
• Gustav
Eiffel
Párizsi
világkiállításra készült híres
tornya
• A világhíres francia építész,
Le Corbusier épületei
• Lechner Ödön tervezte
budapesti épületek
homlokzatai
Leonardo da Vinci: Mona Lisa
• Leonardo
da
Vinci
leghíresebb műve, a
Mona
Lisa
több
„láthatatlan”,
aranytéglalapot
tartalmaz
• A festő (a reneszánsz
mesterek hagyományait
követve)
több
évig
dolgozott a képen, így
nem kizárt, hogy a
kompozíció
kialakításakor
szántszándékkal
alkalmazott matematikai
eszközöket
Leonardo da Vinci:
Angyali üdvözlet
• A képen a könyvtámasz
alatti
asztalka
középvonalán
áthaladó
függőleges vonal a kép
terét
pontosan
aranymetszés
szerint
osztja
• Mária, illetve az angyal
alakjának a középvonala az
osztással kapott részeken
belül
szintén
az
aranymetszésnek
megfelelően helyezkedik el
úgy, hogy mindkettő az
adott térrész ugyanazon
oldalára esik
• Ezzel olyan aszimmetria jön
létre,
mely
a
kép
egyensúlyát biztosítja
Jan Wildens: Mocsárvidék
• A Rubens nyomdokain haladó flamand festő,
Jan Wildens 1629-ben alkotott Mocsárvidék
címet viselő hangulatos képén az előtérben
játszó gyermek pontosan a kép szélességének
rövidebb aranymetszetében van
• A kép másik oldalán álló facsoport
alacsonyabb, egyenes törzsű fája jelöli ki a
hosszabbik aranymetszetet
• A horizontvonal, mely egyúttal az épület előtt
álló kőkapu tetejét is érinti és átmegy az
épület egyik alacsonyabban fekvő tetősíkján, a
kép magassági méretének aranymetszete
August Renoir: Nő a Békástanyán
• August Renoir: Nő a Békástanyán című képe valódi
impresszionista festmény, ám üde színfoltjai és
elmosódott kontúrok keltette könnyedsége mellett is
jól
átgondolt
kompozíciós
törvények
szerint
készülhetett
• Az ábrázolt nő arcának középvonalán áthaladó
egyenes pontosan a kép szélességi méretének az
aranymetszetébe kerül
• Az erkély korlátjának felső széle, melyen a hölgy
karja, illetve keze is nyugszik, a kép széléhez annak
aranymetszetében illeszkedik, az e ponton áthaladó, a
kép hosszával párhuzamos egyenes egyúttal a másik
karnak az asztalra támaszkodó pontján is áthalad
De divina proportione
(Az isteni arány)
• Az elvont tudományok kutatása mellett természetesen nem
feledkezett meg „tanult szakmájáról” sem
• A festészetben sok társához hasonlóan a reneszánsz
művészetek elsődleges témáját, az ember ábrázolását
tekintette fő feladatának
• Ehhez az időszámításunk előtti első században élt római tudós,
Vitruvius megfigyeléseire támaszkodott
• „Az emberi test középpontja természetesen a köldök. Ha egy
kinyújtott karral és lábbal háton fekvő ember köré egy körzővel
a köldökét középpontnak véve kört húzunk, akkor a kéz- és
lábujjai érinteni fogják az így megadott kört. Ha pedig
megmérjük a távolságot a talptól a fejtetőig, majd ezt
összevetjük a kinyújtott karok hosszával, úgy találjuk, hogy a
szélesség megegyezik a magassággal.” – írta Vitruvius
• A tétel igazolását Leonardo egyik legismertebb vázlatán
láthatjuk
• A Vitruviánus ember egy idealizált férfialakot ábrázol, az
emberek nagy részére természetesen nem teljesülnek a fenti
arányok
• A fejtető és köldök távolsága úgy
aránylik egymáshoz, mint a köldök és a
talp távolsága a testmagassághoz, 3:5:8
• A fejtető és a köldök, valamint a köldök
és térd között azonos a távolság
• Ugyancsak
egyenlő
messze
van
egymástól a köldök és a szeméremdomb;
az állcsúcs és mellbimbók vonala; a
köldök és a mellbimbók vonala
• Hasonlóképpen egyenlő a távolság
szeméremdomb és a térd; a fejtető és a
mellbimbók vonala, a térd és a talp
között
• Ezt az arányt annyira
szépnek tartották, hogy
nagyon sok műemléken is
felfedezhető
• Így például a Belvederei
Apollón szobron, amely
Kr. e. 350 körül készült
• Az "I" vel jelölt vonal az
egész
testet
az
aranymetszés arányának
megfelelően osztja fel,
azaz:
• AI:IB=IB:AB
Aranymetszés a természetben
• Tipikus példa a napraforgó
tányérján
elhelyezkedő
magok
• De az állat- és növényvilág
számtalan lehetőséget nyújt
az
aranymetszés
megfigyelésére
• Az ábrán látható csigaház
soron
következő
eleme
például mindig Φ-szerese az
előzőnek
• A juharlevél formája is több
helyen rejtegeti a nevezetes
arányt
• A fenyőtoboz pikkelyei
A nautilius
• A nautilius egy - a Csendesóceán nyugati részén élő, a
puhatestűek
törzsébe,
a
fejlábúak osztályába tartozó
- csigaházas polip, amelynek
csodálatosan szabályos héja
van
• Bárhogyan is húzunk vonalat a
középponton
áthaladva,
mindegyik
metszés
(AC:DB=FG:EG)
arány
aranymetszés
Aranymetszés egyéb
műalkotásokban
• Dante Isteni színjátéka, amelynek 100 énekéből a
62.-ben (amelyet lehet 100 aranymetszetének
felfogni) válik el Dante Vergiliustól, és itt csatlakozik
hozzá Beatrice, hogy a Paradicsomon végigkísérje
• Kodály Zoltán Psalmus Hungaricusa 395 ütemből áll, a
245. (vagyis a 395∙0,618-adik) taktus kezdetével esik
egybe a mű eszmei mondanivalójának kimondása:
"Istenbe vessed bizalmadat."
• A Szonáta két zongorára és ütőhangszerekre című
teljes Bartók-mű aranymetszete az első és második
tétel határvonala, a 78 taktusból álló bevezetés és
főtéma kisebbik aranymetszete a 32. taktusnál van, a
visszatérő főtag a 61. taktus, mely a főtémát 3 : 5
arányban osztja
• Az ötfokozatúság az ember ősi zenei
hagyományaihoz kapcsolódik, és kialakulásában
az élő szervezetre vonatkozó legáltalánosabb
törvényszerűségek is szerepet játszottak
• Számos ősi kultúrához tartozó hangszeren öt
húr található, vagy a hangszer maga
ötfokozatú hangolású
• A magyar népzene legősibb rétegei is
ötfokozatú skálára épülnek, és főként a lápentatónia nyomait őrzik
• A pentatónia más népek zenéjében is
megtalálható,
de
elemeiből
műzenei
alkotásokban is gyakran építkeznek
• A
pentatónia
az
aranymetszés
zenei
hordozója
• A
lá-pentatónia
tiszta
megjelenését
illusztrálja Kodály gyűjtéséből a Sej Dunáról
fúj a szél kezdetű jól ismert népdal
A Fibonacci sorozat
• A pizzai Leonardo a XII. és XIII. század fordulóján
élt matematikus egyike volt azoknak, akik a hinduktól
származó, de az akkori világban arab közvetítéssel
elterjedő tízes alapú, helyi értékes rendszerre épülő
számírási módot Európában meghonosították
• Leonardo Pisano, ismertebb nevén Fibonacci kora
matematikai ismereteit Liber Abaci címen ismert
munkájában foglalta össze, melyben megtalálható a
következő probléma, amit Fibonacci nyulaiként is
gyakran emlegetnek:
• Hány pár nyúlra szaporodik egy év alatt a kezdeti pár,
ha tudjuk, a nyulak két hónap alatt válnak ivaréretté,
és ezután minden pár minden hónapban egy új párnak
ad életet és mindegyikük életben marad?
• Az első hónapban egy nyúl-párunk van, és ugyanannyi lesz a
másodikban is; a párok száma csak a harmadik hónapban változik
egyről kettőre
• A következő hónapban a szülők újabb párnak adnak életet, így a
párok száma háromra nő, az ötödik hónapban azonban már az új
pár is szaporulatképes, így az új párok száma kettővel nő, és az
összes párok száma ötre gyarapodik
• A következő hónapban már mindkét ifjabb generáció hoz létre
utódokat, és a párok száma hárommal növekedve nyolcra változik
• Az egyes hónapokhoz tartozó nyúl-párok számát leíró: 1, 1, 2,
3, 5, 8, 13, 21, 34, … számsor Fibonacci-sorozat néven vonult
be a matematika történetébe
• A sorozat előállításának alapja az a tulajdonság, mely szerint a
harmadik elemtől kezdve bármely elem az előző kettő összege
• A sorozat első két elemét azonban meg kell adni; ezek értéke a
Fibonacci-sorozat esetén 1
• A sorozat definíciója ennek megfelelően: a1=1, a2=1 és
an=an-1+an-2, ha n>2
• A Fibonacci-sorozat • Az elemek számának
elemei azonban nem
növelésével azonban
alkotnak
mértani
ez a hányados egy
sorozatot,
az
állandó számhoz, a
egymást
követő
Φ-hez közelít
elemek
hányadosa
nem állandó
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
an
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
an+1/an
1
2
1,5
1,667
1,6
1,625
1,615
1,619
1,617
1,618
• Írjuk fel a Fibonacci
sorozat első néhány
elemét és vizsgáljuk
meg a szomszédos
elemek hányadosát
• A hányados értéke a
10. elemtől közelít a
0,618-hoz, azaz az
aranymetszési
állandóhoz, a Φ-hez
Fibonacci négyzetek
•
•
•
•
•
Azokat a négyzeteket,melyek
oldalainak
mérőszámai
a
Fibonacci-sorozat
elemei,
Fibonaccinégyzeteknek nevezik
Az első n négyzet egymáshoz
illesztésével olyan téglalapokat
kapunk,
melyek
oldalhosszai
megegyeznek az n-edik és (n+1)edik négyzet oldalának hosszával
Vegyünk
két
egységnyi
oldalhosszúságú négyzetet, (F1
és F2), és ezek fölött helyezzük
el a 2 egységnyi odalhosszúságú
F3 négyzetet
Az
így
kapott
alakzathoz
illesszünk
(jobbról)
olyan
négyzetet, melynek odalhossza
megegyezik az előző két négyzet
oldalának összegével (F4)
Az így kapott téglalap fölé
illesszük az F5, majd ezekhez
ismét jobbról az F6 négyzetet,
és így tovább…