Transcript solución básica factible

AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román
Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
 Expresión de un problema de programación lineal
 Aplicaciones de la programación lineal
 Soluciones de un problema de programación lineal
 Resolución gráfica de un problema de programación
lineal
AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román
Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
 Expresión de un problema de programación lineal
Definición: Un problema lineal es un programa matemático en el cual la función objetivo es lineal en las
variables de decisión y cada restricción es una desigualdad lineal. Además tiene una restricción de signo; es
decir, las variables de decisión son no negativas.
Max Z  c1 x1  c2 x2  . . .  cn xn
s.a.
a11 x1  a12 x2  . . .  a 1n xn  b1
a 21 x1  a 22 x2  . . .  a 2n xn  b 2


Min Z  c1 x1  c2 x2  . . .  cn xn
s.a.
a11 x1  a12 x2  . . .  a 1n xn  b1
a 21 x1  a 22 x2  . . .  a 2n xn  b 2


a m1 x1  a m2 x2  . . . a mn xn  b m
a m1 x1  a m2 x2  . . . a mn xn  b m
x1 , . . ., xn  0
x1 , . . ., xn  0
Z, función objetivo, es la medida de efectividad global seleccionada donde xi , i  1,, n representan las
variables de decisión.
c j , j  1,, n representan los coeficientes de contribución; es decir, incremento que resulta en el objetivo
por cada incremento unitario de x j
aij representan las tasas de uso de la materia prima i  1,, m en la producción de la variable j  1,, n
bj representan los recursos disponibles; es decir, la cantidad disponible del recurso “i” que consume cada unidad
de la actividad “j”
AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román
Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
 Expresión de un problema de programación lineal
Forma canónica de un problema de programación lineal
Max Z  c1 x1  c2 x2  . . .  cn xn
s.a.
a11 x1  a12 x2  . . .  a 1n xn  b1
a 21 x1  a 22 x2  . . .  a 2n xn  b 2


Min Z  c1 x1  c2 x2  . . .  cn xn
s.a.
a11 x1  a12 x2  . . .  a 1n xn  b1
a 21 x1  a 22 x2  . . .  a 2n xn  b 2


a m1 x1  a m2 x2  . . . a mn xn  b m
a m1 x1  a m2 x2  . . . a mn xn  b m
x1 , . . ., xn  0
x1 , . . ., xn  0
AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román
Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada
 Aplicaciones de la programación lineal
1. Una primera aplicación de la P.L. se encuentra en los problemas de “Asignación de Recursos”.
Son problemas en los que existen recursos limitados y se busca la utilización máxima. El objetivo
es maximizar utilidades.
2. Otra aplicación que responde a un problema de P.L. es el de minimizar pérdidas. La diferencia
con el caso anterior es que se deben satisfacer unos requerimientos mínimos.
3. Problema de la mezcla: la mezcla de ingredientes básicos para fabricar productos. No sólo se
se restringe a problemas de mezclas de alimentos, bebidas, etc ., también se aplica en el análisis
de inversiones.
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 Soluciones de un problema lineal
Definición: Una solución factible es aquella que verifica todas las restricciones de un P.P.L.; es decir,
Ax  b y xi  0 ó Ax  b y xi  0
Definición: Se define la región factible como el conjunto de todas las soluciones factibles; es decir,




F  x  Rn : Ax  b y xi  0 ó F  x  Rn : Ax  b y xi  0
Si F   , el problema es infactible
Definición: Una solución óptima es una solución factible que da el valor más favorable de la función objetivo.
Definición: Considérese el sistema de ecuaciones Ax  b, en donde A es una matriz de dimensión m n
y b un vector de dimensión m. Supóngase que el rango de A es m. Después de un reordenamiento de A, sea
A  B N 
donde B es una matriz no singular de dimensión m n y N matriz singular de dimensión m  n  m . La
x 
1
solución del sistema de ecuaciones, x   B  se denomina solución básica, donde xB  B b y xN es
 xN 
el vector nulo.
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 Soluciones de un problema lineal
Definición: Si una o más variables básicas de una solución básica son iguales a cero, se dice que es una
solución básica degenerada del sistema.
Definición: Si todas las componentes del vector básico de una solución básica son no negativas , entonces
x es una solución básica factible del sistema. Si además alguna componente es cero, entonces se denomina
solución básica factible degenerada.
Teorema Fundamental de la Programación Lineal
Dado un P.P.L. en forma estándar donde la matriz de tasas de usos de dimensión m n y rango m
1. Si existe solución factible, existe solución básica factible.
2. Si existe solución factible óptima, existe solución factible básica óptima.
Teorema de equivalencia
Sea A una matriz de dimensión m n de rango m, b un vector de dimensión m y K un politopo convexo. Un
vector x es un punto extremo del politopo, K, si y sólo si x es una solución básica factible del problema de
programación lineal.
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 Resolución gráfica de un P.P.L.
SI
NO
NO
Solución
acotada
NO
SI
SI
Solución
acotada
SI
NO