stereometrie
Download
Report
Transcript stereometrie
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM
ČESKÉ REPUBLIKY
STEREOMETRIE
Poznámky pro žáky se SPU
DOC
PDF
Prezentace je dostupná i na
http://stemetsou.chytrak.cz
Milan Hanuš; [email protected]
Stereometrie je matematická vědní disciplina zabývající se prostorovými útvary
a jejich vztahy. Je to geometrie v prostoru.
1. HRANOL
a) kolmý hranol
pětiboký hranol
trojboký hranol
kvádr
Horní podstava hranolu
Boční stěny tvoří plášť
hranolu
Dolní podstava hranolu
V praxi se používá pojmu hranol častěji než kvádr. Např. dřevěný hranol (trám, deska - „fošna“), ocelový hranol atd.
b) kosý hranol
Úkol: Pojmenujte tři předměty
kolem sebe tvaru hranolu.
Objem tělesa
Základní jednotkou objemu tělesa V je m3.
1m3 = 103 dm3 =1003 cm3 = 10003 mm3
tisíc
milion
c
miliarda
a
b
1. Objem hranolu se vypočte tak, že plochu podstavy Sp (m2) násobíme
výškou hranolu v (m).
V = Sp • v
Objem kvádru o hranách a,b,c se vypočte tak, že plochu podstavy Sp = a • b (m2)
násobíme výškou hranolu c (m).
V = Sp • c = a • b • c
Objem krychle o hraně a se vypočte tak, že hranu krychle umocníme na třetí.
V = a3
dán trojboký
měří
3 m, hran
4 m, 2
5 m,
m a3 jeho
je 2 m.
Úkol: Je dána
krychle hranol.
o délcePodstavné
hrany 3 m hrany
a kvádr
o délce
m, adélka
4 m. Které
Může být
těleso
májeho
většíobjem
objem12
? m 3?
Ano,
Většímůže.
objemPodstavou
má krychle,
je
Kalkulačka
3
Kalkulačka v
pravoúhlý
neboť 3trojúhelník.
>2x3x4
EXCELU
2. Rotační válec
Horní podstava válce
Plášť válce
v
d
Dolní podstava válce
Objem válce = plocha podstavy krát výška válce.
V = π • d2 • v • 1/4 = π • r2 • v
Úkol: Do
Lzemístnosti
benzín z se
krychlové
vchází dveřmi
nádrže označenými
o hraně 0,85jako
m přelít
900L.
beze
Lzezbytku
jimi z místnosti
do
pravidelného
odnést
krychlový
válce
kontejner
d = v = 0,85m?
o objemu 900 litrů?
Nelze
√(900
Vkrychle
000>V
000)>900
Válce
Kalkulačka
Objem tělesa
3. Objem jehlanu je 1/3 objemu hranolu o stejné podstavě a
výšce.
v
V = 1/3 • a • b • v
b
a
4. Objem kužele je 1/3 objemu válce o stejné podstavě a výšce.
Jehlan na PC
V = π • d2 • v • 1/12 = 1/3 π • r2 • v
v
Ve skladu jsou dvě plné násypky písku. Jedna má tvar
pravidelného jehlanu a = b = v = 4,2 m a druhá má
tvar pravidelného kuželu d = v = 4,2 m. Ve které násypce bude více písku?
Více písku bude v jehlanu,
protože 1/3 > π/12
Kalkulačka v
EXCELU
d
Kalkulačka
Komolá tělesa
5. Komolý jehlan
Sh
c
V
v
3
• Sd
Sd • Sh Sh
d
v
Sd
b
a
Kolik m3 betonu je třeba na hlavici sloupku tvaru komolého jehlanu.
Základna má plochu 0,16 m2, plocha horního čtverce je 0,01 m2.. Výška
hlavice je 0,3 m.
Postup na kalkulačce: 0,3 / 3 x ( 0,16 + √ (0,16 x 0,01) + 0,01) = 0,021 m3
Kalkulačka
Kalkulačka v
EXCELU
5. Komolý rotační kužel
V
v
3
•v
12
•v
3
• Sd
Sd • Sh Sh
Sh
d
v
2
2
• D D •d d
• R
R•rr
2
2
D
Sd
Úkol: Pánvička o Ø 20 cm má tvar komolého kužele s Ø dna 14 cm. Kolik litrů olivového oleje je v pánvičce, když jeho vrstva je 0,5 cm silná a Ø hladiny je 16 cm?
Postup: Olej v pánvičce má tvar komolého kužele vysokého 0,5 cm. ( V = π•v/12• (D2 +
+ D•d + d2). Pak cm3 převedeme na dm 3 (litry). Postup na kalkulačce:
π ·x 0,5 / 12 x (16^2 + 16 x 14 + 14^2) / 1000 = 0,09 litru
Kalkulačka v
EXCELU
Kalkulačka
6. Koule
V
4
• • r
3
• •d
3
d
3
V
1
6
7. Kulová úseč
V
•v
• 3
2
v
2
v
2ρ
r
v
V •v •r
3
2
Kalkulačka v
EXCELU
v´
-3. Kolik
Úkol: Hustota
Uveďte vzorec
železa pro
je 7kulovou
800 kgmúseč,
jestliže
váží platí
přibližně
v = r.kominická
Jak se tato
koule
kulová
o průměru
úseč
2
2
3
V=
πv (v –
v/3) = πv
2v/3 = 2/3
πv tvaru.
a3 to je ½ koule
čili polokoule
nazývá?
100
mm?
Uveďte
příklady
předmětů
tohoto
Kalkulačka
3
V = 1/6πd = 1/6•π•0,1 •7800 = 4 kg
8. Kulová vrstva
V
•v
6
2ρ1
2ρ2
• 31 3 2 v
2
2
2
2ρ
V
3
• • r •v
r
9. Kulová výseč
2
v
v
2
r
Úkol: Kulová
Nakreslete
vrstva
kulovou
má výšku
vrstvu
a menší
a kulovou
poloměr
výseč,
3 m,
provětší
kterépoloměr
platí v >jer. o 2 m větší.
Jaký je její objem?
Kalkulačka:πv/6(3ρ12 + 3 ρ12 + v2) = π·3/6·(3·32 + 3·52 + 32) = 174,328 m3
Kalkulačka v
EXCELU
Kalkulačka
Povrch těles (S)
1. Hranol
S = 2 • Spodstavy + SPláště
Kvádr
c
S = 2 • (ab + ac + bc)
b
a
SPláště = 2 • (ac + bc)
Krychle
S = 6 • a2
2. Rotační válec
S = 2 • π • (r + v)
SPláště = 2 • π • r • v
SPláště = π • d • v
v
d
Úkol: Jsou dána dvě tělesa. Krychle o hraně 3 m a
pravidelný válec o d = v = 3 m. Které těleso má větší
povrch?
Kalkulačka v
EXCELU
Větší povrch má krychle, protože 6 x 32 > π x 32
Kalkulačka
3. Jehlan
S = SPodstavy + SPláště
va v
S = ab + ava + bvb
vb
b
a
4. Rotační kužel
S = SPodstavy + SPláště
S = πr2 + πrs = πr • (r + s)
SPláště = πrs
s
v
d
Úkol: Vypočtěte plochu pláště kuželové krytky. Průměr
kužele je 258 mm a délka strany je také 258 mm.
104 558,5 mm2
Kalkulačka
5. Komolý jehlan
S = Sd + Sh + SPláště
Sh
c
d
S = a · b + c · d + (a + c) · va + (b + d¨) · vb
va
6. Komolý rotační kužel
S = Sd + Sh + SPláště
vb
Sd
a
2r Sh
S = π · R2 + π · r2 + π · (R + r) · s
Úkol: Kolik barvy se spotřebuje na nátěr
plechového krytu kruhového bazénu Ø 4,8 m? Kryt
má tvar komolého kužele o délce strany 1,2 m a
Ø stropu 4 m. Na 1 m2 se spotřebuje 0,3 kg barvy.
b
s
2R
Sd
Postup: 1. Plocha bez dolní podstavy:
Sh + SPláště = π · r2 + π · (R + r) · s = π · (r2 + (R + r) · s) = mezivýsledek
2. Potřeba barvy: Plocha krytu (m2) x 0,3
Kalkulačka: π x (4^2 +(4,8 + 4) x 1,2) x 0,3 = 26 kg barvy
Kalkulačka
6. Koule
S = πd2
d
S = 4 πr2
6. Kulový vrchlík (bez podstavy)
S = 2πrv
S = πdv
v
r
Úkol: Jak velká plocha naběračky se zaoblením
o Ø 20 cm a hloubce 5 cm se smočí při ponoření do
barvy? (Smáčí se pouze z vnějšku.)
v´
Kalkulačka: π x 20 x 5 = 314,159 cm2
Kalkulačka v
EXCELU
Kalkulačka
6. Kulový pás (bez podstav)
S = 2πrv
v
r
S = πdv
Úkol: Kolik pětikilových plechovek zelené barvy se
spotřebuje na 2 m široký pás na kulovém vodojemu o Ø 8m?
Vydatnost barvy je 0,4 kg/m2.
Postup: 1. Plocha kulového pásu: S = πdv
S=π.8.2
2. Spotřeba barvy:
m = S . 0,4
Počet plechovek = m/5
Kalkulačka: π x 8 x 2 x 0,4 / 5 = 5 plechovek barvy
Na natření kulového pásu se spotřebuje 5 plechovek barvy.
Kalkulačka
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM
ČESKÉ REPUBLIKY
Průměty těles
TEST
...................................
Jméno a příjmení
Datum: …………………………
……………….
Třída
1. Záhon dlouhý 18m a široký 5m byl zalit 80 desetilitrovými konvemi. Kolik
milimetrů musí napršet, aby byl záhon stejně zavlažen
po tomto zalití ?
1. jako
9 mm
2. Z krychle o hraně 6 cm byla vysoustruhována koule o poloměru 3 cm.
2. asi 47,7 %
Vypočítej, kolik procent byl odpad.
3. Kolik stojí dřevěná coulová deska („prkno“) dlouhá 3,23.m24
a široká
12 cm?
Kč
1“ je asi 2,5cm, 1m3 řeziva stojí 2 500 Kč.
.......................................................................................................................................
...................................
Jméno a příjmení
Datum: …………………………
……………….
Třída
1. 9,9 m2
1. Kolik metrů čtverečných plechu je třeba na zhotovení
rour
2. 30
a =m40okapových
dm
tvaru válce o průměru 10 cm, když počítáme s 5 % odpadem ?
3. hrany
Asi 75,4
litru
2. Nádrž tvaru krychle má objem 640 hl. Vypočítej délku
nádrže.
3. Kolik litrů polévky je v hrnci o Ø 4 dm a výšce 65 cm, je-li hladina polévky 5 cm
pod okrajem hrnce?