Transcript TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ Milan Hanuš Prezentace je dostupná i na http://podtrosou.chytrak.cz [email protected] Přehled učiva PDF Věty o podobnosti.

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
PODOBNOST
TROJÚHELNÍKŮ
Milan Hanuš
Prezentace je dostupná i na http://podtrosou.chytrak.cz
[email protected]
Přehled učiva PDF
Věty o podobnosti trojúhelníků
Dva trojúhelníky jsou podobné:
a) shodují-li se poměry odpovídajících si stran (věta sss)
b) shodují-li se ve dvou úhlech (věta uu)
c) jsou-li rovny poměry dvou stran a shodné úhly jimi sevřené (věta sus)
d) jsou-li rovny poměry dvou stran a shodné úhly proti větším z nich (věta Ssu)
Věty vyplývající z podobnosti trojúhelníků
1. Dva trojúhelníky jsou podobné, jsou-li jejich odpovídající si strany rovnoběžné, nebo
navzájem kolmé.
2. Dva pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se v jednom ostrém úhlu nebo v
poměru dvou odpovídajících si stran.
3. Dva rovnoramenné trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se v úhlu při základně nebo
v úhlu při vrcholu.
4. Každé dva rovnostranné trojúhelníky jsou si podobné.
PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ PODLE VĚTY
SSS
C
C´
a
b
A´
A
c
a´
b´
c´
B´
B
Jestliže jsou poměry všech sobě odpovídajících stran trojúhelníků shodné,
pak jsou tyto trojúhelníky podobné.
a b c
  k
a  b c 
Zápis:
ΔABC ~ ΔA´B´C´
Konstanta k je poměr podobnosti
Čteme: trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku A´B´C´
Příklad:
Určete,
je ΔABC
podobný
ΔABC:
a = cm.
6,2cm;
b = obvod
7,3 cm;
c = 8,4 cm.
Je
ΔABC:
aa == 28,2cm;
bb == ΔKLM.
25,3
cc == 48,4
Je dán
dánzda
ΔABC:
18,2cm;
15,2 cm;
cm;
28,4
cm
aUrčete
ΔA´B´C´:
a´= 36,4cm;
b´=
podobného
trojúhelníka
je-li poměr
podobnostivypočítejte
0,01.
= 30,4 |KL|
cm; c´=
56,9m;
cm.
VXYZ,
případě,
že jsou
poměr podobΔKLM:
= 812,2
|LM|
= 956,3 m;
|KM| podobné,
= 1100,4 m.
nosti k. Výsledek zapište.
Změní-li
se strany 0,01 krát, změní se i obvod ΔXYZ
KL
812,2
· 131
o = 0,01
(28,2 + 25,3 + 48,4) = 1,019 cm = 1cm
a
6,2
ΔABC ~ ΔA´B´C´
LM
956,3

 131
b
7,3
KM 1100,4

 131
c
8,4
0,01 krát.
Protože poměry sobě odpovídajících stran jsou shodné, jsou
oba trojúhelníky podobné. ΔABC ~ ΔKLM
PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ PODLE VĚTY
SUS
C´´
C´
C
α
A
B
B´
B´´
AB
AC

AB 
AC 
  
Jestliže jsou poměry dvou sobě odpovídajících stran trojúhelníků a úhel jimi
sevřený shodné, pak jsou tyto trojúhelníky podobné.
Příklad: Je dán ΔABC: b = 15,2 cm; c = 28,4 cm; α = 38°15´ a ΔA´B´C´: b´= 30,4 cm;
c´= 56,8 cm; α´= 38°15´. Určete zda jsou oba trojúhelníky podobné.
C(C´)
15,2(30,4´)
α(α´)
A(A´)
28,4(56,8´)
B(B´)
15,2
 0,5
30,4
28,4
 0,5
56,8
  
ΔABC ~ ΔA´B´C´
Příklad: Lešení vrhá ve 13:00 hodin 5 m stín. 1 m dlouhá k zemi kolmá tyč má ve
stejnou dobu stín ¾ metrový stín. Jak vysoké je lešení?
α
xm
1m α
5m
¾m
Zobrazené trojúhelníky jsou si podobné. Proto platí:
x
5

1 3
4
5
x
3
4
je jedním ze čtyř strukturálních
x  20 : 3
fondů EU
x  6,7
Výška lešení je 6.7 m.
Úkol: Rozdělte úsečku AB neznámé délky na dvě části v poměru 3 : 2.
B
C
A
Zvolená délková
jednotka, např. 1 cm
p
Platí: |AC| : |CB| = 3 :2
Cílem ESF je snižování nezaměstnanosti
PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ PODLE VĚTY Ssu
C
b
C´
a
b´
α
A
c
B
a´
α´
A´
c´
B´
Jestliže platí, že a/a´ = c/c´a současně α = α´, pak ΔABC ~ ΔA´B´C´.
Příklad: Z ochozu věže je spuštěné napjaté 60 metrové ocelové lano delší než je výška
ochozu nad zemí. Ve vzdálenosti 2 m od ukotvení na zemi je lano 1,5 m nad zemí. Jak
vysoko je věžní ochoz?
60 m
xm
1,5 m
Ochoz věže je 45 metrů nad zemí.
2m
x
60

1,5 2
x
 30
1,5
x  45
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
TEST 
1. Sestrojte libovolnou úsečku AB. Pak k ní SESTROJTE XY tak, aby platilo, že
|XY | = 4/5 |AB|.
2. Z vrcholu televizního vysílače je spuštěno napjaté kotevní lano do vzdálenosti
200 m od paty věže. Jan, vysoký 185 cm, se jej ve vzdálenost 2 m od ukotvení
lana na zemi právě dotýká hlavou. Jak vysoká je věž a jak dlouhé je kotevní
lano?
3. ΔABC má plochu 300 dm2. Pro podobný ΔA´B´C´ platí poměr podobnosti k = 3.
Jaký je obsah ΔA´B´C´?
1. Sestrojte libovolnou úsečku AB. Pak k ní SESTROJTE XY tak, aby platilo, že
|XY | = 5/4 |AB|.
2. Z vrcholu televizního vysílače je z výšky 17,6m spuštěno napjaté kotevní lano
do vzdálenosti 200 m od paty věže. Jan se jej ve vzdálenost 20 m od ukotvení
lana na zemi právě dotýká hlavou. Jak vysoký je Jan a jak dlouhé je kotevní
lano?
3. ΔABC má plochu 300 dm2. Pro podobný ΔA´B´C´ platí poměr podobnosti
k = 0,3. Jaký je obsah ΔA´B´C´?
ŘEŠENÍ
1. Sestrojte libovolnou úsečku AB. Pak k ní SESTROJTE XY tak, aby platilo, že
|XY | = 4/5 |AB|.
Y
B
A ≡X
p
|XY | = 4/5 |AB|
Vytváří podmínky pro růst vzdělanosti obyvatel Evropy
2. Z vrcholu televizního vysílače je spuštěno napjaté kotevní lano do vzdálenosti
200 m od paty věže. Jan, vysoký 185 cm, se jej ve vzdálenost 2 m od ukotvení
lana na zemi právě dotýká hlavou. Jak vysoká je věž a jak dlouhé je kotevní
lano?
ym
xm
1,85 m
2m
200 m
Výška stožáru je 150 metrů.
y  1502  2002
y  250
Délka lana je 250 m.
x
200

1,85
2
x
 100
1,5
x  150
3. ΔABC má plochu 300 dm2. Pro podobný ΔA´B´C´ platí poměr podobnosti k = 3.
Jaký je obsah ΔA´B´C´?
S = 0,5zv
Jestliže je poměr podobnosti k = 3, pak se všechny délkové rozměry změní
v tomto poměru. Jestliže dva rozměry zvětšíme třikrát pak se jejich součin
změní 3 x 3 krát.
Obsah 2700 dm2.
Podpora rovných příležitostí se zaměřením na
rozvoj trhu práce
1. Sestrojte libovolnou úsečku AB. Pak k ní SESTROJTE XY tak, aby platilo, že
|XY | = 5/4 |AB|.
Y
B
A ≡X
p
|XY | = 5/4 |AB|
2. Z vrcholu televizního vysílače je z výšky 17,6m spuštěno napjaté kotevní lano
do vzdálenosti 200 m od paty věže. Jan se jej ve vzdálenost 20 m od ukotvení
lana na zemi právě dotýká hlavou. Jak vysoký je Jan a jak dlouhé je kotevní
lano?
ym
17,6m
xm
20 m
200 m
Jan měří 176 cm.
y  17,6 2  2002
y  200,773
Lano je 201 m dlouhé.
x
20

17,6 200
x
 0,1
1 7,6
x  1,76
2. ΔABC má plochu 300 dm2. Pro podobný ΔA´B´C´ platí poměr podobnosti
k = 0,3. Jaký je obsah ΔA´B´C´?
S = ½zv
Jestliže je poměr podobnosti k = 0,3, pak se všechny délkové rozměry změní
v tomto poměru. Jestliže dva rozměry zvětšíme tři desetiny krát pak se jejich
součin změní 0,3 x 0,3 krát.
Obsah 27 dm2.
Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy ČR je partnerem ESF