Transcript Föreläsning 10: Areaberäkning. Rotationsvolymer.

Karlstads universitet
Matematik
Niclas Bernhoff
Föreläsning 10: Areaberäkning. Rotationsvolymer.
Repetition:
Lodrät asymptot (parallell med y-axeln):
x=a
om
lim f (x) = ±∞ eller lim− f(x) = ±∞,
x→a+
x→a
Vågrät asymptot (parallell med x-axeln):
y = L, då x → ∞ eller x → −∞
om
lim f(x) = L eller lim f (x) = L,
x→∞
x→−∞
Sned asymptot:
y = ax + b, då x → ∞ eller x → −∞
om
lim ( f(x) − (ax + b)) = 0 eller lim ( f(x) − (ax + b)) = 0
x→∞
x→−∞
OBS! Det finns högst 2 sneda asymptoter (inräknat de vågräta), en när
x → ∞ och en när x → −∞
1
Tillämpningar av integraler:
b
y(b) − y(a) =
x=b
y (x) dx =
dy
′
a
x=a
Areaberäkning:
Låt f = f (x) vara en funktion sådan att f(x) ≥ 0 för alla a ≤ x ≤ b. Bestäm
arean av det område som begränsas av kurvan y = f (x), x− axeln samt linjerna
x = a och x = b :
x=b
b
dA = f (x) dx
A=
x=a
a
Låt f = f(x) och g = g(x) vara två funktioner sådana att f (x) ≥ g(x)
för alla a ≤ x ≤ b. Bestäm arean av det område som begränsas av kurvorna
y = f (x) och y = g(x) samt linjerna x = a och x = b :
x=b
b
A=
dA = f (x) − g(x) dx
x=a
a
Arbete:
”Arbetet = kraf ten · v¨
agen”
eller om kraften F är konstant och verkar i rörelsens riktning:
W =F ·x
Om istället F = F (x) är en kontinuerlig variabel (i rörelsens riktning) så gäller:
dW = F (x) dx
Vi får då
W =
x=x
1
dW =
x=x0
x1
x0
2
F (x) dx
Volymberäkningar:
Skivformeln:
A(x0 ) = arean av tvärsnittet genom punkten x = x0
En skivas volym:
dV = A(x) dx
Skivformeln:
x=b
b
dV = A(x) dx
V =
x=a
a
Rotationsvolymer:
Låt R vara det område som begränsas av x-axeln, kurvan y = f(x), samt
linjerna x = a och x = b.
Skivmetoden:
Om vi låter området R rotera kring x-axeln så uppkommer en kropp, som
har en cirkulär tvärsnittsarea med radien f(x):
A(x) = πf 2 (x)
och får därmed, enligt skivformeln, volymen av kroppen:
V =
b
2
πf (x) dx = π
a
b
f 2 (x) dx
a
Skalmetoden:
Om vi istället låter området R rotera kring y-axeln, så uppkommer en kropp
med volymen:
V =
b
2πx |f (x)| dx = 2π
a
b
a
3
x |f (x)| dx